牛頓數學為什麼那麼好

A. 牛頓為什麼在科學上獲得巨大成就

被譽為近代科學的開創者牛頓，在科學上作出了巨大貢獻。他的三大成就——光的分析、萬有引力定律和微積分學，對現代科學的發展奠定了基礎。

牛頓為什麼能在科學上獲得巨大成就？他怎樣由一個平常的人成為一個偉大的科學家？要回答這些問題，我們不禁要聯想到他刻苦學習和勤奮工作的幾個故事。

「我一定要超過他！」

一談到牛頓，人們可能認為他小時候一定是個「神童」、「天才」、有著非凡的智力。其實不然，牛頓童年身體瘦弱，頭腦並不聰明。在家鄉讀書的時候，很不用功，在班裡的學習成績屬於次等。但他的興趣卻是廣泛的，游戲的本領也比一般兒童高。平時他愛好製作機械模型一類的玩藝兒，如風車、水車、日晷等等。他精心製作的一隻水鍾，計時較准確，得到了人們的贊許。

有時，他玩的方法也很奇特。一天，他作了一盞燈籠掛在風箏尾巴上。當夜幕降臨時，點燃的燈籠借風箏上升的力升入空中。發光的燈籠在空中流動，人們大驚，以為是出現了彗星。盡管如此，因為他學習成績不好，還是經常受到歧視。

當時，封建社會的英國等級制度很嚴重，中小學里學習好的學生，可以歧視學習差的同學。有一次課間游戲，大家正玩得興高采烈的時候，一個學習好的學生借故踢了牛頓一腳，並罵他笨蛋。牛頓的心靈受到這種刺激，憤怒極了。他想，我倆都是學生，我為什麼受他的欺侮？我一定要超過他！從此，牛頓下定決心，發奮讀書。他早起晚睡，抓緊分秒、勤學勤思。

經過刻苦鑽研，牛頓的學習成績不斷提高，不久就超過了曾欺侮過他的那個同學，名列班級前茅。

籬笆下的樂趣

世界上有許多著名的科學家的家境是清貧的。他們在通往成功的道路上，都曾與困苦的境遇作過頑強的斗爭。牛頓少年時代的境遇也是十分令人同情的。

牛頓一六四二年出生在英國一個普通農民的家裡。在牛頓出生前不久，他的父親就去世了。母親在他兩歲那年改嫁了。當牛頓十四歲的時候，他的繼父不幸故去了，母親回到家鄉，牛頓被迫休學回家，幫助母親種田過日子。母親想培養他獨立謀生，要他經營農產品的買賣。

一個勤奮好學的孩子多麼不願意離開心愛的學校啊！他傷心地哭鬧了幾次，母親始終沒有回心轉意，最後只得違心地按母親的意願去學習經商。每天一早，他跟一個老僕人到十幾里外的大鎮子去做買賣。牛頓非常不喜歡經商，把一切事務都交託老僕人經辦，自己卻偷偷跑到一個地方去讀書。

時光漸漸流逝，牛頓越發對經商感到厭惡，心裡所喜歡的只是讀書。後來，牛頓索性不去鎮里營商了，僅囑老僕人獨去。怕家裡人發覺，他每天與老僕人一同出去，到半路停下，在一個籬笆下讀書。每當下午老僕人歸來時，再一同回家。

這樣，日復一日，籬笆下的讀書生活倒也其樂無窮。一天，他正在籬笆下興致勃勃地讀書，趕巧被過路的舅舅看見。舅舅一看這個情景，很是生氣，大聲責罵他不務正業；把牛頓的書搶了過來。舅舅一看他所讀的是數學書，上面畫著種種記號，心裡受到感動。舅舅一把抱住牛頓，激動地說：「孩子，就按你的志向發展吧，你的正道應該是讀書。」

