在數學中mld是什麼意思

Ⅰ 勾股定理

勾股定理，又稱商高定理，畢達哥拉斯定理或畢氏定理（Pythagorean theorem），是一個基本的幾何定理，早在中國商代就由商高發現，記載在一本名為《周髀算經》的古書中。據說畢達高拉斯發現了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱「百牛定理」。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。

勾股定理指出：

直角三角形兩直角邊(即「勾」，「股」)邊長平方和等於斜邊(即「弦」)邊長的平方。
也就是說，

設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼
a2 + b2 = c2
勾股定理現發現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。

直角邊的平方和等於斜邊的平方

勾股數組
勾股數組是滿足勾股定理a2 + b2 = c2的正整數組(a,b,c)，其中的a,b,c稱為勾股數。例如(3,4,5)就是一組勾股數組。

任意一組勾股數(a,b,c)可以表示為如下形式：a = m2 − n2,b = 2mn,c = m2 + n2，其中
勾股定理（又叫「畢氏定理」）說：「在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等於兩條直角邊邊長平方之和。」據考證，人類對這條定理的認識，少說也超過 4000 年！又據記載，現時世上一共有超過 300 個對這定理的證明！

我覺得，證明多，固然是表示這個定理十分重要，因而有很多人對它作出研究；但證明多，同時令人眼花繚亂，亦未能夠一針見血地反映出定理本身和證明中的數學意義。故此，我在這篇文章中，為大家選出了 7 個我認為重要的證明，和大家一起分析和欣賞這些證明的特色，與及認識它們的歷史背境。

證明一

圖一

在圖一中，D ABC 為一直角三角形，其中 Ð A 為直角。我們在邊 AB、BC 和 AC 之上分別畫上三個正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。過 A 點畫一直線 AL 使其垂直於 DE 並交 DE 於 L，交 BC 於 M。不難證明，D FBC 全等於 D ABD（S.A.S.）。所以正方形 ABFG 的面積 = 2 ´ D FBC 的面積 = 2 ´ D ABD 的面積 = 長方形 BMLD 的面積。類似地，正方形 ACKH 的面積 = 長方形 MCEL 的面積。即正方形 BCED 的面積 = 正方形 ABFG 的面積 + 正方形 ACKH 的面積，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。由此證實了勾股定理。

這個證明巧妙地運用了全等三角形和三角形面積與長方形面積的關系來進行。不單如此，它更具體地解釋了，「兩條直角邊邊長平方之和」的幾何意義，這就是以 ML 將正方形分成 BMLD 和 MCEL 的兩個部分！

這個證明的另一個重要意義，是在於它的出處。這個證明是出自古希臘大數學歐幾里得之手。

歐幾里得（Euclid of Alexandria）約生於公元前 325 年，卒於約公元前 265 年。他曾經在古希臘的文化中心亞歷山大城工作，並完成了著作《幾何原本》。《幾何原本》是一部劃時代的著作，它收集了過去人類對數學的知識，並利用公理法建立起演繹體系，對後世數學發展產生深遠的影響。而書中的第一卷命題 47，就記載著以上的一個對勾股定理的證明。

證明二

圖二

圖二中，我們將4個大小相同的直角三角形放在一個大正方形之內，留意大正方形中間的淺黃色部分，亦都是一個正方形。設直角三角形的斜邊長度為 c，其餘兩邊的長度為 a 和 b，則由於大正方形的面積應該等於 4 個直角三角形和中間淺黃色正方形的面積之和，所以我們有

(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2
展開得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
化簡得 a2 + b2 = c2

由此得知勾股定理成立。

證明二可以算是一個非常直接了當的證明。最有趣的是，如果我們將圖中的直角三角形翻轉，拼成以下的圖三，我們依然可以利用相類似的手法去證明勾股定理，方法如下：

圖三

由面積計算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b - a)2
展開得 = 2ab + b2 - 2ab + a2
化簡得 c2 = a2 + b2（定理得證）

圖三的另一個重要意義是，這證明最先是由一個中國人提出的！據記載，這是出自三國時代（即約公元 3 世紀的時候）吳國的趙爽。趙爽為《周髀算經》作注釋時，在書中加入了一幅他稱為「勾股圓方圖」（或「弦圖」）的插圖，亦即是上面圖三的圖形了。

證明三

圖四

圖四一共畫出了兩個綠色的全等的直角三角形和一個淺黃色的等腰直角三角形。不難看出，整個圖就變成一個梯形。利用梯形面積公式，我們得到∶

1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2
展開得 1/2 a2 + ab + 1/2 b2 = ab + 1/2 c2
化簡得 a2 + b2 = c2（定理得證）

