數學上的重要問題有哪些

① 當今數學最重要的問題是什麼

黎曼假設由德國數學家格奧爾格·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼(Geo嗯FriedriehBe七rl卜ard Rie-mann)於1859年提出,自那時以來一直使數學家們干著急.最近,由於數學家們轉向物理學尋求頓悟,證明黎曼假設的努力已得到新的強化.這個假設是黎曼惟一進人數論領域的冒險—數論是數學一個研究整數的分支.此外,數論說明了有關質數的某種真正深刻的東西.諸如么3、5和7等數字除了它們自身和1,沒有除數,而且似乎不可預見地出現在實數直線上.古希臘數學家歐幾里得證明,質數是無限多的,但問題在於,它們處子什麼位置?是否存在一種能告訴你如何找到它們的模式或者規則?黎曼在其假設中提出了一個描述質數所處位置的公式.它包括一個平面上的一組點,這些點對應使一個等式—采它函數(z etafunction)—等於零的求解方法.他的假設說,所有這些點j口采它函數的零點,都處於單一直線上.

② 高中數學最難，最重要的知識點有哪些

最重要的知識點有：函數 數列 ,解析幾何,代數方程,三角函數 ,立體幾何 ,向量 ,概率與統計 ,排列組合 ,導數 ,復數 ,極限等

③ 七年級數學重要知識點有哪些

數學可能對於大部分學生來說都是一個很讓人頭疼的科目，往往都學不好。雖然在學習的道路上我們會遇到許多困難，

但只要努力解決這些困難後，你將會感覺到無比輕松與快樂。所以我給大家整理了七年級數學上冊的知識點，方便大家學習。

一：有理數

知識網路:

概念、定義:

1、大於0的數叫做正數(positive number)。

2、在正數前面加上負號「-」的數叫做負數(negative number)。

3、整數和分數統稱為有理數(rational number)。

4、人們通常用一條直線上的點表示數，這條直線叫做數軸(number axis)。

5、在直線上任取一個點表示數0，這個點叫做原點(origin)。

6、一般的，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值(absolute value)。

7、由絕對值的定義可知:一個正數的絕對值是它本身;一個負數的絕對值是它的相反數;0的絕對值是0。

8、正數大於0，0大於負數，正數大於負數。

9、兩個負數，絕對值大的反而小。

10、有理數加法法則

(1)同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加。

(2)絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的負號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值，互為相反數的兩個數相加得0。

(3)一個數同0相加，仍得這個數。

11、有理數的加法中，兩個數相加，交換交換加數的位置，和不變。

12、有理數的加法中，三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把後兩個數相加，和不變。

13、有理數減法法則

減去一個數，等於加上這個數的相反數。

14、有理數乘法法則

兩數相乘，同號得正，異號得負，並把絕對值向乘。

任何數同0相乘，都得0。

15、有理數中仍然有:乘積是1的兩個數互為倒數。

16、一般的，有理數乘法中，兩個數相乘，交換因數的位置，積相等。

17、三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把後兩個數相乘，積相等。

18、一般地，一個數同兩個數的和相乘，等於把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加。

19、有理數除法法則

除以一個不等於0的數，等於乘這個數的倒數。

20、兩數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除。0除以任何一個不等於0的數，都得0。

21、求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪(power)。在an 中，a叫做底數(basenumber)，n叫做指數(exponeht)

22、根據有理數的乘法法則可以得出

負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。

顯然，正數的任何次冪都是正數，0的任何次冪都是0。

23、做有理數混合運算時，應注意以下運算順序:

(1)先乘方，再乘除，最後加減;

(2)同級運算，從左到右進行;

(3)如有括弧，先做括弧內的運算，按小括弧、中括弧、大括弧依次進行。

24、把一個大於10數表示成a×10n 的形式(其中a是整數數位只有一位的數，n是正整數)，使用的是科學計數法。

25、接近實際數字，但是與實際數字還是有差別，這個數是一個近似數(approximate number)。

26、從一個數的左邊的第一個非0數字起，到末尾數字止，所有的數字都是這個數的有效數字(significant digit)

注:黑體字為重要部分

二：整式的加減

知識網路:

