黎曼是什麼級別的數學家

A. 關於數學家黎曼的介紹

黎曼是德國的數學家、物理學家 。1851 年論證 了復變 函數可導的必要充分條件 。先後闡述了黎曼映射定理 、定義了黎曼積分、建立了黎曼空間的概念、引出黎曼曲面的概念 ，開創了解析數論的新時期 。

B. 頂級數學家有多厲害

數學是一個非常考驗智力的科目，也是所有科學的基礎，頂級的數學家都是智商超群。

在人類歷史上，有個別超一流數學家，僅憑個人之力，就把數學的發展進程推進了幾十年甚至幾百年，給人類留下豐富的遺產，比如下面幾位。

歐拉

數學英雄歐拉，在數學領域有著非常多的貢獻，他對數學的靈感和操控技巧，讓世人敬佩不已，讓歐拉一舉成名的是一個級數————巴塞爾級數。

目前數學領域已經高度細化，對數學家來說掌握所有數學領域的知識幾乎是不可能的事，然而陶哲軒卻是個例外，他在數學的很多領域有突破，被喻為「數學界的莫扎特」。

C. 最偉大的數學家

最偉大的數學家：亨利-龐加萊（Henri Poincare）、伯納德-黎曼（Bernard Riemann）、喬治-康托爾（Georg Cantor）、布萊斯帕斯卡（Blaise Pascal）、尼爾斯-亨里克-阿貝爾（Niels Henrik Abel）等。

1、亨利-龐加萊（Henri Poincare）

阿貝爾是挪威數學家，在很多數學領域做出了開創性的工作。他最著名的一個成果是首次完整地給出了高於四次的一般代數方程沒有一般形式的代數解的證明。這個問題是他那個時代最著名的未解決問題之一，他也是橢圓函數領域的開拓者，阿貝爾函數的發現者。盡管阿貝爾成就極高，卻在生前沒有得到認可，他的生活非常貧困。

D. 歷史上最偉大的數學家排名是怎樣的

01
歷史上最偉大的數學家排名是:阿基米德、卡爾·弗里德里希·高斯、艾薩克·牛頓、萊昂哈德·歐拉、歐幾里得、亨利·龐加萊、波恩哈德·黎曼、艾倫·麥席森·圖靈、埃瓦里斯特·伽羅瓦、格奧爾格·康托爾、畢達哥拉斯、戴維·希爾伯特、庫爾特·哥德爾、斐波那契、熱奈·笛卡爾、戈特弗里德·威廉·萊布尼茨。

15、熱奈·笛卡爾
勒內·笛卡爾(又譯作熱奈·笛卡爾)，1596年3月31日生於法國安德爾-盧瓦爾省的圖賴訥(現笛卡爾，因笛卡爾得名)，1650年2月11日逝世於瑞典斯德哥爾摩，是世界著名的法國哲學家、數學家、物理學家。他對現代數學的發展做出了重要的貢獻，因將幾何坐標體系公式化而被認為是解析幾何之父。他還是西方現代哲學思想的奠基人，是近代唯物論的開拓者且提出了「普遍懷疑」的主張。黑格爾稱他為「現代哲學之父」。他的哲學思想深深影響了之後的幾代歐洲人，開拓了所謂「歐陸理性主義」哲學。堪稱17世紀的歐洲哲學界和科學界最有影響的巨匠之一，被譽為「近代科學的始祖」。
16、戈特弗里德·威廉·萊布尼茨
戈特弗里德·威廉·萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年7月1日-1716年11月14日)，德國哲學家、數學家，歷史上少見的通才，被譽為十七世紀的亞里士多德。他本人是一名律師，經常往返於各大城鎮，他許多的公式都是在顛簸的馬車上完成的，他也自稱具有男爵的貴族身份。萊布尼茨在數學史和哲學史上都佔有重要地位。在數學上，他和牛頓先後獨立發現了微積分，而且他所使用的微積分的數學符號被更廣泛的使用，萊布尼茨所發明的符號被普遍認為更綜合，適用范圍更加廣泛。萊布尼茨還對二進制的發展做出了貢獻。

E. 【德國數學家黎曼】

德國數學家(G.F.)B.黎曼在19世紀中期所提出的幾何學理論。1854年，他在格丁根大學發表的就職演說，題目是《論作為幾何學基礎的假設》，可以說是黎曼幾何學的發凡。

