❶ 數學公式
公式：
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一,格林公式
一元微積分學中最基本的公式 — 牛頓,萊布尼茲公式
表明:函數在區間上的定積分可通過原函數在這個區間的兩個端點處的值來表示.
無獨有偶,在平面區域上的二重積分也可以通過沿區域的邊界曲線上的曲線積分來表示,這便是我們要介紹的格林公式.
1,單連通區域的概念
設為平面區域,如果內任一閉曲線所圍的部分區域都屬於,則稱為平面單連通區域;否則稱為復連通區域.
通俗地講,單連通區域是不含"洞"(包括"點洞")與"裂縫"的區域.
2,區域的邊界曲線的正向規定
設是平面區域的邊界曲線,規定的正向為:當觀察者沿的這個方向行走時,內位於他附近的那一部分總在他的左邊.
簡言之:區域的邊界曲線之正向應適合條件,人沿曲線走,區域在左手.
3,格林公式
【定理】設閉區域由分段光滑的曲線圍成,函數及在上具有一階連續偏導數,則有
(1)
其中是的取正向的邊界曲線.
公式(1)叫做格林(green)公式.
【證明】先證
假定區域的形狀如下(用平行於軸的直線穿過區域,與區域邊界曲線的交點至多兩點)
易見,圖二所表示的區域是圖一所表示的區域的一種特殊情況,我們僅對圖一所表示的區域給予證明即可.
另一方面,據對坐標的曲線積分性質與計演算法有
因此
再假定穿過區域內部且平行於軸的直線與的的邊界曲線的交點至多是兩點,用類似的方法可證
綜合有
當區域的邊界曲線與穿過內部且平行於坐標軸( 軸或軸 )的任何直線的交點至多是兩點時,我們有
,
同時成立.
將兩式合並之後即得格林公式
注:若區域不滿足以上條件,即穿過區域內部且平行於坐標軸的直線與邊界曲線的交點超過兩點時,可在區域內引進一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分區域,使得每個部分區域適合上述條件,仍可證明格林公式成立.
格林公式溝通了二重積分與對坐標的曲線積分之間的聯系,因此其應用十分地廣泛.
若取,, ,則格林公式為
故區域的面積為
【例1】求星形線 所圍成的圖形面積.
解:當從變到時,點依逆時針方向描出了整個封閉曲線,故
【例2】設是任意一條分段光滑的閉曲線,證明
證明:這里 ,
從而
這里是由所圍成的區域.
二,平面曲線積分與路徑無關的條件
1,對坐標的曲線積分與路徑無關的定義
【定義一】設是一個開區域, 函數,在內具有一階連續偏導數,如果對於內任意兩點,以及內從點到點的任意兩條曲線,,等式
恆成立,就稱曲線積分在內與路徑無關;否則,稱與路徑有關.
定義一還可換成下列等價的說法
若曲線積分與路徑無關, 那麼
即: 在區域內由所構成的閉合曲線上曲線積分為零.反過來,如果在區域內沿任意閉曲線的曲線積分為零,也可方便地導出在內的曲線積分與路徑無關.
【定義二】曲線積分在內與路徑無關是指,對於內任意一條閉曲線,恆有
.
2,曲線積分與路徑無關的條件
【定理】設開區域是一個單連通域, 函數,在內具有一階連續偏導數,則在內曲線積分與路徑無關的充分必要條件是等式
在內恆成立.
證明:先證充分性
在內任取一條閉曲線,因單連通,故閉曲線所圍成的區域全部在內.從而 在上恆成立.
由格林公式,有
依定義二,在內曲線積分與路徑無關.
再證必要性(採用反證法)
假設在內等式不恆成立,那麼內至少存在一點,使
不妨設
由於在內連續,在內存在一個以為圓心,半徑充分小的圓域,使得在上恆有
由格林公式及二重積分性質有
這里是的正向邊界曲線,是的面積.
這與內任意閉曲線上的曲線積分為零的條件相矛盾.故在內等式
應恆成立.
註明:定理所需要的兩個條件
缺一不可.
【反例】討論 ,其中是包圍原點的一條分段光滑曲線且正向是逆時針的.
