數學kernel是什麼

A. kernel是什麼意思

kernel意思：

n.核心；仁；中心；精髓

一、讀音：英['kɜːnl]；美['kɜːrnl]

二、例句：

We must get at the kernel of the problem.

我們必須抓住問題的核心。

三、詞彙用法/搭配：

1、kernel sentence核心句

2、kernel software核心軟體

3、convolution kernel[計] 卷積核

(1)數學kernel是什麼擴展閱讀：

近義詞：core

一、意思：

n.核心；果心；要點

vt.挖去果核

二、讀音：英[kɔː(r)]；美[kɔːr]

三、例句：

The core of our appeal is freedom of speech.

我們的要求的核心是言論自由。

四、詞彙用法/搭配：

1、get to the core觸及核心

2、hard core碎磚石,硬果核

B. 核函數的定義和作用是什麼

核函數的作用就是隱含著一個從低維空間到高維空間的映射，而這個映射可以把低維空間中線性不可分的兩類點變成線性可分的。當然，我舉的這個具體例子強烈地依賴於數據在原始空間中的位置。事實中使用的核函數往往比這個例子復雜得多。它們對應的映射並不一定能夠顯式地表達出來；它們映射到的高維空間的維數也比我舉的例子（三維）高得多，甚至是無窮維的。這樣，就可以期待原來並不線性可分的兩類點變成線性可分的了。核函數要滿足的條件稱為Mercer's condition。由於我以應用SVM為主，對它的理論並不很了解，就不闡述什麼了。使用SVM的很多人甚至都不知道這個條件，也不關心它；有些不滿足該條件的函數也被拿來當核函數用。

C. 數學縮寫dim im ker分別表示什麼

DIM Dimension
IM Image (mathematics)
KER Kernel (mathematics)

D. 是關於Kernel和image的數學。。

設V為所有低於2階的多項式所組成的多項式空間。考慮一個從V空間到二位實空間（直角坐標平面）的線性映射可以滿足：映射結果為多項式f(x)在x=-1和1處的一對取值。比如T(x^2)=((-1)^2,1^2)=(1,1)。所以你的理解是對的。

E. 《普林斯頓數學指引》讀書筆記——I.3 一些基本的數學定義（上）

對於數的現代視角是，最好不要把數當作獨立個體，而應視為一個更大的整體的一部分，這個整體稱之為數系。數系最突出的特點是，可以在其上完成算術運算，包括加、減、乘、除、開方。這種關於數的視角是富有成果的，它是通向抽象代數的跳板。

註：中文版將「indivially」譯為「孤立地」不太准確，另外「view」翻譯成「視角」要比「觀點」更自然。

當然，「1, 2, 3, 4 ……」這樣的描述，並不算是正式的定義，但它的確提出了下面這個我們視為理所當然的對自然數的描述：

(i) 給定一個自然數n，後面必然跟著一個自然數n+1，稱為n的後繼者；
(ii) 一個從1開始，且隨後每一個數是前一個數的後繼者的數列，會正好包含每個自然數各一次，且不再包含其他東西。

這個描述被濃縮為 佩亞諾公理 。

所有整數——正負整數與零——的集合，常記作Z（德文表示數的單詞「Zahlen,」的第一個字母），在這個屬性里，減法總是可能的：即如果m和n都是整數，那麼m-n也是。

按：上文提到，如果只需要計數，那整數就夠了，需要有理數的其中一個理由是測量的需要，包括長度、重量、溫度和速度等。

一個為有理數的更為理論化的合理性論證，是它們組成了一個除法總是可能的數系（除了除以零），這個事實，以及一些算術運算的基本性質，意味著Q是一個域。

註：這里把「justification」譯作「合理性論證」，其實也可以更簡單地譯為「依據」。因為這里作者其實是想要為引入沒那麼自然的數系尋找依據，解釋其必要性和合理性。

由於實數與（逐次逼近的）極限過程緊密地聯系著，對實數系真正的領會就依賴於對數學分析的理解。

註：中文版將「successive approximations」譯為「逐步逼近」，但其對應的數學術語的常見譯法是「逐次逼近」，其英文解釋「A method for estimating the value of an unknown quantity by repeated comparison to a sequence of known quantities」里的關鍵詞也是「repeated」而非「graally」，因此此處不應用「逐步」。

