正態分布數學期望的積分是什麼

⑴ 正態分布的期望怎麼求

正態分布的期望求法為E（X）=X1*p（X1）+X2*p（X2）+…+Xn*p（Xn）。正態分布也稱常態分布，又名高斯分布最早由棣莫弗，在求二項分布的漸近公式中得到。若隨機變數X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的正態分布，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標准差σ決定了分布的幅度。當μ=0,σ=1時的正態分布是標准正態分布。

⑵ 正態分布的公式是什麼

標准正態分布密度函數公式：服從標准正態分布,通過查標准正態分布表就可以直接計算出原正態分布的概率值。故該變換被稱為標准化變換。

（標准正態分布表：標准正態分布表中列出了標准正態曲線下從-∞到X（當前值）范圍內的面積比例。）

面積分布

1、實際工作中，正態曲線下橫軸上一定區間的面積反映該區間的例數占總例數的百分比，或變數值落在該區間的概率（概率分布）。不同 范圍內正態曲線下的面積可用公式計算。

2、正態曲線下，橫軸區間（μ-σ,μ+σ）內的面積為68.268949%。

P{|X-μ|<σ}=2Φ（1）-1=0.6826

橫軸區間（μ-1.96σ,μ+1.96σ）內的面積為95.449974%。

P{|X-μ|<2σ}=2Φ（2）-1=0.9544

橫軸區間（μ-2.58σ,μ+2.58σ）內的面積為99.730020%。

P{|X-μ|<3σ}=2Φ（3）-1=0.9974

⑶ 正態分布的期望是什麼

正態分布的期望是：Eξ。

正態分布的期望用數學符號表示ξ，所以正態分布的期望的公式是：Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn，而方差用數學符號表示s，所以正態分布的方差的公式是：s=1/n[(x1-x)+(x2-x)+……+(xn-x)]，另外x上有「-」。

正態曲線呈鍾型，兩頭低，中間高，左右對稱因其曲線呈鍾形，因此人們又經常稱之為鍾形曲線。

若隨機變數X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的正態分布，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標准差σ決定了分布的幅度。當μ = 0,σ = 1時的正態分布是標准正態分布。

方差：

樣本中各數據與樣本平均數的差的平方和的平均數為樣本方差；樣本方差的算術平方根為樣本標准差。樣本方差和樣本標准差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標准差越大，樣本數據的波動就越大。

方差和標准差為測算離散趨勢最重要、最常用的指標，它是測算數值型數據離散程度的最重要的方法。標准差為方差的算術平方根，用S表示。

⑷ 正態分布的數學期望

E(x^4)
=∫x^4*1/√(2π)e^（-x^2/2）dx 積分區間（-∞，+∞）
=2∫x^4*1/√(2π)e^（-x^2/2）dx 積分區間（0，+∞）
分步積分。
=-2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）+2/√(2π)∫3x^2*e^（-x^2/2）dx
=-2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）-2/√(2π)3x*e^（-x^2/2）
+2/√(2π)∫3*e^（-x^2/2）dx

積分區間（0，+∞）
1/√(2π)∫e^（-x^2/2）dx=1/2
2/√(2π)∫3*e^（-x^2/2）dx=3*2*1/2=3
而2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）-2/√(2π)3x*e^（-x^2/2）
=2x^3/√(2π)e^（x^2/2）-6x/√(2π)*e^（x^2/2）
利用羅必塔法則，
lim2x^3/√(2π)e^（x^2/2）-6x/√(2π)*e^（x^2/2）=0
所以E(x^4)=3
滿意請採納。

⑸ 正態分布的數學期望是多少

正態分布的數學期望是u。

正態分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分布，在統計學的許多方面有著重大的影響力。若隨機變數X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的高斯分布，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標准差σ決定了分布的幅度。因其曲線呈鍾形，因此人們又經常稱之為鍾形曲線。我們通常所說的標准正態分布是μ = 0,σ = 1的正態分布。

⑹ 正態分布期望如何算

這個計算有些麻煩的，不過只要熟悉了反常積分的解題技巧巧妙地構造二重積分(或用我們熟知的貝塔函數)就很容易解出來了

要計算正態分布的期望就要遇到解決積分：∫[(-∞，+∞)，e^(-x^2)]dx
由函數的奇偶性知：∫[(-∞，+∞)，e^(-x^2)]dx=2∫[(0，+∞)，e^(-x^2)]dx
記A=∫[(0，+∞)，e^(-x^2)]dx，
我們先來計算：A^2=∫[(0，+∞)，e^(-x^2)]dx∫[(0，+∞)，e^(-y^2)]dy
=∫[(0，+∞)]dx∫[(0，+∞)，e^(-x^2-y^2)dy
作變數替換：x=rcosθ，y=rsinθ，在上式可化為
A^2=∫[(0，π/2)]dθ∫[(0,+∞)，re^(-r^2)]dr=π/4
那麼A=(√π)/2
所以：∫[(-∞，+∞)，e^(-x^2)]dx=2A==√π