這里
,
除去原點外,在所圍成的區域內存在,連續,且 .
在內,作一半徑充分小的圓周
在由與所圍成的復連通域內使用格林公式有
三,二元函數的全微分求積
若曲線積分在開區域內與路徑無關,那它僅與曲線的起點與終點的坐標有關.假設曲線的起點為,終點為,可用記號
或
來表示,而不需要明確地寫出積分路徑.
顯然,這一積分形式與定積分非常相似, 事實上,我們有下列重要定理
【定理一】設是一個單連通的開區域,函數,在內具有一階連續偏導數,且 ,則
是的單值函數,這里為內一固定點,且
亦即
【證明】依條件知,對內任意一條以點為起點,點為終點的曲線,曲線積分 與路徑無關,僅與的起點和終點的坐標有關,亦即, 確為點的單值函數.
下面證明
由於可以認為是從點沿內任何路徑到點的曲線積分,取如下路徑,有
類似地可證明
因此
【定理二】設是單連通的開區域,,在上具有一階連續偏導數,則在內為某一函數全微分的充要條件是
在內恆成立.
【證明】顯然,充分性就是定理一
下面證明必要性
若存在使得 ,則
由於 ,在 內連續, 則二階混合偏導數適合等式
從而
【定理三】設是一個單連通的開區域, 函數,在內具有一階連續偏導數, 若存在二元函數使得
則
其中,是內的任意兩點.
【證明】由定理1知,函數
適合
於是 或
因此 (是某一常數 )
即
而
這是因為由點沿任意內的路徑回到點構成一條封閉曲線,故
因此 □
【確定的全微分函數的方法】
因為,而右端的曲線積分與路徑無關,為了計算簡便,可取平行於坐標軸的直線段所連成的折線作為積分路徑(當然折線應完全屬於單連通區域).
❷ 地圖五色定理數學難題是怎樣證明的
正§6 關於Eulet公式 令ν,ε,φ分別表示一個平面圖的節點,邊和面(包括無限面)的數目。為方便,自然只討論連通的平面圖。這時,總有如下關系: ν-ε+φ=2.(6.1) 這就是所謂Euler公式。其證明也相當簡單,通過對邊施行歸納,即可得到。它是研究平面以致多面體有關的很多問題的基礎。這里也將會看到它在研究四色問題中的作用。
❸ 數學中的區域怎麼理解
一般而言，區域指連續的集合點構成的集合，而集合則有可能是由離散的點構成的，
即區域是一種集合，但集合不一定都能叫區域
❹ 求教:高等數學中的區間 區域 領域各自是什麼意思，有什麼區別啊
「有界閉區間」就是[a,b],「有界」兩個字是多餘的.事實上閉區間都是有界的,這個叫法其實來自「有界閉集」,因為閉集不一定是有界的,比如[a,+無窮)不叫閉區間,但是是閉集.實軸上的有界閉集等價於緊集,而閉區間的很多性質其實是繼承了緊集的性質.