按：這里下一小節討論了復數，但沒有什麼特別的洞見，所以沒有摘錄。要真正理解復數，需要理解 Geometric Algebra ，回頭會單獨整理筆記。

按：這節簡要介紹了群、域、向量空間和環。

如果S是任意的數學結構，S的對稱就是一個由S到其自身的、能保持這個結構的函數。例如，當S是一個幾何圖形時，則應該得到保持的數學結構（之一），就是其上任意兩點的距離。

與幾何的情況進行類比，並把任意可以保持結構的函數都當作某種對稱，這樣做是富有成果的。由於其極度的通用性，對稱是一個在數學里無處不在的概念；而且只要哪裡有了對稱出現，像群這樣的概念就會如影隨形。

雖然好幾個數域都是群，但只把他們看成群，就忽略了其代數結構很大的一部分。尤其是群裡面只有一個二元運算，標準的數域卻有兩個，即加法和乘法（由它們還可以得到其他附加的運算，比如減法和除法）。

在定義數學結構的時候，有一個很一般的原理：如果一個數學定義，可以分成幾個部分，則除非這些部分可以相互作用，否則這個定義就沒有什麼意思（僅僅相當於分成的幾個部分對應的原來就定義過的數學結構而已）。域的加法和乘法，就是這樣的兩個部分，而迄今為止提到的所有性質，並未把它們以某種方式聯系起來。然而，最後的一個性質，即分配律，做到了這一點，從而給了域獨有的特性。

除了Q、R、C之外，還有一個引人注目的基礎域，即Fp。它是整數對素數p取模組成的集合，其中的加法、減法，也被定義為對p取模，詳見 模算術 。

有一個重要的過程與域有關，這個過程稱之為域的擴張，它使我們能夠從原來的域構造出新的域來。其基本的思想就是從一個域F開始，找一個在F中沒有根的多項式P，然後把一個新的元素附加到F上，約定這個元素就是P的根。這樣的過程，會產生一個擴張的域，它會包含，所有可以用這個根與F中的元素通過加法和乘法產生出來所有「數」。

評：這段話從抽象的角度，描述了帶來整個復數域的i（定義為x^2+1這個多項式的根）的誕生過程。

引入域的另外一個重要依據是，它們可以用來構成向量空間。

向量空間就是一個線性組合的概念在其中有意義的數學結構。

關於標量還有最後一個說明。之前，標量被定義為構造向量的線性組合時所用的實數。其實，我們用標量所做的計算，尤其是在解聯立方程時，在更廣泛的語境下也可以做。真正重要的是，（用於計算的「數」）必須屬於一個域，所以Q、R、C都可以用作標量的系統，更一般的域也是可以的。如果一個向量空間V的標量來自域F，我們就說V是域F上的向量空間，這個推廣重要而且有用，可見 代數數 。

粗略的說，環一種具備域的幾乎所有，但不是所有性質的代數結構。尤其是，對乘法運算的要求就沒那麼嚴格，最重要的放鬆之處是不要求環中的非零元具有乘法逆，而且有時乘法甚至不被要求是可交換的。

有了例子，回答一些基本的問題變得容易不少。如果我們有了一個關於某個給定類型的結構的一般命題，而又想知道它是否正確，這時，如果能夠用諸多個案來檢驗這個命題，會很有幫助。如果這個命題通過了所有的檢驗，就有了有利於這個命題的證據。如果運氣好，我們也許還能看出這個命題為什麼是正確的。另外，也可能發現這個命題對於你進行檢驗的每一個例子都是對的，但是都僅僅是因為所用例子本身的特別之處，這個時候我們就會知道，在尋找反例時需要怎樣避免這些特別之處。如果確實找到了一個反例，那麼這個一般的命題當然不成立了，然而有可能這個命題在經過某些修改以後，依然成立並且有用。在這種情況下，反例就會幫助我們找到適當的修改。

雖然 Q(i)包含在C中，但它在某些很重要的角度上是一個更有意思的域。為什麼會這樣子呢？人們肯定以為如果把一個對象的絕大部分都拿走了，它不可能變得更有意思。然而進一步想像一下，就會發現這確實是可能的：例如所有素數的集合會擁有某種特別迷人的、而不可能為所有正整數的集合所具備的特性。