概念、定義:

1、都是數或字母的積的式子叫做單項式(monomial)，單獨的一個數或一個字母也是單項式。

2、單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數(coefficient)。

3、一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數(degree of a monomial)。

4、幾個單項的和叫做多項式(polynomial)，其中，每個單項式叫做多項式的項(term)，不含字母的項叫做常數項(constantly

term)。

5、多項式里次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數(degree of a polynomial)。

6、把多項式中的同類項合並成一項，叫做合並同類項。

合並同類項後，所得項的系數是合並前各同類項的系數的和，且字母部分不變。

7、如果括弧外的因數是正數，去括弧後原括弧內各項的符號與原來的符號相同;

8、如果括弧外的因數是負數，去括弧後原括弧內各項的符號與原來的符號相反。

9、一般地，幾個整式相加減，如果有括弧就先去括弧，然後再合並同類項。

三：一元一次方程

知識網路:

概念、定義:

1、列方程時，要先設字母表示未知數，然後根據問題中的相等關系，寫出還有未知數的等式——方程(equation)。

2、含有一個未知數(元)，未知數的次數都是1，這樣的方程叫做一元一次方程(linear equation withone unknown)。

3、分析實際問題中的數量關系，利用其中的等量關系列出方程，是用數學解決實際問題的一種方法。

4、等式的性質1:等式兩邊加(或減)同一個數(或式子)，結果仍相等。

5、等式的性質2:等式兩邊乘同一個數，或除以一個不為0的數，結果仍相等。

6、把等式一邊的某項變號後移到另一邊，叫做移項。

7、應用:行程問題:s=v×t 工程問題:工作總量=工作效率×時間

盈虧問題:利潤=售價-成本 利率=利潤÷成本×100%

售價=標價×折扣數×10% 儲蓄利潤問題:利息=本金×利率×時間

本息和=本金+利息

四：圖形初步認識

知識網路:

概念、定義:

1、我們把實物中抽象的各種圖形統稱為幾何圖形(geometric figure)。

2、有些幾何圖形(如長方體、正方體、圓柱、圓錐、球等)的各部分不都在同一平面內，它們是立體圖形(solidfigure)。

3、有些幾何圖形(如線段、角、三角形、長方形、圓等)的各部分都在同一平面內，它們是平面圖形(planefigure)。

4、將由平面圖形圍成的立體圖形表面適當剪開，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖形稱為相應立體圖形的展開圖(net)。

5、幾何體簡稱為體(solid)。

6、包圍著體的是面(surface)，面有平的面和曲的面兩種。

7、面與面相交的地方形成線(line)，線和線相交的地方是點(point)。

8、點動成面，面動成線，線動成體。

9、經過探究可以得到一個基本事實:經過兩點有一條直線，並且只有一條直線。

簡述為:兩點確定一條直線(公理)。

10、當兩條不同的直線有一個公共點時，我們就稱這兩條直線相交(intersection)，這個公共點叫做它們的交點(pointof intersection)。

11、點M把線段AB分成相等的兩條線段AM和MB，點M叫做線段AB的中點(center)。

12、經過比較，我們可以得到一個關於線段的基本事實:兩點的所有連線中，線段最短。簡單說成:兩點之間，線段最短。(公理)

13、連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離(distance)。

14、角∠(angle)也是一種基本的幾何圖形。

15、把一個周角360等分，每一份就是1度(degree)的角，記作1°;把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，記作1′;把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，記作1″。

16、從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線(angular bisector)。

17、如果兩個角的和等於90°(直角)，就是說這兩個叫互為餘角(complementary

angle)，即其中的每一個角是另一個角的餘角。

18、如果兩個角的和等於180°(平角)，就說這兩個角互為補角(supplementary

angle)，即其中一個角是另一個角的補角

19、等角的補角相等，等角的餘角相等。

④ 小學數學課堂教學主要存在的問題有哪些

一、存在的問題
問題一：情境創設不當，缺少針對性
數學教學中，選擇恰當的數學素材，創設一個適合教學和兒童發展需要的情境，是非
常重要的環節。據不完全統計，80％以上的課都是從生活中或創設情景引入，其中有很多
精彩的案例，但有些也有牽強之感。聽課中發現，部分教師過於注重教學的情境化，為了
創設情境可謂是「冥思苦想」。好像數學課脫離了情境，就脫離了兒童的生活，就不是新
課程理念下的數學課。事實說明，有些教師辛辛苦苦創設的情境，由於諸多原因，情境創
設往往「變味」、「走調」，缺少針對性，失去了應有的價值。

