數學中的變式是什麼

⑴ 變式的概念和例子

變式一是指通過變更對象的非本質特徵以突出對象的本質特徵而形成的表現形式。二是指通過變更對象的本質特徵以突出對象的非本質特徵，從而顯示概念的內涵發生了變化。

二、變式教學的意義

1.它是概念掌握的一種有效的方式，也是定理公式理解與掌握的一種重要的方式，通過變式可以使抽象的概念、原理等變得更加形象、具體，從各個側面來展現概念、原理的內涵;另一方面，也可以通過變式，由特殊到一般，層層推進，歸納出具有一般性的結論，從而使得具體的、特殊的內容上升到一般性，使其理解更為深刻。

2.數學變式教學能培養學生的思維品質川。通過各種變式，揭示概念原理的實質，掌握其精髓，從而培養其思維的深刻性;通過各種變式展現概念原理靈活多變的形式等特點，並進行多方位、多角度的探索，提高數學應變能力，培養思維的靈活性和創新性;利用變式構造反例，揭示問題實質，培養其思維的批判性。

3.變式教學能培養學生的各種能力。運用各種圖形變式，在對比、辨析、聯想中培養學生的空間想像力;通過變式可以克服靜止、孤立、片面地看問題的習慣，消除思維定勢的影響，促使學生多角度、全方位地思考問題，從而培養學生的辯證思維能力等。

4.變式教學能激發學生的積極性和創新性。變式有助於啟發學生分析數學問題的已知、未知及其相互聯系，使其積極聯想與之有關的新舊知識，探求解題途徑。也鼓勵學生不滿足於會解一題，而是一類題;同時也不滿足於一題一解，而是一題多解、一題巧解、多題一解，誘發其創造型。通過對問題的變式，不僅可以對學生的基礎知識、基本技能進行有效訓練，而且能調動學生積極參與教學活動，減輕學生負擔，有利於學生創新能力的培養。

三、變式與數學概念的學習

1.通過直觀或具體的變式引入概念

數學概念的一個基本特徵是抽象性，但許多數學概念又直接來自具體的感性經驗，因此，概念引入教學的關鍵是建立感性經驗與抽象概念之間的聯系。在平時教學實踐中筆者發現，影響學生掌握幾何概念的主要因素有三個：己具備的圖形經驗、概念的敘述以及掌握概念所依據的圖形變式。以兩條異面直線的概念教學為例。

異面直線概念的教學主要有兩個難點：

一是概念的定義(內涵)比較抽象，學生不易理解;

二是異面直線屬於三維圖形，用平面直觀圖去表示難免會造成視覺上的失真，從而也為概念對象(外延)的鑒別帶來困難。

針對這兩個難點，我們老師通常會不自覺地用到下面兩類變式:首先通過教室中的直觀材料課桌、筆和書本建立感性認識，使學生理解概念的具體含義。

然後由直觀材料抽象出圖形變式，作為直觀材料與抽象概念之間的過渡，使學生原有的感性經驗從具體直觀上升到圖形的水平，進而掌握概念圖形的基本特徵，准確地把握概念的外延空間。

2.通過非標准變式突出概念的本質屬性

學生認知的膚淺性，往往表現為從問題次要的、表面的形式上去觀察和比較，而對問題主要的、本質的東西視而不見。

標准變式雖然有利於學生對概念的准確把握，但也容易限制學生的思維，從而人為地縮小概念的外延。解決這個問題的方法之一就是充分利用非標准變式，先顯示標準的常式，再出示非標準的變式即先揭示概念的內涵後揭示概念的外延。

筆者在教學中摸索出的一種有效途徑就是將概念的外延作為變式空間，將其所包含的對象作為變式，通過類化不同變式的共同屬性而突出概念的本質屬性。

3.通過非概念變式明確概念的外延

概念的內涵和外延是對立統一的，內涵明確則外延清晰。概念的教學除了在內涵上下功夫外，還應該使學生對概念所包含的對相集合有一個清晰的邊界。

要明確概念的外延就必須劃清概念與其相近概念之間的邊界，這里的一條有效途徑就是利用「非概念變式」，如：平面幾何中的非概念圖形，通過非概念圖形與概念圖形的比較，可以十分直觀的理解概念的本質屬性。

4.通過辨析型變式進一步深化概念的理解在概念形成之後，不急於應用概念解題，而是多角度、多方位、多層次地設計變式問題，給出有正有誤或全誤的解答，或一個問題給出多個答案，啟發學生辨別正誤，說出根據，幫助學生通過現象看本質。

