A. 推薦一本關於數學的書適合小學一年級的小朋友
數學閱讀推薦書目(一二年級)
共50本,集中在美國、日本、韓國等數學繪本和數學故事注音版,重點推薦韓國數學繪本(一套36本)。
序號
書名
作者
出版社
1
我要上學啦:數學真好玩(5~7歲)
何秋光
北京少年兒童出版社
2
李毓佩數學童話集(小學低年級注音版)
李毓佩
海豚出版社
3
數學我最棒(童話繪本)
金孝賢等
外語教學與研究出版社
4
我是數學迷(美國數學繪本,共16冊)
辛迪·諾伊施萬德
外語教學與研究出版社
5
安野光雅數學繪本(共5冊)
安野光雅
中國城市出版社
6
我家漂亮的尺子(長度單位和測量)
金成恩
長春出版社
7
避開惡貓的方法(圖表)
崔允禎
長春出版社
8
讓誰先吃好呢?(排序)
尹我海
長春出版社
9
鼓鼓和蛋蛋的夢想(數的合成與分解)
辛知潤
長春出版社
B. 美國小學數學的目錄
《美國小學數學(1)》目錄:
LESSON 1
LESSON 2
LESSON 3
LESSON 4
LESSON 5
LESSON 6
LESSON 7
LESSON 8
LESSON 9
LESSON 10
LESSON 11
LESSON 12
LESSON 13
LESSON 14
LESSON 15
LESSON 16
LESSON 17
LESSON 18
LESSON 19
LESSON 20
LESSON 21
LESSON 22
LESSON 23
LESSON 24
LESSON 25
LESSON 26
LESSON 27
LESSON 28
LESSON 29
LESSON 30
LESSON 31
LESSON 32
LESSON 33
LESSON 34
LESSON 35
LESSON 36
LESSON 37
LESSON 38
LESSON 39
LESSON 40
LESSON 41
LESSON 42
LESSON 43
LESSON 44
LESSON 45
LESSON 46
……
《美國小學數學(2)》目錄:
LESSON 1
LESSON 2
LESSON 3
LESSON 4
LESSON 5
LESSON 6
LESSON 7
LESSON 8
LESSON 9
LESSON 10
LESSON 11
LESSON 12
LESSON 13
LESSON 14
LESSON 15
LESSON 16
LESSON 17
LESSON 18
LESSON 19
LESSON 20
LESSON 21
LESSON 22
LESSON 23
LESSON 24
LESSON 25
LESSON 26
LESSON 27
LESSON 28
LESSON 29
LESSON 30
LESSON 31
LESSON 32
LESSON 33
LESSON 34
LESSON 35
LESSON 36
LESSON 37
LESSON 38
LESSON 39
LESSON 40
LESSON 41
LESSON 42
LESSON 43
LESSON 44
……
《美國小學數學(3)》目錄:
THE ARABIC SYSTEM OF NOTATION
THE ROMAN SYSTEM OF NOTATION
THE FUNDAMENTAL RULES
ADDITION
SUBTRACTION
MULTIPLICATION
DIVISION
COMPOUND NUMBERS
FACTORING
FRACTIONS
PRACTICE
DECIMAL FRACTIONS
THE METRIC SYSTEM
PERCENTACE
INTEREST
DISCOUNT
EXCHANGE
INSURANCE
……
《美國小學數學(4)》目錄:
INTRODUCTION
NUMERATION AND NOTATION
ADDITION
SUBTRACTION
MULTIPLICATION
DIVISION
PROPERTIES OF NUMBERS
COMMON FRACTIONS
DECIMAL FRACTIONS
COMPOUND DENOMINATE NUMBERS
RATIO
PROPORTION
PERCENTAGE
PERCENTAGE.——APPLICATIONS
PERCENTAGE.——APPLICATIONS
PARTNERSHIP
ALLIGATION
……
C. 美國小學數學教材有什麼顯著特點
美國的小學數學教材與我們國家的不同,並沒有全國統一的教材,而是各個州根據自己的情況指定的。或者是老師上課根本不用教材,而是根據自己班上孩子的情況制定教學進度。於此類似的還有澳大利亞。因此這些都是對老師的巨大考驗。
