㈠ 哪些數學定理在直覺上是對的，但證明起來很困難
接下來我要講一個激燃的故事。
這是一場橫跨整整四百年的超級數學接力。
鑒於樓上的大神已經提過這個猜想，我就單純的從這個猜想被證明的過程寫一寫。
學渣如我就不涉及理論部分了。
這就是開普勒猜想：怎樣才能最緊密堆積圓球。
1590年代末，一個叫Raleigh的英國航海家提出了一個看上去很簡單的問題。
他想設計一種炮彈的堆疊方式，以便自己能夠輕易的數出每一堆有幾顆炮彈。
他把這個問題交給了他的助手Harriot，這個聰明的年輕人想的更遠一些，他想設計一種最有效率的堆積方式。
以便在航行中有限的空間內存放更多炮彈。
Harriot在其他的自然科學領域也頗有建樹，但這個問題雖然看上去很簡單，但是他卻久久沒有進展。
於是這個年輕人給遠在布拉格的數學，物理和天文學家寫了一封信。
當然收信者並不是三個人，他就是開普勒。一個數學，物理和天文學家。
於是，這場接力的第一棒交給了這個出生在斯圖加特的大師。
1611年，開普勒寫了一本小冊子，名叫《六角形的雪花》。這是一本寫給朋友的非正式出版物，他在書中問到，為什麼雪花是六角形，為什麼蜂房也是六角形。
再問完這個問題後，開普勒轉而研究了另一種植物，石榴。
這是從二維平面的有效率堆積方式拓展到了三維空間的研究。
他認為在石榴有限的空間內，石榴籽的堆積方式一定是最有效率的。
他和100多年後的植物學家黑爾斯的得出了一樣的結論，黑爾斯給一大堆豌豆加壓。
觀察到除了豆子擠成了豌豆泥之外（什麼鬼）有些豌豆被擠壓成了和石榴一樣的十二面體。可是後來被證明是實驗結論錯誤的。（孟德爾：你不要豌豆拿給我啊幹嘛擠它
好了，到這里我們歇一歇。開普勒認為大自然的安排一定是最完美的，所以，他認為一個圓球圍繞著十二個圓球是最緊密的堆積。
但他沒有證明，也有沒有說該如何圍繞。
對於我們每個人來說，怎麼樣最有效率的裝球，彷彿是一個簡單的問題。
你先擺好一層球，然後第二層的球放在第一層的空隙中就好。
這就是著名的面心立方對堆積。但是還有一種堆積方式雖然名字很酷炫但後來被證明和面心立方堆積等效。也就是六方最密。
讓我們從二維平面開始，怎麼樣最有效率的排列圓形。
這看上去簡直就像1+1=2。
1528年，一位德國的文藝復興時期的藝術家寫了一本數學教科書。
書中寫，在天花板上放置圓形花紋，只有方形和六邊形排列才能放整齊。而且指出六邊形最緊密。（開普勒：卧槽有人搶跑
好了，接下來接力棒交給了一個剛剛輸光了全部家當的義大利人。
他叫拉格朗日。十八世紀最偉大的數學家。
到目前為止，研究的設定都基於所有圓形的圓心都排成整齊的格子狀。
拉格朗日輕易的證明了在這種情況下六邊形堆積最緊密。
挪威數學家杜氏接過了這一棒，開始研究一般情況，即圓型隨意排列的情況下怎麼堆積最緊密。
可惜並沒有太多實質性的進展。接力棒傳到了蘇聯，一位叫閔可夫斯基的小男孩隨著父母移民到了德國。
他後來再蘇黎世的聯邦理工當了助理教授，班上有很多學生經常翹他的課。其中一位是二十世紀最偉大的專利審查員。
阿爾伯特愛因斯坦。
他指出圓的規律裝填密度起碼有0.8224。
但他並沒有指出這種排列的樣子。為了怕閔科夫斯基搶他的風頭。杜氏搶先發表證明演說。可是數學界認為他的證明不完善。
三十年後匈牙利數學大師托斯完善了關於平面的裝填問題證明。
之後，威斯康星大學的數學課科歇諾又證明了平面的覆蓋問題。（覆蓋允許重疊，裝填不允許。）
證明指出，六邊形排列是最佳的裝填，也是最有效率的覆蓋。
到此
二維平面的數學接力已經完成了，那麼現在等待解決的就是三維世界的證明了。
為了敘述三維的問題，我們要從另一個跑道的選手說起。
牛頓和他的基友（誤）大衛格里高利。他們之間爭論著平面內一個球能最多與幾個其他的球接觸。我們現在知道這個數字是6。
他們把這個問題拓展到了空中。在空中的一個球能最多與幾個球接觸。
並進行了激烈的爭論，可惜他們的爭論只是開普勒的局部問題，對於猜想的證明並無多大用處。
（開普勒猜想中最緊密的堆積，一顆球周圍有十二個球圍繞，而大衛說空間中一個球最多能與十三個球相接觸。他們的爭論在1953才被終結。）
之後瑞士數學家Bender向德國的數學期刊投稿，企圖證明闡述上面的爭論。他的論文被期刊的編輯霍普完善並且霍普把Bender的論文和他自己的論文一同發表。
看起來這一棒跑的很順利，但是我們的霍普選手丟了棒，他的論文被證明有致命的錯誤。
這個問題後來被荷蘭人和德國人解決。
這條岔道的選手已經完賽，讓我們回頭看看我們原本的賽道。
現在執棒的選手對我們來說有些陌生，他叫奧古斯都希波，他費盡了心血證明了「立方體體積的平方」除以「扭曲盒子體積的平方」恆小於三。
為了這個看上去不怎麼重要的小數字，他寫了一本248頁的厚厚著作。
然後交棒給了本次馬拉松接力的隊長，數學王子高斯。
然而高斯就是高斯。
他在希波248頁的證明後面花了一頁半，把這個比值的極限推到了二。
簡直就是神跡！我彷彿聽到高斯拔刀在喊「我方已經擊穿敵方裝甲！准備沖鋒！」
通過這一頁半，高斯間接說明了在規律排列下圓的最緊密堆積方式的密度最高極限是74.05%。（當球在三維格子裡面時）
那麼問題就是，哪一種堆積才能達到這樣的密度。開普勒的么？只有這一種么？
接下來的近一個世紀，接力棒默默地停止在高斯的那一頁半證明上。
直到1900年8月8日，第二屆國際數學家大會在巴黎召開。
德國數學家希爾伯特提出了那無比著名的23個數學問題。
開普勒猜想，編號第十八。
這個時候接力賽進入了白熱化，數學家們想找出比開普勒猜想更緊密的排列方式。（比如一種混亂的無序排列）
因此他們把74.05%這個密度作為一個下界，把100%作為一個最初的上界。
現在要做的就是縮小他們的距離。
丹麥人布利奇菲爾德接棒把上界縮小到83.5%，然後傳棒給蘇格蘭數學家蘭金，在劍橋數學實驗室的幫助下，他把上界的值降到了82.7%。
這個時候他們之前說採用的研究方法走到了盡頭，上界沒辦法再繼續下降了。
之前跑過接力棒的托斯，又想出了一種另外的方法。
這個方法是另一個俄國數學家沃洛諾伊提出的，但他英年早逝並沒有完善證明。
他提出，我們只要去找一種叫做V單元的立方體就行了。
這種V單元需要具有兩個特點，第一它可以沒有縫隙的填滿三維空間，就像正方體，第二他的內部有一個球。
這樣，球的體積不變，只要我們找到一種體積更小的v單元，裝球密度就會提高。
憑借這個方法，伯明翰大學的羅傑斯把上界降到了78%，跑出了精彩的一棒。
又過了三十年，加州理工大學的林賽選手接棒，跑出77.84%的好成績，然後數學家穆德榨幹了V單元方法的潛力，把他發揮到了極致。
上界又降低了，雖然只是萬分之一，但實屬不易。
突然之間。
加州大學伯克利分校的台灣人項武義接棒直接一騎絕塵沖過終點線!
