數學中的一般化方法有哪些內容

1. 數學常用的數學思想方法有哪些

數學常用的數學思想方法主要有：用字母表示數的思想,數形結合的思想,轉化思想 (化歸思想)，分類思想，類比思想，函數的思想，方程的思想，無逼近思想等等。

1.用字母表示數的思想：這是基本的數學思想之一 .在代數第一冊第二章「代數初步知識」中，主要體現了這種思想。

2.數形結合：是數學中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解決許多數學問題的有效思想。「數缺形時少直觀，形無數時難入微」是我國著名數學家華羅庚教授的名言，是對數形結合的作用進行了高度的概括。

3.轉化思想：在整個初中數學中，轉化(化歸)思想一直貫穿其中。轉化思想是把一個未知(待解決)的問題化為已解決的或易於解決的問題來解決，如化繁為簡、化難為易，化未知為已知，化高次為低次等，它是解決問題的一種最基本的思想,它是數學基本思想方法之一。

4.分類思想：有理數的分類、整式的分類、實數的分類、角的分類，三角形的分類、四邊形的分類、點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系等都是通過分類討論的。

5.類比：類比推理在人們認識和改造客觀世界的活動中具有重要意義.它能觸類旁通，啟發思考，不僅是解決日常生活中大量問題的基礎，而且是進行科學研究和發明創造的有力工具.

6.函數的思想 ：辯證唯物主義認為，世界上一切事物都是處在運動、變化和發展的過程中，這就要求我們教學中重視函數的思想方法的教學。

7.方程：是初中代數的主要內容.初中階段主要學習了幾類方程和方程組的解法，在初中階段就要形成方程的思想.所謂方程的思想，就是突出研究已知量與未知量之間的等量關系，通過設未知數、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達到求值目的的解題思路和策略，

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函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然後通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。

從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特徵，善於用「集成」的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應用。

2. 一般的數學思想方法有哪些

【中學數學常用的解題方法】 數學的解題方法是隨著對數學對象的研究的深入而發展起來的。教師鑽研習題、精通解題方法，可以促進教師進 一步熟練地掌握中學數學教材，練好解題的基本功，提高解題技巧，積累教學資料，提高業務水平和教學能力。 下面介紹的解題方法，都是初中數學中最常用的，有些方法也是中學教學大綱要求掌握的。 1、配方法 所謂配方，就是把一個解析式利用恆等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和形式。 通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種重要的恆等 變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析 式等方面都經常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恆等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、 一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取 公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數等等。 3、換元法 換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是 在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易於解決。 4、判別式法與韋達定理 一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c屬於R，a≠0)根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解 題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。 韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根;已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求 根的對稱函數，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。 5、待定系數法 在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數，而後根據題設條件列出關 於待定系數的等式，最後解出這些待定系數的值或找到這些待定系數間的某種關系，從而解答數學問題，這種解題 方法稱為待定系數法。它是中學數學中常用的方法之一。 6、構造法 在解題時，我們常常會採用這樣的方法，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程 (組)、一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解 題的數學方法，我們稱為構造法。運用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利於問題的解決。 7、反證法 反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然後，從這個假設出發，經過正確的推理，導 致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種 )與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設;(2)歸謬;(3)結論。 反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是; 存在/不存在;平行於/不平行於;垂直於/不垂直於;等於/不等於;大(小)於/不大(小)於;都是/不都是;至少有一 個/一個也沒有;至少有n個/至多有(n一1)個;至多有一個/至少有兩個;唯一/至少有兩個。 歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發，否則推導將成為無源之水，無本之木。 推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾;與已知的公理、定義、定理、公式矛盾;與反設矛盾 ;自相矛盾。 8、面積法 平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關的性質定理，不僅可用於計算面積，而且用它來證 明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積關系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾 何中的一種常用方法。 用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯系起來， 通過運算達到求證的結果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關系變成數量之間的關系，只需要計算，有時 可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。 9、幾何變換法 在數學問題的研究中，常常運用變換法，把復雜性問題轉化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任 一元素到同一集合的元素的一個一一映射。中學數學中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至於無法 下手的習題，可以藉助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學數學教學中。 將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結合起來，有利於對圖形本質的認識。 幾何變換包括：(1)平移;(2)旋轉;(3)對稱。 10.客觀性題的解題方法 選擇題是給出條件和結論，要求根據一定的關系找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構思精巧，形式靈活， 可以比較全面地考察學生的基礎知識和基本技能，從而增大了試卷的容量和知識覆蓋面。 填空題是標准化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標明確，知識復蓋面廣，評卷准確迅速，有利於 考查學生的分析判斷能力和計算能力等優點，不同的是填空題未給出答案，可以防止學生猜估答案的情況。 要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了具有準確的計算、嚴密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。 下面通過實例介紹常用方法。 (1)直接推演法：直接從命題給出的條件出發，運用概念、公式、定理等進行推理或運算，得出結論，選擇正確答案， 這就是傳統的解題方法，這種解法叫直接推演法。 (2)驗證法：由題設找出合適的驗證條件，再通過驗證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗證，找 出正確答案，此法稱為驗證法(也稱代入法)。當遇到定量命題時，常用此法。 (3)特殊元素法：用合適的特殊元素(如數或圖形)代入題設條件或結論中去，從而獲得解答。這種方法叫特殊元素法。 (4)排除、篩選法：對於正確答案有且只有一個的選擇題，根據數學知識或推理、演算，把不正確的結論排除，餘下 的結論再經篩選，從而作出正確的結論的解法叫排除、篩選法。 (5)圖解法：藉助於符合題設條件的圖形或圖象的性質、特點來判斷，作出正確的選擇稱為圖解法。圖解法是解選擇題常用方法之一。 (6)分析法：直接通過對選擇題的條件和結論，作詳盡的分析、歸納和判斷，從而選出正確的結果，稱為分析法。 ---------本文由智康教育提供，如需轉載請標注----------