……而且在，許多類似於Q(i)的域中，我們可以問哪些多項式方程有解。這在後來被證明是一個非常深刻而且重要的問題，但在更大的域C中，這樣的問題根本就不會出現（因為 代數的基本定理 告訴我們，每一個多項式方程在C內都有解）。

我們現在要用一種乍一看非常奇怪的方法，來把Q[x]（具有有理數系數的多項式的集合）變成一個域，方法就是，認為

等價於零多項式。換句話說，一旦一個多項式裡面有X^3的話，我們就可以把它換成x+1，並且認為這樣得出的新多項式等價於原來的多項式。

所有不等價於零的多項式，都在這個廣義的意義下具有乘法逆。

我們只是簡單地規定將兩個等價的多項式視為相等，並把得到的數學結構記為Q[x]/(x^3 - x - 1)，這個結構結果被證明是一個域，而且還是個重要的域，因為它是包含Q且擁有多項式x^3 - x - 1的根的最小的域。

按：上面這里其實就是對有理數的約分的含義做了推廣。

我們定義只要 ad = bc 那麼 ab 和 cd 這兩個表達式就等價，並且我們將等價的表達式看作在標記同一個數。注意這些表達式可能的確不一樣，但我們將其視為對同一個對象的標記。如果我們這樣做，在我們定義函數和二元運算的時候就要十分小心。

一般而言，最起碼要驗證，如果輸入的是等價的對象，（函數或二元運算）輸出的也應該是等價的對象。

這里為什麼我們使用了「商」這個詞？商通常是指當用某個數去分割（divide，在英語里，既有除的意思，也有分割的意思）另外一個數時所得到的東西。為了理解這個比喻，我們考慮21除以3，我們可以認為，這是把21個對象分成了3個對象一組，然後問一共可以分得多少個組。

按：上文將R^2平面上的點(x, y)和（x+1，y）定義成等價並看成相同，就會得到柱面（cylinder ），然後又進一步將(x, y)和(x, y+1)定義成等價並看成相同，就會得到 環面（torus） 。

我們會發現，這個柱面自己卷了起來，如果往上走了一段為1的距離，就會回到出發點。但這就是一個環面：一個被折疊成自己的柱面（然而，這不是定義環面唯一的方法，例如還可以把它定義為兩個圓周的乘積）。

現代幾何中的許多重要的對象，都是用商來定義的。經常有這樣的情況，一個對象很大，但同時等價關系又很寬松，也就是一個對象，很容易就與另外一個對象等價了，在這個情況下，真正不同的對象的數目可能很小。

通常是從一個大的令人絕望而又極為復雜的對象出發，但將絕大部份的亂七八糟的部分都分出來除掉了（divides out），結果得到的商結構足夠簡單，而且能夠處理，與此同時，依舊能傳遞重要的信息。 基本群 、拓撲空間的 同調群 與 上同調群 都是好例子， 模空間 甚至是一個更好的例子。

一個保持結構的函數就稱為一個同態（homomorphism）。

兩個結構之間的同構（isomorphism ）就是這樣的一種同態：同態f : X → Y的逆g : Y → X也是一個同態。

一個同構就是同時也是雙射的同態。也就是說，f是X和Y之間的一一對應，並且保持了結構。

雖然很基礎，但還是將[I.2 §2.2]中涉及雙射的段落摘錄如下：

對於一個函數f : A → B，如果只要當 f(x)和f(x')不同的時候，x和x'總不相同，我們就總是可以消除函數的效果（使f(x)變回x），這時，f被稱之為一個單射（injection）。

評：單射就是（B中的元素）只要被映射過來，就是（從A）唯一地（即「單」）映射過來（即「射」）。

另一方面，只要B中的每一個元素y都等於A中某個元素x的f(x)，我們就總能找到一個能被f消除效果的函數g，這時f被稱為一個滿射（surjection）。

評：滿射就是（B中的元素）每個（即「滿」）都能（從A）映射過來（即「射」）。

一個既是單射又是滿射的函數f，就是一個雙射（bijection）。雙射正是那些有逆的函數。

評：滿射解決的是「有」的問題，單射解決的是「只有」的問題，所以雙射就是「有且只有」，所以B中每個元素都能找到映射的來源，而且來源還唯一，這時映射的這個唯一來源，就是逆。所以「雙射」里的「雙」字更多是「成雙成對」的意思，更好的譯法或許是「對射」。費了這些口舌，就是想解釋清楚這些譯法都是什麼意思，當年學的時候，挺煩這些不好記的中文譯名的。英文術語里，in-前綴代表「進入、里內」，sur-前綴代表「在…..之上」 ，其實也不是太好理解。