很可惜的是他的證明被數學界認為不完備，並且有諸多漏洞。（我們的攻擊未能突破核心！觀測到敵方生命跡象！
接力棒被交回新秀黑爾斯手中。
只要上界降到了74.05那麼開普勒猜想就立刻會被證明。
黑爾斯採用了迪勞內的一種方法，假設空間裡面裝滿了圓球，我們用直線連接相鄰的圓心得到很多個四面體，再進行分析計算。
可是黑爾斯並沒有取得太多實質性的進展。這個方法並不能降低上界，而是直接對開普勒猜想進行證明，要是不成功就一無所獲。
根據普林斯頓同行的建議，黑爾斯開始使用電腦來對抗這個幾百年懸而未決的問題。
他對很多種可能排列方式進行窮舉分析。
可是程式運行的結果卻出乎意料。
結果表明沒有任何一種排列可以超過給出了74.08%這個數字。
嗯？74.08%？這和說好的75.05不一樣我摔！導演你是不是給錯劇本了！
經過檢查，黑爾斯發現了一種古怪的排列方式，它似乎比開普勒堆積要更緊密一點。我們就把它叫做「BUG」好了。
接下來他的工作分成了五個部分，簡單的概述就是，他提出了一種給每種排列打分的方式，他只要證明除了開普勒排列外的四大類的排列都低於8分，接下來證明BUG的排列也低於8。而開普勒排列的得分是8。
前面四大類都輕易的完成了。
只剩下了BUG，這種一個強有力的外援出現了，黑爾斯的醫生父親的一個病人恰好是數學教授，他的兒子成為了黑爾斯的學生。
無巧不成書。
黑爾斯原本預計再過幾個月就能完成對這個BUG排列的分析。
而實際上他們用了整整三年。
終於，1998年8月9日的上午。一個普通的星期天。
黑爾斯坐下來寫了一封電子郵件，告訴全世界的同行離散幾何中一個古老復雜的猜想已經得到了證明。
並附上了研究過程和電腦程序代碼。
但仍然有不少人人對這種這種窮舉證明方法存疑。
到此開普勒猜想證明告一段落。
這個看起來無比符合直覺的猜想前前後後用了四百年的時間才得以基本證明。
人類歷史上這批最傑出的天才前赴後地繼交棒接力。
他們大多數人都看不到這個猜想被證明的那一天。
如果說這個世界的真理和規律都被隱藏在黑暗中的話，
那麼謝謝他們為我們點起光明的火炬。
願火光永不熄滅。
㈡ 宇哥，請問考研高等數學中有哪些定理和公式的證明值得注意
中值定理，是反映 函數與 導數之間聯系的重要定理，也是 微積分學的理論基礎，在許多方面它都有重要的作用，下面分享考研數學中值定理證明思路，希望可以幫助大家。
一、具體考點分析
首先我們必須弄清楚這塊證明需要的理論基礎是什麼，相當於我們的工具，那需要哪些工具呢?
第一：閉區間連續函數的性質。
最值定理：閉區間連續函數的必有最大值和最小值。
推論：有界性(閉區間連續函數必有界)。
介值定理：閉區間連續函數在最大值和最小值之間中任意一個數，都可以在區間上找到一點，使得這一點的函數值與之相對應。
零點定理：閉區間連續函數，區間端點函數值符號相異，則區間內必有一點函數值為零。
第二：微分中值定理(一個引理，三個定理)
費馬引理：函數f(x)在點ξ的某鄰域U(ξ)內有定義，並且在ξ處可導，如果對於任意的x∈U(ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那麼f'(ξ)=0。
羅爾定理：如果函數f(x)滿足：
(1)在閉區間[a,b]上連續;
(2)在開區間(a,b)內可導;
在區間端點處的函數值相等，即f(a)=f(b
那麼在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ，使得 f?(ξ)="0.