問題二：合作形式濫用，缺少實質性。

合作學習是新課標所倡導的學習方式。合作學習是學生的一種需要，一種發自內心的
合作慾望，是確實有合作必要的選擇，而不是教師認為什麼時候合作就什麼時候合作。在
聽課過程中，我們發現幾乎每一節觀摩課上都有小組合作這一環節，少則一兩次，多則三、
四次。一至六年級都在用。有的教師一提出問題，馬上組織學生合作討論，有的學生還不
知道干什麼，因此看似「熱熱鬧鬧」，但結果卻是「蜻蜓點水」；有的課合作次數過多，
反而削弱了師生間信息的交流與反饋，使教學目標無法在40分鍾內完成；有的合作學習，
教師為急於完成預設的活動，在學生意猶未盡時就終止合作，使合作成了"中看不中用"的花架子。
問題三：教學方式呆板，缺少啟發性
有的數學課堂教學把傳統的"滿堂灌"變成"滿堂問"。「知不知」、「是不是」、「對不對」、「怎麼樣」、「好不好」、「還有嗎？」 之類的毫無啟發性的問題充斥課堂，
一方面把整體性的教學內容肢解得支離破碎，從而大大降低了知識的智力價值；另一方面
把對話變為問答，課堂上一問一答，形式呆板，表面上師生、生生在互動，實質上是用提
問的方式去「灌」。學生很少提出自己的問題，思維仍在同一水平上重復，師生、生生沒
有真正動起來。就像塗長順老師說的，由原來的「填鴨子」到現在的「問鴨子」了。

問題四：評價形式失真，缺少個性化
新課程提倡激勵性評價，因此在課堂上，經常聽到的是「啪，啪，表揚他！」「棒，
棒，你真棒！」的表揚聲。
其實，過多外在的獎勵並不利於培養學生內在的持久的學習興趣。在上述片段中，教
師用的贊賞實在是太多太濫了，這樣的鼓勵已失去了它應有的價值和意義。如果這些學生
確實提出了有創見的問題（從學生的角度）
，或者有明顯的進步，這樣的表揚是適當的。但有些學生僅僅是回答了一個簡單的問題，或者重復別人的發言，那麼這樣的表揚就有違發展性評價的初衷了，更有些教師對一些學生的錯誤回答也不敢馬上加以糾正，長期以往就會造成學生對表揚的「迷失」，就會造成評價的失真。這主要是未能掌握激勵性評價的「度」而造成的。

望採納 謝謝

⑤ 三大數學難題有哪些

世界三大數學難題即費馬猜想、四色猜想和哥德巴赫猜想。

1、費馬猜想：

當整數n > 2時，關於x,y,z的不定方程 x^n + y^n = z^n 無正整數解。

2、四色問題

任何一張平面地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。用數學語言表示，即將平面任意地細分為不相重疊的區域，每一個區域總可以用1，2，3，4這四個數字之一來標記，而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字。

3、哥德巴赫猜想

1742年6月7日，德國數學家哥德巴赫在寫給著名數學家歐拉的一封信中，提出了一個大膽的猜想：任何不小於3的奇數，都可以是三個質數之和（如：7=2+2+3，當時1仍屬於質數）。同年，6月30日，歐拉在回信中提出了另一個版本的哥德巴赫猜想：任何偶數，都可以是兩個質數之和。

