函數形成的數學模式是什麼

A. 函數的形成與發展歷史（高一數學）

函數概念的發展歷史
1.早期函數概念——幾何觀念下的函數
十七世紀伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《兩門新科學》一書中，幾乎全部包含函數或稱為變數關系的這一概念，用文字和比例的語言表達函數的關系。1673年前後笛卡爾(Descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已注意到一個變數對另一個變數的依賴關系，但因當時尚未意識到要提煉函數概念，因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數的一般意義，大部分函數是被當作曲線來研究的。
1673年，萊布尼茲首次使用「function」 （函數）表示「冪」，後來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用 「流量」來表示變數間的關系。
2.十八世紀函數概念——代數觀念下的函數
1718年約翰•貝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667－1748)在萊布尼茲函數概念的基礎上對函數概念進行了定義：「由任一變數和常數的任一形式所構成的量。」他的意思是凡變數x和常量構成的式子都叫做x的函數，並強調函數要用公式來表示。
1755，歐拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函數定義為「如果某些變數，以某一種方式依賴於另一些變數，即當後面這些變數變化時，前面這些變數也隨著變化，我們把前面的變數稱為後面變數的函數。」
18世紀中葉歐拉(L．Euler，瑞，1707－1783)給出了定義：「一個變數的函數是由這個變數和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式。」他把約翰•貝努利給出的函數定義稱為解析函數，並進一步把它區分為代數函數和超越函數，還考慮了「隨意函數」。不難看出，歐拉給出的函數定義比約翰•貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。
3.十九世紀函數概念——對應關系下的函數
1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 從定義變數起給出了定義：「在某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變數，其他各變數叫做函數。」在柯西的定義中，首先出現了自變數一詞，同時指出對函數來說不一定要有解析表達式。不過他仍然認為函數關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。
1822年傅里葉（Fourier，法國，1768——1830）發現某些函數也已用曲線表示，也可以用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數的認識又推進了一個新層次。
1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859) 突破了這一局限，認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他拓廣了函數概念，指出：「對於在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那麼y叫做x的函數。」這個定義避免了函數定義中對依賴關系的描述，以清晰的方式被所有數學家接受。這就是人們常說的經典函數定義。
等到康托(Cantor，德，1845－1918)創立的集合論在數學中佔有重要地位之後，維布倫(Veblen，美，1880－1960)用「集合」和「對應」的概念給出了近代函數定義，通過集合概念把函數的對應關系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了「變數是數」的極限，變數可以是數，也可以是其它對象。
4.現代函數概念——集合論下的函數
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合論綱要》中用不明確的概念「序偶」來定義函數，其避開了意義不明確的「變數」、「對應」概念。庫拉托夫斯基(Kuratowski)於1921年用集合概念來定義「序偶」使豪斯道夫的定義很嚴謹了。
1930 年新的現代函數定義為「若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。」
術語函數，映射，對應，變換通常都有同一個意思。
但函數只表示數與數之間的對應關系，映射還可表示點與點之間，圖形之間等的對應關系。可以說函數包含於映射。

B. 函數表達式是什麼

函數表達式是用一個數學等式把x、x的關系表示出來，也稱為函數關系式、函數解析式。

函數解析式，是函數表達方式。函數與函數解析式是完全不同的兩個概念。

函數是指兩個變數A與B之間，如果A隨著B的每個值，都有唯一確定的值與之對應，那麼A就是B的函數。

從對應角度理解，有兩種形式：

1、一對一，就是一個B值對應一個A值，反之，一個A值也對應一個B值（當然，此時B也是A的函數）。

2、一對多，就是多個B值對應一個A值。（此時一個A值對應多個B值，所以B不是A的函數）。

C. 數學函數是什麼

函數定義在數學領域，函數是一種關系，這種關系使一個集合里的每一個元素對應到另一個（可能相同的）集合里的唯一元素。函數是數學中的一種對應關系，是從非空數集A到實數集B的對應。簡單地說，甲隨著乙變，甲就是乙的函數。精確地說，設X是一個非空集合，Y是非空數集 ，f是個對應法則 ， 若對X中的每個x，按對應法則f，使Y中存在唯一的一個元素y與之對應 ， 就稱對應法則f是X上的一個函數，記作y=f（x），稱X為函數f（x）的定義域，集合 為其值域（值域是Y的子集），x叫做自變數，y叫做因變數，習慣上也說y是x的函數。對應法則和定義域是函數的兩個要素。函數相關概念自變數，函數一個與他量有關聯的變數，這一量中的任何一值都能在他量中找到對應的固定值。因變數(函數)，隨著自變數的變化而變化，且僅當自變數取唯一值時，因變數(函數)有且只有唯一一值與其相對應。幾何含義函數與不等式和方程都存在著聯系（初等函數）。令函數值等於零，從幾何角度看，對應的自變數是圖像與X軸交點；從代數角度看，對應的自變數是方程的解。另外，把函數的表達式（無表達式的函數除外）中的「=」換成「<」或「 >」，再把「Y」換成其它代數式，函數就變成了不等式，可以求自變數的范圍。

D. 函數概念的形成

函數概念是全部數學概念中最重要的概念之一，縱觀300年來函數概念的發展，眾多數學家從集合、代數、直至對應、集合的角度不斷賦予函數概念以新的思想，從而推動了整個數學的發展。本文擬通過對函數概念的發展與比較的研究，對函數概念的教學進行一些探索。