有一些書本對證明三十分推祟，這是由於這個證明是出自一位美國總統之手！

在 1881 年，加菲（James A. Garfield； 1831 - 1881）當選成為美國第 20 任總統，可惜在當選後 5 個月，就遭行刺身亡。至於勾股定理的有關證明，是他在 1876 年提出的。

我個人覺得證明三並沒有甚麼優勝之處，它其實和證明二一樣，只不過它將證明二中的圖形切開一半罷了！更何況，我不覺得梯形面積公式比正方形面積公式簡單！

又，如果從一個老師的角度來看，證明二和證明三都有一個共同的缺點，它就是需要到恆等式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 了。雖然這個恆等式一般都包括在中二的課程之中，但有很多學生都未能完全掌握，由於以上兩個證明都使用了它，往往在教學上會出現學生不明白和跟不上等問題。

證明四

(a) (b) (c)

圖五

證明四是這樣做的：如圖五(a)，我們先畫一個直角三角形，然後在最短的直角邊旁向三角形那一邊加上一個正方形，為了清楚起見，以紅色表示。又在另一條直角邊下面加上另一個正方形，以藍色表示。接著，以斜邊的長度畫一個正方形，如圖五(b)。我們打算證明紅色和藍色兩個正方形面積之和，剛好等於以斜邊畫出來的正方形面積。

留意在圖五(b)中，當加入斜邊的正方形後，紅色和藍色有部分的地方超出了斜邊正方形的范圍。現在我將超出范圍的部分分別以黃色、紫色和綠色表示出來。同時，在斜邊正方形內，卻有一些部分未曾填上顏色。現在依照圖五(c)的方法，將超出范圍的三角形，移入未有填色的地方。我們發現，超出范圍的部分剛好填滿未曾填色的地方！由此我們發現，圖五(a)中，紅色和藍色兩部分面積之和，必定等於圖五(c)中斜邊正方形的面積。由此，我們就證實了勾股定理。

這個證明是由三國時代魏國的數學家劉徽所提出的。在魏景元四年（即公元 263 年），劉徽為古籍《九章算術》作注釋。在注釋中，他畫了一幅像圖五(b)中的圖形來證明勾股定理。由於他在圖中以「青出」、「朱出」表示黃、紫、綠三個部分，又以「青入」、「朱入」解釋如何將斜邊正方形的空白部分填滿，所以後世數學家都稱這圖為「青朱入出圖」。亦有人用「出入相補」這一詞來表示這個證明的原理。

在歷史上，以「出入相補」的原理證明勾股定理的，不只劉徽一人，例如在印度、在阿拉伯世界、甚至乎在歐洲，都有出現過類似的證明，只不過他們所繪的圖，在外表上，或許會和劉徽的圖有些少分別。下面的圖六，就是將圖五(b)和圖五(c)兩圖結合出來的。留意我經已將小正方形重新畫在三角形的外面。看一看圖六，我們曾經見過類似的圖形嗎？

圖六

其實圖六不就是圖一嗎？它只不過是將圖一從另一個角度畫出罷了。當然，當中分割正方形的方法就有所不同。

順帶一提，證明四比之前的證明有一個很明顯的分別，證明四沒有計算的部分，整個證明就是單靠移動幾塊圖形而得出。我不知道大家是否接受這些沒有任何計算步驟的「證明」，不過，我自己就非常喜歡這些「無字證明」了。

圖七

在多種「無字證明」中，我最喜歡的有兩個。圖七是其中之一。做法是將一條垂直線和一條水平線，將較大直角邊的正方形分成 4 分。之後依照圖七中的顏色，將兩個直角邊的正方形填入斜邊正方形之中，便可完成定理的證明。

事實上，以類似的「拼圖」方式所做的證明非常之多，但在這裏就未有打算將它們一一盡錄了。

另一個「無字證明」，可以算是最巧妙和最簡單的，方法如下：

證明五

(a) (b)

圖八

圖八(a)和圖二一樣，都是在一個大正方形中，放置了4個直角三角形。留意圖中淺黃色部分的面積等於 c2。現在我們將圖八(a)中的 4 個直角三角形移位，成為圖八(b)。明顯，圖八(b)中兩個淺黃色正方形的面積之和應該是 a2 + b2。但由於(a)、(b)兩圖中的大正方形不變，4 個直角三角形亦相等，所以餘下兩個淺黃色部的面積亦應該相等，因此我們就得到 a2 + b2 = c2，亦即是證明了勾股定理。