回到家裡後，舅舅竭力勸說牛頓的母親，讓牛頓棄商就學。在舅舅的幫助下，牛頓如願以償地復學了。

在暴風中研究和計算風力

時間對人是一視同仁的，給人以同等的量，但人對時間的利用不同，而所得的知識也大不一樣。

牛頓十六歲時數學知識還很膚淺，對高深的數學知識甚至可以說是不懂。「知識在於積累，聰明來自學習」。牛頓下決心靠自己的努力攀上數學的高峰。在基礎差的不利條件下，牛頓能正確認識自己，知難而進。他從基礎知識、基本公式重新學起，扎扎實實、步步推進。他研究完了歐幾里德幾何學後，又研究笛卡兒幾何學，對比之下覺得歐幾里德幾何學膚淺，便悉心鑽研笛氏
幾何學，直到掌握要領、融會貫通。遂之發明了代數二項式定理。傳說中牛頓「大暴風中算風力」的佳話，可為牛頓身體力學的佐證。有一天，天刮著大風暴。風撒野地呼號著，塵土飛揚，迷迷漫漫，使人難以睜眼。牛頓認為這是個准確地研究和計算風力的好機會。於是，便拿著用具，獨自在暴風中來回奔走。他踉踉蹌蹌、吃力地測量著。幾次沙塵迷了眼睛，幾次風吹走了算紙，幾次風使他不得不暫停工作，但都沒有動搖他求知的慾望。他一遍又一遍，終於求得了正確的數據。他快樂極了，急忙跑回家去，繼續進行研究。有志者事竟成。經過勤奮學習，牛頓為自己的科學高塔打下了深厚的基礎。不久，牛頓的數學高塔就建成了，二十二歲時發明了微分學，二十三歲時發明了積分學，為人類科學事業作出了巨大貢獻。

萬有引力和光的秘密

牛頓二十三歲時，鼠疫流行於倫敦。劍橋大學為預防學生受傳染，通告學生休學回家避疫，學校暫時關閉。牛頓回到故鄉林肯郡鄉下。在鄉下度過的休學日子裡，他從沒間斷過學習和研究。萬有引力、微積分、光的分析等發明的基礎工作，都是這個期間完成的。

那時，鄉下的孩子是常常用投石器打幾個轉轉之後，把石拋得很遠。他們還可以把一桶牛奶用力從頭上轉過，而牛奶不掉下來。

這些事實使他懷疑起來：「什麼力量使投石器裡面的石頭，以及水桶里的牛奶不掉下來呢？對於這個問題，他曾想到刻卜勒和伽利略的思想。他從浩瀚的宇宙太空，周行不息的行星，廣寒的月球，直至龐大的地球，進而想到這些龐然大物之間力的相互作用。這時，牛頓一頭扎進「引力」的計算和驗證中了。牛頓計劃用這個原理驗證太陽系各行星的行動規律。他首先推求月球距
地球的距離，由於引用的資料數據不正確，計算的結果錯了。因為依理推算月球圍繞地球轉，每分鍾的向心加速度應是十六英尺，但據推算僅得十三點九英尺。在失敗的困境中，牛頓毫不灰心和氣餒，反而以更大的努力進行辛勤地研究。整整經過了七個春秋寒暑，到三十歲時終於把舉世聞名的「萬有引力定律」全面證明出來，奠定了理論天文學、天體力學的基礎。

這時期牛頓還對光學進行了研究，發現了顏色的根源。一次，他在用自製望遠鏡觀察天體時，無論怎樣調整鏡片，視點總是不清楚。他想，這可能與光線的折光有關。接著就實驗起來。他在暗室的窗戶上留一個小圓孔用來透光，在室內窗孔後放一個三棱鏡，在三棱鏡後掛好白屏接受通過三棱鏡折進的光。結果，大出意外，牛頓驚異地看到，白屏上所接受的折光呈橢圓形，兩端
現出多彩的顏色來。對這個奇異的現象，牛頓進行了深入的思考。得知光受折射後，太陽的白光散為紅、橙、黃、綠、藍、靛、紫七種顏色。因此，白光（陽光）是由紅、橙、黃、綠、藍、 靛、紫七色光線匯合而成。自然界雨後天晴，陽光經過天空中余圍的雨滴的折射、反射，形成五彩繽紛的虹霓，正是這個道理。