(5)數學上的重要問題有哪些擴展閱讀

「a + b」問題的推進

1920年，挪威的布朗證明了「9 + 9」。

1924年，德國的拉特馬赫證明了「7 + 7」。

1932年，英國的埃斯特曼證明了「6 + 6」。

1937年，義大利的蕾西先後證明了「5 + 7」, 「4 + 9」, 「3 + 15」和「2 + 366」。

1938年，蘇聯的布赫夕太勃證明了「5 + 5」。

1940年，蘇聯的布赫夕太勃證明了「4 + 4」。

1956年，中國的王元證明了「3 + 4」。稍後證明了 「3 + 3」和「2 + 3」。

1948年，匈牙利的瑞尼證明了「1+ c」，其中c是一很大的自然數。

1962年，中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩證明了「1 + 5」， 中國的王元證明了「1 + 4」。

1965年，蘇聯的布赫 夕太勃和小維諾格拉多夫，及義大利的朋比利證明了「1 + 3 」。

1966年，中國的陳景潤證明了 「1 + 2 」。

⑥ 世界數學七大難題是什麼

這七個世界難題是，NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設、楊米爾斯存在性和質量缺口、納衛爾斯托可方程、BSD猜想。

2121年前，克雷數學研究所發表了數學領域內7個頂尖難題千禧年大獎難題。

難題介紹

黎曼猜想，黎曼猜想是關於黎曼函數的零點分布的猜想，由數學家波恩哈德黎曼於1859年提出，雖然在知名度上，黎曼猜想不及費爾馬猜想和哥德巴赫猜想，但它在數學上的重要性要遠遠超過後兩者，是當今數學界最重要的數學難題。

霍奇猜想，霍奇猜想可以說難道幾乎所有的數學家，猜想表達能夠將特定的對象形狀，在不斷增加維數的時候粘合形成一起，看似非常的巧妙，但在實際的操作過程中必須要加上沒有幾何解釋的部件。

BSD猜想，BSD猜想，全稱貝赫和斯維納通戴爾猜想，它描述了阿貝爾簇的算術性質與解析性質之間的聯系。

歐幾里得第五公設，歐幾里得第五公設，同一平面內的兩條直線與第三條直線相交，若其中一側的兩個內角之和小於二直角，則該兩直線必在這一側相交。因它與平行公理是等價的，所以又稱為歐幾里得平行公設，簡稱平行公設。

NP完全問題，NP完全問題可以說是一個聽著就很復雜的數學問題，簡單的講所有的完全多項式在非確定性的問題，都可以被轉化為名為滿足性的邏輯運算問題，數學家們猜想的是到底有沒有一個確定性的算大。

⑦ 世界數學七大難題是什麼

世界數學七大難題：NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設、楊.米爾斯存在性和質量缺口、納衛爾.斯托可方程、BSD猜想。

1、NP完全問題

例：在一個周六的晚上，參加了一個盛大的晚會。由於感到局促不安想知道這一大廳中是否有你已經認識的人。宴會的主人提議說，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鍾你就能向那裡掃視，並且發現宴會的主人是正確的。

如果沒有這樣的暗示你就必須環顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。

2、霍奇猜想

二十世紀的數學家們發現了，研究復雜對象的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，可以把給定對象的形狀通過把維數，不斷增加簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣。

最終導致一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是在這一推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。

霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完好的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的（有理線性）組合。

3、龐加萊猜想

如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面如果想像同樣的橡皮帶，以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。

蘋果表面是「單連通的」而輪胎面不是。大約在一百年以前龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面（四維空間中與原點有單位距離的點的全體）的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起數學家們就在為此奮斗。

4、黎曼假設

有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2、3、5、7等等。這樣的數稱為素數；它們在純數學及其應用中都起著重要作用。在所有自然數中這種素數的分布並不遵循任何有規則的模式；然而德國數學家黎曼（1826~1866)觀察到。

素數的頻率緊密相關於一個精心構造的所謂黎曼zeta函數ζ（s)的性態。著名的黎曼假設斷言，方程ζ（s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對於開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對於每一個有意義的解都成立將為圍繞素數分布的許多奧秘帶來光明。

5、楊.米爾斯存在性和質量缺口

量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關系。基於楊.米爾斯方程的預言，已經在全世界范圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實。

布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和駐波。描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解。被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於「誇克」的不可見性的解釋中應用的「質量缺口」假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。

6、納衛爾.斯托可方程的存在性與光滑性

起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉.斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。

雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在於對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納維葉.斯托克斯方程中的奧秘。