對於這個證明的出處，有很多說法：有人說是出自中國古代的數學書；有人相信當年畢達哥拉斯就是做出了這個證明，因而宰殺了一百頭牛來慶祝。總之，我覺得這是眾多證明之中，最簡單和最快的一個證明了。

不要看輕這個證明，它其實包含著另一個意義，並不是每一個人都容易察覺的。我現在將上面兩個圖「壓扁」，成為圖九：

(a) (b)

圖九

圖九(a)中間的淺黃色部分是一個平行四邊形，它的面積可以用以下算式求得：mn sin(a + b)，其中 m 和 n 分別是兩個直角三角形斜邊的長度。而圖九(b)中的淺黃色部分是兩個長方形，其面積之和是：(m cos a)(n sin b) + (m sin a)(n cos b)。正如上面一樣，(a)、(b)兩圖淺黃色部分的面積是相等的，所以將兩式結合並消去共有的倍數，我們得：sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a，這就是三角學中最重要的復角公式！原來勾股定理和這條復角公式是來自相同的證明的！

在證明二中，當介紹完展開 (a + b)2 的方法之後，我提出了趙爽的「弦圖」，這是一個展開 (a - b)2 的方法。而證明五亦有一個相似的情況，在這裏，我們除了一個類似 (a + b) 的「無字證明」外，我們亦有一個類似 (a - b) 的「無字證明」。這方法是由印度數學家婆什迦羅（Bhaskara; 1114 - 1185）提出的，見圖十。

(a) (b)

圖十

證明六

圖十一

圖十一中， 我們將中間的直角三角形 ABC 以 CD 分成兩部分，其中 Ð C 為直角，D 位於 AB 之上並且 CD ^ AB。設 a = CB，b = AC，c = AB，x = BD，y = AD。留意圖中的三個三角形都是互相相似的，並且 D DBC ~ D CBA ~ D DCA，所以

= 和 =
由此得 a2 = cx 和 b2 = cy

將兩式結合，得 a2 + b2 = cx + cy = c(x + y) = c2。定理得證。

證明六可以說是很特別的，因為它是本文所有證明中，唯一一個證明沒有使用到面積的概念。我相信在一些舊版的教科書中，也曾使用過證明六作為勾股定理的證明。不過由於這個證明需要相似三角形的概念，而且又要將兩個三角形翻來覆去，相當復雜，到今天已很少教科書採用，似乎已被人們日漸淡忘了！

可是，如果大家細心地想想，又會發現這個證明其實和證明一（即歐幾里得的證明）沒有分別！雖然這個證明沒有提及面積，但 a2 = cx 其實就是表示 BC 上正方形的面積等於由 AB 和 BD 兩邊所組成的長方形的面積，這亦即是圖一中黃色的部分。類似地，b2 = cy 亦即是圖一中深綠色的部分。由此看來，兩個證明都是依據相同的原理做出來的！

證明七

(a) (b) (c)

圖十二

在圖十二(a)中，我們暫時未知道三個正方形面積之間有甚麼直接的關系，但由於兩個相似圖形面積之比等於它們對應邊之比的平方，而任何正方形都相似，所以我們知道面積 I : 面積 II : 面積 III = a2 : b2 : c2。

不過，細心地想想就會發現，上面的推論中，「正方形」的要求是多餘的，其實只要是一個相似的圖形，例如圖十二(b)中的半圓，或者是圖十二(c)中的古怪形狀，只要它們互相相似，那麼面積 I : 面積 II : 面積 III 就必等於 a2 : b2 : c2了！

在芸芸眾多的相似圖形中，最有用的，莫過於與原本三角形相似的直角三角形了。

(a) (b)

圖十三

在圖十三(a)中，我在中間的直角三角形三邊上分別畫上三個和中間三角形相似的直角三角形。留意：第 III 部分其實和原本三角形一樣大，所以面積亦相等；如果我們從三角形直角的頂點引一條垂直線至斜邊，將中間的三角形分成兩分，那麼我們會發現圖十三(a)的面積 I 剛好等於中間三角形左邊的面積，而面積 II 亦剛好等於右邊的面積。由圖十三(b)可以知道：面積 I + 面積 II = 面積 III。與此同時，由於面積 I : 面積 II : 面積 III = a2 : b2 : c2，所以 a2 + b2 = c2。