幾何上，羅爾定理的條件表示，曲線弧 (方程為 )是一條連續的曲線弧 ，除端點外處處有不垂直於x軸的切線，且兩端點的縱坐標相等。而定理結論表明：
弧上至少有一點 ，曲線在該點切線是水平的。
拉格朗日中值定理：如果函數f(x)滿足：
(1)在閉區間[a,b]上連續;
(2)在開區間(a,b)內可導;
在區間端點處的函數值相等，即f(a)=f(b)，
那麼在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ
加強版：如果函數 f(x) 在積分區間[a, b]上連續，則在 (a, b)上至少存在一個點 ξ，使下式成立
第四：變限積分求導定理： 如果函數f(x)在區間[a，b]上連續，則積分變上限函數在[a,b]上具有導數，並且導數為：
第五：牛頓--萊布尼茨公式：如果函數f(x) 在區間[a,b] 上連續，並且存在原函數F(x) ，則
以上定理要求理解並掌握定理內容和相應證明過程。
二、注意事項
針對上文中具體的考點，佟老師再給出幾點注意事項，這幾個注意事項也是在證明題中的"小信號"，希望大家理解清楚並掌握：
1. 所有定理中只有介值定理和積分中值定理中的ξ所屬區間是閉區間。
2. 拉格朗日中值定理是函數f(x)與導函數f'(x)之間的橋梁。
3. 積分中值定理是定積分與函數之間的橋梁。
4. 羅爾定理和拉格朗日中值定理處理的對象是一個函數，而柯西中值定理處理的對象是兩個函數，如果結論中有兩個函數，形式與柯西中值定理的形式類似，這時就要想到我們的柯西中值定理。
5. 積分中值定理的加強版若在定理證明中應用，必須先證明。
其次對於中值定理證明一般分為兩大類題型：第一應用羅爾定理證明，也可又分為兩小類：證明結論簡單型和復雜型，簡單型一般有證明f'(ξ)=0，f'(ξ)=k (k為任意常數)，f'(ξ1)=g'(ξ2)，f''(ξ)=0，f''(ξ)=g''(ξ)，
像這樣的結論一般只需要找羅爾定理的條件就可以了，一般羅爾定理的前兩個條件題目均告知，只是要需找兩個不同點的函數值相等，需找此條件一般會運用閉區間連續函數的性質、積分中值定理、拉格朗日中值定理、極限的性質、導數的定義等知識點。復雜型就是結論比較復雜，需要建立輔助函數，再使輔助函數滿足羅爾定理的條件。輔助函數的建立一般藉助於解微分方程的思想。第二就是存在兩個點使之滿足某表達式。這樣的題目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，處理思想把結論中相同字母放到等是一側首先處理。
更多關於考研數學的內容請點擊啟道教育網考研數學。
㈢ 求各種數學物理方面的定理、猜想、悖論，越多越好，只有名字也行，加上簡單的介紹最好。謝謝。
買那本華東師范大學出版社的《高中數學競賽多功能題典》，後面有重要的競賽的定理，概念 。1.平面幾何
幾個重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的幾個特殊點:旁心、費馬點，歐拉線。
幾何不等式。
幾何極值問題。
幾何中的變換：對稱、平移、旋轉。
圓的冪和根軸。
面積方法，復數方法，向量方法，解析幾何方法。
2.代數
周期函數，帶絕對值的函數。
三角公式，三角恆等式，三角方程，三角不等式，反三角函數。
遞歸，遞歸數列及其性質，一階、二階線性常系數遞歸數列的通項公式。
第二數學歸納法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函數。
復數及其指數形式、三角形式，歐拉公式，棣莫弗定理，單位根。
多項式的除法定理、因式分解定理，多項式的相等，整系數多項式的有理根*，多項式的插值公式*。
n次多項式根的個數，根與系數的關系，實系數多項式虛根成對定理。
函數迭代，簡單的函數方程*
3. 初等數論
同餘，歐幾里得除法，裴蜀定理，完全剩餘類，二次剩餘，不定方程和方程組，高斯函數[x]，費馬小定理，格點及其性質，無窮遞降法，歐拉定理*，孫子定理*。
4.組合問題
圓排列，有重復元素的排列與組合，組合恆等式。
組合計數，組合幾何。
抽屜原理。
容斥原理。
極端原理。
圖論問題。
集合的劃分。
覆蓋。
平面凸集、凸包及應用*。
悖論的話
希帕索斯悖論與第一次數學危機
希帕索斯悖論的提出與勾股定理的發現密切相關。因此，我們從勾股定理談起。勾股定理是歐氏幾何中最著名的定理之一。天文學家開普勒曾稱其為歐氏幾何兩顆璀璨的明珠之一。它在數學與人類的實踐活動中有著極其廣泛的應用，同時也是人類最早認識到的平面幾何定理之一。在我國，最早的一部天文數學著作《周髀算經》中就已有了關於這一定理的初步認識。不過，在我國對於勾股定理的證明卻是較遲的事情。一直到三國時期的趙爽才用面積割補給出它的第一種證明。
在國外，最早給出這一定理證明的是古希臘的畢達哥拉斯。因而國外一般稱之為「畢達哥拉斯定理」。並且據說畢達哥拉斯在完成這一定理證明後欣喜若狂，而殺牛百隻以示慶賀。因此這一定理還又獲得了一個帶神秘色彩的稱號：「百牛定理」。
畢達哥拉斯
畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數學家與哲學家。他曾創立了一個合政治、學術、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學派。由畢達哥拉斯提出的著名命題「萬物皆數」是該學派的哲學基石。而「一切數均可表成整數或整數之比」則是這一學派的數學信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學派數學信仰的「掘墓人」。畢達哥拉斯定理提出後，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數√2 的誕生。小小√2的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊。對於當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。這一結論的悖論性表現在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內都可以表示成有理數。這不但在希臘當時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術已經高度發展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了！這應該是多麼違反常識，多麼荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的風波，史稱「第一次數學危機」。
歐多克索斯