經過進一步研究，牛頓指出世界萬物所以有顏色，並非其自身有顏色。太陽普照萬物，各物體只吸收它所接受的顏色，而將它所不能接受的顏色反射出來。這反射出來的顏色就是人們見到的各種物體的顏色。這一學說准確地道出顏色的根源，世界上自古以來所出現的各種顏色學說都被它所推翻。

牛頓所以能取得如此巨大的成就，早年苦學所打下的深厚數學基礎起了重要作用。

進入忘我的境界

在一個崎嶇的山路上，一位白發蒼蒼的老人牽著一匹馬在緩緩登山。人在前面慢慢地走，馬在後面一步步地跟，山谷中響著單調的馬蹄聲。走啊，走啊，馬突然脫韁而跑，老人由於沉浸在極度的思索之中，竟沒有發覺。老人依然不畏艱難地登著山，手裡還牽著那根馬韁繩。當他登到較平坦的地方想要騎馬時 一拉韁繩，拽到面前的只是一根繩，回頭一看馬早已沒有了。

牛頓每天除抽出少量的時間鍛煉身體外，大部分時間是在書房裡度過的。一次，在書房中，他一邊思考著問題，一邊在煮雞蛋。苦苦地思索，簡直使他痴呆。突然，鍋里的水沸騰了，趕忙掀鍋一看，「啊！」他驚叫起來，鍋里煮的卻是一塊懷表。原來他考慮問題時竟心不在焉地隨手把懷表當做雞蛋放在鍋里了。

還有一次，牛頓邀請一位朋友到他家吃午飯。他研究科學入了迷，把這件事忘掉了。他的傭人照例只准備了牛頓個人吃的午飯。臨近中午，客人應邀而來。客人看見牛頓正在埋頭計算問題，桌上、床上擺著稿紙、書籍。看到這種情形，客人沒有打攪牛頓，見桌上擺著飯菜，以為是給他准備的，便坐下吃了起來。吃完後就悄悄地走了。當牛頓把題計算完了，走到餐桌旁准備吃午
飯時，看見盤子里吃過的雞骨頭，恍然大悟地說：「我以為我沒有吃飯呢，我還是吃了。」

這些故事究竟是真是假，並不關重要，不過表明了牛頓是一個怎樣沉思默想，不修邊幅，虛己斂容的人，他對科學極度的專心，總是想著星辰的旋轉，宇宙的變化，而進入了忘我的境界。

謙虛謹慎、一絲不苟的學風

「寬闊的河流平靜，學識淵博的人謙虛。」凡是對人類發展作出巨大貢獻的偉大人物，都有謙虛的美德。牛頓每當在科學上獲得偉大成就時，從不沾沾自喜，自以為很了不起，急忙出版著作，以揚名於世。

當牛頓費盡心血算出「萬有引力定律」後，沒有急於發表。而是繼續孜孜不倦地深思了數年，研究了數年，埋頭於數字計算之中，從未對任何人講過一句。後來，牛頓的朋友，大天文學家哈雷（彗星的發現者），在證明一個關於行星軌道的規律遇到困難時，專程登門請教牛頓。牛頓把自己關於計算「萬有引力」的書稿交給哈雷看。哈雷看後才知道他所要請教的問題，正是牛頓
早已解決、早已算好了的問題，心裡欽羨不已。