❺ 數學證明題怎麼證明
你的問題有點籠統了。圖形證明題你可以把求證的當作已知條件反推，得出一些條件，然後和題目已知取得聯系，這應該是一般證明題的做法吧（也即是反推、反證明）；對一些有難度的證明題那就得看自己的認知和「運氣」了，運氣當然不是指你是否碰到以前做過，而是你能否碰巧看出輔助線之類的。另外如果有兩個證明題，一般都是有關系的，你可以一起證明，或者先證後面的再證第一個！個人愚見，拋磚引玉！
❻ 數學里的區域是什麼有沒開區域
沒有開區域，只有開區間，區間與區域就不是在一起說的東西，不過，糾結這名字也沒用處，會用就行了
❼ 初中數學幾何證明題技巧
幾何證明題入門難，證明題難做，是許多初中生在學習中的共識，這裡面有很多因素，有主觀的、也有客觀的，學習不得法，沒有適當的解題思路則是其中的一個重要原因。掌握證明題的一般思路、探討證題過程中的數學思維、總結證題的基本規律是求解幾何證明題的關鍵。在這里結合自己的教學經驗，談談自己的一些方法與大家一起分享。
一要審題。很多學生在把一個題目讀完後，還沒有弄清楚題目講的是什麼意思，題目讓你求證的是什麼都不知道，這非常不可取。我們應該逐個條件的讀，給的條件有什麼用，在腦海中打個問號，再對應圖形來對號入座，結論從什麼地方入手去尋找，也在圖中找到位置。
二要記。這里的記有兩層意思。第一層意思是要標記，在讀題的時候每個條件，你要在所給的圖形中標記出來。如給出對邊相等，就用邊相等的符號來表示。第二層意思是要牢記，題目給出的條件不僅要標記，還要記在腦海中，做到不看題，就可以把題目復述出來。
三要引申。難度大一點的題目往往把一些條件隱藏起來，所以我們要會引申，那麼這里的引申就需要平時的積累，平時在課堂上學的基本知識點掌握牢固，平時訓練的一些特殊圖形要熟記，在審題與記的時候要想到由這些條件你還可以得到哪些結論（就像電腦一下，你一點擊開始立刻彈出對應的菜單），然後在圖形旁邊標注，雖然有些條件在證明時可能用不上，但是這樣長期的積累，便於以後難題的學習。
四要分析綜合法。分析綜合法也就是要逆向推理，從題目要你證明的結論出發往回推理。看看結論是要證明角相等，還是邊相等，等等，如證明角相等的方法有（1.對頂角相等2.平行線里同位角相等、內錯角相等3.餘角、補角定理4.角平分線定義5.等腰三角形6.全等三角形的對應角等等方法。然後結合題意選出其中的一種方法，然後再考慮用這種方法證明還缺少哪些條件，把題目轉換成證明其他的結論，通常缺少的條件會在第三步引申出的條件和題目中出現，這時再把這些條件綜合在一起，很條理的寫出證明過程。
五要歸納總結。很多同學把一個題做出來，長長的鬆了一口氣，接下來去做其他的，這個也是不可取的，應該花上幾分鍾的時間，回過頭來找找所用的定理、公理、定義，重新審視這個題，總結這個題的解題思路，往後出現同樣類型的題該怎樣入手。
以上是常見證明題的解題思路，當然有一些的題設計的很巧妙，往往需要我們在填加輔助線，
分析已知、求證與圖形，探索證明的思路。
對於證明題，有三種思考方式：
（1）正向思維。對於一般簡單的題目，我們正向思考，輕而易舉可以做出，這里就不詳細講述了。
（2）逆向思維。顧名思義，就是從相反的方向思考問題。運用逆向思維解題，能使學生從不同角度，不同方向思考問題，探索解題方法，從而拓寬學生的解題思路。這種方法是推薦學生一定要掌握的。在初中數學中，逆向思維是非常重要的思維方式，在證明題中體現的更加明顯，數學這門學科知識點很少，關鍵是怎樣運用，對於初中幾何證明題，最好用的方法就是用逆向思維法。如果你已經上初三了，幾何學的不好，做題沒有思路，那你一定要注意了：從現在開始，總結做題方法。同學們認真讀完一道題的題干後，不知道從何入手，建議你從結論出發。例如：可以有這樣的思考過程：要證明某兩條邊相等，那麼結合圖形可以看出，只要證出某兩個三角形相等即可；要證三角形全等，結合所給的條件，看還缺少什麼條件需要證明，證明這個條件又需要怎樣做輔助線，這樣思考下去……這樣我們就找到了解題的思路，然後把過程正著寫出來就可以了。這是非常好用的方法，同學們一定要試一試。
（3）正逆結合。對於從結論很難分析出思路的題目，同學們可以結合結論和已知條件認真的分析，初中數學中，一般所給的已知條件都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，比如給我們三角形某邊中點，我們就要想到是否要連出中位線，或者是否要用到中點倍長法。給我們梯形，我們就要想到是否要做高，或平移腰，或平移對角線，或補形等等。正逆結合，戰無不勝。
要掌握初中數學幾何證明題技巧，熟練運用和記憶如下原理是關鍵。
下面歸類一下，多做練習，熟能生巧，遇到幾何證明題能想到採用哪一類型原理來解決問題。
一、證明兩線段相等
1.兩全等三角形中對應邊相等。
2.同一三角形中等角對等邊。
3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。
4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等。
5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。
6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。
7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。
8.過三角形一邊的中點且平行於第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。