那麼：E(X)=1/[σ√（2π）]∫[(-∞，+∞)，xe^{[-(x-µ)^2)]/(2σ^2)}dx
=1/[σ√（2π）]∫[(-∞，+∞)，(x-µ)e^{[-(x-µ)^2)]/(2σ^2)}dx
+ µ/[σ√（2π）]∫[(-∞，+∞)，e^{[-(x-µ)^2)]/(2σ^2)}dx
第一個積分算得0，第二個積分根據上面的結論得 µ，
所以E(X)= µ

還可以用根據第一類歐拉積分與第二類歐拉積分的關系來求解

⑺ 正態分布中 數學期望的計算 e^-t/2dt的積分為根號2π怎麼證明

標准正態概率密度為：f(x)=e^(-x^2/2)/√2 π x∈(-∞,+∞)
所以根據概率的性質必有：
∫(-∞,+∞)e^(-x^2/2)/√2 π dx=1 即在整個區間上的概率必為1
上式可以化為：=(1/√2 π)∫(-∞,+∞)e^(-x^2/2) dx=1
所以：∫(-∞,+∞)e^(-x^2/2) dx=√2 π

e^(-x^2/2) 這個函數是不可積的，雖然它的原函數(即不定積分)存在，但不能用初等函數表達出來.
因為不可積，所以為了應用方便，有人將它的積分值編成了一個表，要求某一x對應的積分值，直接查表就可以，既簡單，又快捷～,這就是標准正態函數分布表

⑻ 推導對數正態分布數學期望的積分過程

設正態分布概率密度函數是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]，就是均值是u,方差是t^2。

於是：

∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.（*）

積分區域是從負無窮到正無窮,下面出現的積分也都是這個區域。

（1）求均值

對（*）式兩邊對u求導：

∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0

約去常數,再兩邊同乘以1/(√2π)t得：

∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0

把(u-x)拆開,再移項：

∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx

也就是

∫x*f(x)dx=u*1=u

這樣就正好湊出了均值的定義式,證明了均值就是u.

(2)方差

對(*)式兩邊對t求導：

∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π

移項：

∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2

也就是

∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2

正好湊出了方差的定義式,從而結論得證。

其中

xxx與yyy叫做積分變數，f(x,y)f(x,y)f(x,y)叫做被積函數，dσdsigmadσ叫做面積元素，DDD叫做積分區域。

參考資料來源：網路--二重積分

⑼ X服從正態分布，計算E(X^2)，不用方差推導直接用積分怎麼算！

具體回答如圖：

由於一般的正態總體其圖像不一定關於y軸對稱，對於任一正態總體，其取值小於x的概率。只要會用它求正態總體在某個特定區間的概率即可。

為了便於描述和應用，常將正態變數作數據轉換。將一般正態分布轉化成標准正態分布。

(9)正態分布數學期望的積分是什麼擴展閱讀：

若隨機變數X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的正態分布，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標准差σ決定了分布的幅度。

μ維隨機向量具有類似的概率規律時，稱此隨機向量遵從多維正態分布。多元正態分布有很好的性質，例如，多元正態分布的邊緣分布仍為正態分布，它經任何線性變換得到的隨機向量仍為多維正態分布，特別它的線性組合為一元正態分布。

由於「小概率事件」和假設檢驗的基本思想 「小概率事件」通常指發生的概率小於5%的事件，認為在一次試驗中該事件是幾乎不可能發生的。

由此可見X落在（μ-3σ,μ+3σ）以外的概率小於千分之三，在實際問題中常認為相應的事件是不會發生的，基本上可以把區間（μ-3σ,μ+3σ）看作是隨機變數X實際可能的取值區間。

⑽ 正態分布數學期望問題（含絕對值）

x<0時候在負無窮到0上對-xf(x)積分+上x>0時在0到正無窮的積分，X服從標准正態分布這是確定的，不會因為你用它干什麼而變化變。所以μ和σ是不會變化的。