從數學上講，他發展了空間的概念，首先認識到幾何學中所研究的對象是一種"多重廣延量"，其中的點可以用n個實數作為坐標來描述，即現代的微分流形的原始形式，為用抽象空間描述自然現象打下了基礎。更進一步，他認為，通常所說的幾何學只是在當時已知測量范圍之內的幾何學，如果超出了這個范圍，或者是到更細層次的范圍裡面，空間是否還是歐幾里得的則是一個需要驗證的問題，需要靠物理學發展的結果來決定。他認為這種空間(也就是流形)上的幾何學應該是基於無限鄰近點之間的距離。在無限小的意義下，這種距離仍然滿足勾股定理。這樣，他就提出了黎曼度量的概念。這個思想發源於C.F.高斯。但是黎曼提出了更一般化的觀點。在歐幾里得幾何中，鄰近點的距離平方是這確定了歐幾里得幾何。但是在一般曲線坐標下，則應，這是相當特殊的一組函數。如果是一般的函數，仍構成正定對稱陣，那麼出發，也可以定義一種幾何學，這便是黎曼幾何學。由於在每一點的周圍，都可以選取坐標使得在這點成立，所以在非常小的區域裡面勾股定理近似成立。但在大一點的范圍里一般就和歐幾里得幾何學有很大的區別了。

黎曼認識到距離只是加到流形上的一個結構，因此在同一流形上可以有眾多的黎曼度量，從而擺脫了經典微分幾何曲面論中局限於誘導度量的束縛。這是一個傑出的貢獻。

其後，E.B.克里斯托費爾、G.里奇等人又進一步發展了黎曼幾何，特別是里奇發展了張量分析的方法，這在廣義相對論中起了基本的作用。1915年A.愛因斯坦創立了廣義相對論，使黎曼幾何在物理中發揮了重大的作用，對黎曼幾何的發展產生了巨大的影響。廣義相對論真正地用到了黎曼幾何學，但其度量形式不是正定的，現稱為洛倫茨流形的幾何學(見廣義相對論)。

廣義相對論產生以來，黎曼幾何獲得了蓬勃的發展，特別是Eacute.嘉當在20世紀20~30年代開創並發展了外微分形式與活動標架法，建立起李群與黎曼幾何之間的聯系，從而為黎曼幾何的發展奠定了重要基礎且開辟了廣闊的園地，影響極為深遠，由此還發展了線性聯絡及纖維叢方面的研究。

半個多世紀以來，黎曼幾何的研究也已從局部發展到整體，產生了許多深刻的並在其他數學分支和現代物理學中有重要作用的結果。隨著60年代大范圍分析的發展，黎曼幾何和偏微分方程(特別是微分運算元的理論)、多復變函數論、代數拓撲學等學科互相滲透、互相影響。在現代物理中的規范場理論(又稱楊-米爾斯理論)中，黎曼幾何也成了一個有力的工具。

徐慶

17數本3班

F. 黎曼是不是過去五百年最強數學家

黎曼是著名的數學家，但沒人說他是「過去五百年最強數學家」。

G. 波恩哈德·黎曼簡介及詳細資料

內容簡介

波恩哈德·黎曼，德國數學家、物理學家，對數學分析和微分幾何做出了重要貢獻，其中一些為廣義相對論的發展鋪平了道路。

他的名字出現在黎曼ζ函式，黎曼積分，黎曼幾何，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希爾伯特問題，黎曼思路回環矩陣和黎曼曲面中。

他初次登台作了題為"論作為幾何基礎的假設"的演講，開創了黎曼幾何，並為愛因斯坦的廣義相對論提供了數學基礎。他在1857年升為哥廷根大學的編外教授，並在1859年狄利克雷去世後成為正教授。

人物經歷

1826年，他出生於漢諾瓦王國(今德國)的小鎮布列斯倫茨(Breselenz)。他的父親弗雷德里希·波恩哈德·黎曼是當地的路德會牧師。他在六個孩子中排行第二。

1840年，黎曼搬到漢諾瓦和祖母生活並進入中學學習。

1842年，祖母去世後，他搬到呂內堡(Lüneburg)的約翰紐姆(Johanneum)。

1846年，按照父親的意願，黎曼進入哥廷根大學學習哲學和神學。在此期間他去聽了一些數學講座，包括高斯關於最小二乘法的講座。在得到父親的允許後，他改學數學。在大學期間有兩年去柏林大學就讀 ，受到 C.G.J.雅可比和P.G.L.狄利克雷的影響。