一般地說，兩個代數結構X和Y間若有同構的函數關系，就說X同構於Y。同構中的iso和morphic分別源自希臘單詞「相同」和「形狀」。粗略地說，同構這個詞的意思就是「在所有本質的方面都相同」。算作本質的正是代數結果，而絕對不屬於本質的，就是具有這種結構的對象自身的本性。

X的自同構是，一個能夠保持結構的、到X自身的函數。兩個自同構的復合顯然還是一個自同構，於是代數結構X的所有自同構可以形成一個群。雖然作為個體的自同構並不那麼有趣，自同構的群，卻很有意思。這類群往往蘊含了我們關於一個結構真正想知道的信息，這些信息往往過於復雜，無法直接分析。

f把每一個有理數都變成自身，那f(√ 2)會是多少呢？從 f(√ 2)f (√ 2) = f(√ 2 · √ 2) = f(2) = 2可知f(√ 2)是√ 2或− √ 2。究竟是哪一個？其實，兩種選擇都是可能的：一個自同構是平凡的：f(a + b √ 2) = a + b √ 2；另外一個更為有趣：f(a + b √ 2) = a − b √ 2。這個觀察說明了，兩個平方根並沒有代數上的區別。

與部分域擴張相關聯的自同構群被稱為 伽羅瓦群 ，而且是對五次方程的不可解性而言不可或缺的成分。同時它也是代數數論相當大一部分內容，詳見 代數數 。

註：中文版有一段英文電子版中沒有的、關於同態關系中的核（kernel）的討論：核是X中所有使得f(x)為Y中的恆等元的那些x的集合，是X的有趣的子結構；環同態的核必然是一個理想[III.81]。

。

像這樣的定義可能難以接受，因為它們涉及到三個層次的復雜性。在底層有兩個實數，可以表示為x和y。中間一層有一些函數，如f、u和Tf，它們都是將實數（或實數對）映射為實數。最頂層是另外一個函數T，但它所轉換映射的對象本身就是函數：它將一個函數f變成另外一個函數Tf。這個例子說明了如下思維方式的重要性：將函數看作單一和基礎的東西而非一個轉換的過程。（參見[I.2 §2.2]中對此的討論）另外一個有助於理清這個定義的點是：二元函數u(x,y)的角色與矩陣a_ij極其類似。（矩陣a_ij自己也可以被看作兩個整數變數i和j的函數）

關於無限空間之間的線性映射，可以參考 運算元代數 和 線性運算元

在許多情況下，線性映射的本徵向量與本徵值，包含了關於這個線性映射我們所有需要了解的信息，而且是以非常方便的形式。線性映射出現在很多情境中，這些情境中出現的問題往往正是關於本徵向量和本徵值的問題。

指數函數 e^x 的導數是其自身。換句話說，如果f(x)=e^x，那麼f'(x)=f(x)。這樣微分運算就可以被看作一種線性映射。如果f '(x) = f(x)，那麼這個映射使函數f保持不變，這說明f是一個具備本徵值1的本徵向量。更一般的，如果g(x) = e^(λx)，那麼g'(x) = λ e^(λx) = λg(x)，這樣g就是微分映射的一個本徵向量，其本徵值為λ。許多線性微分方程可以被視為在求用微分運算定義的線性映射的本徵向量。