在一六八四年十一月某一天，哈雷又到牛頓的寓所拜訪。當談到有關天文學的學術問題時，牛頓拿出寫好的關於論證「萬有引力」的論文，請哈雷提意見。哈雷看後，對這一巨著感到非常驚訝。他欣喜地對牛頓說：「這真是偉大的論證、偉大的著作！」他再三奉勸牛頓盡快發表這部偉大著作，以造福於人類。可是牛頓沒有聽信朋友的好意勸告，輕易地發表自己的著作。而是經
過長時間的一絲不苟的反復驗證和計算，確認正確無誤後，才於一六八七年七月將《自然哲學的數學原理》發表於世。

牛頓是個十分謙虛的人，從不自高自大。曾經有人問牛頓：「你獲得成功的秘訣是什麼？」牛頓回答說：「假如我有一點微小成就的話，沒有其它秘訣，唯有勤奮而已。」他又說：「假如我看得遠些，那是因為我站在巨人們的肩上。」這些話多麼意味深長啊！它生動地道出牛頓獲得巨大成就的奧妙所在，這就是在前人研究成果的基礎上，以獻身的精神，勤奮地創造，開辟出科
學的新天地。

B. 為什麼牛頓這么聰明

是因為牛頓有善於觀察事物的心，這些機遇誰都會遇到，可這些人都不像牛頓一樣，有著細致的心，不斷對這個問題追根求源。

C. 牛頓為什麼能成為世界著名的科學家

從個人素質來講，牛頓稱得上是有史以來最偉大的天才：在數學上，他發明了微積分；在天文學上，他發現了萬有引力定律，開辟了天文學的新紀元；在力學中，他系統總結了三大運動定律，創造了完整的牛頓力學體系；在光學中，他發現了太陽光的光譜，發明了反射式望遠鏡。一個人只要享有這里的任何一項成就，就足以名垂千古，而牛頓一個做了所有這些工作。

牛頓真的是因為被一個蘋果砸到了，就「碰巧」發現了萬有引力定律么？當然不是，發現這個偉大規律的過程特別復雜，而且越來越多的證據表明，蘋果這件事是後來的人們杜撰的。

《自然哲學之數學原理》

1687年，公認的科學史上最偉大的一部著作《自然哲學之數學原理》以拉丁文出版問世，在對當代和後代思想的影響上，沒有什麼別的傑作可以同原理相媲美。《原理》開辟了一個全新的宇宙體系，它是那樣的明澈和有條理。可以說這本書開創了人類的理性時代，人們發現原來天上運行的天體可以和地上的物體遵循相同規律，也正是從這里，人類思想獲得了可以用理性解決面臨的所有問題的勇氣和自信。

《原理》為力學和動力學的研究奠定了基礎，它創造了持久且真實的人類文明演變。若沒有這樣的了解，大自然的各種力就不會獲得利用，而這正是工業革命的成就：它將人類從黑暗中、從對大自然的奇想中，拉住科技時代，拉向操控宇宙之力的時代。

在其後的二百多年來，它一直是全部天文學和宇宙學思想的基礎。無怪乎牛頓力學的非凡成功甚至給諸如心理學、經濟學和社會學等各個不同領域的工作者也留下了極其深刻的印象，以致他們都試圖在解決各種問題時以力學或准力學為楷模。

D. 為什麼牛頓那麼厲害

因為他善於從生活中發現問題，並不畏困難的研究。

說牛頓厲害，無非是他的貢獻很多，而且這些貢獻為人類的進步產生了巨大的影響，朗道將牛頓排名第零位，我覺得實至名歸。

但如果非要問原因，我覺得天賦和努力缺一不可，以二十多歲的年紀就有了牛頓三定律和萬有引力定律，以及數學、經濟、化學等各方面的成就，這不是努力能夠換來得，這就是普通人難以企及的天賦，這是實打實的高智商。