通常是針對一些數學概念因內容或形式的相似、相近，易造成混淆，而在教學中設計這類問題，使學生學會客觀的評價事物，培養學生批判性思維。如：引導學生探索長方體體積的計算方法。首先安排長方體體積與長方形面積的類比，啟發學生猜測長方體的體積可能與長、寬、高有關。

然後變化長方體的長、寬、高中的一個量，比較體積的變化，使學生分別體會到「長、寬相同時，越高體積越大」、「長、高相同時，越寬體積越大」、「寬、高相同時，越長體積越大」。究竟長方體的體積與長、寬、高有什麼關系呢?接著安排操作活動，引導學生用小正方體擺4個不同的長方體，並記下長、寬、高等有關數據。通過觀察、分析這些數據，發現長方體體積與長、寬、高的關系，逐步歸納得出長方體體積的計算方法。

⑵ 數學變式什麼意思

就是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉化。即教師可不斷更換命題中的非本質特徵；變換問題中的條件或結論；轉換問題的內容和形式；配置實際應用的各種環境，但應保留好對象中的本質因素，從而使學生掌握數學對象的本質屬性。

⑶ 什麼是教學方法中的變式法

變式教學法,它的核心是利用構造一系列變式的方法,來展示知識發生、發展過程,數學問題的結構和演變過程,解決問題的思維過程,以及創設暴露思維障礙情境,從而,形成一種思維訓練的有效模式.它的主要作用在於凝聚學生的注意力,培養學生在相同條件下遷移、發散知識的能力.它能做到結構清晰、層次分明,使優、中、差的學生各有所得,嘗試到成功的樂趣,並激發學生的學習熱情,達到舉一反三、觸類旁通的效果,使他們的應變能力得以提高,進而提高教學質量.