3. 數學方法包括哪些

所謂方法，是指人們為了達到某種目的而採取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規則或模式.人們通過長期的實踐，發現了許多運用數學思想的手段、門路或程序.同一手段、門路或程序被重復運用了多次，並且都達到了預期的目的，就成為數學方法.數學方法是以數學為工具進行科學研究的方法，即用數學語言表達事物的狀態、關系和過程，經過推導、運算與分析，以形成解釋、判斷和預言的方法.
數學方法具有以下三個基本特徵：一是高度的抽象性和概括性；二是精確性，即邏輯的嚴密性及結論的確定性；三是應用的普遍性和可操作性.
數學方法在科學技術研究中具有舉足輕重的地位和作用：一是提供簡潔精確的形式化語言，二是提供數量分析及計算的方法，三是提供邏輯推理的工具.現代科學技術特別是電子計算機的發展，與數學方法的地位和作用的強化正好是相輔相成.
在中學數學中經常用到的基本數學方法，大致可以分為以下三類：
(1)邏輯學中的方法.例如分析法(包括逆證法)、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法(要求分類討論)等.這些方法既要遵從邏輯學中的基本規律和法則，又因為運用於數學之中而具有數學的特色.
(2)數學中的一般方法.例如建模法、消元法、降次法、代入法、圖象法(也稱坐標法，在代數中常稱圖象法，在我們今後要學習的解析幾何中常稱坐標法)、比較法(數學中主要是指比較大小，這與邏輯學中的多方位比較不同)、放縮法，以及將來要學習的向量法、數學歸納法(這與邏輯學中的不完全歸納法不同)等.這些方法極為重要，應用也很廣泛.
(3)數學中的特殊方法.例如配方法、待定系數法、加減（消元）法、公式法、換元法(也稱之為中間變數法)、拆項補項法(含有添加輔助元素實現化歸的數學思想)、因式分解諸方法，以及平行移動法、翻折法等.這些方法在解決某些數學問題時也起著重要作用，我們不可等閑視之.