D. 小學數學課外書單,給孩子真正的數學閱讀!快收藏!
1.《數學幫幫忙》(全25冊)(美)羅莎 · 桑托斯
新蕾出版社
2.《天哪!數學原來可以這樣學》(日)野口哲典
陝西師范大學出版社
3.《奇妙的數王國》李毓佩
中國少年兒童出版社
4.《李毓佩數學童話集》(小學低年級)李毓佩
海豚出版社
5.《馬小跳玩數學》(低年級)
楊紅纓
吉林美術出版社
6.《奇妙的數學》(一、二年級) 博爾
重慶出版社
7.《我超喜歡的趣味數學書》(1、2年級)邢書田、馬慧
電子工業出版社
8.《數學真美妙》(1-2年級)
劉勇
電子工業出版社
1.《李毓佩數學故事系列》(中年級)李毓佩
湖北少年兒童出版社
2.《馬小跳玩數學》(中年級
楊紅纓
吉林美術出版社
3.《好玩的數學(趣味數學專輯)》談祥柏
中國少年兒童出版社
4.《奇妙的數學》(三、四年級)博爾
重慶出版社
5.《數學花園漫遊記(趣味數學專輯)》馬希文
中國少年兒童出版社
6.《全世界孩子都愛玩的700個數學游戲》柯友輝
新世界出版社
7.《最有趣的50個數學故事》
喬治 · G · 斯皮羅、郭婷瑋
上海科技教育出版社
8.《可怕的科學 · 特別要命的數學》卡佳坦 · 波斯基特(著),王渝生(譯)
北京少年兒童出版社
9.《數學真美妙》(3-4年級)
劉勇
電子工業出版社
:10.《我超喜歡的趣味數學書》(3、4年級)邢書田、馬慧
電子工業出版社
1.《從此不怕學數學》(日)岡部恆治,藤原和博,姚嵐譯
中國民族藝術出版社
2.《數學魔術:84個神奇的數學小魔術》(法)多米尼克 · 蘇戴
上海科技文獻出版社
3.《走進奇妙的幾何世界》(英)格里 · 貝利等
浙江教育出版社
4.《三車同到之謎(隱藏在日常生活中的數學)》(英)伊斯特威 上海教育出版社
5.《幫你學數學(院士數學講座專輯)》張景中
中國少年兒童出版社
6.《算得快》談祥柏、李毓佩
中國少年兒童出版社
7.《好玩的數學》張景中等
科學出版社
8.《李毓佩數學故事系列》(高年級)李毓佩
湖北少年兒童出版社
9.《小臭身邊的數學問題》
蔡東彩,慕小飛,劉玉和編著
華東師范大學出版社
10.《馬小跳玩數學》(高年級) 楊紅纓
吉林美術出版社
11.《奇妙的數學》(五、六年級)博爾
重慶出版社
12.《數學百草園》談祥柏
湖南教育出版社
13.《數學真美妙》(5-6年級)
劉勇
電子工業出版社
14.《我超喜歡的趣味數學書》(5、6年級)邢書田、馬慧
電子工業出版社
1.《漢聲數學系列》(41本)+《媽媽手冊》(美)明德爾 · 西托默,喬治 · 帕比
漢聲雜志
2.《我是數學迷》(美國數學繪本,共16冊)辛迪 · 諾伊施萬德
外語教學與研究出版社
3.《數學繪本》(16本)/《數學學習童話》(韓)劉永昭
長春出版社
4.《數學游戲故事繪本》(第一輯8本,第二輯10本)
(日)中野弘隆, 崔晶、崔荔函譯,
新蕾出版社
5.《數學小叢書》(套裝共18冊)華羅庚
科學出版社
6.《聰明孩子的數獨》
數獨編寫組編
上海世界圖書出版公司
7.《每天變得聰明一點:Happy 數學》(A-F分冊)(美)德爾西蒙著;朴玉 等(譯)
長春出版社
8.《數學在哪裡》(12冊)