二百年後，大約在公元前370年，才華橫溢的歐多克索斯建立起一套完整的比例論。他本人的著作已失傳，他的成果被保存在歐幾里德《幾何原本》一書第五篇中。歐多克索斯的巧妙方法可以避開無理數這一「邏輯上的丑聞」，並保留住與之相關的一些結論，從而解決了由無理數出現而引起的數學危機。但歐多克索斯的解決方式，是藉助幾何方法，通過避免直接出現無理數而實現的。這就生硬地把數和量肢解開來。在這種解決方案下，對無理數的使用只有在幾何中是允許的，合法的，在代數中就是非法的，不合邏輯的。或者說無理數只被當作是附在幾何量上的單純符號，而不被當作真正的數。一直到18世紀，當數學家證明了基本常數如圓周率是無理數時，擁護無理數存在的人才多起來。到十九世紀下半葉，現在意義上的實數理論建立起來後，無理數本質被徹底搞清，無理數在數學園地中才真正紮下了根。無理數在數學中合法地位的確立，一方面使人類對數的認識從有理數拓展到實數，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數學危機。
貝克萊悖論與第二次數學危機
第二次數學危機導源於微積分工具的使用。伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，十七世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數學工具為牛頓、萊布尼茲各自獨立發現。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具後變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。
貝克萊主教
1734年，貝克萊以「渺小的哲學家」之名出版了一本標題很長的書《分析學家；或一篇致一位不信神數學家的論文，其中審查一下近代分析學的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點有更清晰的表達，或更明顯的推理》。在這本書中，貝克萊對牛頓的理論進行了攻擊。例如他指責牛頓，為計算比如說 x2 的導數，先將 x 取一個不為0的增量 Δx ，由 (x + Δx)2 - x2 ，得到 2xΔx + (Δx2) ，後再被 Δx 除，得到 2x + Δx ，最後突然令 Δx = 0 ，求得導數為 2x 。這是「依靠雙重錯誤得到了不科學卻正確的結果」。因為無窮小量在牛頓的理論中一會兒說是零，一會兒又說不是零。因此，貝克萊嘲笑無窮小量是「已死量的幽靈」。貝克萊的攻擊雖說出自維護神學的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的。
數學史上把貝克萊的問題稱之為「貝克萊悖論」。籠統地說，貝克萊悖論可以表述為「無窮小量究竟是否為0」的問題：就無窮小量在當時實際應用而言，它必須既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾。這一問題的提出在當時的數學界引起了一定的混亂，由此導致了第二次數學危機的產生。
牛頓與萊布尼茲
針對貝克萊的攻擊，牛頓與萊布尼茲都曾試圖通過完善自己的理論來解決，但都沒有獲得完全成功。這使數學家們陷入了尷尬境地。一方面微積分在應用中大獲成功，另一方面其自身卻存在著邏輯矛盾，即貝克萊悖論。這種情況下對微積分的取捨上到底何去何從呢？
「向前進，向前進，你就會獲得信念！」達朗貝爾吹起奮勇向前的號角，在此號角的鼓舞下，十八世紀的數學家們開始不顧基礎的不嚴格，論證的不嚴密，而是更多依賴於直觀去開創新的數學領地。於是一套套新方法、新結論以及新分支紛紛涌現出來。經過一個多世紀的漫漫征程，幾代數學家，包括達朗貝爾、拉格朗日、貝努力家族、拉普拉斯以及集眾家之大成的歐拉等人的努力，數量驚人前所未有的處女地被開墾出來，微積分理論獲得了空前豐富。18世紀有時甚至被稱為「分析的世紀」。然而，與此同時十八世紀粗糙的，不嚴密的工作也導致謬誤越來越多的局面，不諧和音的刺耳開始震動了數學家們的神經。下面僅舉一無窮級數為例。
無窮級數S＝1－1＋1－1＋1………到底等於什麼？
當時人們認為一方面S＝（1－1）＋（1－1）＋………＝0；另一方面，S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋………＝1，那麼豈非0＝1？這一矛盾竟使傅立葉那樣的數學家困惑不解，甚至連被後人稱之為數學家之英雄的歐拉在此也犯下難以饒恕的錯誤。他在得到
1 + x + x2 + x3 + ..... = 1/(1- x)
後，令 x = －1，得出
S＝1－1＋1－1＋1………＝1／2！
由此一例，即不難看出當時數學中出現的混亂局面了。問題的嚴重性在於當時分析中任何一個比較細致的問題，如級數、積分的收斂性、微分積分的換序、高階微分的使用以及微分方程解的存在性……都幾乎無人過問。尤其到十九世紀初，傅立葉理論直接導致了數學邏輯基礎問題的徹底暴露。這樣，消除不諧和音，把分析重新建立在邏輯基礎之上就成為數學家們迫在眉睫的任務。到十九世紀，批判、系統化和嚴密論證的必要時期降臨了。
柯西
使分析基礎嚴密化的工作由法國著名數學家柯西邁出了第一大步。柯西於1821年開始出版了幾本具有劃時代意義的書與論文。其中給出了分析學一系列基本概念的嚴格定義。如他開始用不等式來刻畫極限，使無窮的運算化為一系列不等式的推導。這就是所謂極限概念的「算術化」。後來，德國數學家魏爾斯特拉斯給出更為完善的我們目前所使用的「ε-δ 」方法。另外，在柯西的努力下，連續、導數、微分、積分、無窮級數的和等概念也建立在了較堅實的基礎上。不過，在當時情況下，由於實數的嚴格理論未建立起來，所以柯西的極限理論還不可能完善。
柯西之後，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經過自己獨立深入的研究，都將分析基礎歸結為實數理論，並於七十年代各自建立了自己完整的實數體系。魏爾斯特拉斯的理論可歸結為遞增有界數列極限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托爾提出用有理「基本序列」來定義無理數。1892年，另一個數學家創用「區間套原理」來建立實數理論。由此，沿柯西開辟的道路，建立起來的嚴謹的極限理論與實數理論，完成了分析學的邏輯奠基工作。數學分析的無矛盾性問題歸納為實數論的無矛盾性，從而使微積分學這座人類數學史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎之上。重建微積分學基礎，這項重要而困難的工作就這樣經過許多傑出學者的努力而勝利完成了。微積分學堅實牢固基礎的建立，結束了數學中暫時的混亂局面，同時也宣布了第二次數學危機的徹底解決。
羅素悖論與第三次數學危機
十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。「一切數學成果可建立在集合論基礎上」這一發現使數學家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：「………藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……」
康托爾
可是，好景不長。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。
羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定的集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬於S，根據S的定義，S就不屬於S；反之，如果S不屬於S，同樣根據定義，S就屬於S。無論如何都是矛盾的。
羅素
其實，在羅素之前集合論中就已經發現了悖論。如1897年，布拉利和福爾蒂提出了最大序數悖論。1899年，康托爾自己發現了最大基數悖論。但是，由於這兩個悖論都涉及集合中的許多復雜理論，所以只是在數學界揭起了一點小漣漪，未能引起大的注意。羅素悖論則不同。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。如G.弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信後傷心地說：「一個科學家所遇到的最不合心意的事莫過於是在他的工作即將結束時，其基礎崩潰了。羅素先生的一封信正好把我置於這個境地。」戴德金也因此推遲了他的《什麼是數的本質和作用》一文的再版。可以說，這一悖論就象在平靜的數學水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導致了第三次數學危機。
危機產生後，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。「這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。」1908年，策梅羅在自己這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，後來經其他數學家改進，稱為ZF系統。這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統等。公理化集合系統的建立，成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展等等。
以上簡單介紹了數學史上由於數學悖論而導致的三次數學危機與度過，從中我們不難看到數學悖論在推動數學發展中的巨大作用。有人說：「提出問題就是解決問題的一半」，而數學悖論提出的正是讓數學家無法迴避的問題。它對數學家說：「解決我，不然我將吞掉你的體系！」正如希爾伯特在《論無限》一文中所指出的那樣：「必須承認，在這些悖論面前，我們目前所處的情況是不能長期忍受下去的。人們試想：在數學這個號稱可靠性和真理性的模範里，每一個人所學的、教的和應用的那些概念結構和推理方法竟會導致不合理的結果。如果甚至於數學思考也失靈的話，那麼應該到哪裡去尋找可靠性和真理性呢？」悖論的出現逼迫數學家投入最大的熱情去解決它。而在解決悖論的過程中，各種理論應運而生了：第一次數學危機促成了公理幾何與邏輯的誕生；第二次數學危機促成了分析基礎理論的完善與集合論的創立；第三次數學危機促成了數理邏輯的發展與一批現代數學的產生。數學由此獲得了蓬勃發展，這或許就是數學悖論重要意義之所在吧。
悖論一覽
1． 理發師悖論（羅素悖論）：某村只有一人理發，且該村的人都需要理發，理發師規定，給且只給村中不自己理發的人理發。試問：理發師給不給自己理發？
如果理發師給自己理發，則違背了自己的約定；如果理發師不給自己理發，那麼按照他的規定，又應該給自己理發。這樣，理發師陷入了兩難的境地。
2． 芝諾悖論——阿基里斯與烏龜：公元前5世紀，芝諾用他的無窮、連續以及部分和的知識，引發出以下著名的悖論：他提出讓阿基里斯與烏龜之間舉行一場賽跑，並讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始。假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍。比賽開始，當阿基里斯跑了1000米時，烏龜仍前於他100米；當阿基里斯跑了下一個100米時，烏龜依然前於他10米……所以，阿基里斯永遠追不上烏龜。
3． 說謊者悖論：公元前6世紀，古希臘克里特島的哲學家伊壁門尼德斯有如此斷言：「所有克里特人所說的每一句話都是謊話。」
如果這句話是真的，那麼也就是說，克里特人伊壁門尼德斯說了一句真話，但是卻與他的真話——所有克里特人所說的每一句話都是謊話——相悖；如果這句話不是真的，也就是說克里特人伊壁門尼德斯說了一句謊話，則真話應是：所有克里特人所說的每一句話都是真話，兩者又相悖。
所以怎樣也難以自圓其說，這就是著名的說謊者悖論。
公元前4世紀，希臘哲學家又提出了一個悖論：「我現在正在說的這句話是假的。」同上，這又是難以自圓其說！
說謊者悖論至今仍困擾著數學家和邏輯學家。說謊者悖論有許多形式。如：我預言：「你下面要講的話是『不』，對不對？用『是』或『不是』來回答。」
又如，「我的下一句話是錯（對）的，我的上一句話是對（錯）的」。
4． 跟無限相關的悖論：
{1，2，3，4，5，…}是自然數集：
{1，4，9，16，25，…}是自然數平方的數集。
這兩個數集能夠很容易構成一一對應，那麼，在每個集合中有一樣多的元素嗎？
5． 伽利略悖論：我們都知道整體大於部分。由線段BC上的點往頂點A連線，每一條線都會與線段DE(D點在AB上,E點在AC上)相交，因此可得DE與BC一樣長，與圖矛盾。為什麼？
6． 預料不到的考試的悖論：一位老師宣布說，在下一星期的五天內（星期一到星期五）的某一天將進行一場考試，但他又告訴班上的同學：「你們無法知道是哪一天，只有到了考試那天的早上八點鍾才通知你們下午一點鍾考。」
你能說出為什麼這場考試無法進行嗎？
7． 電梯悖論：在一幢摩天大樓里，有一架電梯是由電腦控制運行的，它每層樓都停，且停留的時間都相同。然而，辦公室靠近頂層的王先生說：「每當我要下樓的時候，都要等很久。停下的電梯總是要上樓，很少有下樓的。真奇怪！」李小姐對電梯也很不滿意，她在接近底層的辦公室上班，每天中午都要到頂樓的餐廳吃飯。她說：「不論我什麼時候要上樓，停下來的電梯總是要下樓，很少有上樓的。真讓人煩死了！」
這究竟是怎麼回事？電梯明明在每層停留的時間都相同，可為什麼會讓接近頂樓和底層的人等得不耐煩？
8． 硬幣悖論：兩枚硬幣平放在一起，頂上的硬幣繞下方的硬幣轉動半圈，結果硬幣中圖案的位置與開始時一樣；然而，按常理，繞過圓周半圈的硬幣的圖案應是朝下的才對！你能解釋為什麼嗎？
9． 谷堆悖論：顯然，1粒穀子不是堆；
如果1粒穀子不是堆，那麼2粒穀子也不是堆；
如果2粒穀子不是堆，那麼3粒穀子也不是堆；
……
如果99999粒穀子不是堆，那麼100000粒穀子也不是堆；
……
10． 寶塔悖論：如果從一磚塔中抽取一塊磚，它不會塌；抽兩塊磚，它也不會塌；……抽第N塊磚時，塔塌了。現在換一個地方開始抽磚，同第一次不一樣的是，抽第M塊磚是，塔塌了。再換一個地方，塔塌時少了L塊磚。以此類推，每換一個地方，塔塌時少的磚塊數都不盡相同。那麼到底抽多少塊磚塔才會塌呢？
累死我拉!!