1847年春，黎曼轉到柏林大學，投入雅戈比、狄利克雷和Steiner門下。兩年後他回到哥廷根。

1851年，獲博士學位 。

黎曼的簽名

1851年，論證了復變函數可導的必要充分條件( 即柯西-黎曼方程) 。藉助狄利克雷原理闡述了黎曼映射定理 ，成為函式的幾何理論的基礎。

1853年，定義了黎曼積分並研究了三角級數收斂的准則。

1854年，發揚了高斯關於曲面的微分幾何研究，提出用流形的概念理解空間的實質，用微分弧長度的平方所確定的正定二次型理解度量，建立了黎曼空間的概念，把歐氏幾何、非歐幾何包進了他的體系之中。

1854年，成為哥廷根大學的講師，

1857年初次登台作了題為"論作為幾何基礎的假設"的演講，開創了黎曼幾何，並為愛因斯坦的廣義相對論提供了數學基礎。

1857年，發表的關於阿貝爾函式的研究論文，引出黎曼曲面的概念 ，將阿貝爾積分與阿貝爾函式的理論帶到新的轉折點並做系統的研究。其中對黎曼曲面從拓撲、分析、代數幾何各角度作了深入研究。創造了一系列對代數拓撲發展影響深遠的概念，闡明了後來為G.羅赫所補足的黎曼-羅赫定理。

1857年，升為哥廷根大學的編外教授。

黎曼圖冊

1859年，接替狄利克雷成為教授。

1862年，他與愛麗絲·科赫(Elise Koch)結婚。

1866年7月20日，他在第三次去義大利修養的的途中因肺結核在塞拉斯卡(Selasca)去世。

主要成果

在1858年發表的關於素數分布的論文中，研究了黎曼ζ函式，給出了ζ函式的積分表示與它滿足的函式方程，他提出著名的黎曼猜想至今仍未解決。

另外，他對偏微分方程及其在物理學中的套用有重大貢獻。甚至對物理學本身，如對熱學、電磁非超距作用和激波理論等也作出重要貢獻。

黎曼的工作直接影響了19世紀後半期的數學發展，許多傑出的數學家重新論證黎曼斷言過的定理，在黎曼思想的影響下數學許多分支取得了輝煌成就。黎曼首先提出用復變函數論特別是用ζ函式研究數論的新思想和新方法，開創了解析數論的新時期，並對單復變函數論的發展有深刻的影響 。他是世界數學史上最具獨創精神的數學家之一，黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極富於對概念的創造與想像。

2015年11月，奈及利亞教授奧派耶米 伊諾克(Opeyemi Enoch)成功解決已存在156年的數學難題——黎曼猜想，獲得100萬美元(約合人民幣630萬元)的獎金。黎曼猜想由德國數學家黎曼(Bernard)於1859年提出，其中涉及了素數的分布，被認為是世界上最困難的數學題之一。2000年，美國克萊數學研究所(Clay Mathematics Institute)將黎曼猜想列為七大千年數學難題之一

主要貢獻

他對數學分析和微分幾何做出了重要貢獻，對微分方程也有很大貢獻。

黎曼

他引入三角級數理論，從而指出積分論的方向，並奠定了近代解析數論的基礎，提出一系列問題;他最初引入黎曼曲面這一概念，對近代拓撲學影響很大;在代數函式論方面，如黎曼-諾赫定理也很重要。在微分幾何方面，繼高斯之後建立黎曼幾何學。

他的名字出現在黎曼ζ函式，黎曼積分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼空間，黎曼映照定理，黎曼-希爾伯特問題，柯西-黎曼方程，黎曼思路回環矩陣中。

H. 黎曼取得了哪些成就

黎曼(1826～1866)，1826年9月17日，黎曼生於德國北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一個鄉村的窮苦牧師。他六歲開始上學，14歲進入大學預科學習，19歲按其父親的意願進入哥廷根大學攻讀哲學和神學，以便將來繼承父志也當一名牧師。