4. 數學方法有哪些

數學方法即用數學語言表述事物的狀態、關系和過程，並加以推導、演算和分析，以形成對問題的解釋、判斷和預言的方法。所謂方法，是指人們為了達到某種目的而採取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規則或模式.人們通過長期的實踐，發現了許多運用數學思想的手段、門路或程序。同一手段、門路或程序被重復運用了多次，並且都達到了預期的目的，就成為數學方法。數學方法是以數學為工具進行科學研究的方法，即用數學語言表達事物的狀態、關系和過程，經過推導、運算與分析，以形成解釋、判斷和預言的方法。
在中學數學中經常用到的基本數學方法，大致可以分為以下三類：

(1)邏輯學中的方法
例如分析法(包括逆證法)、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法(要求分類討論)等。這些方法既要遵從邏輯學中的基本規律和法則，又因為運用於數學之中而具有數學的特色。

(2)數學中的一般方法
例如建模法、消元法、降次法、代入法、圖像法(也稱坐標法，在代數中常稱圖像法，在我們今後要學習的解析幾何中常稱坐標法)、比較法(數學中主要是指比較大小，這與邏輯學中的多方位比較不同)、放縮法，以及將來要學習的向量法、數學歸納法(這與邏輯學中的不完全歸納法不同)等.這些方法極為重要，應用也很廣泛。

(3)數學中的特殊方法
例如配方法、待定系數法、消元法、公式法、換元法(也稱之為中間變數法)、拆項補項法(含有添加輔助元素實現化歸的數學思想)、因式分解諸方法，以及平行移動法、翻折法等。這些方法在解決某些數學問題時也起著重要作用。

5. 小學數學常用的方法有哪些

1、對應思想方法

對應是人們對兩個集合因素之間的聯系的一種思想方法，小學數學一般是一一對應的直觀圖表，並以此孕伏函數思想。如直線上的點（數軸）與表示具體的數是一一對應。
2、假設思想方法

假設是先對題目中的已知條件或問題作出某種假設，然後按照題中的已知條件進行推算，根據數量出現的矛盾，加以適當調整，最後找到正確答案的一種思想方法。假設思想是一種有意義的想像思維，掌握之後可以使要解決的問題更形象、具體，從而豐富解題思路。
3、比較思想方法

比較思想是數學中常見的思想方法之一，也是促進學生思維發展的手段。在教學分數應用題中，教師善於引導學生比較題中已知和未知數量變化前後的情況，可以幫助學生較快地找到解題途徑。
4、符號化思想方法

用符號化的語言（包括字母、數字、圖形和各種特定的符號）來描述數學內容，這就是符號思想。如數學中各種數量關系，量的變化及量與量之間進行推導和演算，都是用小小的字母表示數，以符號的濃縮形式表達大量的信息。如定律、公式、等。
5、類比思想方法

類比思想是指依據兩類數學對象的相似性，有可能將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象上去的思想。如加法交換律和乘法交換律、長方形的面積公式、平行四邊形面積公式和三角形面積公式。類比思想不僅使數學知識容易理解，而且使公式的記憶變得順水推舟般自然和簡潔。
6、轉化思想方法

轉化思想是由一種形式變換成另一種形式的思想方法，而其本身的大小是不變的。如幾何的等積變換、解方程的同解變換、公式的變形等，在計算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。

6. 數學思維的一般方法有哪些

數學思想方法有:函數的思想、分類討論的思想、逆向思考的思想、數形結合思想、函數與方程、化歸與轉化、整體思想、轉化思想、隱含條件思想、極限思想。

3.逆向思考的思想

逆向思維，也稱求異思維，它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式 ,敢於「反其道而思之」，讓思維向對立面的方向發展，從問題的相反面深入地進行探索，樹立新思想，創立新形象。

4.數形結合思想

數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。中學數學研究的對象可分為數和形兩大部分，數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合，或形數結合。