⑷ 初一數學定理教學中的變式（具體實施的措施）

素質教育是以培養具有創造性思維和創造能力的人才為目標而進行的創新教育為歸宿的教育。在課堂教學中落實素質教育，就要貫穿「學生為主體，訓練為主線，能力為主攻」的原則。現代數學課程標准指出：數學教學不僅僅要使學生獲得數學基礎知識,基本技能，更要獲得數學思想和觀念，形成良好的數學思維品質,要通過各種途徑，讓學生體會數學思考和創造的過程，增強學習的興趣和自信心,不斷提高自主學習的能力。所以加強在教學中注重變式訓練，可以促使學生的思維向多層次、多方向發散，幫助學生在問題的解答過程中去尋找解類似問題的思路、方法，有意識地展現教學過程中教師與學生數學思維活動的過程，充分調動學生學習的積極性、主動地參與教學的全過程，培養學生獨立分析和解決問題的能力，以及大膽創新、勇於探索的精神，從而真正把學生能力的培養落到實處。
所謂數學變式訓練，即是指在數學教學過程中對概念、性質、定理、公式，以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或形式發生變化，而本質特徵卻不變。數學教學，使學生理解知識僅僅是一個方面，更主要的是要培養學生的思維能力，掌握數學的思想和方法。
變式其實就是創新。當然變式不是盲目的變，應抓住問題的本質特徵，遵循學生認知心理發展，根據實際需要進行變式。實施變式訓練應抓住思維訓練這條主線，恰當的變更問題情境或改變思維角度，培養學生的應變能力，引導學生從不同途徑尋求解決問題的方法。通過多問、多思、多用等激發學生思維的積極性和深刻性。下面本人結合理論學習和數學課堂教學的實踐，談談在數學教學中如何進行變式訓練培養學生的思維能力。
一、在形成數學概念的過程中，利用變式啟發學生積極參與觀察、分析、歸納，培養學生正確概括的思維能力。
從培養學生思維能力的要求來看，形成數學概念，提示其內涵與外延，比數學概念的定義本身更重要。在形成概念的過程中，可以利用變式引導學生積極參與形成概念的全過程，讓學生自己去「發現」、去「創造」，通過多樣化的變式提高學生學習的積極性，培養學生的觀察、分析以及概括能力。
通過對式子的變形，可以對概念的理解逐漸加深，對概念中本質的東西有個非常清晰的認識，因此教師在以後的練習中也明確類似知識點的考查方向，防止教師盲目出題，學生盲目練習，在有限的時間內使得效益最大化。
二、在理解定理和公式的過程中，利用變式使學生深刻認知定理和公式中概念間的多種聯系，從而培養學生多向變通的思維能力。
數學思維的發展，還賴於掌握、應用定理和公式，去進行推理、論證和演算。由於定理和公式的實質，也是人們對於概念之間存在的本質聯系的概括，所以掌握定理和公式的關鍵在於明確理解定理和公式中概念的聯系，對於這種聯系的任何形式的機械的理解，是不能熟練、靈活應用定理和公式的根源，它是缺乏多向變通思維能力的結果。因此在定理和公式的教學中，也可利用變式，展現相關定理和公式之間的聯系以及定理、公式成立依附的條件，培養學生辨析與定理和公式有關的判斷，運用。
通過變式訓練，是要防止形式地、機械地背誦、套用公式和定理提高學生變通思考問題和靈活應用概念、公式以及定理的能力。
三、在解題教學中，利用變式來改變題目的條件或結論，揭示條件、目標間的聯系，解題思路中的方法之間的聯系與規律，從而培養學生聯想、轉化、推理、歸納、探索的思維能力。
（一）多題一解，適當變式，.培養學生求同存異的思維能力。
許多數學習題看似不同，但它們的內在本質（或者說是解題的思路、方法是一樣的），這就要求教師在教學中重視對這類題目的收集、比較，引導學生尋求通法通解，並讓學生自己感悟它們之間的內在聯系，形成數學思想方法。
（二）一題多解，觸類旁通，培養學生發散思維能力，培養學生思維的靈活性。
一題多解的實質是以不同的論證方式，反映條件和結論的必然本質聯系。在教學中教師應積極地引導學生從各種途徑，用多種方法思考問題。這樣，既可暴露學生解題的思維過程，增加教學透明度，又能使學生思路開闊，熟練掌握知識的內在聯系。這方面的例子很多，尤其是幾何證明題。通過一題多解，讓學生從不同角度思考問題、解決問題，可以引起學生強烈的求異慾望，培養學生思維的靈活性。
（三）一題多變，總結規律，培養學生思維的探索性和深刻性。
通過變式教學，不是解決一個問題，而是解決一類問題，遏制「題海戰術」，開拓學生解題思路，培養學生的探索意識，實現「以少勝多」。
伽利略曾說過「科學是在不斷改變思維角度的探索中前進的」。故而課堂教學要常新、善變，通過原題目延伸出更多具有相關性、相似性、相反性的新問題，深刻挖掘例習題的教育功能。
譬如書本上有這樣一道題，求證：順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。教師可以不失時機地進行變式，調動起學生的思維興趣。變式（1）順次連接矩形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？變式（2）順次連接菱形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？變式（3）順次連接正方形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？做完這四個練習，教師還可以進一步引導學生概括影響組成圖形形狀的本質的東西是原來四邊形的對角線所具有的特徵。
又如應用題教學是初中教學中的一個難點，在教學中就可以把同類型的題目通過變式的方式展現給學生，把學生的思維逐步引向深刻。
例如在講解一元一次方程的實踐和探究這節課時，教師從奧運冠軍孟關良訓練為題材編了一題關於追及問題的應用題，一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20米孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？然後教師可對本例作以下變式。
變式1：一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20秒，孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？（從先行20米改為先行了20秒）
變式2：我們學校有一塊300米的跑道在比賽跑步時經常會涉及到相遇問題和追及問題
現有甲、乙兩人比賽跑步，甲的速度是10米/秒，乙的速度是8米/秒，他們兩人同地出發
（1）兩人同時相向而行經過幾秒兩人相遇。
（2）兩人同時同向而行經過幾秒兩第一次相遇。
（3）乙先出發5秒，然後甲開始出發，問甲經過幾秒兩人第一次相遇。
這題該為平時學生熟悉的操場環形跑道，這里三題也是一組變式題，（1）、（2）是同時同地出發的相遇和追及問題，（3）是不同時出發相遇和追及問題，這題還蘊涵著分類討論的思想。
變式3：一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了10秒，教練要求他用45秒追上快艇，孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，他以每秒6米的速度劃行，劃了5秒後他發現用這樣的速度不能在規定的時間內追上，請問他的想法用45秒不能追上快艇對不對？如果他要追上請你算一算孟關良後來要用多少速度才能在規定的時間內追上快艇？
這樣的變式覆蓋了同時出發相遇問題、不同時出發相遇問題、同時出發和不同時出發的追及問題等行程問題的基本類型。這樣通過一個題的練習既解決了一類問題，又歸納出各量之間最本質的東西，今後碰到類似問題學生思維指向必定準確，很好培養了學生思維的深刻性。學生也不必陷於題海而不能自拔。
（三）一題多問，通過變式引申發展，擴充、發展原有功能，培養學生的創新意識和探究、概括能力。
牛頓說過：「沒有大膽的猜想就做不出偉大的發現。」中學生的想像力豐富，因此，可以通過例題所提供的結構特點，鼓勵、引導學生大膽地猜想，以培養學生的創造性思維和發散思維。
教學中要特別重視對課本例題和習題的「改裝」或引申。數學的思想方法都隱藏在課本例題或習題中，我們在教學中要善於對這類習題進行必要的挖掘，即通過一個典型的例題，最大可能的覆蓋知識點，把分散的知識點串成一條線，往往會起到意想不到的效果，有利於知識的建構。 總之，在數學課堂教學中，遵循學生認知發展規律，根據教學內容和目標加強變式訓練，對鞏固基礎、培養思維、提高能力有著重要的作用。特別是，變式訓練能培養培養學生敢於思考，敢於聯想，敢於懷疑的品質，培養學生自主探究能力與創新精神。當然，課堂教學中的變式題最好以教材為源，以學生為本，體現出「源於課本，高於課本」，並能在日常教學中滲透到學生的學習中去。讓學生也學會「變題」，使學生自己去探索、分析、綜合，以提高學生的數學素質。