七個證明之中，我認為這一個的布局最為巧妙，所用的數學技巧亦精彩。可惜對一個初中學生而言，這個證明就比較難掌握了。

我不太清楚這個證明的出處。我第一次認識這個證明，是在大學時候，一位同學從圖書館看到這個證明後告訴我的。由於印象深刻，所以到了今天仍依然記憶猶新。

歐幾里得《幾何原本》的第六卷命題 31 是這樣寫的：「在直角三角形中，對直角的邊上所作的圖形等於夾直角邊上所作與前圖相似且有相似位置的二圖形之和。」我估計，相信想出證明七的人，應該曾經參考過這一個命題。 請同學們看教科書上習題3.9中B組第4題的插圖。趙爽是我國三國時代東吳的數學家，他的著作《周髀算經注》（公元前3世紀）中有一篇「勾股圓方圖注」，其中給出了勾股定理的一般形式：「勾、股各自乘，並之為弦實，開方除之，即弦。」並給出了如第4題插圖所示的證明。圖中有4個直角三角形和一個小正方形，它們的面積的和應該正好等於大正方形的面積，即化簡得到a2 + b2 = c2趙爽稱此圖為「弦圖」。

關於這個定理，現在看到的國外最早的證明見之於歐幾里得的〈幾何原本〉（公元前3世紀）。他在證明時運用了面積與全等三角形的概念。

Ⅱ Mld在Dcs系統中什麼意思

我認為應該指的是移動互聯網設備。
關於Mid，一是指移動互聯網設備，即Mobile Internet Device，一種新的「比智能電話大，比筆記本小」的互聯網終端。
第二種MID，即Multi-infarct dementia，由加拿大神經病學家Hachinski(1974)提出，是血管性痴呆(VaD)最常見的類型，佔39.4%。由於反復發生卒中，雙側半球大腦中動脈或後動脈多個分支供血區的皮質、白質或基底核區受累。導致智能及認知功能障礙綜合征，是老年性痴呆的常見病因之一。

知識擴展(關於DCS)
DCS是分布式控制系統的英文縮寫（Distributed(分布式) Control System），在國內自控行業又稱之為集散控制系統。
即所謂的分布式控制系統，或在有些資料中稱之為集散系統，是相對於集中式控制系統而言的一種新型計算機控制系統，它是在集中式控制系統的基礎上發展、演變而來的。它是一個由過程式控制制級和過程監控級組成的以通信網路為紐帶的多級計算機系統，綜合了計算機，通信、顯示和控制等4C技術，其基本思想是分散控制、集中操作、分級管理、配置靈活以及組態方便。在系統功能方面，DCS和集中式控制系統的區別不大，但在系統功能的實現方法上卻完全不同。

Ⅲ 歐基里得怎樣證勾股定理

D ABC 為一直角三角形，其中 Ð A 為直角。 我們在邊 AB 、 BC 和 AC 之上分別畫上三個正方形 ABFG 、 BCED 和 ACKH 。 我們在邊 AB 、 BC 和 AC 之上分別畫上三個正方形 ABFG 、 BCED 和 ACKH 。 過 A 點畫一直線 AL 使其垂直於 DE 並交 DE 於 L ，交 BC 於 M 。 過 A 點畫一直線 AL 使其垂直於 DE 並交 DE 於 L ，交 BC 於 M 。 不難證明， D FBC 全等於 D ABD （ SAS ）。 不難證明， D FBC 全等於 D ABD （ SAS ）。 所以正方形 ABFG 的面積 = 2 ´ D FBC 的面積 = 2 ´ D ABD 的面積 = 長方形 BMLD 的面積。 所以正方形 ABFG 的面積 = 2 ´ D FBC 的面積 = 2 ´ D ABD 的面積 = 長方形 BMLD 的面積。 類似地，正方形 ACKH 的面積 = 長方形 MCEL 的面積。 類似地，正方形 ACKH 的面積 = 長方形 MCEL 的面積。 即正方形 BCED 的面積 = 正方形 ABFG 的面積 + 正方形 ACKH 的面積，亦即是 AB 2 + AC 2 = BC 2 。 即正方形 BCED 的面積 = 正方形 ABFG 的面積 + 正方形 ACKH 的面積，亦即是 AB 2 + AC 2 = BC 2 。 由此證實了勾股定理。 由此證實了勾股定理。

這個證明巧妙地運用了全等三角形和三角形面積與長方形面積的關系來進行。這個證明巧妙地運用了全等三角形和三角形面積與長方形面積的關系來進行。 不單如此，它更具體地解釋了，「兩條直角邊邊長平方之和」的幾何意義，這就是以ML 將正方形分成 BMLD 和 MCEL 的兩個部分！不單如此，它更具體地解釋了，「兩條直角邊邊長平方之和」的幾何意義，這就是以ML 將正方形分成 BMLD 和 MCEL 的兩個部分！