7. 數學思維和方法有哪些內容

1、數學思維方法有哪些
一、轉化方法：
轉化思維，既是一種方法，也是一種思維。轉化思維，是指在解決問題的過程中遇到障礙時，通過改變問題的方向，從不同的角度，把問題由一種形式轉換成另一種形式，尋求最佳方法，使問題變得更簡單、更清晰。
二、邏輯方法：
邏輯是一切思考的基礎。羅輯思維，是人們在認識過程中藉助於概念、判斷、推理等思維形式對事物進行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、推理的思維過程。羅輯思維，在解決邏輯推理問題時使用廣泛。
三、逆向方法：
逆向思維也叫求異思維，它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式。敢於「反其道而思之」，讓思維向對立面的方向發展，從問題的相反面深入地進行探索，樹立新思想，創立新形象。
四、對應方法：
對應思維是在數量關系之間（包括量差、量倍、量率）建立一種直接聯系的思維方法。比較常見的是一般對應（如兩個量或多個量的和差倍之間的對應關系）和量率對應。
五、創新方法：
創新思維是指以新穎獨創的方法解決問題的思維過程，通過這種思維能突破常規思維的界限，以超常規甚至反常規的方法、視角去思考問題，提得出與眾不同的解決方案。可分為差異性、探索式、優化式及否定性四種。
六、系統方法：
系統思維也叫整體思維，系統思維法是指在解題時對具體題目所涉及到的知識點有一個系統的認識，即拿到題目先分析、判斷屬於什麼知識點，然後回憶這類問題分為哪幾種類型，以及對應的解決方法。
七、類比方法：
類比思維是指根據事物之間某些相似性質，將陌生的、不熟悉的問題與熟悉問題或其他事物進行比較，發現知識的共性，找到其本質，從而解決問題的思維方法。
八、形象方法：
形象思維，主要是指人們在認識世界的過程中，對事物表象進行取捨時形成的，是指用直觀形象的表象，解決問題的思維方法。想像是形象思維的高級形式也是其一種基本方法。
如何鍛煉自己的數學思維?
一、做出來不如講出來，聽得懂不如說得通。
做10道題，不如講一道題。孩子做完家庭作業後，家長不妨鼓勵孩子開口講解一下數學作業中的難題，我也在群里會經常發一些比較好的訓練題，您也可以鼓勵去想一想說一說，如果講得好，家長還可進行小獎勵，讓孩子更有成就感。
二、舉一反三，學會變通。
舉一反三出自孔子的《論語·述而》：「舉一隅，不以三隅反，則不復也。」意思是說：我舉出一個牆角，你們應該要能靈活的推想到另外三個牆角，如果不能的話，我也不會再教你們了。後來，大家就把孔子說的這段話變成了「舉一反三」這句成語，意思是說，學一件東西，可以靈活的思考，運用到其他相類似的東西上！
在數學的訓練中，一定要給孩子舉一反三訓練。一道題看似理解了，但他的思維可能比較直線，不多做幾道舉一反三或在此基礎上變式的題，他還是轉不過玩了。
舉一反三其實就是「師傅領進門，學藝在自身」這句話的執行行為。
三、建立錯題本，培養正確的思維習慣
每上第一次課，我所講的課程內容都和學生的錯題有關。我通常把試卷中的錯題摘抄出幾個典型題，作為課堂的例題再講一遍。而學生的反應，或是像沒有見過，或是對題目非常熟悉，但沒有思路。這些現象的發生，都是學生沒有及時總結的原因。所以第一次課後我都建議我的學生做一個錯題本，像寫日記一樣，記錄下自己的錯題和錯因分析。
一般來說，錯題分為三種類型：第一種是特別愚蠢的錯誤、特別簡單的錯誤；第二種就是拿到題目時一點思路都沒有，不知道解題該從何下手，但是一看到答案卻恍然大悟;第三種就是題目難度中等，按道理有能力做對，但是卻做錯了。
尤其第二種、第三種，必須放到錯題本上。建立錯題本的好處就是掌握了自己所犯錯的類型，為防範一類錯誤成為習慣性的思維。
四、圖形推理是培養邏輯思維能力最好的工具
假是真時真亦假，真是假時假亦真；邏輯思維是在規則的確定下而進行的思維，如果聯系生活就屬於非常規思維。一切看似與生活毫無聯系卻自在法則約束規范的范圍內。邏輯推理的「瞞天過海」可謂五花八門，好似一個萬花筒，百變無窮，樂趣無窮。
幾何圖形是助其鍛煉邏輯思維的好工具，經典的圖形推理題總有其構思、思路、巧妙的思維；經典在於其看似變態，而實際解法卻簡而又簡單。
因此，多訓練一些圖形推理題，對其邏輯思維很有幫助。

