簡述三次數學危機如何形成的

❶ 數學史上三次數學危機的時間和原因

第一次危機發生在公元前580～568年之間的古希臘，數學家畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派。
第二次數學shu危機發生在十七世紀。十七世紀微積分誕生後，由於推敲微積分的理論基礎問題，數學界出現混亂局面，即第二次數學危機
第三次數學危機發生在1902年，羅素悖論的產生震撼了整個數學界，號稱天衣無縫，絕對正確的數學出現了自相矛盾。

❷ 數學史上三次危機分別是,數學史上第三次數學危機

1.數學發展史上的三次危機無理數的發現:第一次數學危機:公元前5世紀，不可通約量的發現導致了畢達哥拉斯悖論。

2.這一悖論直接觸犯了畢氏學派的根本信條，導致了當時認識上的"危機"，從而產生了第一次數學危機。

3.第二次數學危機:18世紀，微分法和積分法在生產和實踐上都有了廣泛而成功的應用，大部分數學家對這一理論的可靠性是毫不懷疑的。

4.1734年，英國哲學家、大主教貝克萊發表《分析學家或者向一個不信正教數學家的進言》，矛頭指向微積分的基礎即無窮小的問題，提出了所謂貝克萊悖論。

5.由此而引起了數學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論。

6.導致了數學史上的第二次數學危機。

7.第三次數學危機:數學史上的第三次危機，是由1897年的突然沖擊而出現的，這次危機是由於在康托的一般集合理論的邊緣發現悖論造成的。

❸ 三次數學危機分別是什麼

數學發展史上的三次危機
1.畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數學家與哲學家。他曾創立了一個合政治、學術、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學派。由畢達哥拉斯提出的著名命題「萬物皆數」是該學派的哲學基石。而「一切數均可表成整數或整數之比」則是這一學派的數學信仰。畢達哥拉斯定理提出後，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數√2
的誕生。這一結論的悖論性表現在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內都可以表示成有理數。可是為我們的經驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了！這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的風波，史稱「第一次數學危機」。由兩千多年後的數學家們建立的實數理論才消除它。
2.第二次數學危機導源於微積分工具的使用。貝克萊一針見血地指出牛頓在對x^n(n是正整數)求導時既把△x不當做0看而又把△x當作0看是一個嚴重的自相矛盾，從而幾乎使微積分停滯不前，後來還是柯西和魏爾斯特拉斯等人提出無窮小是一個無限向0靠近，但是永遠不等於0的變數，這才把微積分重新穩固地建立在嚴格的極限理論基礎上，從而消滅的這次數學危機！
3.十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：「………藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……」可是，好景不長。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。
羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定的集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬於S，根據S的定義，S就不屬於S；反之，如果S不屬於S，同樣根據定義，S就屬於S。無論如何都是矛盾的。
可以說，這一悖論就象在平靜的數學水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導致了第三次數學危機。
危機產生後，數學家紛紛提出自己的解決方案。比如ZF公理系統。這一問題的解決只現在還在進行中。羅素悖論的根源在於集合論里沒有對集合的限制，以至於讓羅素能構造一切集合的集合這樣「過大」的集合，對集合的構造的限制至今仍然是數學界里一個巨大的難題！

❹ 數學史上的三次危機

第一次數學危機，是數學史上的一次重要事件，發生於大約公元前400年左右的古希臘時期，自根號二的發現起，到公元前370年左右，以無理數的定義出現為結束標志。這次危機的出現沖擊了一直以來在西方數學界占據主導地位的畢達哥拉斯學派，同時標志著西方世界關於無理數的研究的開始。

第二次數學危機，指發生在十七、十八世紀，圍繞微積分誕生初期的基礎定義展開的一場爭論，這場危機最終完善了微積分的定義和與實數相關的理論系統，同時基本解決了第一次數學危機的關於無窮計算的連續性的問題，並且將微積分的應用推向了所有與數學相關的學科中。

數學史上的第三次危機，是由1897年的突然沖擊而出現的，到現在，從整體來看，還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由於在康托爾的一般集合理論的邊緣發現悖論造成的。由於集合概念已經滲透到眾多的數學分支，並且實際上集合論成了數學的基礎，因此集合論中悖論的發現自然地引起了對數學的整個基本結構的有效性的懷疑。