這個證明的另一個重要意義，是在於它的出處。這個證明的另一個重要意義，是在於它的出處。 這個證明是出自古希臘大數學歐幾里得之手。這個證明是出自古希臘大數學歐幾里得之手。

歐幾里得（ Euclid of Alexandria ）約生於公元前 325 年，卒於約公元前 265 年。歐幾里得（ Euclid of Alexandria ）約生於公元前 325 年，卒於約公元前 265 年。 他曾經在古希臘的文化中心亞歷山大城工作，並完成了著作《幾何原本》。 他曾經在古希臘的文化中心亞歷山大城工作，並完成了著作《幾何原本》。 《幾何原本》是一部劃時代的著作，它收集了過去人類對數學的知識，並利用公理法建立起演繹體系，對後世數學發展產生深遠的影響。 《幾何原本》是一部劃時代的著作，它收集了過去人類對數學的知識，並利用公理法建立起演繹體系，對後世數學發展產生深遠的影響。 而書中的第一卷命題 47 ，就記載著以上的一個對勾股定理的證明。 而書中的第一卷命題 47 ，就記載著以上的一個對勾股定理的證明。

Ⅳ mld是什麼意思

MLD（Multicast Listener Discover 的縮寫）是組播技術中使用的一種網路協議。是組播偵聽發現協議。它用於IPv6路由器在其直連網段上發現組播偵聽者。

組播偵聽者（Multicast Listener）是那些希望接收組播數據的主機節點。

相關信息：

路由器通過MLD協議，可以了解自己的直連網段上是否有IPv6組播組的偵聽者，並在資料庫里做相應記錄。同時，路由器還維護與這些IPv6組播地址相關的定時器信息。

MLD路由器使用IPv6單播鏈路本地地址作為源地址發送MLD報文。MLD使用ICMPv6（Internet Control Message Protocol for IPv6，針對IPv6的互聯網控制報文協議）報文類型。所有的MLD報文被限制在本地鏈路上，跳數為1。

MLD有兩個版本：MLDv1和MLDv2。

Ⅳ 兩個全等的直角三角形拼成等腰直角三角形證明勾股定理

勾股定理（又叫「畢氏定理」）說：「在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等於兩條直角邊邊長平方之和。」據考證，人類對這條定理的認識，少說也超過 4000 年！又據記載，現時世上一共有超過 300 個對這定理的證明！

我覺得，證明多，固然是表示這個定理十分重要，因而有很多人對它作出研究；但證明多，同時令人眼花繚亂，亦未能夠一針見血地反映出定理本身和證明中的數學意義。故此，我在這篇文章中，為大家選出了 7 個我認為重要的證明，和大家一起分析和欣賞這些證明的特色，與及認識它們的歷史背境。

證明一

圖一

在圖一中，D ABC 為一直角三角形，其中 Ð A 為直角。我們在邊 AB、BC 和 AC 之上分別畫上三個正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。過 A 點畫一直線 AL 使其垂直於 DE 並交 DE 於 L，交 BC 於 M。不難證明，D FBC 全等於 D ABD（S.A.S.）。所以正方形 ABFG 的面積 = 2 ´ D FBC 的面積 = 2 ´ D ABD 的面積 = 長方形 BMLD 的面積。類似地，正方形 ACKH 的面積 = 長方形 MCEL 的面積。即正方形 BCED 的面積 = 正方形 ABFG 的面積 + 正方形 ACKH 的面積，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。由此證實了勾股定理。

這個證明巧妙地運用了全等三角形和三角形面積與長方形面積的關系來進行。不單如此，它更具體地解釋了，「兩條直角邊邊長平方之和」的幾何意義，這就是以 ML 將正方形分成 BMLD 和 MCEL 的兩個部分！

這個證明的另一個重要意義，是在於它的出處。這個證明是出自古希臘大數學歐幾里得之手。

歐幾里得（Euclid of Alexandria）約生於公元前 325 年，卒於約公元前 265 年。他曾經在古希臘的文化中心亞歷山大城工作，並完成了著作《幾何原本》。《幾何原本》是一部劃時代的著作，它收集了過去人類對數學的知識，並利用公理法建立起演繹體系，對後世數學發展產生深遠的影響。而書中的第一卷命題 47，就記載著以上的一個對勾股定理的證明。

