數學拓撲是什麼

㈠ 拓撲是什麼

拓撲
拓撲學的由來

幾何拓撲學是十九世紀形成的一門數學分支，它屬於幾何學的范疇。有關拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現了。那時候發現一些孤立的問題，後來在拓撲學的形成中占著重要的地位。

在數學上，關於哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等都是拓撲學發展史的重要問題。

哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯結起來。人們閑暇時經常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最後又回到原來的位置。這個問題看起來很簡單有很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。看來要得到一個明確、理想的答案還不那麼容易。

1736年，有人帶著這個問題找到了當時的大數學家歐拉，歐拉經過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出了解答。歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那麼這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經過進一步的分析，歐拉得出結論——不可能每座橋都走一遍，最後回到原來的位置。並且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。這是拓撲學的「先聲」。

在拓撲學的發展歷史中，還有一個著名而且重要的關於多面體的定理也和歐拉有關。這個定理內容是：如果一個凸多面體的頂點數是v、棱數是e、面數是f，那麼它們總有這樣的關系：f+v-e=2。

根據多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個有趣的事實：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。

著名的「四色問題」也是與拓撲學發展有關的問題。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。

四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：「看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。」

1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。但後來數學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。於是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。

進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩台不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明。不過不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。

上面的幾個例子所講的都是一些和幾何圖形有關的問題，但這些問題又與傳統的幾何學不同，而是一些新的幾何概念。這些就是「拓撲學」的先聲。

什麼是拓撲學？

拓撲學的英文名是Topology，直譯是地誌學，也就是和研究地形、地貌相類似的有關學科。我國早期曾經翻譯成「形勢幾何學」、「連續幾何學」、「一對一的連續變換群下的幾何學」，但是，這幾種譯名都不大好理解，1956年統一的《數學名詞》把它確定為拓撲學，這是按音譯過來的。

拓撲學是幾何學的一個分支，但是這種幾何學又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之間的位置關系以及它們的度量性質。拓撲學對於研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關系都無關。

舉例來說，在通常的平面幾何里，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如果完全重合，那麼這兩個圖形叫做全等形。但是，在拓撲學里所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發生變化。在拓撲學里沒有不能彎曲的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如，前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數。這些就是拓撲學思考問題的出發點。

拓撲性質有那些呢？首先我們介紹拓撲等價，這是比較容易理解的一個拓撲性質。

在拓撲學里不討論兩個圖形全等的概念，但是討論拓撲等價的概念。比如，盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓撲變換下，它們都是等價圖形。左圖的三樣東西就是拓撲等價的，換句話講，就是從拓撲學的角度看，它們是完全一樣的。

在一個球面上任選一些點用不相交的線把它們連接起來，這樣球面就被這些線分成許多塊。在拓撲變換下，點、線、塊的數目仍和原來的數目一樣，這就是拓撲等價。一般地說，對於任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓撲變幻，就存在拓撲等價。

應該指出，環面不具有這個性質。比如像左圖那樣，把環面切開，它不至於分成許多塊，只是變成一個彎曲的圓桶形，對於這種情況，我們就說球面不能拓撲的變成環面。所以球面和環面在拓撲學中是不同的曲面。

直線上的點和線的結合關系、順序關系，在拓撲變換下不變，這是拓撲性質。在拓撲學中曲線和曲面的閉合性質也是拓撲性質。

我們通常講的平面、曲面通常有兩個面，就像一張紙有兩個面一樣。但德國數學家莫比烏斯(1790～1868)在1858年發現了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來塗滿兩個側面。

拓撲變換的不變性、不變數還有很多，這里不在介紹。

拓撲學建立後，由於其它數學學科的發展需要，它也得到了迅速的發展。特別是黎曼創立黎曼幾何以後，他把拓撲學概念作為分析函數論的基礎，更加促進了拓撲學的進展。

二十世紀以來，集合論被引進了拓撲學，為拓撲學開拓了新的面貌。拓撲學的研究就變成了關於任意點集的對應的概念。拓撲學中一些需要精確化描述的問題都可以應用集合來論述。

因為大量自然現象具有連續性，所以拓撲學具有廣泛聯系各種實際事物的可能性。通過拓撲學的研究，可以闡明空間的集合結構，從而掌握空間之間的函數關系。本世紀三十年代以後，數學家對拓撲學的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結構概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數學分支叫做微分幾何，是用微分工具來研究取線、曲面等在一點附近的彎曲情況，而拓撲學是研究曲面的全局聯系的情況，因此，這兩門學科應該存在某種本質的聯系。1945年，美籍中國數學家陳省身建立了代數拓撲和微分幾何的聯系，並推進了整體幾何學的發展。

拓撲學發展到今天，在理論上已經十分明顯分成了兩個分支。一個分支是偏重於用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學，或者叫做分析拓撲學。另一個分支是偏重於用代數方法來研究的，叫做代數拓撲。現在，這兩個分支又有統一的趨勢。

拓撲學在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程額其他許多數學分支中都有廣泛的應用

英文 topology 的音譯.
拓撲學就是以空間幾何的形式來表現事物內部的結構,原理,工作狀況等.
比如你的計算機吧,學過搜索演算法吧(廣度優先(breath-first)和深度優先(depth-first, 不知道中文譯的對不對)演算法).你在分析的時候不是把所有的狀態畫成一個樹狀表,然後來看一步步怎樣查找的么.這就是運用拓撲邏輯的方法. 當然,從這里你就可以看到,拓撲都在處理離散的狀態.
說白了,系統邏輯流程圖也是拓撲圖.
聽起很深奧,很玄,其實常常用到.