唐彩斌、彭翕成
電子工業出版社
學習數學有3個環節:一是聽課,二是做題,三是讀書。三個環節缺一不可,而讀書就是「數學閱讀」。
進入初中後,有的孩子越來越聽不懂數學課,問題就是出在「顧不上閱讀」。
根據學生心智發展的程度和課程內容展開的情況,小學高年級和初中低年級是培養數學閱讀的最佳時期。
不過,數學閱讀可比語文閱讀有難度。因為從小學高年級和初中低年級,隨著數學符號和圖形越來越多,數學定理越來越多,邏輯思考的體系越來越龐大,越來越嚴密,數學閱讀中對理解與思考的要求越來越高,學生只有完成從具體到抽象、從零散到邏輯的轉折和跨越才行。
因此,對於數學較弱的同學,要跨越數學閱讀這個坎,需要相當時間的培養和訓練。可以參考下面幾個方法:
1. 至少要閱讀例題:讀懂例題中的每一步,讀懂每一句話、每個公式算式和每個圖形;
2. 課前預習式閱讀;
3. 課後復習式閱讀;
4. 針對性查閱式閱讀: 就某一個疑難問題,有針對性地閱讀教材中的相關章節或段落,再加上閱讀其他有關書籍,或從網上搜索相關內容進行閱讀;
5. 系統性通讀式閱讀: 對整本的教材或參考書籍開展系統性通讀式的閱讀;
6. 溫故知新回頭式閱讀: 初中時,根據需要可以翻一翻小學教材;高中時,根據需要可以翻一翻初中教材,發現新舊知識的聯系,建立起新的更穩定的知識結構。
在指導閱讀時,又很多種方式可以激發出孩子的興趣,我的方法,希望對您有一絲啟發:
1. 講述自己的故事 指導學生讀書時,我總要給同學們講自己小時候讀數學課外書的故事,引發孩子們的閱讀興趣。記得我上小學時,數學老師說,只要你們考到100分,就獎勵你給我們數學課外書一個星期。我通過努力,先後得到兩本,一本是《算得快》,一本是《趣味數學100題》,數學故事中的問題至今記憶猶新。
比如,《聰明的園丁》:公園中心有九棵小樹排成整齊的三行三列。一個園丁每天要推車到樹邊澆水,而他的車子拐彎和後退都不靈活,只有前進才輕便。所以,行車路線要盡量減少拐彎次數才能提高工作效率。後來,他琢磨出一個巧妙的路線,車子只要拐三次彎就可以澆一遍水。那麼,他到底是怎樣走的呢?(提示:不要總是想在有樹的位置轉彎。)
這些題目至今我還會介紹給我的學生,這也是一種傳承吧。受數學老師的影響,從小學開始,我就喜歡閱讀和收集數學課外書,現在在班上也經常「曬出」自己收藏的300多本數學童書,大大激發了同學們的買書、讀書熱情。
2. 多種獎勵舉措,讓孩子讀書熱情不減
獎勵圖書、委任做數學小報編輯或主編、獎勵到圖書館(涼亭下)讀書、給家長發「獎勵孩子買書通知單」等,我們還通過微信推廣「21天數學閱讀行動」,用新媒體引導學生把課外閱讀引向深入。
3. 說一半留一半
我喜歡從書中的一個有趣的例子引入,採用「說一半、留一半」方法,吊起他們的胃口,激發讀書求索的慾望。
4. 不動筆墨不讀書
指導讀書時,我特別注意教給他們「做記號」——這是我從《深度學習的七種有力策略》中得到的啟示。
書中強調:你標記得越多,將學到越多。以下是我推薦的符號,你還可以創造自己喜歡的符號,沒有對錯,只要對你自己有益就行。
總之,通過多年的實踐,使我們堅信:把數學閱讀的主動權真正交給學生,才是最好的數學教育!