⑸ 什麼叫變式題

1.變式題是指所用的思想方法類似,但形式不同的一類問題.
2.可以從性質、解題方法、圖像等方面進行變式.
3.例如,比較2^3與2^5的大小 變式：求2^x>1的解集.

⑹ 怎麼樣在中學數學教學中進行變式訓練

所謂數學變式訓練，即是指在數學教學過程中對概念、性質、定理、公式，以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或形式發生變化，而本質特徵卻不變。數學教學，使學生理解知識僅僅是一個方面，更主要的是要培養學生的思維能力，掌握數學的思想和方法。
變式其實就是創新。當然變式不是盲目的變，應抓住問題的本質特徵，遵循學生認知心理發展，根據實際需要進行變式。實施變式訓練應抓住思維訓練這條主線，恰當的變更問題情境或改變思維角度，培養學生的應變能力，引導學生從不同途徑尋求解決問題的方法。通過多問、多思、多用等激發學生思維的積極性和深刻性。下面本人結合理論學習和數學課堂教學的實踐，談談在數學教學中如何進行變式訓練培養學生的思維能力。

一、在形成數學概念的過程中，利用變式啟發學生積極參與觀察、分析、歸納，培養學生正確概括的思維能力。

從培養學生思維能力的要求來看，形成數學概念，提示其內涵與外延，比數學概念的定義本身更重要。在形成概念的過程中，可以利用變式引導學生積極參與形成概念的全過程，讓學生自己去「發現」、去「創造」，通過多樣化的變式提高學生學習的積極性，培養學生的觀察、分析以及概括能力。

通過對式子的變形，可以對概念的理解逐漸加深，對概念中本質的東西有個非常清晰的認識，因此教師在以後的練習中也明確類似知識點的考查方向，防止教師盲目出題，學生盲目練習，在有限的時間內使得效益最大化。

二、在理解定理和公式的過程中，利用變式使學生深刻認知定理和公式中概念間的多種聯系，從而培養學生多向變通的思維能力。

數學思維的發展，還賴於掌握、應用定理和公式，去進行推理、論證和演算。由於定理和公式的實質，也是人們對於概念之間存在的本質聯系的概括，所以掌握定理和公式的關鍵在於明確理解定理和公式中概念的聯系，對於這種聯系的任何形式的機械的理解，是不能熟練、靈活應用定理和公式的根源，它是缺乏多向變通思維能力的結果。因此在定理和公式的教學中，也可利用變式，展現相關定理和公式之間的聯系以及定理、公式成立依附的條件，培養學生辨析與定理和公式有關的判斷，運用。

通過變式訓練，是要防止形式地、機械地背誦、套用公式和定理提高學生變通思考問題和靈活應用概念、公式以及定理的能力。

三、在解題教學中，利用變式來改變題目的條件或結論，揭示條件、目標間的聯系，解題思路中的方法之間的聯系與規律，從而培養學生聯想、轉化、推理、歸納、探索的思維能力。

（一）多題一解，適當變式，.培養學生求同存異的思維能力。

許多數學習題看似不同，但它們的內在本質（或者說是解題的思路、方法是一樣的），這就要求教師在教學中重視對這類題目的收集、比較，引導學生尋求通法通解，並讓學生自己感悟它們之間的內在聯系，形成數學思想方法。