證明二

圖二

圖二中，我們將4個大小相同的直角三角形放在一個大正方形之內，留意大正方形中間的淺黃色部分，亦都是一個正方形。設直角三角形的斜邊長度為 c，其餘兩邊的長度為 a 和 b，則由於大正方形的面積應該等於 4 個直角三角形和中間淺黃色正方形的面積之和，所以我們有

(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2
展開得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
化簡得 a2 + b2 = c2

由此得知勾股定理成立。

證明二可以算是一個非常直接了當的證明。最有趣的是，如果我們將圖中的直角三角形翻轉，拼成以下的圖三，我們依然可以利用相類似的手法去證明勾股定理，方法如下：

圖三

由面積計算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b - a)2
展開得 = 2ab + b2 - 2ab + a2
化簡得 c2 = a2 + b2（定理得證）

圖三的另一個重要意義是，這證明最先是由一個中國人提出的！據記載，這是出自三國時代（即約公元 3 世紀的時候）吳國的趙爽。趙爽為《周髀算經》作注釋時，在書中加入了一幅他稱為「勾股圓方圖」（或「弦圖」）的插圖，亦即是上面圖三的圖形了。

證明三

圖四

圖四一共畫出了兩個綠色的全等的直角三角形和一個淺黃色的等腰直角三角形。不難看出，整個圖就變成一個梯形。利用梯形面積公式，我們得到∶

1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2
展開得 1/2 a2 + ab + 1/2 b2 = ab + 1/2 c2
化簡得 a2 + b2 = c2（定理得證）

有一些書本對證明三十分推祟，這是由於這個證明是出自一位美國總統之手！

在 1881 年，加菲（James A. Garfield； 1831 - 1881）當選成為美國第 20 任總統，可惜在當選後 5 個月，就遭行刺身亡。至於勾股定理的有關證明，是他在 1876 年提出的。

我個人覺得證明三並沒有甚麼優勝之處，它其實和證明二一樣，只不過它將證明二中的圖形切開一半罷了！更何況，我不覺得梯形面積公式比正方形面積公式簡單！

又，如果從一個老師的角度來看，證明二和證明三都有一個共同的缺點，它就是需要到恆等式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 了。雖然這個恆等式一般都包括在中二的課程之中，但有很多學生都未能完全掌握，由於以上兩個證明都使用了它，往往在教學上會出現學生不明白和跟不上等問題。

證明四

(a) (b) &;

圖五

證明四是這樣做的：如圖五(a)，我們先畫一個直角三角形，然後在最短的直角邊旁向三角形那一邊加上一個正方形，為了清楚起見，以紅色表示。又在另一條直角邊下面加上另一個正方形，以藍色表示。接著，以斜邊的長度畫一個正方形，如圖五(b)。我們打算證明紅色和藍色兩個正方形面積之和，剛好等於以斜邊畫出來的正方形面積。

留意在圖五(b)中，當加入斜邊的正方形後，紅色和藍色有部分的地方超出了斜邊正方形的范圍。現在我將超出范圍的部分分別以黃色、紫色和綠色表示出來。同時，在斜邊正方形內，卻有一些部分未曾填上顏色。現在依照圖五&;的方法，將超出范圍的三角形，移入未有填色的地方。我們發現，超出范圍的部分剛好填滿未曾填色的地方！由此我們發現，圖五(a)中，紅色和藍色兩部分面積之和，必定等於圖五&;中斜邊正方形的面積。由此，我們就證實了勾股定理。

這個證明是由三國時代魏國的數學家劉徽所提出的。在魏景元四年（即公元 263 年），劉徽為古籍《九章算術》作注釋。在注釋中，他畫了一幅像圖五(b)中的圖形來證明勾股定理。由於他在圖中以「青出」、「朱出」表示黃、紫、綠三個部分，又以「青入」、「朱入」解釋如何將斜邊正方形的空白部分填滿，所以後世數學家都稱這圖為「青朱入出圖」。亦有人用「出入相補」這一詞來表示這個證明的原理。

在歷史上，以「出入相補」的原理證明勾股定理的，不只劉徽一人，例如在印度、在阿拉伯世界、甚至乎在歐洲，都有出現過類似的證明，只不過他們所繪的圖，在外表上，或許會和劉徽的圖有些少分別。下面的圖六，就是將圖五(b)和圖五&;兩圖結合出來的。留意我經已將小正方形重新畫在三角形的外面。看一看圖六，我們曾經見過類似的圖形嗎？

圖六

其實圖六不就是圖一嗎？它只不過是將圖一從另一個角度畫出罷了。當然，當中分割正方形的方法就有所不同。

順帶一提，證明四比之前的證明有一個很明顯的分別，證明四沒有計算的部分，整個證明就是單靠移動幾塊圖形而得出。我不知道大家是否接受這些沒有任何計算步驟的「證明」，不過，我自己就非常喜歡這些「無字證明」了。