8. 論文：一般化思想在數學中的應用

1 、一般化的含義及性質

數學對象的一般化是與特殊化相反的一個過程．如果對象A和B相化，且此時稱B是A在D下的一般化產物．比如，從圓到橢圓、從圓的直徑到圓的弦、從形如x4＋ax2＋b=0的四次方程到一般的形如x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4=0的四次方程屬平凡標准下的一般化；從Abel群到環、從線性度量空間到線性拓撲空間、從群到拓撲群等屬非平凡標准下的一般化(標準是什麼，後面再涉及)．對關於對象X的命題(或一般地某種語句)，將X換以更一般的對象並對語句適當調整，便得一般化命題．

比如，「存在有無窮多個自然數n，使得2n＋1、3n+1為完全平方數」，可一般化成「存在有無窮多個自然數n，使得對給定的自然數m而言，mn＋1、(m＋1)n＋1為完全平方數」．這是加拿大1989年第30屆國際數學奧林匹克(IMO)訓練題之一．後一命題是將前一命題中的2換成一般的自然數m所得的產物．

需要指出的是，在對命題進行一般化時，如何看待命題中所涉及的對象，直接影響著一般化後命題的真偽．例如，若將「三角形內角和等於180°」中的「三」換成一般自然數n(n≥3)，一般化命題「n邊形內角和等於180°」顯然不真；而若將180°寫成(3-2)×180°，然後換3為n，所得一般化命題「n邊形內角和等於(n-2)180°」卻是真的．

與特殊化相同，一般化亦具有多向性、程度性(層次性)、條件性，以及特殊對象A到一般對象B具體實現道路的多元性．同時，對於一個數學對象來說，它不僅是一般化的起點，而且還可是一般化的終點——不同方向一般化的終點．

一般化的多向性源自對象一般化起點的多方面性．起點包含客觀和主觀雙方的因素．客觀因素是指對象構成的諸方面，主觀因素是指對對象的解釋——如何看待給定的對象，其中包含著人之主觀能動性的發揮．從不同的起點出發，可得出不同的一般化產物．

例1 A=34這一對象有兩個基本構成方面：底數3及指數4．將4一般化成變元x，A便一般化成了3x；將3一般化成變元x，A便一般化成了x4．3x和x4之間不具有特殊與一般的關系，是對A沿不同方向一般化的產物．

構件的一般化導致了對象本身的一般化．值得指出的是，並非在任何情況下構件的一般化都能導致對象的一般化．對象實際上可看作由某些構件按照一定的制約關系組成的一個系統，一個構件的變化要受到其他構件一定程度的制約，構件的變化不是絕對自由的．比如，2-1一般化成x-1後，x要受到指數-1的如下約束：x≠0．只有在一定的范圍內，一般化才是有意義的．這符合「任何事物都有一個度——維持其質的度」的哲學道理．不僅構件的一般化能導致對象的一般化，構件間聯系的減弱也能導致對象的一般化，而且這是一種一般化的重要方式：弱抽象的方式，這在後面我們要詳細談到這一點．這里我們僅舉一例，以表明它也是造成一般化之多向性的原因之一(對象作為一個系統，其基本構成因素有兩個：元素構件及其間的聯系．構件的變化、聯系的變化是對象變化的兩個基本的客觀方面)．

2、一般化的應用

一般化是一條經濟思維之路．一般化有利於提高思維效率．一般的問題解決了，特殊的問題往往亦能解決．一般對象的特徵，特殊對象均具備．當人們理解了一般對象的特徵後，便沒有必要再對特殊對象一一證明其具有此性質．只要明確了對象是特殊的，我們便可斷言它定具有此性質．這樣，對一個一般對象的認識(在其特徵方面)實際上包含了對諸多特殊對象在相關方面的認識，即一等價於多．從而，節省了人的思維力．比如，人們知道了「對實數a而言，a2≥0」以後，就沒有必要再去驗證22≥0，1.52≥0，(-0.02)2≥0，π2≥0，…諸如此類的結論．實際上這種驗證手續也是不可能進行完畢的，因為實數的個數是無窮多，甚至是不可數的．再者，倘若人們僅限於這種驗證工作，最終得到的只能是一些經驗．沒有無窮，不會產生帶有普遍性的科學(龐加萊語)．沒有一般化，人們就不會從有窮過渡到無窮，數學不會產生，其他科學亦不會產生．
須指出，一般對象代替特殊對象是就某方面而言的，並非在任何方面皆如此．事實上，特殊對象之所以稱為特殊對象，是因為其具有自己的特點或「個性」．比如，a2≥0中的a代替2(22≥0)只是相對「≥0」可行，2的其他性質(比如偶數性)不一定能從a中得出．