7、BSD猜想

數學家總是被諸如x2+y2=z2那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對於更為復雜的方程，這就變得極為困難。事實上正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問題是不可解的。

不存在一般的方法來確定這樣的方程是否有一個整數解。當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通.戴爾猜想認為，有理點的群的大小與一個有關的蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性態。這個有趣的猜想認為，如果z(1)等於0，那麼存在無限多個有理點（解）。如果z(1)不等於0，那麼只存在著有限多個這樣的點。

⑧ 當今數學最重要的問題是什麼

)o黎曼假設由德國數學家格奧爾格·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼(Geo嗯FriedriehBe七rl卜ard Rie-mann)於1859年提出,自那時以來一直使數學家們干著急。最近,由於數學家們轉向物理學尋求頓悟,證明黎曼假設的努力已得到新的強化。 這個假設是黎曼惟一進人數論領域的冒險—數論是數學一個研究整數的分支。此外,數論說明了有關質數的某種真正深刻的東西。諸如么3、5和7等數字除了它們自身和1,沒有除數,而且似乎不可預見地出現在實數直線上。古希臘數學家歐幾里得證明,質數是無限多的,但問題在於,它們處子什麼位置?是否存在一種能告訴你如何找到它們的模式或者規則? 黎曼在其假設中提出了一個描述質數所處位置的公式。它包括一個平面上的一組點,這些點對應使一個等式—采它函數(z etafunction)—等於零的求解方法。他的假設說,所有這些點j口采它函數的零點,都處於單一直線上。

⑨ 誰知道7大數學難題的具體內容是什麼啊

1、NP 完全問題
數學上著名的NP問題，完整的叫法是NP完全問題，也即「NP COMPLETE」問題，簡單的寫法，是 NP=P？的問題。問題就在這個問號上，到底是NP等於P，還是NP不等於P。
NP問題到底是Polynomial，還是Non-Polynomial，尚無定論。
NP裡面的N，不是Non-Polynomial的N，是Non-Deterministic，P代表Polynomial倒是對的。NP就是Non-deterministic Polynomial的問題，也即是多項式復雜程度的非確定性問題。
什麼是非確定性問題呢？有些計算問題是確定性的，比如加減乘除之類，你只要按照公式推導，按部就班一步步來，就可以得到結果。但是，有些問題是無法按部就班直接地計算出來。比如，找大質數的問題。有沒有一個公式，你一套公式，就可以一步步推算出來，下一個質數應該是多少呢？這樣的公式是沒有的。再比如，大的合數分解質因數的問題，有沒有一個公式，把合數代進去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也沒有這樣的公式。
這種問題的答案，是無法直接計算得到的，只能通過間接的「猜算」來得到結果。這也就是非確定性問題。而這些問題的通常有個演算法，它不能直接告訴你答案是什麼，但可以告訴你，某個可能的結果是正確的答案還是錯誤的。這個可以告訴你「猜算」的答案正確與否的演算法，假如可以在多項式時間內算出來，就叫做多項式非確定性問題。而如果這個問題的所有可能答案，都是可以在多項式時間內進行正確與否的驗算的話，就叫完全多項式非確定問題。
完全多項式非確定性問題可以用窮舉法得到答案，一個個檢驗下去，最終便能得到結果。但是這樣演算法的復雜程度，是指數關系，因此計算的時間隨問題的復雜程度成指數的增長，很快便變得不可計算了。
人們發現，所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉換為一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內計算，人們於是就猜想，是否這類問題，存在一個確定性演算法，可以在指數
時間內，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。
解決這個猜想，無非兩種可能，一種是找到一個這樣的演算法，只要針對某個特定NP完全問題找到一個演算法，所有這類問題都可以迎刃而解了，因為他們可以轉化為同一個問題。另外的一種可能，就是這樣的演算法是不存在的。那麼就要從數學理論上證明它為什麼不存在。
前段時間轟動世界的一個數學成果，是幾個印度人提出了一個新演算法，可以在多項式時間內，證明某個數是或者不是質數，而在這之前，人們認為質數的證明，是個非多項式問題。可見，有些看來好象是非多項式的問題，其實是多項式問題，只是人們一時還不知道它的多項式解而已。
如果判定問題π∈NP，並且對所有其他判定問題 π∈NP，都有π'多項式變換到π(記為π'∞π)，則稱判定問題π 是NP完全的。
對P類，NP類及NP完全問題的研究推動 了計算復雜性理論的發展，產生了許多新概念，提出了許多新方 法。但是還有許多難題至今沒有解決，P=?NP就是其中之一。許多學者猜想P≠NP，但無法證明。