（二）一題多解，觸類旁通，培養學生發散思維能力，培養學生思維的靈活性。

一題多解的實質是以不同的論證方式，反映條件和結論的必然本質聯系。在教學中教師應積極地引導學生從各種途徑，用多種方法思考問題。這樣，既可暴露學生解題的思維過程，增加教學透明度，又能使學生思路開闊，熟練掌握知識的內在聯系。這方面的例子很多，尤其是幾何證明題。通過一題多解，讓學生從不同角度思考問題、解決問題，可以引起學生強烈的求異慾望，培養學生思維的靈活性。

（三）一題多變，總結規律，培養學生思維的探索性和深刻性。

通過變式教學，不是解決一個問題，而是解決一類問題，遏制「題海戰術」，開拓學生解題思路，培養學生的探索意識，實現「以少勝多」。

伽利略曾說過「科學是在不斷改變思維角度的探索中前進的」。故而課堂教學要常新、善變，通過原題目延伸出更多具有相關性、相似性、相反性的新問題，深刻挖掘例習題的教育功能。

譬如書本上有這樣一道題，求證：順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。教師可以不失時機地進行變式，調動起學生的思維興趣。變式（1）順次連接矩形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？變式（2）順次連接菱形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？變式（3）順次連接正方形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？做完這四個練習，教師還可以進一步引導學生概括影響組成圖形形狀的本質的東西是原來四邊形的對角線所具有的特徵。

又如應用題教學是初中教學中的一個難點，在教學中就可以把同類型的題目通過變式的方式展現給學生，把學生的思維逐步引向深刻。

例如在講解一元一次方程的實踐和探究這節課時，教師從奧運冠軍孟關良訓練為題材編了一題關於追及問題的應用題，一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20米孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？然後教師可對本例作以下變式。

變式1：一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20秒，孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？（從先行20米改為先行了20秒）

變式2：我們學校有一塊300米的跑道在比賽跑步時經常會涉及到相遇問題和追及問題

現有甲、乙兩人比賽跑步，甲的速度是10米/秒，乙的速度是8米/秒，他們兩人同地出發

（1）兩人同時相向而行經過幾秒兩人相遇。

（2）兩人同時同向而行經過幾秒兩第一次相遇。

（3）乙先出發5秒，然後甲開始出發，問甲經過幾秒兩人第一次相遇。

這題該為平時學生熟悉的操場環形跑道，這里三題也是一組變式題，（1）、（2）是同時同地出發的相遇和追及問題，（3）是不同時出發相遇和追及問題，這題還蘊涵著分類討論的思想。

變式3：一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了10秒，教練要求他用45秒追上快艇，孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，他以每秒6米的速度劃行，劃了5秒後他發現用這樣的速度不能在規定的時間內追上，請問他的想法用45秒不能追上快艇對不對？如果他要追上請你算一算孟關良後來要用多少速度才能在規定的時間內追上快艇？

這樣的變式覆蓋了同時出發相遇問題、不同時出發相遇問題、同時出發和不同時出發的追及問題等行程問題的基本類型。這樣通過一個題的練習既解決了一類問題，又歸納出各量之間最本質的東西，今後碰到類似問題學生思維指向必定準確，很好培養了學生思維的深刻性。學生也不必陷於題海而不能自拔。

（三）一題多問，通過變式引申發展，擴充、發展原有功能，培養學生的創新意識和探究、概括能力。

牛頓說過：「沒有大膽的猜想就做不出偉大的發現。」中學生的想像力豐富，因此，可以通過例題所提供的結構特點，鼓勵、引導學生大膽地猜想，以培養學生的創造性思維和發散思維。

教學中要特別重視對課本例題和習題的「改裝」或引申。數學的思想方法都隱藏在課本例題或習題中，我們在教學中要善於對這類習題進行必要的挖掘，即通過一個典型的例題，最大可能的覆蓋知識點，把分散的知識點串成一條線，往往會起到意想不到的效果，有利於知識的建構。

總之，在數學課堂教學中，遵循學生認知發展規律，根據教學內容和目標加強變式訓練，對鞏固基礎、培養思維、提高能力有著重要的作用。特別是，變式訓練能培養培養學生敢於思考，敢於聯想，敢於懷疑的品質，培養學生自主探究能力與創新精神。當然，課堂教學中的變式題最好以教材為源，以學生為本，體現出「源於課本，高於課本」，並能在日常教學中滲透到學生的學習中去。讓學生也學會「變題」，使學生自己去探索、分析、綜合，以提高學生的數學素質。