F. 機器學習里的 kernel 是指什麼

Kernel 操作系統內核 操作系統內核是指大多數操作系統的核心部分。它由操作系統中用於管理存儲器、文件、外設和系統資源的那些部分組成。操作系統內核通常運行進程，並提供進程間的通信。 下面列出了它的一些核心功能：事件的調度和同步。進程間的通信(消息傳遞)。存儲器管理。進程管理。 輸入輸出常式的管理。Carnegie-Mellon大學開發的Mach操作系統採用客戶機/伺服器體系結構，它包含一個實現最少功能的、而且相對而言較小的微內核。它管理設備驅動程序、消息、線程和虛擬存儲器。其他功能被模塊化，通過使用進程間通信機制與操作系統內核通信。遠程過程調用(RPC)用於與其他系統上運行的進程進行通信。 在DOS操作系統，操作系統內核被認為是界於基本輸入輸出系統(BIOS)和應用軟體之間的那部分。應用命令通過操作系統內核傳遞到BIOS，然後再傳送到相關硬體。

G. 單詞，kernel 與 core 的區別

呵呵，我喜歡思考並回答您提出的這種有點深度的問題：
1、kernel這個詞是kern字根加-el後綴復合（會意）而成的，kern這個拉丁字根到了英語中被「正字」後變成了古英語中的corn並一直沿用至今（這就是為什麼很多英語中的c可以發k音的主要原因），而-el後綴是-et/-ette/-let的變形（類似於sup-/suf-/sur-等是sub-的變形）表示的是「形狀和性質完全一樣，但形體尺寸更小的東西」，比如如book表示書本，booklet表示小冊子，statue表示雕像，而statuette表示小雕像，lock表示鎖，locket表示像鎖一樣的小形項鏈墜子。

如此就很容易明白kernel指的是小個的corn，或者穀物中心可吃的部分，它側重的是「可吃性」（本質上是小個）因為它本身就是food或seed，既是可吃的，也是可做種的。

2、core是拉丁字根cor在英語中正字後的書寫形式，因為英語中開音節的字後字母e不發音。而cor是類似於英文heart的意思，所以core指的是植物果實的中心（果心，多數是空心，不能吃的），它和heart的區別在於：heart的本義只的是動物的心臟，core的本義指的是植物的果心。

不知道這么詳細的分析和闡述能否讓您滿意，呵呵。

H. 機器學習里的kernel是指什麼

先給個定義：核函數K（kernel function）就是指K(x, y) = <f(x), f(y)>，其中x和y是n維的輸入值，f(•) 是從n維到m維的映射（通常而言，m>>n）。<x, y>是x和y的內積（inner proct），嚴格來說應該叫歐式空間的標准內積，也就是很多人常說的點積。kernel其實就是幫我們省去在高維空間里進行繁瑣計算的「簡便運演算法」。甚至，它能解決無限維空間無法計算的問題！因為有時f(•)會把n維空間映射到無限維空間去，對此我們常常束手無策，除非是用kernel，尤其是RBF kernel（K(x,y) = exp(-||x-y||^2) ）。在有kernel之前，做machine learning的典型的流程應該是：data --> features --> learning algorithm，但kernel給我們提供了一個alternative，那就是，我們不必定義從data到feature的映射函數，而是可以直接kernel(data) --> learning algorithm，也可以是data --> features --> kernel(features) --> learning algorithm。所以雖然我們看到kernel常被應用在SVM（SVM中的kernel應該是後一種用法，後文再說），但其實要用到內積的learning algorithm都可以使用kernel。「用到內積的learning algorithm」其實並不少見，不信你可以想一想最普通不過的linear classifier/regressor有沒有一個步驟是計算特徵向量（feature vectors）。簡單說就是一些函數，這些函數在某些領域具有特定的功能，而且性能比較好，就稱為核（函數）了，svm中有核（函數），卷積網路中的filter有時也稱為核。初學SVM時常常可能對kernel有一個誤讀，那就是誤以為是kernel使得低維空間的點投射到高位空間後實現了線性可分。其實不然。這是把kernel和feature space transformation混為了一談。（這個錯誤其實很蠢，只要你把SVM從頭到尾認真推導一遍就不會犯我這個錯。）還是簡單回顧一下吧。SVM就是 y = w'•φ(x) + b，其中φ(x)是特徵向量（feature vectors），並且是φ(x)使得數據從低維投射到高位空間後實現了線性可分。而kernel是在解對偶問題的最優化問題時，能夠使φ(x)更方便地計算出來，特別是φ(x)維數很高的時候。