由於從小酷愛數學，黎曼在學習哲學和神學的同時也聽些數學課。當時的哥廷根大學是世界數學的中心之一，—些著名的數學家如高斯、韋伯、斯特爾都在校執教。黎曼被這里的數學教學和數學研究的氣氛所感染，決定放棄神學，專攻數學。

1847年，黎曼轉到柏林大學學習，成為雅可比、狄利克萊、施泰納、艾森斯坦的學生。1849年重回哥丁很大學攻讀博士學位，成為高斯晚年的學生。

1851年，黎曼獲得數學博士學位；1854年被聘為哥廷根大學的編外講師；1857年晉升為副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘為教授。

因長年的貧困和勞累，黎曼在1862年婚後不到一個月就開始患胸膜炎和肺結核，其後四年的大部分時間在義大利治病療養。1866年7月20日病逝於義大利，終年39歲。

黎曼是世界數學史上最具獨創精神的數學家之一。黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極富於對概念的創造與想像。黎曼在其短暫的一生中為數學的眾多領域作了許多奠基性、創造性的工作，為世界數學建立了豐功偉績。

黎曼是復變函數論的奠基人

19世紀數學最獨特的創造是復變函數理論的創立，它是18世紀人們對復數及復函數理論研究的延續。1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿貝爾、維爾斯特拉斯已對單值解析函數的理論進行了系統的研究，而對於多值函數僅有柯西和皮瑟有些孤立的結論。

1851年，黎曼在高斯的指導下完成題為《單復變函數的一般理論的基礎》的博士論文，後來又在《數學雜志》上發表了四篇重要文章，對其博士論文中思想的做了進一步的闡述，一方面總結前人關於單值解析函數的成果，並用新的工具予以處理，同時創立多值解析函數的理論基礎，並由此為幾個不同方向的進展鋪平了道路。

柯西、黎曼和維爾斯特拉斯是公認的復變函數論的主要奠基人，而且後來證明在處理復函數理論的方法上黎曼的方法是本質的，柯西和黎曼的思想被融合起來，維爾斯特拉斯的思想可以從柯西—黎曼的觀點推導出來。

在黎曼對多值函數的處理中，最關鍵的是他引入了被後人稱「黎曼面」的概念。通過黎曼面給多值函數以幾何直觀，且在黎曼面上表示的多值函數是單值的。他在黎曼面上引入支點、橫剖線、定義連通性，開展對函數性質的研究獲得一系列成果。

經黎曼處理的復函數，單值函數是多值函數的待例，他把單值函數的一些已知結論推廣到多值函數中，尤其他按連通性對函數分類的方法，極大地推動了拓撲學的初期發展。他研究了阿貝爾函數和阿貝爾積分及阿貝爾積分的反演，得到著名的黎曼—羅赫定理，首創的雙有理變換構成19世紀後期發展起來的代數幾何的主要內容。

黎曼為完善其博士論文，在結束時給出其函數論在保形映射的幾個應用，將高斯在1825年關於平面到平面的保形映射的結論推廣到任意黎曼面上，並在文字的結尾給出著名的黎曼映射定理。

黎曼幾何的創始人

黎曼對數學最重要的貢獻還在於幾何方面，他開創的高維抽象幾何的研究，處理幾何問題的方法和手段是幾何史上一場深刻的革命，他建立了一種全新的後來以其名字命名的幾何體系，對現代幾何乃至數學和科學各分支的發展都產生了巨大的影響。

1854年，黎曼為了取得哥廷根大學編外講師的資格，對全體教員作了一次演講，該演講在其逝世後的兩年(1868年)以《關於作為幾何學基礎的假設》為題出版。演講中，他對所有已知的幾何，包括剛剛誕生的非歐幾何之一的雙曲幾何作了縱貫古今的概要，並提出一種新的幾何體系，後人稱為黎曼幾何。

為競爭巴黎科學院的獎金，黎曼在1861年寫了一篇關於熱傳導的文章，這篇文章後來被稱為他的「巴黎之作」。文中對他1854年的文章作了技術性的加工，進一步闡明其幾何思想。該文在他死後收集在1876年他的《文集》中。