⑺ 小學數學教學中的變式教學

所謂「變式」，就是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉化。在新課程標準的指引下，數學教學方法也在不斷改進、創新。數學教學不應局限於一個狹窄的課本知識領域里，應該是讓學生對知識和技能初步理解與掌握後，進一步的深化和熟練，使學生在學習中學會運用課本的知識舉一反三，應用數學「變式教學」的方法是十分有效的手段。

一、概念性變式

數學概念在教學中的變式主要包括兩類：一類是改變概念的外延的呈現，即概念外在形式在變化，屬於概念外延集合的變式；另一類是改變數學概念的內涵，即呈現於原概念有某些相同非本質屬性的反例，它不屬於原概念的外延集合。概念性變式是小學數學概念教學中的重要手段，其作用是幫助學生「去偽存真」，獲取對概念的多角度理解與較全面的認識。

1．變化概念的非本質屬性

所謂概念的非本質屬性，是指對該概念不具有決定意義的屬性。變化概念的非本質屬性是在小學數學概念教學中採用最多的概念性變式。它的心理學依據是，概念變式在轉換事物非本質特徵時呈現了事物表象的多樣性，豐富學生的感性經驗，使他們認識概念外延集合的各種典型代表。

例如，在教學「梯形的認識」，一般教師都會給出一些「非標准」的梯形讓學生識別，以幫助學生排除標准圖形所帶來的負面干擾，避免出現誤將「上底長，下底短，腰反向（腰相等），無直角」等非本質屬性當作梯形本質特徵的片面認識。

那麼，這一行之有效的教學方式如何在新課程改革背景下「與時俱進」呢？我認為可以盡可能地創造條件，變「教師演，學生看」為學生自己動手操作。仍以「梯形的認識」教學為例，我嘗試了兩種方式。

一是讓學生把平行四邊形沿直線剪成兩個四邊形，使它們都不是平行四邊形（如圖1）。

二是讓學生用半透明的長方形與三角形紙片重疊出四邊形（如圖2）。

同樣是觀察變化非本質屬性的變式圖形，但觀察對象不是教師提供的，而是學生自己動手構造的，兩種方式都能使學生在生成性操作與觀察活動中動態地認識發現梯形的共同特徵，取得了較好的效果。這也說明變式直觀的教學效果，在一定程度上取決於學生的主動性及獨立性的發揮。

2．變化概念的本質屬性

所謂本質屬性，是指該類事物獨有的、必然具有的，因而也是能與其他事物加以區分的屬性。教學中適當地變化概念的本質屬性，讓學生通過辨析，從反例、錯誤中體會概念的本質屬性，促進理解。

在實際教學中，上述兩種概念變式也可以結合使用。例如「垂直」的概念辨析，圖中是標准圖形，是本質屬性的改變，則是非本質屬性的改變，它們從正反兩面揭示了垂直概念的本質特徵。讓學生看圖做出正確的判斷，從而達到多角度理解概念，確切地把握概念本質特徵的教學目標。

二、過程性變式

學生的數學學習過程是一個自主構建對數學知識理解的過程，他們帶著自己原有的知識背景，活動背景和理解走進學習活動，並通過自己的主動活動，去建構對數學的理解。在小學數學教學實施過程性變式，旨在優化學生的學習過程，通過變式鋪墊，建立學習對象與學習者已有知識內在、合理的聯系，使學生逐步獲取知識或解決問題。這也是數學數學課程改革理念在課堂教學中得到具體落實的體現。

1．意義建構的過程變式

意義建構的過程是新信息與長時記憶進行試驗聯系的過程，其中伴隨著一個隨時對建構結果進行檢驗的過程。為達成所學數學知識的有意義建構，教師就應關注學生的最近發展區，所謂最近發展區，指的是學習者獨立問題的解決實際能力與在成人知道下或更有能力的夥伴合作下所達到的潛在發展水平之間的距離。教師在教學中實施意義建構的變式教學，就是強調教師通過適當的、動態的變式，引發、促進學生最近發展區的形成，最終實現潛在的發展水平。教學中，教師們常有的過程性變式教學策略「鋪墊」就是形成數學知識意義建構的有效教學方式。

2．規律探究的過程變式

小學數學中的一些比較適合讓學生進行探究學習的內容，比如關於物體面與體的很多計算公式，它們既具有相對的獨立性，又有互相滲透，互相聯系的層次性。

以梯形面積公式的推導為例，在此之前學生已經掌握了長方形（包括正方形）、平行四邊形、三角形面積的計算公式，對圖形的轉換以及對轉換思路「將面積計算公式未知的圖形轉換成面積計算公式已知的圖形」也有了一定的認識。這些都是探究梯形面積公式時可利用的基礎。