一般化是一條學術研究之路．它引導人們從特殊走向一般．比如，17世紀法國數學家帕斯卡(Pascal)於16歲發現的(現今稱為)帕斯卡六邊形定理(若一六邊形內接於一圓錐曲線，則每兩條對邊相交而得的三點共線)經歷了一個一般化的過程．他首先對特殊的圓錐曲線——圓發現了這一定理，然後通過投射和取截景實現由圓到圓錐曲線的一般化，證明它對所有圓錐曲線都成立．再如，對數學大師希爾伯特，人們一提到他，往往和形式主義、公理化方法聯系起來，認為這是其思想的精華．其實，他還有另一個很重要的研究之路——由特殊到一般——一般化．著名的數學家韋爾在為英國皇家學會撰寫的文章中談到，「掌握一個具體的問題與形成一般的抽象概念，在這兩者之間，希爾伯特總能幸運地取得平衡」．「希爾伯特在求解特殊問題的時候，總能敏銳地抓住向他顯露出一般關系的跡象．希爾伯特在研究數論的那個時期中，闡明了關於類域的一般定理和一般的互反律，這也是說明上述因素的一個絕妙的例子」．「希爾伯特對數域理論……是在1892—1898年期間研究這一學科的．一篇篇論文問世，一步步從特殊到一般，涉及到許多有用的概念和方法，揭露出本質的內在聯系」．拉格朗日、哈密爾頓亦有從特殊中發掘一般，由特殊過渡到一般的一般化研究風格．

一般化有助於增強認識的普遍性，擴展認識的范圍，這是顯然的．因一般化的直接體現就是對象外延的擴大．將小范圍的事實擴展到更廣泛的范圍中去，也是一般化的目的之一．因事實(或思想)適應面的增大，為在大范圍內應用這一思想奠定了基礎．比如將連續函數在閉區間上的有界性定理、介值定理進行一定程度的推廣後，就可在很多分析分支中被應用；將解方程x2＋5x-7=0的配方手段
以後，就可解任意二次項系數為1的實系數二次方程(如x2-3x-5=0)．在較具體的一般化手段中，符號化和抽象化是增強認識普遍性的兩條重要途徑．

數學(主要)是一種(符號)語言，它以大量使用各種符號為特點，而且隨著歷史的發展，這種特點日益強烈地表現出來(如希爾伯特的形式化觀點提出以後，更加劇了這種趨勢)，或許可以說，尤以數理邏輯為甚．數學內容(對象、命題等)的一般化伴隨著數學語言的變化——或者語詞的變化(如多元函數的偏導數→方向導數；實數→復數；連續函數→勒貝格可積函數；等等)，或者語義的變化(如普通微積分中的連續函數→拓撲學中的連續函數，同叫連續函數，但前者比後者特殊．函數的概念、級數收斂的概念在歷史上亦經歷了一個其內容由狹義到廣義即由特殊到一般的過程)．在一定程度上，可以說，符號的引進為一般化奠定了語言基礎．比如，在韋達(F．Vieta)有意識地、系統地使用字母以前，代數(方程論)還基本是語言表述代數，那時方程是用語言敘述出來而不是寫成像ax2＋bx＋c=0的簡潔形式的，人們處理的方程也只是用語言表述的各種很具體的方程．韋達引進符號後，情況發生了實質性的變化．他既用字母表示未知量及其乘冪，也用字母表示今天所謂一般的系數(常變數)．通常他用輔音字母表示已知量，用母音字母表示未知量．藉助於符號，就可給出二次方程的一般式ax2+bx＋c=0，這是一類方程的共同表達式，是一般元， 而不是個別具體的方程．方程實現了一般化，人們便可考慮其一般解法，尋求求解二次方程的統一的、帶有普遍性的方法，從而導致人們對方程求解之認識的升華．在這里，顯然文字代數向符號代數的轉變、個別方程的研究轉向一般方程的研究是以符號的引進為前提的．另一方面， 引進符號，有時就是為了具體擴展已有認識范圍，引進的符號，就是形式添加的新元素．這在「添加元素完備化原則」的運用過程中經常出現．比如，在自然數{1，2，…，n，…}的范圍內，加法和乘法是封閉、暢通無阻的，但其逆運算減法和除法卻不然．為了消除或突破這種局限性，人們引進符號0，-1，-2，…，-n，…，使得a＋x=b總是可解——即減法封閉(消除了不暢通的障礙)的，並對這些數的乘法運算進行一系列規定，使得加法、乘法原來成立的規律(結合律、分的符號就是相應方程的形式解．當然，符號不能胡亂引進，引進的符原范圍，相應范圍的一般元也就實現了一般化．在這里，引進符號是一般化的直接實現者．這是數學推廣的一種重要形式．