高智商加上出於對於未知事物的強烈好奇心而產生的努力，使得他可以做出常人難以企及的成就。

人物評價

他在1688年發表的著作《自然哲學的數學原理》里，對萬有引力和三大運動定律進行了描述。這些描述奠定了此後三個世紀里物理世界的科學觀點，並成為現代工程學的基礎。

他通過論證開普勒行星運動定律與他的引力理論間的一致性，展示了地面物體與天體的運動都遵循著相同的自然定律；從而消除了對太陽中心說的最後一絲疑慮，並推動了科學革命。

在力學上，牛頓闡明了角動量守恆的原理。在光學上，他發明了反射式望遠鏡，並基於對三棱鏡將白光發散成可見光譜的觀察，發展出了顏色理論。

他還系統地表述了冷卻定律，並研究了音速。在數學上，牛頓與戈特弗里德·萊布尼茨分享了發展出微積分學的榮譽。他也證明了廣義二項式定理，提出了「牛頓法」以趨近函數的零點，並為冪級數的研究作出了貢獻。

E. 牛頓到底有多牛

眾所周知，牛頓是著名的物理學家，他的許多理論在物理界引起了翻天覆地的變化，從我們所熟知的萬有引力，到後來的牛頓力學定理，無不給人類留下了寶貴的財富，他的一生是悲慘的，但是他所做的貢獻是偉大的，那麼牛頓到底有多牛?這是我們無法想像的，因為真的太牛了。

很多人都這樣說，在牛頓之前，他們學的數學是初等數學，而在牛頓之後，他們學的咋變成了高等數學，在牛頓之後，幾乎沒有人可以將幾門學科共同構建起來，而牛頓的偉大就在於，他將所有的科目聯系起來，說明了科技發展的必然性，這就是牛頓之所以這么牛的原因。

F. 牛頓的數學水平怎麼樣

當然相當高了。物理學等科學都是要以數學為基礎。牛頓在數學上最大的成就就是和萊布尼茨共同發現了微積分，這是高等數學的基礎，所以牛頓的數學造詣相當的高。

G. 牛頓為什麼會成為著名的科學家

牛頓的勤奮學習
一談到近代科學開創者牛頓,人們可能認為他小時候一定是個「神童」、「天才」、有著非凡的智力.其實不然,牛頓童年身體瘦弱,頭腦並不聰明.在家鄉讀書的時候,很不用功,在班裡的學習成績屬於次等.但他的興趣卻是廣泛的,游戲的本領也比一般兒童高.
牛頓愛好製作機械模型一類的玩藝兒,如風車、水車、日晷等等.他精心製作的一隻水鍾,計時較准確,得到了人們的贊許.有時,他玩的方法也很奇特.一天,他作了一盞燈籠掛在風箏尾巴上.當夜幕降臨時,點燃的燈籠借風箏上升的力升入空中.發光的燈籠在空中流動,人們大驚,以為是出現了彗星.盡管如此,因為他學習成績不好,還是經常受到歧視.
當時,封建社會的英國等級制度很嚴重,中小學里學習好的學生,可以歧視學習差的同學.有一次課間游戲,大家正玩得興高采烈的時候,一個學習好的學生借故踢了牛頓一腳,並罵他笨蛋.牛頓的心靈受到這種刺激,憤怒極了.他想,我倆都是學生,我為什麼受他的欺侮?我一定要超過他!從此,牛頓下定決心,發奮讀書.他早起晚睡,抓緊分秒、勤學勤思. 過刻苦鑽研,牛頓的學習成績不斷提高,不久就超過了曾欺侮過他的那個同學,名列班級前茅.
時間對人是一視同仁的,給人以同等的量,但人對時間的利用不同,而所得的知識也大不一樣.
牛頓十六歲時數學知識還很膚淺,對高深的數學知識甚至可以說是不懂.「知識在於積累,聰明來自學習」.牛頓下決心靠自己的努力攀上數學的高峰.在基礎差的不利條件下,牛頓能正確認識自己,知難而進.他從基礎知識、基本公式重新學起,扎扎實實、步步推進.他研究完了歐幾里德幾何學後,又研究笛卡兒幾何學,對比之下覺得歐幾里德幾何學膚淺,便悉心鑽研笛氏幾何學,直到掌握要領、融會貫通.遂之發明了代數二項式定理.傳說中牛頓「大暴風中算風力」的佳話,可為牛頓身體力學的佐證.有一天,天刮著大風暴.風撒野地呼號著,塵土飛揚,迷迷漫漫,使人難以睜眼.牛頓認為這是個准確地研究和計算風力的好機會.於是,便拿著用具,獨自在暴風中來回奔走.他踉踉蹌蹌、吃力地測量著.幾次沙塵迷了眼睛,幾次風吹走了算紙,幾次風使他不得不暫停工作,但都沒有動搖他求知的慾望.他一遍又一遍,終於求得了正確的數據.他快樂極了,急忙跑回家去,繼續進行研究.
有志者事竟成.經過勤奮學習,牛頓為自己的科學高塔打下了深厚的基礎.不久,牛頓的數學高塔就建成了,二十二歲時發明了微分學,二十三歲時發明了積分學,為人類科學事業作出了巨大貢獻.
牛頓是個十分謙虛的人,從不自高自大.曾經有人問牛頓：「你獲得成功的秘訣是什麼?」牛頓回答說：「假如我有一點微小成就的話,沒有其它秘訣,唯有勤奮而已.」