2、郝治（Hodge） 猜想
也叫霍奇猜想(Hodge Conjecture)：在非奇異復射影代數簇上, 任一霍奇類是代數閉鏈類的有理線性組合。
二十世紀的數學家們發現了研究復雜對象的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導至一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的（有理線性）組合。

3、龐加萊（Poincare） 猜想
在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那麼這個空間一定是一個三維的圓球。但1905年發現提法中有錯誤，並對之進行了修改，被推廣為：「任何與n維球面同倫的n維封閉流形必定同胚於n維球面。」

如果你認為這個說法太抽象的話，我們不妨做這樣一個想像：

我們想像這樣一個房子，這個空間是一個球。或者，想像一隻巨大的足球，裡面充滿了氣，我們鑽到裡面看，這就是一個球形的房子。

4、黎曼（Rieman ）假設
有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2,3,5,7,等等。這樣的數稱為素數；它們在純數學及其應用中都起著重要作用。在所有自然數中，這種素數的分布並不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數的頻率緊密相關於一個精心構造的所謂黎曼蔡塔函數z(s)的性態。著名的黎曼假設斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對於開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對於每一個有意義的解都成立將為圍繞素數分布的許多奧秘帶來光明。
在證明素數定理的過程中，黎曼提出了一個論斷：Zeta函數的零點都在直線Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能證明後便放棄了，因為這對他證明素數定理影響不大。但這一問題至今仍然未能解決，甚至於比此假設簡單的猜想也未能獲證。而函數論和解析數論中的很多問題都依賴於黎曼假設。在代數數論中的廣義黎曼假設更是影響深遠。若能證明黎曼假設，則可帶動許多問題的解決。

5、楊－米爾斯 (Yang-Mills) 理論
又稱規范場理論，是研究自然界四種相互作用（電磁、弱、強、引力）的基本理論，是由物理學家楊振寧和R.L.米爾斯在1954年首先提出來的。它起源於對電磁相互作用的分析，利用它所建立的弱相互作用和電磁相互作用的統一理論，已經為實驗所證實，特別是這理論所預言的傳播弱相互作用的中間玻色子，已經在實驗中發現。楊－米爾斯理論又為研究強子（參與強相互作用的基本粒子）的結構提供了有力的工具。在某種意義上說，引力場也是一種規范場。所以這一理論在物理中的作用非常重要。數學家注意到楊－米爾斯場中的規范勢恰是數學家在20世紀30～40年代以來深入研究過的纖維叢上的聯絡。不僅如此，他們還發現，這一理論中出現的楊－米爾斯方程是一組數學上未曾考慮到的極有意義的非線性偏微分方程。1975年以來數學家對楊－米爾斯方程進行了許多深入的研究，這些研究對於純粹數學的發展，也起了推動作用。

6、納衛爾－斯托可（Navier-Stokes）方程
納衛爾－斯托可（Navier-Stokes）方程也稱納威厄-斯托克斯方程(Navier-Stokes Equations)：證明或否定3-維奈維爾－斯托克斯方程解的存在性和光滑性(在合理的邊界和初始條件下)。
納維葉－斯托克斯（Navier-Stokes）方程的存在性與光滑性
起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在於對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。

7、BSD（Birch and Swinnerton-Dyer）猜想
BSD猜想屬於數論中的內容，是關於方程的整數和有理數解的問題。
數學家總是被諸如x2+y2=z2那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對於更為復雜的方程，這就變得極為困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個整數解。當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認為，有理點的群的大小與一個有關的蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性態。特別是，這個有趣的猜想認為，如果z(1)等於0,那麼存在無限多個有理點(解)，相反，如果z(1)不等於0,那麼只存在有限多個這樣的點