以抽象化的形式擴充認識范圍的主要手段是公理化(公理可看作是對具體事物特徵分離概括化的產物)，包括形式化的近代公理化．人們對公理化系統進行研究以後，各種具體系統(滿足所言諸公理)的相應性質也就明了了．代數結構是公理化的典型．用公理給出的對象不管其具體構成元素如何，只要元素間的關系滿足諸公理就行．這種對象由於是由性質定義的(不是對象制約性質，而是相反)，因而其具抽象性．一個公理系統的結論適應於滿足這些公理的任一具體系統，而由具體系統得出的結論只適應於自己(是否對其他系統也對，尚需驗證)，因而公理化結論更具有普遍性．

一般化有助於增強認識的深刻性(普遍性和深刻性是科學的兩個基本特徵)．人們進行一般化，並非僅僅為了一般化，它還為了能更好、更深入地認識特殊．
精確化、明晰化是認識深入化的重要標志．一般化就有利於認識的精確化．比如，關於矩陣的秩rk，在高等代數中有下述定理：

對矩陣An×m1，Bn×m2，有

max{rk(A)，rk(B)}≤rk(A，B)

≤min{n，rk(A)＋rk(B)}．

用高等代數的常用方法，不可能給出rk(A，B)的表達式，然而藉助於逆矩陣的一般化——廣義逆矩陣，就可以做到這一點，實現rk(A，B)公式的精確化：

rk(A，B)＝rk(A)＋rk[(I-AA+)B]

=rk(B)+rk[(I-BB+)A]．

其中I是單位陣，A+、B+分別是A、B的加號逆(Moore-Penrose逆)．在這里，概念的一般化導致了命題的精確化、定量化．

一般化是一條系統學習之路．如果人們將某學科或教材的概念單列出來，命題單列出來，按著由特殊到一般的順序列成表，它將有助於人們的系統記憶，有助於學習的系統性．從理論上講，這種表對科研亦有一定的指導作用．關於這些，我們將在下一節做較細致的說明．

9. 一般化什麼意思

一般化是數學中帶有普遍性的一種思想方法。是指從考慮一個對象或較少對象的集合過渡到考慮包含已給對象的更大集合的一種思想方法。

所謂數學思想，是指人們對數學理論與內容的本質認識，它直接支配著數學的實踐活動。所謂數學方法，是指某一數學活動過程的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性和可操作性等特點。

數學思想是數學方法的靈魂，數學方法是數學思想的表現形式和得以實現的手段，因此，人們把它們稱為數學思想方法。

在認知心理學里，思想方法屬於元認知范疇，它對認知活動起著監控、調節作用，對培養能力起著決定性的作用。學習數學的目的「就意味著解題」（波利亞語），解題關鍵在於找到合適的解題思路，數學思想方法就是幫助構建解題思路的指導思想。

因此，向學生滲透一些基本的數學思想方法，提高學生的元認知水平，是培養學生分析問題和解決問題能力的重要途徑。