(4)簡述三次數學危機如何形成的擴展閱讀：

一般來講，危機是一種激化的、非解決不可的矛盾。從哲學上來看，矛盾是無處不在的、不可避免的，即便以確定無疑著稱的數學也不例外。

數學中有大大小小的許多矛盾，比如正與負、加法與減法、微分與積分、有理數與無理數、實數與虛數等等。但是整個數學發展過程中還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮，連續與離散，乃至存在與構造，邏輯與直觀，具體對象與抽象對象，概念與計算等等。在整個數學發展的歷史上，貫穿著矛盾的斗爭與解決。而在矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就產生數學危機。

❺ 數學史上的三次危機是什麼

數學三大危機，涉及無理數、微積分和集合等數學概念。

1、危機一，希巴斯（Hippasus，米太旁登地方人，公元前470年左右）發現了一個腰為1的等腰直角三角形的斜邊（即2的2次方根）永遠無法用最簡整數比（不可公度比）來表示，從而發現了第一個無理數，推翻了畢達哥拉斯的著名理論。

2、危機二，微積分的合理性遭到嚴重質疑，險些要把整個微積分理論推翻。

3、危機三，羅素悖論：S由一切不是自身元素的集合所組成，那S屬於S嗎？用通俗一點的話來說，小明有一天說：「我正在撒謊！」問小明到底撒謊還是說實話。羅素悖論的可怕在於，它不像最大序數悖論或最大基數悖論那樣涉及集合高深知識，它很簡單，卻可以輕松摧毀集合理論。

(5)簡述三次數學危機如何形成的擴展閱讀：

排除悖論

危機產生後，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。

公理化集合系統

成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。

參考資料網路-數學三大危機

❻ 引起數學的第三次危機的根本原因是什麼

數學史上的第三次危機，是由1897年的突然沖擊而出現的，到現在，從整體來看，還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由於在康托的一般集合理論的邊緣發現悖論造成的。由於集合概念已經滲透到眾多的數學分支，並且實際上集合論成了數學的基礎，因此集合論中悖論的發現自然地引起了對數學的整個基本結構的有效性的懷疑。