黎曼主要研究幾何空間的局部性質，他採用的是微分幾何的途徑，這同在歐幾里得幾何中或者在高斯、波爾約和羅巴切夫斯基的非歐幾何中把空間作為一個整體進行考慮是對立的。黎曼擺脫高斯等前人把幾何對象局限在三維歐幾里得空間的曲線和曲面的束縛，從維度出發，建立了更一般的抽象幾何空間。

黎曼引入流形和微分流形的概念，把維空間稱為一個流形，維流形中的一個點可以用個可變參數的一組特定值來表示，而所有這些點的全體構成流形本身，這個可變參數稱為流形的坐標，而且是可微分的，當坐標連續變化時，對應的點就遍歷這個流形。

黎曼仿照傳統的微分幾何定義流形上兩點之間的距離、流形上的曲線、曲線之間的夾角。並以這些概念為基礎，展開對維流形幾何性質的研究。在維流形上他也定義類似於高斯在研究一般曲面時刻劃曲面彎曲程度的曲率。他證明他在維流形上維數等於三時，歐幾里得空間的情形與高斯等人得到的結果是一致的，因而黎曼幾何是傳統微分幾何的推廣。

黎曼發展了高斯關於一張曲面本身就是一個空間的幾何思想，開展對維流形內蘊性質的研究。黎曼的研究導致另一種非歐幾何——橢圓幾何學的誕生。

在黎曼看來，有三種不同的幾何學。它們的差別在於通過給定一點做關於定直線所作平行線的條數。如果只能作一條平行線，即為熟知的歐幾里得幾何學；如果一條都不能作，則為橢圓幾何學；如果存在一組平行線，就得到第三種幾何學，即羅巴切夫斯基幾何學。黎曼因此繼羅巴切夫斯基以後發展了空間的理論，使得一千多年來關於歐幾里得平行公理的討論宣告結束。他斷言，客觀空間是一種特殊的流形，預見具有某種特定性質的流形的存在性。這些逐漸被後人一一予以證實。

由於黎曼考慮的對象是任意維數的幾何空間，對復雜的客觀空間有更深層的實用價值。所以在高維幾何中，由於多變數微分的復雜性，黎曼採取了一些異於前人的手段使表述更簡潔，並最終導致張量、外微分及聯絡等現代幾何工具的誕生。愛因斯坦就是成功地以黎曼幾何為工具，才將廣義相對論幾何化。現在，黎曼幾何已成為現代理論物理必備的數學基礎。

對微積分理論的創造性貢獻

黎曼除對幾何和復變函數方面的開拓性工作以外，還以其對19世紀初興起的完善微積分理論的傑出貢獻載入史冊。

18世紀末到19世紀初，數學界開始關心數學最龐大的分支——微積分在概念和證明中表現出的不嚴密性。波爾查諾、柯西、阿貝爾、狄利克萊進而到維爾斯特拉斯，都以全力的投入到分析的嚴密化工作中。黎曼由於在柏林大學從師狄利克萊研究數學，且對柯西和阿貝爾的工作有深入的了解，因而對微積分理論有其獨到的見解。

1854年黎曼為取得哥廷根大學編外講師的資格，需要他遞交一篇反映他學術水平的論文。他交出的是《關於利用三角級數表示一個函數的可能性的》文章。這是一篇內容豐富、思想深刻的傑作，對完善分析理論產生深遠的影響。

柯西曾證明連續函數必定是可積的，黎曼指出可積函數不一定是連續的。關於連續與可微性的關繫上，柯西和他那個時代的幾乎所有的數學家都相信，而且在後來50年中許多教科書都「證明」連續函數一定是可微的。黎曼給出了一個連續而不可微的著名反例，最終講清連續與可微的關系。

黎曼建立了如現在微積分教科書所講的黎曼積分的概念，給出了這種積分存在的必要充分條件。

黎曼用自己獨特的方法研究傅立葉級數，推廣了保證博里葉展開式成立的狄利克萊條件，即關於三角級數收斂的黎曼條件，得出關於三角級數收斂、可積的一系列定理。他還證明：可以把任一條件收斂的級數的項適當重排，使新級數收斂於任何指定的和或者發散。

解析數論的跨世紀成果

19世紀數論中的一個重要發展是由狄利克萊開創的解析方法和解析成果的導入，而黎曼開創了用復數解析函數研究數論問題的先例，取得跨世紀的成果。

1859年，黎曼發表了《在給定大小之下的素數個數》的論文。這是一篇不到十頁的內容極其深到的論文，他將素數的分布的問題歸結為函數的問題，現在稱為黎曼函數。黎曼證明了函數的一些重要性質，並簡要地斷言了其它的性質而未予證明。

