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高等數學是指相對於初等數學和中等數學而言,數學的對象及方法較為繁雜的一部分,中學的代數、幾何以及簡單的集合論初步、邏輯初步稱為中等數學,將其作為中小學階段的初等數學與大學階段的高等數學的過渡。
通常認為,高等數學是由微積分學,較深入的代數學、幾何學以及它們之間的交叉內容所形成的一門基礎學科。主要內容包括:數列、極限、微積分、空間解析幾何與線性代數、級數、常微分方程。工科、理科、財經類研究生考試的基礎科目。
歷史:
19世紀以前確立的幾何、代數、分析三大數學分支中,前兩個都原是初等數學的分支,其後又發展了屬於高等數學的部分,而只有分析從一開始就屬於高等數學。分析的基礎——微積分被認為是「變數的數學」的開始,因此,研究變數是高等數學的特徵之一。原始的變數概念是物質世界變化的諸量的直接抽象,現代數學中變數的概念包含了更高層次的抽象。
如數學分析中研究的限於實變數,而其他數學分支所研究的還有取復數值的復變數和向量、張量形式的,以及各種幾何量、代數量,還有取值具有偶然性的隨機變數、模糊變數和變化的(概率)空間——范疇和隨機過程。
描述變數間依賴關系的概念由函數發展到泛函、變換以至於函子。與初等數學一樣,高等數學也研究空間形式,只不過它具有更高層次的抽象性,並反映變化的特徵,或者說是在變化中研究它。例如,曲線、曲面的概念已發展成一般的流形。按照埃爾朗根綱領,幾何是關於圖形在某種變換群下不變性質的理論,這也就是說,幾何是將各種空間形式置於變換之下來來研究的。
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