9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。
10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內垂直於直徑的弦被直徑分成的兩段相等。
11.兩前項（或兩後項）相等的比例式中的兩後項（或兩前項）相等。
12.兩圓的內（外）公切線的長相等。
13.等於同一線段的兩條線段相等。
二、證明兩個角相等
1.兩全等三角形的對應角相等。
2.同一三角形中等邊對等角。
3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。
4.兩條平行線的同位角、內錯角或平行四邊形的對角相等。
5.同角（或等角）的餘角（或補角）相等。
6.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等於它所夾的弧對的圓周角。
7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
8.相似三角形的對應角相等。
9.圓的內接四邊形的外角等於內對角。
10.等於同一角的兩個角相等。
三、證明兩條直線互相垂直
1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直於底邊。
2.三角形中一邊的中線若等於這邊一半，則這一邊所對的角是直角。
3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。
4.鄰補角的平分線互相垂直。
5.一條直線垂直於平行線中的一條，則必垂直於另一條。
6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。
7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的對角線互相垂直。
10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直於弦。
11.利用半圓上的圓周角是直角。
四、證明兩直線平行
1.垂直於同一直線的各直線平行。
2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行。
3.平行四邊形的對邊平行。
4.三角形的中位線平行於第三邊。
5.梯形的中位線平行於兩底。
6.平行於同一直線的兩直線平行。
7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應成比例，則這條直線平行於第三邊。
五、證明線段的和差倍分
1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。
2.在第三條線段上截取一段等於第一條線段，證明餘下部分等於第二條線段。
3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。
4.取長線段的中點，再證其一半等於短線段。
5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質等）。
六、證明 角的和差倍分
1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分線的定義。
3.三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和。
❽ 初中數學幾何證明，如何證明過程
你好！
初中數學的證明：1、步驟要會，（這個你沒問題）
主要是2、你要用反推法來證明，一般證明題結果是給你的，你先想一想，要得到這樣的結果你需來證明什麼，也就是結果成立的時候。你以結果為條件，看能得到什麼，例如結果三角形全等，你可得到對應的角相等，對應的邊相等，你再從已知的條件證明對應的邊和角相等，只要你證明了對應的邊和角相等了行了，結果得證。說白了就是兩頭向中間擠，即結果與已知同時能得到什麼，你就先證明什麼，由此可得。
3、找條件， 就是結果成立時需要什麼條件，你再從已知中找，看能不能找到，找到了也就可以證明了，如證明兩個絕線段相等，你就考慮三角形全等，平行線夾的兩平行線段相等，等腰三角形，角平分線上的點到邊的距離等等。
也不知道說的對不對，只是希望對你有一點點幫助， 祝你快樂1
❾ 用數學歸納法證明：平面內的n條直線至多將平面分成(n^2+n+2)/2個區域。
因為n=1時,f(1)=2,n=2時,f(2)=4,
n=3時,f(3)=7,於是可以猜想f(n)=(n^2+n+2)/2
下面證明猜想正確即可
證明:①:n=1時已經證明了其正確性
②:假設n=k時也成立,則f(k)=(k^2+k+2)/2
當n=k+1時,由於多了一條線，就可以多分割出
k+1個面,所以f(k+1)=f(k)+k+1=
(k^2+k+1)/2+(k+1)=[(k+1)^2+(k+1)+2]/2
所以當n=k+1時也成立,由①②得,對於任意n值
都有f(n)=(n^2+n+2)/2
❿ 數學證明的一些技巧
學數學重要的是多想,多嘗試.
其次就是做點題,主要是自己思考思路
然後你看到題目就會有很多的想法
多嘗試幾種不同的方法
絕對是必要的
做證明題
我一般是用反推的方法(術語好象是叫綜合法)
在草紙上從結果推要證明什麼
一般簡單點的都能做出來
復雜的就得看你的運氣和知識掌握的程度了
記住輔助線的目的是為了更直觀的了解要證明的內容