圖七

在多種「無字證明」中，我最喜歡的有兩個。圖七是其中之一。做法是將一條垂直線和一條水平線，將較大直角邊的正方形分成 4 分。之後依照圖七中的顏色，將兩個直角邊的正方形填入斜邊正方形之中，便可完成定理的證明。

事實上，以類似的「拼圖」方式所做的證明非常之多，但在這裏就未有打算將它們一一盡錄了。

另一個「無字證明」，可以算是最巧妙和最簡單的，方法如下：

證明五

(a) (b)

圖八

圖八(a)和圖二一樣，都是在一個大正方形中，放置了4個直角三角形。留意圖中淺黃色部分的面積等於 c2。現在我們將圖八(a)中的 4 個直角三角形移位，成為圖八(b)。明顯，圖八(b)中兩個淺黃色正方形的面積之和應該是 a2 + b2。但由於(a)、(b)兩圖中的大正方形不變，4 個直角三角形亦相等，所以餘下兩個淺黃色部的面積亦應該相等，因此我們就得到 a2 + b2 = c2，亦即是證明了勾股定理。

對於這個證明的出處，有很多說法：有人說是出自中國古代的數學書；有人相信當年畢達哥拉斯就是做出了這個證明，因而宰殺了一百頭牛來慶祝。總之，我覺得這是眾多證明之中，最簡單和最快的一個證明了。

不要看輕這個證明，它其實包含著另一個意義，並不是每一個人都容易察覺的。我現在將上面兩個圖「壓扁」，成為圖九：
(a) (b)

圖九

圖九(a)中間的淺黃色部分是一個平行四邊形，它的面積可以用以下算式求得：mn sin(a + b)，其中 m 和 n 分別是兩個直角三角形斜邊的長度。而圖九(b)中的淺黃色部分是兩個長方形，其面積之和是：(m cos a)(n sin b) + (m sin a)(n cos b)。正如上面一樣，(a)、(b)兩圖淺黃色部分的面積是相等的，所以將兩式結合並消去共有的倍數，我們得：sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a，這就是三角學中最重要的復角公式！原來勾股定理和這條復角公式是來自相同的證明的！

在證明二中，當介紹完展開 (a + b)2 的方法之後，我提出了趙爽的「弦圖」，這是一個展開 (a - b)2 的方法。而證明五亦有一個相似的情況，在這裏，我們除了一個類似 (a + b) 的「無字證明」外，我們亦有一個類似 (a - b) 的「無字證明」。這方法是由印度數學家婆什迦羅（Bhaskara; 1114 - 1185）提出的，見圖十。

(a) (b)

圖十

證明六

圖十一

圖十一中， 我們將中間的直角三角形 ABC 以 CD 分成兩部分，其中 Ð C 為直角，D 位於 AB 之上並且 CD ^ AB。設 a = CB，b = AC，c = AB，x = BD，y = AD。留意圖中的三個三角形都是互相相似的，並且 D DBC ~ D CBA ~ D DCA，所以

= 和 =
由此得 a2 = cx 和 b2 = cy

將兩式結合，得 a2 + b2 = cx + cy = c(x + y) = c2。定理得證。

證明六可以說是很特別的，因為它是本文所有證明中，唯一一個證明沒有使用到面積的概念。我相信在一些舊版的教科書中，也曾使用過證明六作為勾股定理的證明。不過由於這個證明需要相似三角形的概念，而且又要將兩個三角形翻來覆去，相當復雜，到今天已很少教科書採用，似乎已被人們日漸淡忘了！

可是，如果大家細心地想想，又會發現這個證明其實和證明一（即歐幾里得的證明）沒有分別！雖然這個證明沒有提及面積，但 a2 = cx 其實就是表示 BC 上正方形的面積等於由 AB 和 BD 兩邊所組成的長方形的面積，這亦即是圖一中黃色的部分。類似地，b2 = cy 亦即是圖一中深綠色的部分。由此看來，兩個證明都是依據相同的原理做出來的！

證明七

(a) (b) &;

圖十二

在圖十二(a)中，我們暫時未知道三個正方形面積之間有甚麼直接的關系，但由於兩個相似圖形面積之比等於它們對應邊之比的平方，而任何正方形都相似，所以我們知道面積 I : 面積 II : 面積 III = a2 : b2 : c2。