E. 美國小學數學的作者簡介
作者:(美國)約瑟夫·雷伊(Joseph·Ray)
約瑟夫·雷伊教授於1807年出生於美國弗吉尼亞俄亥俄縣,小時在地方學校接受教育,學業優秀。16歲時,他就開始步入其教師生涯,1825年到富蘭克林學院求學,跟隨喬爾·馬丁教授學習醫學。1828年畢業後進入俄亥俄醫學院學習,1831年畢業。大學畢業後,他在辛辛那提的伍德沃德中學找了份當教師的工作,開始教數學。1836年,俄亥俄司法當局准許伍德沃德中學由高中升格為辛辛那提伍德學院,雷伊成為該學院的一名教授。1851年,該校以變為一所公立高中,雷伊一直在此擔任校長,直至去世。
雷伊最傑出的貢獻是他編寫的系列數學教材,並以此聞名。這套數學課本與他在伍德學院的同事麥加菲編寫的《美國語文讀本》,一同被作為美國學校的語文和數學教材,近50年內,美國上萬學校使用這兩套教材,累計銷量均超過1.22億冊,對美國教育產生了極大影響。
雷伊教授對俄亥俄州的教師職業培訓也發揮了很大作用,他幫助建立西部文化中心與職業教師學院,將好的教學技術與經驗傳授給老師。他加入俄亥俄州教師協會成員,並於1853年任其會長,此外還擔任《俄亥俄教育》雜志社的副總編。
F. 美國中小學都學些什麼
一般情況下每天的課程會有6節課,分6個科目。
1、ART (藝術);
2、 GYM/HEALTH(運動和健康教育);
3、 Language Arts(語文);
4、Math(數學);
5、History(歷史學);
6、Science (科學)。
G. 美國小學數學教學理念
美國人認為,計算器既然算得又快又准,我們又何必勞神費力地用腦算呢?人腦完全可以省下來去做機器做不了的事。
美國數學教材體現了以人為本的思想。整體來說,教材雖淺,但涉及的面寬。教材內容有:數和運算;模式、函數和代數;幾何與空間觀念;測量;數據分析、統計和概率;問題解決;推理和證明;交流;聯系;表示;生活中的數學、數學實踐活動、數學與其他學科的聯系;等。
美國小學數學教材還十分重視數學知識的實際應用,特別是在實際生活中的應用。選擇一些學生生活中經常接觸的知識,例如:價格和購物,鍾表與時間,旅行與行車時刻表、行程路線,生活用品中各種物體的面積、體積的計算,郵資與郵價表等。同時,要求學生對某些生活中常見的現象進行估測、估算,按生活實際的需要取近似值(四捨五入)。
在講授數學概念的時候,美國小學數學教材都盡量利用這些概念的實際應用背景來引入概念,這樣很容易激發學生的求知慾。例如,在引入最大公約數之前,提出問題——「Jack有18棵蘋果樹,42棵橘子樹,他想將這些樹在花園中種植成若干行,每行樹的數目相同,但只種同一種樹,在這樣的條件下,每行最多能種多少棵樹?」在引入最小公倍數之前,則提出問題——「Jack與May在操場跑步,Jack跑一圈需8分鍾,May跑一圈需12分鍾,若他們在同一時刻、同一地點開始跑,幾分鍾後又可在起點相遇?」這部分內容中國教材是先直接介紹概念和求法,再應用。美國則讓學生在應用中學習概念和求法,使學生產生求知的慾望,學得更主動。
教學方法——形式多樣,展個性特長
美國小學數學教學方法形式多樣,寓教於樂,生動有趣。教師教得輕松,學生學得愉快,加之教學難度不大,絕大多數學生都能理解和掌握。每堂課上(50分鍾)教師一般講得很少(不超過10~15分鍾),只是提綱挈領地講解或提出一些富有啟發性的問題,而大部分時間是學生在教師的啟發和指導下,通過自己思考、自己操作、自己查閱有關資料等自主學習,主動靈活地獲取更豐富的知識。有時3~5個學生圍成一桌學習,由學生自己提出問題,相互討論,教師個別指導。既發揮學生學習的自主性、積極性和獨立性,又培養學生的合作精神。
美國的數學教學非常崇尚合作學習。剛開始是為了方便黑人、白人學生之間的彼此交流而產生的,實踐後發現好處不少,現在更為普及。合作不是簡單地把學生分成小組,如果簡單地分組,學生往往不知道如何合作,會導致有人不參與或者做和學習無關的事情。必須想辦法使學生之間主動建立「同舟共濟」的關系,為此教師事先都會幫助分工或者分組,而且是煞費苦心,多種策略劃分。例如:按學生的能力、相互關系、心理條件分組;隨機分組;學生自選合作者;等等。分完組後,每組各有任務,同時組內成員也有明確的分工。在合作過程中每個人獨立或合作完成自己所負責的部分。評分時,既重視對小組成員的打分,更重視對整組配合的評價,讓學生體驗合作成功的喜悅。
......