在黎曼死後的一百多年中，世界上許多最優秀的數學家盡了最大的努力想證明他的這些斷言，並在作出這些努力的過程中為分析創立了新的內容豐富的新分支。如今，除了他的一個斷言外，其餘都按黎曼所期望的那樣得到了解決。

那個未解決的問題現稱為「黎曼猜想」，即：在帶形區域中的一切零點都位於去這條線上(希爾伯特23個問題中的第8個問題)，這個問題迄今沒有人證明。對於某些其它的域，布爾巴基學派的成員已證明相應的黎曼猜想。數論中很多問題的解決有賴於這個猜想的解決。黎曼的這一工作既是對解析數論理論的貢獻，也極大地豐富了復變函數論的內容。

組合拓撲的開拓者

在黎曼博士論文發表以前，已有一些組合拓撲的零散結果，其中著名的如歐拉關於閉凸多面體的頂點、棱、面數關系的歐拉定理。還有一些看起來簡單又長期得不到解決的問題：如哥尼斯堡七橋問題、四色問題，這些促使了人們對組合拓撲學(當時被人們稱為位置幾何學或位置分析學)的研究。但拓撲研究的最大推動力來自黎曼的復變函數論的工作。

黎曼在1851年他的博士論文中，以及在他的阿貝爾函數的研究里都強調說，要研究函數，就不可避免地需要位置分析學的一些定理。按現代拓撲學術語來說，黎曼事實上已經對閉曲面按虧格分類。值得提到的是，在其學位論文中，他說到某些函數的全體組成(空間點的)連通閉區域的思想是最早的泛函思想。

比薩大學的數學教授貝蒂曾在義大利與黎曼相會，黎曼由於當時病魔纏身，自身已無能力繼續發展其思想，把方法傳授給了貝蒂。貝蒂把黎曼面的拓撲分類推廣到高維圖形的連通性，並在拓撲學的其他領域作出傑出的貢獻。黎曼是當之無愧的組合拓撲的先期開拓者。

代數幾何的開源貢獻

19世紀後半葉，人們對黎曼研究阿貝爾積分和阿貝爾函數所創造的雙有理變換的方法產生極大的興趣。當時他們把代數不變數和雙有理變換的研究稱為代數幾何。

黎曼在1857年的論文中認為，所有能彼此雙有理變換的方程(或曲面)屬於同一類，它們有相同的虧格。黎曼把常量的個數叫做「類模數」，常量在雙有理變換下是不變數。「類模數」的概念是現在「參模」的特殊情況，研究參模上的結構是現代最熱門的領域之一。

著名的代數幾何學家克萊布希後來到哥廷根大學擔任數學教授，他進一步熟悉了黎曼的工作，並對黎曼的工作給予新的發展。雖然黎曼英年早逝，但世人公認，研究曲線的雙有理變換的第一個大的步驟是由黎曼的工作引起的。

黎曼在數學物理、微分方程等其他領域也取得了豐碩的成果。

黎曼不但對純數學作出了劃時代的貢獻，他也十分關心物理及數學與物理世界的關系，他寫了一些關於熱、光、磁、氣體理論、流體力學及聲學方面的有關論文。他是對沖擊波作數學處理的第一個人，他試圖將引力與光統一起來，並研究人耳的數學結構。他將物理問題抽象出的常微分方程、偏微分方程進行定論研究得到一系列豐碩成果。

黎曼在1857年的論文《對可用高斯級數表示的函數的理論的補充》，及同年寫的一個沒有發表而後收集在其全集中的一個片斷中，他處理了超幾何微分方程和討論帶代數系數的階線性微分方程。這是關於微分方程奇點理論的重要文獻。

19世紀後半期，許多數學家花了很多精力研究黎曼問題，然而都失敗了，直到1905年希爾伯特和Kellogg藉助當時已經發展了的積分方程理論，才第一次給出完全解。

黎曼在常微分方程理論中自守函數的研究上也有建樹，在他的1858～1859年關於超幾何級數的講義和1867年發表的關於極小正曲面的一篇遺著中，他建立了為研究二階線性微分方程而引進的自守函數理論，即現在通稱的黎曼——許瓦茲定理。

