㈠ 人教版小學六年級下冊數學廣角
．例1。
編寫意圖
教材藉助把4枝鉛筆放進3個文具盒中的操作情境，介紹了一類較簡單的「抽屜問題」。學生在操作實物的過程中可以發現一個現象：不管怎麼放，總有一個文具盒裡至少放進2枝鉛筆，從而產生疑問，激起尋求答案的慾望。在這里，「4枝鉛筆」就是「4個要分放的物體」，「3個文具盒」就是「3個抽屜」，這個問題用「抽屜問題」的語言來描述就是：把4個物體放進3個抽屜，總有一個抽屜至少有2個物體。
為了解釋這一現象，教材呈現了兩種思考方法。第一種方法是用操作的方法進行枚舉。通過直觀地擺鉛筆，發現把4枝鉛筆分配到3個文具盒中一共只有四種情況（在這里，只考慮存在性問題，即把4枝鉛筆不管放進哪個文具盒，都視為同一種情況）。在每一種情況中，都一定有一個文具盒中至少有2枝鉛筆。通過羅列實驗的所有結果，就可以解釋前面提出的疑問。實際上，從數的分解的角度來說，這種方法相當於把4分解成三個數，共有四種情況，即（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1），每一種結果的三個數中，至少有一個數是不小於2的。第二種方法採用的是「反證法」或「假設法」的思路，即假設先在每個文具盒中放1枝鉛筆，3個文具盒裡就放了3枝鉛筆。還剩下1枝，放入任意一個文具盒，那麼這個文具盒中就有2枝鉛筆了。這種方法比第一種方法更為抽象，更具一般性。例如，如果要回答「為什麼把（n
＋1）枝鉛筆放進
n個文具盒，總有一個文具盒裡至少放進2枝鉛筆」的問題，用枚舉的方法就很難解釋，但用「假設法」來說明就很容易了。
為了對這類「抽屜問題」有更深的理解，教材在「做一做」中安排了一個「鴿巢問題」。學生可以利用例題中的方法遷移類推，加以解釋。
教學建議
由於例題中的數據較小，為學生自主探索提供了很大的空間。因此，教學時，可以放手讓學生自主思考，先採用自己的方法進行「證明」，然後再進行交流。除了教材上提供的兩種方法以外，還會有其他的方法（如數的分解法），只要是合理的，都應給予鼓勵。在此過程中，教師也應給予適當的指導。例如，要使學生明確，這里只需解決存在性問題就可以了。如果有的同學在枚舉的時候，給三個文具盒標上序號，把（4，0，0）、（0，4，0）和（0，0，4）理解成三種不同的情況，教師應指出，在研究這一類問題時，作這樣的區分是沒有必要的。這樣的指導有助於培養學生具體情況具體分析的數學思維。
教學時應有意識地讓學生理解「抽屜問題」的「一般化模型」。教學時，在學生自主探索的基礎上，可以引導他們對教材上提供的兩種方法進行比較，思考一下枚舉的方法有什麼優越性和局限性，假設的方法有什麼優點，使學生逐步學會運用一般性的數學方法來思考問題。學生在解決了「4枝鉛筆放進3個文具盒」的問題以後，可以讓學生繼續思考：把5枝鉛筆放進4個文具盒，總有一個文具盒裡至少放進2枝鉛筆，為什麼？如果把6枝鉛筆放進5個文具盒，結果是否一樣呢？把7枝鉛筆放進6個文具盒呢？把10枝鉛筆放進9個文具盒呢？把100枝鉛筆放進99個文具盒呢？引導學生得出一般性的結論：只要放的鉛筆數比文具盒的數量多1，總有一個文具盒裡至少放進2枝鉛筆。接著，可以繼續提問：如果要放的鉛筆數比文具盒的數量多2，多3，多4呢？引導學生發現：只要鉛筆數比文具盒的數量多，這個結論都是成立的。通過這樣的教學過程，有助於發展學生的類推能力，形成比較抽象的數學思維。
2．例2。
編寫意圖
本例介紹了另一種類型的「抽屜問題」，即「把多於
kn個的物體任意分放進n
個空抽屜（k是正整數），那麼一定有一個抽屜中放進了至少（k+1）個物體。」實際上，如果設定
k=1，這類「抽屜問題」就變成了例1的形式。因此，這兩類「抽屜問題」在本質上是一致的，例1隻是例2的一個特例。
㈡ 小學數學教學中如何處理數學廣角
把握目標 突出主體 有效提升
——淺談《數學廣角》的教學
[摘要]數學廣角教學的關鍵是對學生進行數學思想方法的滲透，目的是培養學生的思維及解決實際問題的能力。在教學中把握准教學目標，注重學生的主動建構，注重學生的自主探索，注重學生的交流討論，讓學生經歷數學知識的形成過程，突出主體，巧用素材，有效提升，為學生的終身發展奠定基礎。
[關鍵詞] 目標 主體 提升
「數學廣角」是人教版小學數學實驗教材新增加的板塊，這塊新內容許多執教教師都感到比較迷茫，迷茫於編者的意圖，迷茫於教學目標的把握，迷茫於教學方法的選擇，迷茫於內容的處理，迷茫於過程的展開，迷茫於……。再加上從總體上來說，《數學廣角》的內容不列入期末考試的范疇，所以有的教師就蜻蜓點水，一帶而過，有的教師又因為學校要進行競賽，又上成奧數課。《數學廣角》究竟如何去教學呢？
一、恰當要求，把握目標