悖論的產生---第三次數學危機
1897年，福爾蒂揭示了集合論中的第一個悖論。兩年後，康托發現了很相似的悖論。1902年，羅素又發現了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素於1919年給出的，它涉及到某村理發師的困境。理發師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，並且，只給村裡這樣的人刮臉。當人們試圖回答下列疑問時，就認識到了這種情況的悖論性質："理發師是否自己給自己刮臉？"如果他不給自己刮臉，那麼他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，那麼他就不符合他的原則。
羅素悖論使整個數學大廈動搖了。無怪乎弗雷格在收到羅素的信之後，在他剛要出版的《算術的基本法則》第2卷末尾寫道："一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎垮掉了，當本書等待印出的時候，羅素先生的一封信把我置於這種境地"。於是終結了近12年的刻苦鑽研。
承認無窮集合，承認無窮基數，就好像一切災難都出來了，這就是第三次數學危機的實質。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數學的確定性卻在一步一步地喪失。現代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數學是血肉相連的。所以，第三次危機表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續著。
編輯本段第三次數學危機產生的背景
第三次數學危機產生於十九世紀末和二十世紀初，當時正是數學空前興旺發達的時期。首先是邏輯的數學化，促使了數理邏輯這門學科誕生。
十九世紀七十年代康托爾創立的集合論是現代數學的基礎，也是產生危機的直接來源。十九世紀末，戴德金及皮亞諾對算術及實數理論進行公理化，推動了公理化運動。而公理化運動的最大成就則是希爾伯特在1899年對於初等幾何的公理化。
公理化方法
公理化方法是現代數學最重要的方法之一，對於數學基礎和數理邏輯的研究也有影響。當時也是現代數學一些新分支興起的時期，如抽象代數學、點集拓撲學和代數拓撲學、泛函分析、測度與積分理論等學科。這些學科的發展一直與數學基礎及數理邏輯的發展有著密切的關系。數學的更新與發展也對數學哲學有許多新的探討，數學的陳腐哲學觀念在當時已經幾乎一掃而空了。
什麼是數學危機
為了講清楚第三次數學危機的來龍去脈，我們首先要說明什麼是數學危機。一般來講，危機是一種激化的、非解決不可的矛盾。從哲學上來看，矛盾是無處不在的、不可避免的，即便以確定無疑著稱的數學也不例外。
數學中有大大小小的許多矛盾，比如正與負、加法與減法、微分與積分、有理數與無理數、實數與虛數等等。但是整個數學發展過程中還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮，連續與離散，乃至存在與構造，邏輯與直觀，具體對象與抽象對象，概念與計算等等。在整個數學發展的歷史上，貫穿著矛盾的斗爭與解決。而在矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就產生數學危機。 矛盾的消除，危機的解決，往往給數學帶來新的內容，新的進展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭是事物發展的歷史動力這一基本原理。整個數學的發展史就是矛盾斗爭的歷史，斗爭的結果就是數學領域的發展。
人們的研究
人類最早認識的是自然數。從引進零及負數就經歷過斗爭：要麼引進這些數，要麼大量的數的減法就行不通；同樣，引進分數使乘法有了逆運算——除法，否則許多實際問題也不能解決。但是接著又出現了這樣的問題，是否所有的量都能用有理數來表示?於是發現無理數就導致了第一次數學危機，而危機的解決也就促使邏輯的發展和幾何學的體系化。
方程的解導致了虛數的出現，虛數從一開始就被認為是「不實的」。可是這種不實的數卻能解決實數所不能解決的問題，從而為自己爭得存在的權利。
幾何學的發展從歐幾里得幾何的一統天下發展到各種非歐幾何學也是如此。在十九世紀發現了許多用傳統方法不能解決的問題，如五次及五次以上代數方程不能通過加、減、乘、除、乘方、開方求出根來；古希臘幾何三大問題，即三等分任意角、倍立方體、化圓為方不能通過圓規、直尺作圖來解決等等。
這些否定的結果表明了傳統方法的局限性，也反映了人類認識的深入。這種發現給這些學科帶來極大的沖擊，幾乎完全改變了它們的方向。比如說，代數學從此以後向抽象代數學方面發展，而求解方程的根變成了分析及計算數學的課題。在第三次數學危機中，這種情況也多次出現，尤其是包含整數算術在內的形式系統的不完全性、許多問題的不可判定性都大大提高了人們的認識，也促進了數理邏輯的大發展。
發展
這種矛盾、危機引起的發展，改變面貌，甚至引起革命，在數學發展歷史上是屢見不鮮的。第二次數學危機是由無窮小量的矛盾引起的，它反映了數學內部的有限與無窮的矛盾。數學中也一直貫穿著計算方法、分析方法在應用與概念上清楚及邏輯上嚴格的矛盾。在這方面，比較注意實用的數學家盲目應用。而比較注意嚴密的數學家及哲學家則提出批評。只有這兩方面取得協調一致後，矛盾才能解決。後來算符演算及δ函數也重復了這個過程，開始是形式演算、任意應用，直到施瓦爾茲才奠定廣義函數論的嚴整系統。
數學基礎危機
對於第三次數學危機，有人認為只是數學基礎的危機，與數學無關。這種看法是片面的。誠然，問題涉及數理邏輯和集合論，但它一開始就牽涉到無窮集合，而現代數學如果脫離無窮集合就可以說寸步難行。因為如果只考慮有限集合或至多是可數的集合，那絕大部分數學將不復存在。而且即便這些有限數學的內容，也有許多問題要涉及無窮的方法，比如解決數論中的許多問題都要用解析方法。由此看來，第三次數學危機是一次深刻的數學危機。

希望我的回答能幫到你！

❼ 數學史上的三次危機是什麼

第一次數學危機

「萬物皆數」是古希臘畢達哥拉斯學派堅不可摧的信仰。所謂「萬物皆數」就是指任何的實數都可以表示為兩個整數的比值。然而學派引以為傲的畢達哥拉斯定理（也就是我國俗稱的勾股定理）卻恰恰成了其信仰的終結者。

畢達哥拉斯學派中的一個「好事之徒希伯斯（Hippasu）對學派堅守的「萬物皆數」首先表示了懷疑。他思考了一個問題：邊長為1的正方形其對角線有多長呢？一番思索演算之後，他發現這一長度既不是整數，也不是分數，「萬物皆數」的信仰就此崩塌。相傳惱羞成怒的學派成員將希伯斯淹死在了海里，真理不僅沒有給他榮譽反而招致殺身之禍，可悲亦可嘆！