在偏微分方程的理論和應用上，黎曼在1858年～1859年論文中，創造性的提出解波動方程初值問題的新方法，簡化了許多物理問題的難度；他還推廣了格林定理；對關於微分方程解的存在性的狄里克萊原理作了傑出的工作……

黎曼在物理學中使用的偏微分方程的講義，後來由韋伯以《數學物理的微分方程》編輯出版，這是一本歷史名著。

不過，黎曼的創造性工作當時未能得到數學界的一致公認，一方面由於他的思想過於深邃，當時人們難以理解，如無自由移動概念非常曲率的黎曼空間就很難為人接受，直到廣義相對論出現才平息了指責；另一方面也由於他的部分工作不夠嚴謹，如在論證黎曼映射定理和黎曼—羅赫定理時，濫用了狄利克雷原理，曾經引起了很大的爭議。

黎曼的工作直接影響了19世紀後半期的數學發展，許多傑出的數學家重新論證黎曼斷言過的定理，在黎曼思想的影響下數學許多分支取得了輝煌成就。

I. 黎曼在數學上有什麼成就

1854年6月10日，為了取得哥廷根大學的講師職位，德國數學家黎曼(1826～1866)以「關於構成幾何基礎的假設」論文作了就職演講，受到了與會數學家們的認可和好評。

黎曼的這篇論文被人們認為是19世紀數學史上的傑作之一。事實上，當初為了確定論文的選題，黎曼向高斯提交了3個題目，讓高斯從中選定一個。其中第3個題目是涉及幾何基礎的，這個題目高斯已經考慮了6年之久，黎曼當時並沒有太多准備，因此他從心底里不希望高斯選中它，但高斯卻偏偏指定了第3個題目。

在演講中，黎曼提到他的思想受到兩方面的影響：一是高斯關於曲面的研究，一是赫爾巴特的哲學思想。全文分三個部分，第一部分是維流形的觀念，第二部分是維流形的測度關系，第三部分是對空間的應用。黎曼的這篇演講稿發展了高斯關於曲面的微分幾何研究，建立起黎曼幾何學的基礎，他的工作很快由繼承人進一步發展，成為後來廣義相對論的數學基礎。

黎曼一生著述不多，但幾平他的每一篇論文都是數學某一領域的開創性工作。有數學家評論說：「黎曼是一個富有想像的天才，他的想法即使沒有證明，也鼓舞了一個世紀的數學家。」黎曼是對現代數學影響最大的數學家之一。遺憾的是，這位偉大的數學家正值創造高峰時卻英年早逝，去世時還不到40歲。

J. 波恩哈德·黎曼這個人有多強

波恩哈德·黎曼這個人強到黎曼的工作直接影響了19世紀後半期的數學發展。

黎曼的工作直接影響了19世紀後半期的數學發展，許多傑出的數學家重新論證黎曼斷言過的定理，在黎曼思想的影響下數學許多分支取得了輝煌成就。

黎曼首先提出用復變函數論特別是用ζ函數研究數論的新思想和新方法，開創了解析數論的新時期，並對單復變函數論的發展有深刻的影響 。他是世界數學史上最具獨創精神的數學家之一，黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極富於對概念的創造與想像。

他的名字出現在黎曼ζ函數、黎曼積分、黎曼引理、黎曼流形、黎曼空間、黎曼映照定理、黎曼-希爾伯特問題、柯西-黎曼方程、黎曼思路回環矩陣中。

黎曼猜想：

黎曼留給後人的難題之一就是著名的黎曼猜想，是希爾伯特(Hilbert)在1900年提出的二十三個問題的第八個問題，現在又被列為千禧年七大難題之一。

它要求解決的是黎曼Ζeta函數ζ(s)的非平凡零點都位於復平面Re(s)=1/2直線上。數學家們把這條直線稱為臨界線。運用這一術語，黎曼猜想可以表述為：黎曼ζ(s)函數的所有非平凡零點都位於臨界線上。

2018年9月，邁克爾·阿蒂亞聲明證明黎曼猜想，將於9月24日海德堡獲獎者論壇上宣講。9月24日，邁克爾·阿蒂亞貼出了他證明黎曼假設（猜想）的預印本。