教學時先復習長方形、平行四邊形、三角形的面積計算公式，並讓學生敘述平行四邊形，三角形的面積計算公式的推導過程。

接著提出探究目標：找出梯形的面積計算公式。

啟發學生思考：

①你打算把梯形轉化為什麼面積公式已知的圖形？

②怎麼轉化，是拼，還是割補，還是劃分？

③你會計算轉化後圖形的面積嗎？

④試一試，總結梯形面積計算公式。

在探究、交流的過程中，各種轉化變式的出現是隨機的，一節課內學生想到的變式種數也有較大的差異。我的對策是學生能得出幾種就出示、交流幾種，不求全。如果轉化為平行四邊形、長方形、三角形的三條基本思路和拼、割補、劃分的三種基本方法有缺失，就啟發感興趣的學生課後繼續探究。同樣，學生採用不同的方法得到的不同演算法，也不強求統一成梯形面積計算公式的標准形式。因為多樣化的演算法有利於開拓學生的思路，這也是實施過程性變式的目的之一。事實上學生最終都會認同梯形面積計算公式的標准形式：。

不同的學生數學學習的差異是客觀存在的，規律探究的過程性變式關注的是學生的探究與體驗，教師構建適當的變異空間，鋪設適當的潛在距離，不同學生經歷的過程、獲得結果與感悟有所差異是自然的、正常的。

三、訓練性變式

數學訓練是數學教學不可缺少的環節，也是獲取數學知識的有效手段。訓練性變式包括訓練題目的變式、解決方法的變式與訓練實施的變式。數學的訓練變式由來已久，很多教師都在自覺或不自覺設計、實施變式訓練，但在以往的教學實踐中多數教師最為關注的是解題方法的變式，追求解題方法的多樣性。這里著重從習題的設計的視角討論訓練題的變式。

1．擴縮性變式

擴縮性變式就是依據數學知識之間內在的聯系，在習題設計時採用改變條件或改變問題的方式，使數學問題的結構由簡單到復雜（擴）或由復雜到簡單（縮）地發生變化，以幫助學生「拾級而上」。「擴」反映了認知與訓練逐步遞進的發展、變化與深入，是一種「由薄到厚」的學習、訓練過程；「縮」則體現了數學的「化歸」思想．是一種「由厚到薄」的學習、訓練過程。

例如．「解方程」的綜合性練習可設計如下變式題組：

這是由簡到繁的設計，意在凸顯方程求解過程就是運用等式性質不斷化簡方程的過程，最終得到最簡方程x＝2，從而幫助學生明確解方程的思路，掌握解方程的方法。實踐表明，學生通過練習，確能有所感悟。

擴縮性變式在小學數學實際問題解決的教學與訓練中有著比較廣泛的應用，通常表現為把一個只需一步或兩步計算的實際問題改變成需要兩步、三步計算才能解決的實際問題，或者相反。這是問題解決復習課最常用的教學與訓練方式之一，它能讓學生看到實際問題發展變化的來龍去脈，有利於幫助學生形成「以簡馭繁」的思路。

2．可逆性變式

可逆性變式是指數學題目中的條件與問題互相置換的變化。它要求教師在對學生進行正向思維訓練的同時關注逆向思維的訓練．從而有效地培養學生思維的變通性。可逆性變式也是實際問題解決的常用教學手段。例如，要求學生將求路程的題目改編成求時間或求速度的題目。實踐表明，經常進行這種實際問題改編的口頭練習，有助於學生掌握相關問題的結構，多側面地掌握數量關系。

3．情境性變式

情境性變式主要用於實際問題解決的教學，通常是保留問題的數學模型，改變問題情境的內容。情境性變式不僅有利於學生「體會數學與自然及人類社會的密切聯系，了解數學的價值。增進對數學的理解和學好數學的信心」，還有助於提高學生運用所學數學知識分析、解決實際問題的能力。

例如，以「雞兔同籠」問題為原型，我們設計了一組情境性變式：

①拼裝9輛三輪車和自行車，共用了22個車輪。三輪車和自行車各裝了幾輛?

②l8個同學同時在6張乒乓球桌上進行單打、雙打比賽。有幾個同學在單打?