求學歲月
1661年,19歲的牛頓以減費生的身份進入劍橋大學三一學院,靠為學院做雜務的收入支付學費,1664年成為獎學金獲得者,1665年獲學士學位.
17世紀中葉,劍橋大學的教育制度還滲透著濃厚的中世紀經院哲學的氣味,當牛頓進入劍橋時,哪裡還在傳授一些經院式課程,如邏輯、古文、語法、古代史、神學等等.兩年後三一學院出現了新氣象,盧卡斯創設了一個獨辟蹊徑的講座,規定講授自然科學知識,如地理、物理、天文和數學課程.
講座的第一任教授伊薩克·巴羅是個博學的科學家.這位學者獨具慧眼,看出了牛頓具有深邃的觀察力、敏銳的理解力.於是將自己的數學知識,包括計算曲線圖形面積的方法,全部傳授給牛頓,並把牛頓引向了近代自然科學的研究領域.
在這段學習過程中,牛頓掌握了算術、三角,讀了開普勒的《光學》,笛卡爾的《幾何學》和《哲學原理》,伽利略的《兩大世界體系的對話》,胡克的《顯微圖集》,還有皇家學會的歷史和早期的哲學學報等.
牛頓在巴羅門下的這段時間,是他學習的關鍵時期.巴羅比牛頓大12歲,精於數學和光學,他對牛頓的才華極為贊賞,認為牛頓的數學才超過自己.後來,牛頓在回憶時說道：「巴羅博士當時講授關於運動學的課程,也許正是這些課程促使我去研究這方面的問題.」
當時,牛頓在數學上很大程度是依靠自學.他學習了歐幾里得的《幾何原本》、笛卡兒的《幾何學》、沃利斯的《無窮算術》、巴羅的《數學講義》及韋達等許多數學家的著作.其中,對牛頓具有決定性影響的要數笛卡兒的《幾何學》和沃利斯的《無窮算術》,它們將牛頓迅速引導到當時數學最前沿～解析幾何與微積分.1664年,牛頓被選為巴羅的助手,第二年,劍橋大學評議會通過了授予牛頓大學學士學位的決定.
1665～1666年嚴重的鼠疫席捲了倫敦,劍橋離倫敦不遠,為恐波及,學校因此而停課,牛頓於1665年6月離校返鄉.
由於牛頓在劍橋受到數學和自然科學的熏陶和培養,對探索自然現象產生濃厚的興趣,家鄉安靜的環境又使得他的思想展翅飛翔.1665～1666年這段短暫的時光成為牛頓科學生涯中的黃金歲月,他在自然科學領域內思潮奔騰,才華迸發,思考前人從未思考過的問題,踏進了前人沒有涉及的領域,創建了前所未有的驚人業績.
1665年初,牛頓創立級數近似法,以及把任意冪的二項式化為一個級數的規則；同年11月,創立正流數法(微分)；次年1月,用三棱鏡研究顏色理論；5月,開始研究反流數法(積分).這一年內,牛頓開始想到研究重力問題,並想把重力理論推廣到月球的運動軌道上去.他還從開普勒定律中推導出使行星保持在它們的軌道上的力必定與它們到旋轉中心的距離平方成反比.牛頓見蘋果落地而悟出地球引力的傳說,說的也是此時發生的軼事.
總之,在家鄉居住的兩年中,牛頓以比此後任何時候更為旺盛的精力從事科學創造,並關心自然哲學問題.他的三大成就：微積分、萬有引力、光學分析的思想都是在這時孕育成形的.可以說此時的牛頓已經開始著手描繪他一生大多數科學創造的藍圖.
1667年復活節後不久,牛頓返回到劍橋大學,10月1日被選為三一學院的仲院侶(初級院委),翌年3月16日獲得碩士學位,同時成為正院侶(高級院委).1669年10月27日,巴羅為了提攜牛頓而辭去了教授之職,26歲的牛頓晉升為數學教授,並擔任盧卡斯講座的教授.巴羅為牛頓的科學生涯打通了道路,如果沒有牛頓的舅父和巴羅的幫助,牛頓這匹千里馬可能就不會馳騁在科學的大道上.巴羅讓賢,這在科學史上一直被傳為佳話.