希望可以幫到你~~
新年快樂！！
㈣ 有哪些數學定理或者數學知識驚呆了你
除法法則驚呆我了，因為我就能證明它是錯的，凡是除不盡的就是錯。但是一個人怎能推翻一個世界呢?如果有如果的話！覺得有力無處發，唉
！
㈤ 有沒有一些看似包含很多高大上數學定理（聽名字就很復雜的那種）實際上極其簡單
笛卡爾坐標系
㈥ 數學十大定理
1。人生的痛苦在於追求錯誤的東西。所謂追求錯誤的東西，就是你在無限趨近於它的時候，才猛然發現，你和它是不連續的。
2。人和人就像數軸上的有理數點，彼此可以靠得很近很近，但你們之間始終存在隔閡。
3。人是不孤獨的，正如數軸上有無限多個有理點，在你的任意一個小鄰域內都可以找到你的夥伴。但人又是寂寞的，正如把整個數軸的無理點標記上以後，就一個人都見不到了。
4。人和命運的關系就像F(x)=x與G(x)=x^2的關系。一開始，你以為命運是你的無窮小量。隨著年齡的增長，你才發現你用盡全力也趕不上命運的步伐。這時候，若不是以一種卑微的姿態走下去，便是結束自己的生命。
5。零點存在定理告訴我們，哪怕你和他站在對立面，只要你們的心還是連續的，你們就能找到你們的平衡點。
6。人生是一個級數，理想是你渴望收斂到的那個值。不必太在意，因為我們要認識到有限的人生刻畫不出無窮的級數，收斂也只是一個夢想罷了。不如腳踏實地，經營好每一天吧。
7。有限覆蓋定理告訴我們，一件事情如果是可以實現的，那麼你只要投入有限的時間和精力就一定可以實現。至於那些在你能力范圍之外的事情，就隨他去吧。
8。痛苦的回憶是可以縮小的，但不可能消亡。區間套最後套出的那一個點在整個區間上微不足道，但一定是存在的，而且刻骨銘心。
9。我們曾有多少的理想和承諾，在經歷幾次求導的考驗之後就面目全非甚至盪然無存？有沒有那麼一個誓言，叫做f(x)=e^x？
10。幸福是可積的，有限的間斷點並不影響它的積累。所以，樂觀地面對人生吧~
1不等式定律：
3兩＋1兩>2兩＋2兩>4兩
2衰減指數定律：
食堂裝修後開張和新學期開始後，飯菜質量和份量呈指數形式衰減。
3多功能定律：
食堂不僅具有普通食堂的功能，它還具有小賣部，錄像廳，自習室，還有陪心情不爽的同學叫板等多種功能。
4拉麵拉抻次數定律:
每個拉麵師傅在拉麵時的拉抻次數永遠是恆定的,習慣是很難更改的。(以6食堂為例,拉麵永遠是拉七次下鍋:拉麵平均長度的均值為0.5米*2的7次方=64米)
5 免費湯定律：
因為根據分子的不規則運動，所以從理論上講，如果用一缸水煮上一顆紅豆，那麼這就不再是一缸水，而是一缸能消暑的免費湯。
6互補定律：
打飯師傅的發福程度與打給你飯菜的份量互補，打給你飯菜的質量與份量互補，（例如，如果給你的牛肉很多，一定是嚼不動的，如果給你飯很多，一定是夾生的，如果給你菜很多，一定難以下咽）
7 唯一性定律：
如果食堂的師傅給你的飯菜足夠質量和份量，而且你又不是很pp,那麼一定是膳食大檢查的人員在食堂里。
8隨機性定律：
無論是經濟快餐，湯煲，還是特色炒菜都有隨機出現鐵絲，頭發，蒼蠅，石頭，蜈蚣或別的令你胃口全無的可能性，隨機率不可預計。
9 隨機性定律推論：
我們僅僅從食物中隨機出現的雜物，就推斷出食堂大師傅的一些特點：師傅大多是經常脫發，用金屬鐵絲洗碗，而且非常喜歡昆蟲和樹葉的標本。
10 相對論定律：
如果你感覺勺子筷子或者餐具不幹凈，請你閉上眼睛，心裡默念「這是經過紅外線消過毒的！」然後就干凈了。
㈦ 如何使數學課堂問題簡單化
正如一句廣告語所說：把簡單的事情弄復雜了——太累！ 把復雜的事情弄簡單了——貢獻！
在數學教學中「簡單化」的教學方法，是一種建立在人類認識規律和教育規律基礎之上的一種教學方法。「簡單化」的教學方法是可行的具有指導意義的、值得大家借鑒的，教學中的矛盾和困難的重要方法之一。運用「簡單化」的教學方法進行教學，應把握好循序漸進、因材施教等教學原則。實用的簡單方法的重要性。所謂「簡單化」的教學方法，是一種建立在人類的認識發展過程及規律和教育的發展規律基礎之上的一種教學方法。「簡單化」是與「復雜化」相對應的一個概念。「事倍功半」是簡單化的必然結果，「事半功倍」是復雜化的具體表現。實踐證明，「簡單化」的教學方法，是解決教學中的矛盾和問題的行之有效的重要方法之一，可以「大事化小，小事化了」。讓課堂充滿了激情和活力；新課改，讓數學教學更精彩。筆者在實施新課程教學中，確實體會到新教材編的活，學生學得活。但新課程下的小學數學課堂教學存在諸多的問題，要引起我們的重視。
在小學數學的教學中也存在著把簡單的教學問題弄的很復雜，原本很簡單的教學內容學生很容易掌握的問題，可是在教師的意願下，學生學的卻似懂非懂。這樣的事情在教學中很常見，原因是我們沒有考慮到學生的學習情況，結合學生具體情況如何在數學教學。在數學教學中，怎樣讓教學簡單些呢？下面是筆者在教學中發現的幾點問題，希望和大家一起探討怎樣讓學生在簡單的接受數學知識。
一、創設情景不能夠太過與牽強
《數學課程標准》強調「數學教學，要緊密聯系學生的生活環境，從學生已有的經驗和知識出發，創設有助於學生自主學習、合作交流的情境教學」。隨
著新課改的逐步深入，教師都在運用新的課標理念，不斷地創新課堂教學方式、方法，與傳統的純數學教學形成了迥然不同的數學課堂。在一些「新課堂」包括優質課比賽中，卻出現了「過濃的生活味」。無論什麼知識點，什麼教學內容，都與生活對應起來，牽強地創設一些生活情境，確有做秀、擺設之嫌。當然數學是從生活實際中產生的，最終也要服務於生活，但數學作為一門科學也有它內在發展規律，並不是每個知識點、知識內容都是生活中來的，而是數學本身的、內在的發展變化而來的。因此，新課堂應是數學與生活完美結合、辨證的統一。
筆者認為小學數學課堂教學應從數學知識本身的特點和學生的生活實際來正確處理數學與生活的關系，而且應該是數學味濃於生活味。