1、函數概念的縱向發展

1．1 早期函數概念——幾何觀念下的函數

十七世紀伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《兩門新科學》一書中，幾乎從頭到尾包含著函數或稱為變數的關系這一概念，用文字和比例的語言表達函數的關系。1673年前後笛卡爾(Descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已經注意到了一個變數對於另一個變數的依賴關系，但由於當時尚未意識到需要提煉一般的函數概念，因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數學家還沒有明確函數的一般意義，絕大部分函數是被當作曲線來研究的。

1．2 十八世紀函數概念——代數觀念下的函數

1718年約翰·貝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在萊布尼茲函數概念的基礎上，對函數概念進行了明確定義：由任一變數和常數的任一形式所構成的量，貝努利把變數x和常量按任何方式構成的量叫「x的函數」，表示為，其在函數概念中所說的任一形式，包括代數式子和超越式子。

18世紀中葉歐拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就給出了非常形象的，一直沿用至今的函數符號。歐拉給出的定義是：一個變數的函數是由這個變數和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式。他把約翰·貝努利給出的函數定義稱為解析函數，並進一步把它區分為代數函數（只有自變數間的代數運算）和超越函數（三角函數、對數函數以及變數的無理數冪所表示的函數），還考慮了「隨意函數」（表示任意畫出曲線的函數），不難看出，歐拉給出的函數定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。

1．3 十九世紀函數概念——對應關系下的函數

1822年傅里葉(Fourier，法，1768－1830)發現某些函數可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數的認識又推進了一個新的層次。1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)從定義變數開始給出了函數的定義，同時指出，雖然無窮級數是規定函數的一種有效方法，但是對函數來說不一定要有解析表達式，不過他仍然認為函數關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限，突破這一局限的是傑出數學家狄利克雷。

1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他拓廣了函數概念，指出：「對於在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那麼y叫做x的函數。」狄利克雷的函數定義，出色地避免了以往函數定義中所有的關於依賴關系的描述，簡明精確，以完全清晰的方式為所有數學家無條件地接受。至此，我們已可以說，函數概念、函數的本質定義已經形成，這就是人們常說的經典函數定義。

等到康托爾(Cantor，德，1845－1918)創立的集合論在數學中佔有重要地位之後，維布倫(Veblen，美，1880－1960)用「集合」和「對應」的概念給出了近代函數定義，通過集合概念，把函數的對應關系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了「變數是數」的極限，變數可以是數，也可以是其它對象（點、線、面、體、向量、矩陣等）。

1．4 現代函數概念——集合論下的函數

1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合論綱要》中用「序偶」來定義函數。其優點是避開了意義不明確的「變數」、「對應」概念，其不足之處是又引入了不明確的概念「序偶」。庫拉托夫斯基(Kuratowski)於1921年用集合概念來定義「序偶」，即序偶(a，b)為集合{{a}，{b}}，這樣，就使豪斯道夫的定義很嚴謹了。1930年新的現代函數定義為，若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。

函數概念的定義經過三百多年的錘煉、變革，形成了函數的現代定義形式，但這並不意味著函數概念發展的歷史終結，20世紀40年代，物理學研究的需要發現了一種叫做Dirac－δ函數，它只在一點處不為零，而它在全直線上的積分卻等於1，這在原來的函數和積分的定義下是不可思議的，但由於廣義函數概念的引入，把函數、測度及以上所述的Dirac－δ函數等概念統一了起來。因此，隨著以數學為基礎的其他學科的發展，函數的概念還會繼續擴展。

E. 函數的形成與發展是什麼

函數的形成與發展介紹如下。

1、在笛卡爾引入變數以後，變數和函數等概念日益滲透到科學技術的各個領域。縱覽宇宙，運算天體，探索熱的傳導，揭示電磁秘密，這些都和函數概念息息相關。正是在這些實踐過程中，人們對函數的概念不斷深化。

2、最早提出函數概念的，是17世紀德國數學家萊布尼茨。最初萊布尼茨用函數一詞表示冪，如x，x2，x3都叫函數。以後，他又用函數表示在直角坐標系中曲線上一點的橫坐標、縱坐標。

3、1718年，萊布尼茨的學生、瑞士數學家貝努利把函數定義為：由某個變數及任意的一個常數結合而成的數量。意思是凡變數和常量構成的式子都叫做的函數。貝努利所強調的是函數要用公式來表示。

4、1755年，瑞士數學家歐拉把函數定義為：如果某些變數，以某一種方式依賴於另一些變數，即當後面這些變數變化時，前面這些變數也隨著變化，我們把前面的變數稱為後面變數的函數。

5、1821年，法國數學家柯西給出了類似現在中學課本的函數定義：在某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變數，其他各變數叫做函數。在柯西的定義中，首先出現了自變數一詞。

6、1834年，俄國數學家羅巴切夫斯基進一步提出函數的定義：函數是這樣的一個數，它對於每一個都有確定的值，並且隨著一起變化。函數值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法。函數的這種依賴關系可以存在，但仍然是未知的。

7、1837年，德國數學家狄里克雷認為怎樣去建立與之間的對應關系是無關緊要的，所以他的定義是：如果對於x的每一個值，總有一個完全確定的y值與之對應，則y是x的函數。