㈡ 拓撲是什麼意思

詞語解釋：

拓撲tuò pū

1.涉及從嚴格定量測量中抽象出來的各種對象之間的關系的。

英

topological;

2.在同胚下不變性質的或在包含於同胚下不變性質的。

網路解釋：

拓撲

拓撲是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的一個學科。它只考慮物體間的位置關系而不考慮它們的形狀和大小。

拓撲英文名是Topology，直譯是地誌學，最早指研究地形、地貌相類似的有關學科。幾何拓撲學是十九世紀形成的一門數學分支，它屬於幾何學的范疇。有關拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現了。那時候發現的一些孤立的問題，在後來的拓撲學的形成中占著重要的地位。

拓撲造句

將一種三相四橋臂逆變器的拓撲結構應用於動態電壓恢復器主電路。

在實際應用中，這些新的拓撲可以減少開關損耗，提高效率。

現在在拓撲圖上您已經記錄了目錄程序。

例如，您可以創建一個復雜的部署拓撲圖，在不同的層上管理復雜的關系，或者您可以使用層來顯示一種設計方案隨著時間的變化。

旋轉動力學理論是以辨證邏輯和心理學理論為指導，微分拓撲為工具建立起來的創新計算的統一理論框架。

㈢ 拓撲是什麼可以講簡單點嗎(數學)

拓撲的數學定義簡單的說就是： 設X是一個非空集合。X的一個子集族τ稱為X的一個拓撲，如果它滿足： （1）X和空集{}都屬於τ； （2）τ中任意多個成員的並集仍在τ中； （3）τ中有限多個成員的交集仍在τ中。 定義中的三個條件稱為拓撲公理。條件（3）可以等價的換為τ中兩個成員的交集仍在τ中。 稱集合X連同它的拓撲τ為一個拓撲空間，記作（X,τ）。 稱τ中的成員為這個拓撲空間的開集。 從定義上看，給出某集合的一個拓撲就是規定它的哪些子集是開集。這些規定不是任意的，必須滿足三條拓撲公理。 一般說來，一個集合上可以規定許多不相同的拓撲，因此說到一個拓撲空間時，要同時指明集合及所規定的拓撲。在不引起誤解的情況下，也常用集合來代指一個拓撲空間，如拓撲空間X，拓撲空間Y等。
滿意請採納

㈣ "拓撲"是什麼意思

拓撲是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的一個學科。它只考慮物體間的位置關系而不考慮它們的形狀和大小。

拓撲英文名是Topology，直譯是地誌學，最早指研究地形、地貌相類似的有關學科。幾何拓撲學是十九世紀形成的一門數學分支，它屬於幾何學的范疇。有關拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現了。那時候發現的一些孤立的問題，在後來的拓撲學的形成中占著重要的地位。

(4)數學拓撲是什麼擴展閱讀

例子

1、歐幾里德空間在通常開集的意義下是拓撲空間，它的拓撲就是所有開集組成的集合。

2、設X是一個非空集合。則集合t：｛X，｛｝｝是X的一個拓撲。稱t為X的平凡拓撲。顯然（X，t）只有兩個開集，X和｛｝。

3、設X是一個非空集合。則X的冪集T＝2＾X也是X的一個拓撲。稱T為X的離散拓撲。顯然X的任意子集都是（X，T）的開集。

4、一個具體的例子。設X＝｛1，2｝。則｛X，｛｝，｛1｝｝是X的一個拓撲，｛X，｛｝，｛2｝｝也是拓撲，｛X，｛｝，｛1｝，｛2｝｝是拓撲（由定義可知）。

㈤ 拓撲是什麼意思

拓撲應為拓撲學，是由幾何學與集合論里發展出來的學科，可以理解為研究空間、維度與變換等概念的一門理論科學。簡單的說，拓撲學是研究連續性和連通性的一個數學分支。

其定義為：拓撲學是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的學科。形式上講，拓撲學主要研究「拓撲空間」在「連續變換」下保持不變的性質。

拓撲學在研究物體幾何形狀的改變時，只考慮物體間的位置關系而不考慮它們的形狀和大小。

在拓撲學里不討論兩個圖形全等的概念，但是討論拓撲等價的概念。比如，圓和方形、三角形的形狀、大小不同，但在拓撲變換下，它們都是等價圖形；足球和橄欖球，也是等價的。因為從拓撲學的角度看，它們的拓撲結構是完全一樣的。

而游泳圈的表面和足球的表面則有不同的拓撲性質，比如游泳圈中間有個「洞」。在拓撲學中，足球所代表的空間叫做球面，游泳圈所代表的空間叫環面，球面和環面是「不同」的空間。

比較著名的拓撲學問題有：一筆畫問題、地圖的四色問題、莫比烏斯面、克萊因瓶等。

拓撲學已經應用於物理學、化學、生物學、語言學等方面，甚至應用於經濟學。

克萊因瓶

㈥ 「拓撲」是什麼意思

「拓撲」是研究幾何圖形或空間的一個學科。