H. 牛頓對數學有哪些貢獻

牛頓在數學上的成果要有以下四個方面：

發現二項式定理

在一六六五年，剛好二十二歲的牛頓發現了二項式定理，這對於微積分的充分發展是必不可少的一步。二項式定理把能為直接計算所發現的

等簡單結果推廣如下的形式

二項式級數展開式是研究級數論、函數論、數學分析、方程理論的有力工具。在今天我們會發覺這個方法只適用於n是正整數，當n是正整數1，2，3，....... ，級數終止在正好是n＋1項。如果n不是正整數，級數就不會終止，這個方法就不適用了。但是我們要知道那時，萊布尼茨在一六九四年才引進函數這個詞，在微積分早期階段，研究超越函數時用它們的級來處理是所用方法中最逼有成效的。

創建微積分

牛頓在數學上最卓越的成就是創建微積分。他超越前人的功績在於，他將古希臘以來求解無限小問題的各種特殊技巧統一為兩類普遍的演算法－－微分和積分，並確立了這兩類運算的互逆關系，如：面積計算可以看作求切線的逆過程。

那時萊布尼茲剛好亦提出微積分研究報告，更因此引發了一埸微積分發明專利權的爭論，直到萊氏去世才停熄。而後世己認定微積是他們同時發明的。

微積分方法上，牛頓所作出的極端重要的貢獻是，他不但清楚地看到，而且大贍地運用了代數所提供的大大優越於幾何的方法論。他以代數方法取代了卡瓦列里、格雷哥里、惠更斯和巴羅的幾何方法，完成了積分的代數化。從此，數學逐漸從感覺的學科轉向思維的學科。