I. Dirichlet kernel是什麼意思

Dirichlet kernel
狄利克雷核;
例句：
1.The kernel in the first kind integral equation arising from exterior Dirichlet problem of Helmholtz equation has a logarithmic singularity.
通過Helmholtz方程外Dirichlet問題產生的第一類積分方程的核具有對數奇性。
2.The kernel in the first integral equation arising from Dirichlet problem of Helmholtz equation has a logarithmic singularity and the solution for the integral equation has r-1/ 2\| singularity at the endpoints of the open arc.
由Helmholtz方程Dirichlet問題產生的第一類積分方程的核具有對數奇性，並且積分方程的解在開弧端點具有r－1／2奇性。

J. Random Field Theory指的是什麼Gaussian kernel指的是什麼 謝謝~

Random Field Theory隨機域理論， 隨機場理論
Gaussian kernel高斯核
高斯核函數
數學表示
所謂徑向基函數 (Radial Basis Function 簡稱 RBF), 就是某種沿徑向對稱的標量函數。 通常定義為空間中任一點x到某一中心xc之間歐氏距離的單調函數 , 可記作 k(||x-xc||), 其作用往往是局部的 , 即當x遠離xc時函數取值很小。 最常用的徑向基函數是高斯核函數 ,形式為 k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||^2/2*σ^2) } 其中xc為核函數中心,σ為函數的寬度參數 , 控制了函數的徑向作用范圍。
計算機視覺中的作用
在計算機視覺中，有時也簡稱為高斯函數。高斯函數具有五個重要的性質，這些性質使得它在早期圖像處理中特別有用．這些性質表明，高斯平滑濾波器無論在空間域還是在頻率域都是十分有效的低通濾波器，且在實際圖像處理中得到了工程人員的有效使用．高斯函數具有五個十分重要的性質，它們是： （1）二維高斯函數具有旋轉對稱性，即濾波器在各個方向上的平滑程度是相同的．一般來說，一幅圖像的邊緣方向是事先不知道的，因此，在濾波前是無法確定一個方向上比另一方向上需要更多的平滑．旋轉對稱性意味著高斯平滑濾波器在後續邊緣檢測中不會偏向任一方向． （2）高斯函數是單值函數．這表明，高斯濾波器用像素鄰域的加權均值來代替該點的像素值，而每一鄰域像素點權值是隨該點與中心點的距離單調增減的．這一性質是很重要的，因為邊緣是一種圖像局部特徵，如果平滑運算對離運算元中心很遠的像素點仍然有很大作用，則平滑運算會使圖像失真． （3）高斯函數的付立葉變換頻譜是單瓣的．正如下面所示，這一性質是高斯函數付立葉變換等於高斯函數本身這一事實的直接推論．圖像常被不希望的高頻信號所污染(雜訊和細紋理)．而所希望的圖像特徵（如邊緣），既含有低頻分量，又含有高頻分量．高斯函數付立葉變換的單瓣意味著平滑圖像不會被不需要的高頻信號所污染，同時保留了大部分所需信號． （4）高斯濾波器寬度(決定著平滑程度)是由參數σ表徵的，而且σ和平滑程度的關系是非常簡單的．σ越大，高斯濾波器的頻帶就越寬，平滑程度就越好．通過調節平滑程度參數σ，可在圖像特徵過分模糊(過平滑)與平滑圖像中由於雜訊和細紋理所引起的過多的不希望突變數(欠平滑)之間取得折衷． （5）由於高斯函數的可分離性，大高斯濾波器可以得以有效地實現．二維高斯函數卷積可以分兩步來進行，首先將圖像與一維高斯函數進行卷積，然後將卷積結果與方向垂直的相同一維高斯函數卷積．因此，二維高斯濾波的計算量隨濾波模板寬度成線性增長而不是成平方增長．
定義 所謂徑向基函數 (Radial Basis Function 簡稱 RBF), 就是某種沿徑向對稱的標量函數。 通常定義為空間中任一點x到某一中心xc之間歐氏距離的單調函數 , 可記作 k(||x-xc||), 其作用往往是局部的 , 即當x遠離xc時函數取值很小。
常用公式 最常用的徑向基函數是高斯核函數 ,形式為 k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||^2/(2*σ)^2) } 其中xc為核函數中心,σ為函數的寬度參數 , 控制了函數的徑向作用范圍。