對於不同的知識層次，處理「數學與生活的關系」側重面也應有別。對於低年級（1~3年級學生）尤其是一至二年級學生，他們對數學知識比較缺乏，對一些簡單的數學知識難於理解，就應多從學生的生活經驗入手，創設一些學生熟悉的生活情境，將數學知識與生活經驗結合起來，用生活經驗來思考，解決數學問題，從而達到理解和掌握數學知識，因為他們不具備很好的抽象思維能力，只能從具體思維中慢慢轉化到抽象思維。例如認數、數數，都從實物、生活情境中逐步建立數的概念模型。如認識元、角、分，模擬商店購物情境，建立元、角、分的概念等。這些教學內容就應多些「生活味」。而對於高年級來說，因為他們已具備了一定的抽象思維能力，則不必每個知識點、每節課都創設生活情境，都與生活聯系起來，而應多些「數學味」。
就數學本身來說，對於解決實際問題，提高知識運用能力的教學，多從生活中，學生身邊生活經驗創設情境是完全必要的，但重點也應是數學知識的運用。而對於一些數學概念、意義、法則、定理等理論知識，則不必一定要創設生活情境，不必從生活情境中建立數學「模型」。
二、強調發揮學生的積極性，鼓勵學生獨立發現和探索
心理學家布魯納更完整地提出發現學習的理論。他強調，學習是發現知識、
理解一個學科的基本認識結構、運用直觀和分析推理以及依靠內在動機的過程。他認為，「發現不限於尋求人類尚未知曉的事物，確切地說，它包括用自己的頭腦親自獲得知識的一切方式。」因此，他提倡在教學中廣泛運用發現法。
在現在的教學課堂中不管是否必要，課堂里常見一些形式上的自主討論、合作、探究，創設情境正在使新課程變味，互動生成等同於信馬由韁，尊重等同於放縱，自主等同於自由，特別是出現教學內容的價值取向與學生的「獨特經驗」不一致時，教師更多關注少數學生答案的「獨特」、「多元」，追求課堂氣氛的形式熱鬧，學習情感的淺層愉悅，至於教學內容的價值目標及怎樣引領全體學生進一步深層次地感悟體驗，從而獲得真正有價值的東西，卻被忽視甚至被丟棄。
在數學教學中，始終有這樣一個問題存在著，相當一部分學生低年級學得很有興趣，掌握知識也不甚費力，而隨著年級的上升，學習數學變得越來越困難。學生對數學越來越不感興趣，隨之學好數學的信心也越來越差，如此惡性循環結果可想而知。
究其原因，主要有兩點：一是客觀上數學教材的逐步高度抽象性使學生望而生畏，產生惰性心理及厭學思想；二是主觀上教師在傳授知識中忽視了學生的情感體驗，教師未能充分理解教材，挖掘教材，利用教材中的可塑因素來引發學生的學習興趣，激發學生的探究意識。
教學中假如學生在課堂上能用自己喜歡的方式學習，那麼他們不但可以在學習時獲得愉快的情緒，而且可能對學習產生積極的體驗，越來越喜歡學習。理論和實踐都告訴我們，要想充分發揮每一種教學方法在教學過程中的實際效能，達到優化教學過程的目的，伴隨著新課程的實施與推進。
留有思考空間，老師向學生展示學習素材後，教師不能滔滔不絕地講個不停，要給學生留有思考空間。在課堂中創設合適的問題情境，提出要解決的問題，提高學生學習的激情；學生分小組擬出解決問題的方法和途徑，並收集資料，進一步提高學生學習的興趣；提出假設、檢驗假設，激發學生的探究意識；總結，做出共同的結論，提高學生學習的效率。例如在教學生角的認識時，通
過實物或課件等，給學生創設一個簡單的情景，教師提出假設，學生去檢驗假設，給學生建設一個初步角的表象。（還沒有想好例題）
沒有激情，哪來興趣？沒有興趣，哪來探究意識？沒有探究意識，又何來效率？研究表明，當學生主動參與到教學過程之中時，他們的學習會更有效率，收獲更多。發揮學生主動性和創造性，發展他們的智力，可以使較深地理解知識，並且較好地保持在記憶中，在教學中學生更容易遷移，並且提高學習和研究較難的教材和問題的興趣和信心，學生獲得探究知識的技能，從而提高學生獨立學習的能力。
三、小組討論形式化
數學課堂討論設計在課堂教學中佔有重要位置，因此加強小學數學課堂討論設計的探索與研究顯得尤為重要。特別在注重學生創新精神和實踐能力培養的今天如何設計具有開放性、探索性、實踐性的數學課堂討論，更好地體現素質教育的精神，顯得十分迫切和必要。這就需要我們廣大教師在課堂討論設計這方面下功夫，努力鑽研、堅持探索，從而更好的把素質教育落到實處！
四、評價單一化
五、教師的語言
課堂教學是實施素質教育的主渠道,在當前新的課改理念背景下,著力改變過去單一、封閉而僵化的課堂教學模式,轉而創建一種充滿生命活力的課堂教學運行體系,乃是今日教學改革的應有之義,也是每一位教師義不容辭的責任。尤其在目前還未能淡化考試壓力的前提下,研究如何創建個性化的教學方式,怎樣整合多樣化的教學方法,以切實提高課堂教育教學質量,無論如何都顯得十分重要而迫切。 一、從教學過程的本質說起 教學是教師的教與學生的學的統一,現代教學論把這種統一的實質定位為交往。也就是說,交往是教學過程的本質體現。假如教學過程發生,但實質„
（二）
一個問題比解決一個問題更重要」。
簡單並不簡單，這需要我們做教師的做好充分的教學准備，更好的服務於學生，讓學生在學習過程中簡單的接受知識。我們可以借鑒這些先進方法的某些部分，來制定自己的教學方法，形成自己的教學特色。只有不違反教育教學規律和新課程理念，越簡單的越好。
「提出傳統的教學法灌輸式，把學生看作容器，不注意發展學生的智力，不能適應時代的要求。因此一些教育學家、心理學家提出了新的教學理論。如皮亞傑提出：「一切真理都要由學生自己獲得，或者由他重新發明，至少由他重建，而不是簡單地傳遞給他。」布魯納也認為，學習重要的不是記憶事實，而是獲得知識的過程。他提出「發現法」，強調「教數學„„要讓學生自行思考數學，參與到掌握知識的過程中去。」
望採納，謝謝啦。
㈧ 數學問題如何簡單化
數學
一、全面復習，把書讀薄