微積產生的初期，由於還沒有建立起鞏固的理論基礎，被有受別有用心者鑽空子。更因此而引發了著名的第二次數學危機。這個問題直到十九世紀極限理論建立，才得到解決。

引進極坐標，發展三次曲線理論

牛頓對解析幾何作出了意義深遠的貢獻，他是極坐標的創始人。第一個對高次平面曲線進行廣泛的研究。牛頓證明了怎樣能夠把一般的三次方程

所代表的一切曲線通過標軸的變換化為以下四種形式之一：

在《三次曲線》一書牛頓列舉了三次曲線可能的78種形式中的72種。這些中最吸引人；最難的是：正如所有曲線能作為圓的中心射影被得到一樣；所有三次曲線都能作為曲線

的中心射影而得到。這一定理，在1973年發現其證明之前，一直是個謎。

牛頓的三次曲線奠定了研究高次平面線的基礎，闡明了漸近線、結點、共點的重要性。牛頓的關於三次曲線的工作激發了關於高次平面曲線的許多其他研究工作。

推進方程論，開拓變分法

牛頓在代數方面也作芔了經典的貢獻，他的《廣義算術》大大推動了方程論。他發現實多項式的虛根必定成雙出現，求多項式根的上界的規則，他以多項式的系數表示多項式的根n次冪之和公式，給出實多項式虛根個數的限制的笛卡兒符號規則的一個推廣。

I. 牛頓為什麼是數學家

牛頓的主要貢獻有發明了微積分，發現了萬有引力定律和經典力學，設計並實際製造了第一架反射式望遠鏡等等，被譽為人類歷史上最偉大，最有影響力的科學家。為了紀念牛頓在經典力學方面的傑出成就，「牛頓」後來成為衡量力的大小的物理單位。在牛頓的全部科學貢獻中，數學成就佔有突出的地位。他數學生涯中的第一項創造性成果就是發現了二項式定理。據牛頓本人回憶，他是在1664年和1665年間的冬天，在研讀沃利斯博士的《無窮算術》時，試圖修改他的求圓面積的級數時發現這一定理的。 笛卡爾的解析幾何把描述運動的函數關系和幾何曲線相對應。牛頓在老師巴羅的指導下，在鑽研笛卡爾的解析幾何的基礎上，找到了新的出路。可以把任意時刻的速度看是在微小的時間范圍里的速度的平均值，這就是一個微小的路程和時間間隔的比值，當這個微小的時間間隔縮小到無窮小的時候，就是這一點的准確值。這就是微分的概念。 微積分的創立是牛頓最卓越的數學成就。牛頓為解決運動問題，才創立這種和物理概念直接聯系的數學理論的，牛頓稱之為"流數術"。它所處理的一些具體問題，如切線問題、求積問題、瞬時速度問題以及函數的極大和極小值問題等，在牛頓前已經得到人們的研究了。但牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對以往分散的結論加以綜合，將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統一為兩類普通的演算法——微分和積分，並確立了這兩類運算的互逆關系，從而完成了微積分發明中最關鍵的一步，為近代科學發展提供了最有效的工具，開辟了數學上的一個新紀元。 牛頓沒有及時發表微積分的研究成果，他研究微積分可能比萊布尼茨早一些，但是萊布尼茨所採取的表達形式更加合理，而且關於微積分的著作出版時間也比牛頓早。 在牛頓和萊布尼茨之間，為爭論誰是這門學科的創立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，這種爭吵在各自的學生、支持者和數學家中持續了相當長的一段時間，造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。英國數學在一個時期里閉關鎖國，囿於民族偏見，過於拘泥在牛頓的「流數術」中停步不前，因而數學發展整整落後了一百年。 1707年，牛頓的代數講義經整理後出版，定名為《普遍算術》。他主要討論了代數基礎及其(通過解方程)在解決各類問題中的應用。書中陳述了代數基本概念與基本運算，用大量實例說明了如何將各類問題化為代數方程，同時對方程的根及其性質進行了深入探討，引出了方程論方面的豐碩成果，如:他得出了方程的根與其判別式之間的關系，指出可以利用方程系數確定方程根之冪的和數，即「牛頓冪和公式」。 牛頓對解析幾何與綜合幾何都有貢獻。他在1736年出版的《解析幾何》中引入了曲率中心，給出密切線圓(或稱曲線圓)概念，提出曲率公式及計算曲線的曲率方法。並將自己的許多研究成果總結成專論《三次曲線枚舉》，於1704年發表。此外，他的數學工作還涉及數值分析、概率論和初等數論等眾多領域。