不過，細心地想想就會發現，上面的推論中，「正方形」的要求是多餘的，其實只要是一個相似的圖形，例如圖十二(b)中的半圓，或者是圖十二&;中的古怪形狀，只要它們互相相似，那麼面積 I : 面積 II : 面積 III 就必等於 a2 : b2 : c2了！

在芸芸眾多的相似圖形中，最有用的，莫過於與原本三角形相似的直角三角形了。

(a) (b)

圖十三

在圖十三(a)中，我在中間的直角三角形三邊上分別畫上三個和中間三角形相似的直角三角形。留意：第 III 部分其實和原本三角形一樣大，所以面積亦相等；如果我們從三角形直角的頂點引一條垂直線至斜邊，將中間的三角形分成兩分，那麼我們會發現圖十三(a)的面積 I 剛好等於中間三角形左邊的面積，而面積 II 亦剛好等於右邊的面積。由圖十三(b)可以知道：面積 I + 面積 II = 面積 III。與此同時，由於面積 I : 面積 II : 面積 III = a2 : b2 : c2，所以 a2 + b2 = c2。

七個證明之中，我認為這一個的布局最為巧妙，所用的數學技巧亦精彩。可惜對一個初中學生而言，這個證明就比較難掌握了。

我不太清楚這個證明的出處。我第一次認識這個證明，是在大學時候，一位同學從圖書館看到這個證明後告訴我的。由於印象深刻，所以到了今天仍依然記憶猶新。

歐幾里得《幾何原本》的第六卷命題 31 是這樣寫的：「在直角三角形中，對直角的邊上所作的圖形等於夾直角邊上所作與前圖相似且有相似位置的二圖形之和。」我估計，相信想出證明七的人，應該曾經參考過這一個命題。
圖請參考

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http://staff.ccss.e.hk/jckleung/jiao_xue/py_thm/py_thm18.gif
http://staff.ccss.e.hk/jckleung/jiao_xue/py_thm/py_thm19.gif
http://staff.ccss.e.hk/jckleung/jiao_xue/py_thm/py_thm20.gif
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參考資料：http://tieba..com/f?kz=274887595

Ⅵ MLE和MLD

顏色和內存不一樣
MLE23CH/A是iPhone13256GB粉色，MLDV3CH/A是iPhone13128GB白色。
內存(Memory)是計算機的重要部件，也稱內存儲器和主存儲器，它用於暫時存放CPU中的運算數據，以及與硬碟等外部存儲器交換的數據。它是外存與CPU進行溝通的橋梁，計算機中所有程序的運行都在內存中進行，內存性能的強弱影響計算機整體發揮的水平。只要計算機開始運行，操作系統就會把需要運算的數據從內存調到CPU中進行運算，當運算完成，CPU將結果傳送出來。

Ⅶ excel表格里mld怎麼用

運用格式計算。
MID函數的基本用法，MID函數的格式是，MID(text，start，num，num，chars)功能，是從text所示的字元串中，從左邊開始數，第startnum個位置開始。
MID函數最常用於從身份證中提取出生日期，我們知道，只要從A2單元格中的身份證號中的第7位開始，截圖8個字元，得到的就是我們需要的出生日期。

Ⅷ 股市k線圖中的MlD是什麼

不是k線，是macd里一個止標。追問得採納

Ⅸ C語言中%4d,%5d之類的是什麼意思

這些是用於格式化輸出語句中的格式化字元串。

C語言的格式化輸出語句包括printf, sprintf, wsprintf, vsprintf, vprintf, fprintf等，在這類函數調用時，都會傳一個格式化字元串，其中可以包含各種格式化字元。每種對應一類變數類型。

%d對應整型(int)，即當格式化字元串中出現了%d時，後續的參數對應位置應為int型變數，如果不是，將會強制轉換為int型。

於是%d的功能就是輸出一個整型的數值。

%nd的形式，其中n為一個數字，比如%4d,%5d等，代表輸出佔用n個位元組的空間。

當實際輸出數字需要的空間大於n時，以實際空間為准。否則輸出n個位元組空間，不足部分用空格在左側補齊。

比如

printf("%4d", 12);

會輸出

12

即先輸出兩個空格，再輸出12。

而如果是printf("%4d", 12345);

由於12345佔五位，超過了4的限制，所以會輸出本身值12345，沒有任何空格填補。

Ⅹ 微生物學中MLD的什麼

應該是指最低致死量（minimum lethal dose），指引起50%的實驗宿主死亡的微生物量，單位就是微生物的數量。比如每隻小鼠接種1百萬個細菌，有一半小鼠死亡，那麼，MLD就是1百萬。