從歷年試卷的內容分布上可以看出，凡是考試大綱中提及的內容，都可能考到，甚至某些不太重要的內容，在某一年可以在大題中出現，如98年數學一中，不但第三題是一道純粹的解析幾何題，而且還有兩道題是與線性代數結合考了解析幾何的內容，可見猜題的復習方法是靠不住的，而應當參照考試大綱，全面復習，不留遺漏。
全面復習不是生記硬背所有的知識，相反是要抓住問題的實質和各內容，各方法的本質聯系，把要記的東西縮小到最小程度，（要努力使自已理解所學知識，多抓住問題的聯系，少記一些死知識），而且，不記則已，記住了就要牢靠。事實證明，有些記憶是終生不忘的，而其它的知識又可以在記住基本知識的基礎上，運用它們之間的聯系而得到，這就是全面復習的含義。
二、突出重點，精益求精
在考試大綱要求中，對內容有理解，了解，知道三個層次的要求；對方法有掌握，會（或者能）兩個層次的要求，一般地說，要求理解的內容，要求掌握的方法，是考試的重點。在歷年考試中，這方面考題出現的概率較大；在同一份試卷中，這方面試題所佔有的分數也較多。「猜題」的人，往往要在這方面下功夫。一般說來，也確能猜出幾分來。但遇到綜合題，這些題在主要內容中含有次要內容。這時，「猜題」便行不通了。
我們講的突出重點，不僅要在主要內容和方法上多下功夫，更重要的是要去尋找重點內容與次要內容間的聯系，以主帶次，用重點內容擔挈整個內容。主要內容理解透了，其它的內容和方法迎刃而解，要抓住主要內容，不是放棄次要內容而孤立主要內容，而是從分析各內容的聯系，從比較中自然地突出主要內容。如微分中值定理，有羅爾定理，拉格朗日定理，柯西定理和泰勒公式。由於羅爾定理是拉格朗日定理的特殊情況，而柯西定理和泰勒公式又是拉格朗日定理的推廣。比較這些關系，便自然得到拉格朗日定理是核心，這這個定理搞深搞透，並從聯系中掌握好其它幾個定理，在考試大綱中，羅爾定理與拉格朗日定理都是要求理解的內容，都是考試重點，我們更突出拉氏定理，可謂是精益求精。
三、基本訓練反復進行
學習數學，要做一定數量的題，把基本功練熟練透，但我們不主張「題海」戰術，而是提倡精練，即反復做一些典型的題，做致電一題多解，一題多變。要訓練抽象思維能力，對些基本定理的證明，基本公式的推導，以及一些基本練習題， 要作到不用書寫，就象棋手下「盲棋」一樣，只需用腦子默想，即能得到下確答案。這就是我們在前言中提到的，在20分鍾內完成10道客觀題．其中有些是不用動筆，一眼就能乍出答案的題，這樣才叫訓練有素，「熟能生巧」，基本功扎實的人，遇到難題辦法也多，不易被難倒。相反，作練習時，眼高手低，總找難題作，結果上了考場，遇到與自己曾經作過的類似的題目都有可能不會。不少考生把會作的題算錯了，歸為粗心大意，確實人會有粗心的，但基本功扎實的人，出了錯立即會發現，很少會「粗心」地出錯。
記住了就要牢靠。事實證明，有些記憶是終生不忘的，而其它的知識又可以在記住基本知識的基礎上，運用它們之間的聯系而得到，這就是全面復習的含義。
人，出了錯立即會發現，很少會「粗心」地出錯。
㈨ 簡單的數學定理題目
PQ = pq ，則 PQ = pq + pβ + qα + αβ有 pβ + qα + αβ =0 這是別人的答案，可以引用下 pβ + qα + αβ =0是結論成立的條件，當然這個定理包含了很豐富的數學原理和數學思想，也是很有趣的。因此我們可以想得復雜些（當然我也知道問題簡單化是一種好的思想），很自然的α和β是由特殊含義的，也正是這樣的含義也許可以將這個定理所包含在表達式下的原理思想應用於我們的生產生活，在這里說這些，是想說明一種思考方式 我們看到題目中的所有的表達式都是兩個數或者其他含義的符號結合在一起，現在我們可以用矩形面積或者形式類推的含義S表示這樣的結合，那麼我們令S1=PQ，我們知道含義S是可以切割的，那麼我們可以把S1切割成S2，S3，其中我們讓S2，S3都仍然包含屬性Q，則可以這樣表示S2=αQ，S3=pQ，這樣我們就很容易的知道接下來可以怎麼理解了，很容易的我們可以得到αq，αβ，pq，pβ，再把這些切割的部分合在一起就可以得到原來的PQ了，這樣的說明是可以理解的，但是對於更嚴格的證明這個定理，在數學上我們去尋找更嚴格的去定義S和它所具有的性質，如果我們把S看成是具有定理所表達性質的一個系統，那麼我們比較直觀的描述這個定理可以是這樣的：系統S是具有可加性的，它的屬性P、Q也是具有可加性的，從而疊加在一起便可以推知結合律分配律；我這樣的描述並不是說某某數學知識是這樣證明或說明的，而是想說你難道不覺得這像是代數運算中的整數四則運算，或者說實數四則運算等等有相同形式的數學現象嗎？ 我說的已經夠復雜了，夠抽象了，對於問題的說明未必是有意義的，但是我是這樣的思考的？ 那麼我們簡單點吧，對於PQ = （p+α）（q+β）= pq + pβ + qα + αβ，其中令PQ=pq 所以我們很容易的就知道可以用反證法 PQ=pq，則PQ ！= pq + pβ + qα + αβ（！= 表示「不等」） 但是我們看3*4=（6+（-3））*（2+2），對於P=3，Q=4，我們可以找到這樣的p=6，q=2，α=-3，β=2使在PQ=pq條件下，令PQ = pq + pβ + qα + αβ 也許提問者看到這里也許也明白了一些東西，我也說明一下，我的這些說明僅僅是我的思考，它並不是在某種標准下的正確答案，權當看看吧
㈩ 哪些數學定理在直覺上是對的，但證明起來很困難
很多人對於定理的重要程度都有不同見解，不是所有顯然的東西都是對的，比如Jordan定理在高維的情形。事實上，「顯然成立」往往隱含了許多你不曾意識到的假設，還是用Jordan定理舉例子，直覺中的簡單曲線往往是光滑的，或者分段光滑的，或者可以用有限的步驟構造出來的。把證明嚴格的寫出來有助於推廣，知道哪些條件是必須的，哪些條件是可以推廣的，哪些是不必要的。