H. 美國小學5~7年級數學學什麼盡量詳細一點~謝謝!
我只知道我國的一些情況,給你參考一下。
計算類:五年級學習小數四則混合運算;六年級學習分數四則混合運算;七年級學習負數的混合運算及解答不等式。
圖形類:五年級學習長方體與正方體的知識;六年級學習圓、圓柱、圓錐和初步幾何知識;七年級進入平面幾何知識的學習。
除此外各年級還有其它章節,六年級還有比和比例;等。
I. 美國小學數學的內容簡介
America's standard math text for 50 years——Over 100 million students were ecated using it. Ray's Arithmetic was endorsed by over 10,000 school boards.
We are honored and happy to bring this classic Arithmetic by Joseph Ray. These popular books sold more than any other arithmetic in America, in fact over 120 million copies and are still used in modern American schools and families. As you can see, this set of Arithmetic textbooks is organized in an orderly manner around the discipline of arithmetic itself.
Ray emphasized critical thinking in his classroom. He believed that his students needed to learn how to apply what they learned to real-life situations. Rather than giving his pupils simple problems to solve, he preferred word problems. Students can increase their reading comprehension skills, and learn to think.
J. 美國小學數學教學
一、重視基礎知識和基本概念的教學
美國的數學教育經歷了數次變革之後,他們深刻認識到美國小學生在數學基礎知識和基
本概念方面與其他 國家之間的差距。因此,1989年由美國國家委員會公布了《人人關心—
—數學教育的未來》報告,該報告指出 :「美國要振興數學教育,要對所有學生進行高質量
的數學教育。」「學校數學要選取為所有學生發展所需要 的數學中重要的核心部分。」因此,
對小學數學的教學內容進行了增刪,教材中加強了基本數概念、簡單的運 算和計算、幾何
基礎知識和測量內容、概率和統計、計算器(機)知識、解決生活中的實際問題、數學實踐
活 動等有關內容。這些內容都是學生將來步入社會所必備的基礎知識和基本技能。美國的
教師們認為:學生的數 學素質是以數學基本知識和基本技能為基礎的。數學的課程內容應
使學生重視對數學的理解,保持對數學的欣 賞和好奇心,去探索數學的基本規律,使學生
成為一個懂數學的人。
作為美國的小學數學教師,首先,要明確小學數學的基礎知識的范圍和教學要求,教師
都要建立這樣的教 學觀念:面向全體學生,使所有學生都能學好數學,理解基本的數量關
系,建立初步的空間觀念,重視基礎知 識的學習與基本技能的訓練。教師在不增加學生負
擔的前提下,向學生傳授必要的新知識和新概念,使學生了 解廣泛的數學知識。比如概率
和統計知識、測量知識、計算器(機)知識。其次,要改革基礎知識的教學方法 。教師不
應局限於課堂講授,要引導學生進行探討、操作、交流、開展多種數學活動,培養學生的思
維能力、 交流能力和探究能力。
二、強調數學教學中的問題解決
美國從80年代起,就非常重視問題解決。美國數學教師協會1980年頒布的《行動議程》
中的第一項建議就 是:「問題解決必須成為學校教學的核心」。在最新的課程標准中,它也
是五項教學目標之一,同時也是其13 項課程標准中居於首位的標准。作為解決問題的教學,
要使學生能夠:
●通過解決問題的探討去調查和理解數學內容。
●從日常生活中和數學情境中提出問題。
●應用策略去解決廣泛的各種各樣的問題。
●對原始的問題的結果進行檢驗和解釋。
●在有意義地運用數學中獲得自信。