通過練習．使學生透過不同的問題情境看到相同的數學實質，如果列成方程，這些方程具有相同的結構形式：⑴設三輪車裝了x輛，依題意，得方程3x＋2(9－x)＝22；⑵設有x張球桌在單打，依題意，得方程2x＋4(6－x)＝18。

顯然，這對發展學生的抽象概括能力、對培養學生初步的數學建模能力都是非常有益的。

4．開放性變式

開放性變式是指改變題目的條件或者問題，使答案或解題策略具有多樣性。它能突破思維定勢的束縛。促進發散性思維的生成，是培養學生數學思維靈活性的一種有效途徑。開放性變式可以分為條件開放、結論開放、策略開放三種類型。

條件開放如「在一條筆直的公路上，小明和小剛騎車同時從相距500米的甲乙兩地出發，小明每分鍾行200米，小剛每分鍾行300米，多少時間後，兩人相距5000米」。這里去掉了兩人的運動方向，導致出現相向、背向、同向（小明在前或小剛在前）等多種情況。

結論開放如「把正方形劃分成四個形狀、大小都相同的圖形，你能想到幾種分法」。

策略開放最常見的就是所謂「一題多解」的訓練。這里就不再舉例了。

一般來說，開放性變式訓練應當在一定的基礎性練習之後。根據教與學的需要設計並酌情進行。恰到好處的條件開放、結論開放、策略開放的變式訓練，能夠激發學生參與數學練習的興趣，在達成知識技能學習目標的同時，也有利於學生發散思維、求異思維、直覺思維的培養。

此外，上面分別討論的幾種變式訓練方式也可以綜合使用，即形成「綜合性變式」。例如，上面擴縮性變式給出的方程，其方程的解都是x＝2，反過來，要求學生「寫出解是x＝2的方程」。這就是比較典型的可逆性變式與開放性變式相結合的變式訓練。

變式教學可以讓教師有目的、有意識地引導學生從「變」的現象中發現「不變」的本質，從「不變」的本質中探究「變」的規律，可以幫助學生使所學的知識點融會貫通，從而讓學生在無窮的變化中領略數學的魅力，體會學習數學的樂趣。

總之，在新課標下的教師要不斷更新觀念，因材施教，繼續完善好「變式」教學模式，最終達到提高教學質量的目的，並為學生學好數學、用好數學打下良好的基礎。

⑻ 如何在初中數學課中進行變式教學

一、遞進變異

遞進變異是指題目由特殊到一般的變異，而解題需要的基礎知識保持不變。一是題目的條件由特殊到一般，由簡單到復雜變異，這樣可形成遞進式變式題組。遞進式變式題組是指在課堂教學中，為了達到某一教學目的，根據學生的認知規律，合理、有效地設計一組數學問題，且這組數學問題又有一定的內在邏輯聯系，即前一個問題是後一個問題的特殊情況，後一個問題是前一個問題的一般的、情況，這樣由特殊到一般的題目組合稱為遞進式變式題組。這種遞進式變式題組，層層遞進，由淺入深，由簡到繁，循序漸進，螺旋式上升，有利於學生對問題本質的深刻理解，進而掌握解題規律、突破教學難點。二是在解題的一般規律不變的情況下，通過變化非本質屬性，有利於學生從中分離出一般的規律。三是有利於不同層次的學生。由於問題由簡單到復雜，可使不同層次的學生順著台階一步步的往上爬，並從中掌握一般規律。例如，在「分式」的教學中，設計如下作業。

案例1：

六、幾點思考

第一，基於變異理論進行變式教學，題目的變異要圍繞不變的本質而展開。變異的目的是要學生通過幾個實例發現並總結、歸納出解決問題的一般性原理（規律）. 因此，在進行變異時，首先要明確問題的本質，然後圍繞問題的本質不變，變化非本質屬性，以突出問題的本質屬性，使此類問題的一般性原理凸出出來。

第二，重復有利於提高學生數學知識的記憶強度。變異是在本質不變的情況下展開的，也就是說學生解答此類問題運用的思想方法是相同的. 因此，學生要重復使用相同的原理解答題目，是一種重復的思維活動。認知心理學的研究表明，重復可以增強學生對知識的記憶，能夠使長時記憶中的記憶強度增加，即記憶的痕跡大，這樣在學生解答其他問題時，便於從長時記憶中提取需要遷移的信息，從而提高分析問題和解決問題的能力。

第三，變異有利於不同層次學生發現並總結掌握問題的一般原理。學生之間的差異是客觀存在的，不同的學生其解決問題的能力，以及歸納、概括的能力是不同的. 因此，在進行題目變異時，要使題目有一定的梯度，也就是要遞進式變異，由簡單到復雜，從而使不同層次的學生都能夠從中分析並發現一般性的原理。