自被希伯斯發現之後，√2這個數學史上的第一個無理數便登上了舞台。然而這一發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊，對於當時所有古希臘人的觀念都是巨大的沖擊。更為惱火的是，面對這一打擊，人們手足無措，於是便直接導致了人們認識上史無前例的危機，從而導致了西方數學史上一場浩大的風波，史稱「第一次數學危機」。

第二次數學危機

自微積分被發明之後，質疑之聲就從未消停過。相當長的時間內，數學界對「無窮小」這一概念的理解和使用都是非常混亂的，但微積分理論的基礎卻恰恰就是「無窮小分析」。

這一理論上的缺陷招致了巨大的抨擊，英國大主教更是直接稱「無窮小」為盤旋的幽靈。如果這一危機無法解除，那無數由微積分理論所獲得的成果都將遭受無情的質疑。這也就是數學史上的第二次危機。

轉機出現在柯西，魏爾斯特拉斯等人用極限的方法定義無窮小量之後，這時微積分理論經過發展和完善才真正具有了嚴格的理論基礎，從而使得數學大廈變得更加堅實牢固可靠，危機便也解除。

第三次數學危機

「數學狂人」康托一手所發展的集合論作為現代數學的基礎早已是數學界的共識。然而在1903年，集合論被發現是有漏洞的！這一發現就像在平靜的水面上投下了一塊巨石，它所引起的巨大反響則導致了第三次數學危機。英國數學家羅素就是這一危機的「始作俑者」。

羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。之後羅素提出問題：S是否屬於S呢？根據邏輯學上的排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。

如果S屬於S，根據S的定義，S就不屬於S；反之，如果S不屬於S，同樣根據S的定義，S就屬於S。所以無論如何都會產生矛盾！一時間，數學家為之恐慌，看似數學大廈即將檣傾楫摧不復存焉。第三次數學危機便自此爆發。

但頑強的數學家不會就此罷手，他們希望通過改造康托的集合論以便消除悖論。1908年，策梅羅提出了第一個公理化集合論體系，後來經其他數學家改進，稱之為ZF系統。這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷，然而也並非完美無瑕。

除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統等。相關的改進工作時至今日也為停下腳步。

總結來說，三次數學危機就是關於無理數，無窮小，羅素悖論的危機。但「危機」恰正好是「生機」，三次數學危機極大地促進了數學的嚴格化發展，使之成為了真正嚴謹的科學。

❽ 數學史上發生過三次危機，這三次危機是怎麼回事

在數學歷史上，有三次大的危機深刻影響著數學的發展，三次數學危機分別是：無理數的發現、微積分的完備性、羅素悖論。

第一次數學危機

第一次數學危機發生在公元400年前，在古希臘時期，畢達哥拉斯學派對“數”進行了定義，認為任何數字都可以寫成兩個整數之商，也就是認為所有數字都是有理數。

羅素悖論通俗描述為：在某個城市中，有一位名譽滿城的理發師說：“我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。”那麼請問理發師自己的臉該由誰來刮？

羅素悖論的提出，引發了數學上的又一次危機，數學家辛辛苦苦建立的數學大廈，最後發現基礎居然存在缺陷，數學家們紛紛提出自己的解決方案；直到1908年，第一個公理化集合論體系的建立，才彌補了集合論的缺陷。

雖然三次數學危機都已經得到了解決，但是對數學史的影響是非常深刻的，數學家試圖建立嚴格的數學系統，但是無論多麼小心，都會存在缺陷，包括後來發現的哥德爾不完備性定理。

❾ 數學史上的三次數學危機

數學史上的三次數學危機分別發生在公元前5世紀、17世紀、19世紀末，都是發生在西方文化大發展時期。因此，數學危機的發生，都有其一定的文化背景。
這三次數學危機分別是：
第一次：古希臘時代，由於不可公度的線段――無理數的發現與一些直覺的經驗想抵觸而引發的；
第二次：是在牛頓和萊布尼茨建立了微積分理論後，對無窮小量的理解未及深透引起的；
第三次：是當羅素發現了集合論中的悖論，危及整個數學的基礎而引起的。
三次數學危機盡管當時對數學和哲學都造成了巨大的影響，給當時某個時期造成了某種困境，然而由於一直未妨礙數學的發展與應用。反而在困境過後去，給數學的發展帶來了新的生機。