教師們認為:解決問題是所有數學活動中的最重要部分。解決問題是一個發現的過程、
探索的過程、創新 的過程。通過問題解決,使學生體驗到數學在其周圍世界中的作用。因
此,問題解決的主要教學目標是引導學 生掌握解決問題的策略。這些策略包括學具的使用、
嘗試和改錯的方法、圖表的運用、尋找模式等。
問題解決大都採用開放性的題目,一般從問題情境出發,具有一定的趣味性,它能為學
生提供數學想像, 誘發學生的創造力,鼓勵學生發散思維。例如,美國的數學教材中是這
樣引導學生學習加法的:「在我的口袋 里有一些1分、5分和1角的硬幣,我拿出3個硬幣
放在手裡。你認為在我的手中有多少錢?」
這個問題學生會採用嘗試的策略,使用真的硬幣去操作,然後在教師的指導下製成表格:
附圖{圖}
教師為學生設計這樣的解決問題情境,學生在提問、思考、討論和探索中成功地解決問
題,使他們獲得了 自信,培養了學生探究的積極性,發展了數學交流的能力和發散思維的
能力。
三、強調數學應用,引導學生參與數學活動
美國數學教學非常重視數學知識的實際應用,這與其強調問題解決有必然的聯系。在這
一教學目標的指引 下,對數學教學內容和教學方法進行了改革。
1.改進傳統教學內容,增加現代數學中應用廣泛的教學內容,如統計等知識。另外也選
擇了一些學生生活 中經常接觸的知識,如:價格和購物,鍾表與時間,旅行與行車時刻表、
行程路線,生活用品中各種物體的面 積、體積的計算,郵資與郵價表等。同時,要求學生
對某些生活中常見的現象進行估測、估算,按生活實際的 需要取近似值(四捨五入)。
2.增強教學實踐環節,讓學生充分了解數學在商業、科技、交通等行業的應用價值,讓
學生感受到生活中 處處充滿數學。教師們認為:數學的學習必須是一個主動的過程,應讓
學生主動地參與到數學實踐活動中去。 因此,每一位數學教師都要努力創設一個鼓勵兒童
去探索的環境,為學生提供可操作的實物材料和設備,認真 觀察學生的數學活動,傾聽學
生的交流語言。
例如,教師組織學生到商店觀察購物情況,然後回到教室內進行角色扮演,開辦「小商
店」,讓學生在實 際購物活動中學習四則計算知識。當學生學習度量知識時,教師為學生提
供一些度量的器具,讓學生親自測量 並計算書本的重量、全班同學平均身高、教室的面積
等。學生通過主動地參與數學實踐活動,既知道數學知識 從何而來,又知道它將走向何方。
讓學生走出課堂,走進生活實際,走向實踐領域,培養了學生靈活運用數學 知識解決問題
的能力,讓學生充分感受數學的力量,激發學生學好數學知識的動機。
四、促進教學中的數學交流
數學之所以在信息社會應用廣泛,重要的原因之一就是數學能夠用非常簡明的方式,經
濟有效地、精確地 表達和交流思想。因此,美國在《學校數學課程與評價標准》中提出了
「為數學交流而學習」。交流可以幫助 學生在他們的非正式的、直覺的觀念與抽象的數學語
言、符號之間建立聯系。
描述、探索、調查、傾聽、閱讀和書寫是交流的技能。數學教學中的交流,既有教師與
學生的交流、學生 與學生的交流,也有學生與社會的交流。教師特別重視為學生創設交流
的情境,提供「數學對話」的機會,鼓 勵學生用耳、用口、用眼、用手去表達自己的思想
和接受他人的思想。因而,在教學中往往組織學生開展小組 內交流和全班交流活動。也鼓
勵學生在社會生活中與家長、與朋友交流學習數學的感受,交流對數學的態度。 教師常常
鼓勵學生記日記、寫書信,記錄今天學習了什麼內容?哪部分最難?哪部分最容易?最喜歡
哪些內容 ?我做了哪些學具等。然後在課堂上交流學生所寫的日記和書信。這樣,教師就
可以及時地獲得教學反饋信息 ,做出有根據的教學決策,同時也促進了學生間對數學知識
的理解與交流。 ^五、注重數學思想方法的教學和 數學素養的提高
信息社會直接用到學校數學所教的知識將會越來越少,關鍵是讓學生從小就受到數學思
想和方法的熏陶和 啟迪,提高數學素養。美國教育界認為,數學素養主要指獨特的數學能
力,它既包括探索、猜想和邏輯推理的 能力,也包括有效地利用多種數學方法去解決問題
的能力。為了具有數學素養,必須懂得數學的價值,對自己 的數學能力有信心,有解決數
學問題的能力,能進行數學交流,能掌握數學推理的基本方法。這也是美國學校 數學的教
學目標。
數學的思想方法是指比較分析的方法、模型方法、估測方法、推理方法、轉化方法、統
計方法等。在小學 數學教學中,這些數學思想方法都是通過解決實際問題而出現的。因此,
教師總是創設一定的問題情境,課堂 中充滿著研討、探究、思考的氣氛。在美國,教師更
注重的是學生推理和解題的方法而非問題的正確答案,教 師鼓勵學生用各種各樣的方法證
明他們的答案、思考的過程和推測的結果。