教學目標是課堂教學的靈魂，它既是教學的出發點，又是教學的歸宿。因此，教學目標的制定是否恰當，直接決定著教學過程中目標的達成度，也將直接決定一堂課的教學效果。教參上也說每一冊數學廣角單元的安排，主要都是通過簡單的事例滲透一些重要的數學思想方法，或者介紹一些比較著名的數學問題，讓學生在解決這些問題的過程中能主動嘗試從數學的角度運用所學知識和方法尋找解決問題的策略，培養學生解決實際問題的實踐經驗和能力。最重要的目的是讓學生通過接觸這些重要的數學思想方法，經歷猜想、實驗、推理等數學探索的過程，激發學生對數學的好奇心和求知慾，增強學生學習數學的興趣。根據這一些，我們既不能拔高要求，脫離軌道，也不能降低要求，敷衍了事。
在一次鄉鎮一級教研活動中，有一位教師在教學二上的排列組合時，她是這樣教學的：先通過老師與一個學生的握手，需要握一次；然後小組合作，試一試3人要握幾次，通過老師的引導得出3個人握手的次數可以用算式2＋1＝3來計算，4個人的握手先通過小組合作，在指名上來表演，又得出可以用算式3＋2＋1＝6表示；5個人呢，引導學生可以用自己喜歡的數字、圖形、字母等表示人，再用連線表示握手的次數，又得出5個人的握手可以用4＋3＋2＋1＝10表示；接下來通過找規律得出6個人的握手次數是5＋4＋3＋2＋1＝15，並進行了驗證；根據這樣的規律，那7個人、8個人、全班呢？通過引導，學生列出了相應的式子。最後老師總結：今天學的就是《握手中的數學問題》。她這節課把教學目標定為讓學生通過觀察、操作、討論等活動，建立握手中的數學問題的模型，然後運用這個模型來應用。這樣的目標和教學設計就拔高了教學要求，因為本節課是二年級上冊的內容，學生第一次接觸數學廣角，這部分內容本身對於低年級學生來說就比較抽象，不應該象上面那樣上成握手中的數學問題，使課堂只成為尖子生的課堂，所以這節課的目標應定為：使學生通過觀察、猜測、比較、實驗等活動，找出最簡單事物的排列數和組合數；初步培養學生有順序地、全面地思考問題的意識；使學生感受數學與生活的密切聯系，激發學生學習探索數學的濃厚興趣。根據這個目標，可以把教學設計改為：把各項教學內容全部貫穿於一個游戲活動當中，把擺數、握手、搭配衣服、打乒乓球，買練習本等學習內容貫穿整節課，使教材在呈現方式上變得生動、有趣，並富有濃濃生活氣息；在內容上也有較強的層次性和邏輯性，使學生感到學數學就好像是在做游戲，增強了全班學生的參與意識，提高了學生學習的積極性，較好地完成教學目標。
二、突出主體，體現價值
1、關注學習過程，突出思想方法
數學廣角體現了新課程的一種理念「重要的思想方法的滲透」，在滲透的過程中，切忌片面強調機械記憶、模仿以及復雜技巧。例如在教學三上的排列組合時，有的教師創設了搭配穿衣服的情境後，透過小組討論、演示搭配過程、以及簡單的連線方法後，老師就會問：「有沒有更簡單的方法？」如果學生還沒有列出算式來，老師還會問：「上裝的件數和下裝的件數，與有多少種搭配方法有什麼關系？」迫使學生得出計算的方法，才肯罷休，繼續下面的環節。不難看出，這樣較快地提煉方法，會使學習成為結果的記憶和套用，知識發生和發展過程中寶貴的教育資源就不能被充分開發利用，這樣只關注結果的教學，哪有學生的主體地位？
有一位教研員他是這樣設計的，同樣創設了搭配衣服的數學情境，提問：「到底有多少中不同的搭配方法呢？你有什麼好方法讓大家清楚地知道你的種數呢？」接下來，請學生介紹，並引導評價，體驗有序思考的好處，然後再提問：「用什麼方法巧妙地紀錄搭配的結果，比一比，誰的方法又對又快又清楚？」學生嘗試用符號來表達自己的想法，有的用文字表示，有的用圖形表示，有的用數字表示，有的用字母表示，還有的用算式表示……「它們有什麼共同的特點？」「有序！」這樣學生有順序地、全面地思考問題的意識得到了加強，落實課程標准中提出的要求──「在解決問題的過程中，使學生能進行簡單的、有條理的思考」。同時，學生通過用圖片擺到抽象化的符號，其思考過程經歷了從實物到抽象的過程，學生數學化的思考過程也非常明顯,教學中教師並不急於提煉方法、得出結論，而是用較重的筆墨充分展開過程，這樣重在滲透思想方法，落實數學思考，關注學習過程的教學方法是數學廣角教學的首選。
2、夯實學習基礎，促進方法滲透
數學廣角的教學，不但要滲透數學的思想方法，還要使學生會用這些思想方法解決一些簡單的實際生活問題和數學問題，從而培養學生解決生活中實際問題的能力。上一學期，我對四下的《植樹問題》這一課進行認真地備課：既考慮到情境的創設如何培養學生的興趣，貼近學生的生活；也考慮到教學時如何以學生為主體，滲透方法，自主建構。可是在實際的教學過程中，在「種樹」時還是躍躍欲試的學生們到「應用規律」 時一個個都像在猜謎，加1？減1？還是不加不減？勉強參與的只是那幾個在校外學奧數的學生。看來這樣的設計無法顧及全體學生的發展，沒有了學生的主體參與，還體現什麼價值？反思整節課：因為課前沒有較好地了解學生的學習起點，小組合作也只停留在表面，急於得出植樹問題的三種情況，這樣只重結果，學生似懂非懂，又怎麼去應用規律呢？在反思中，我找到了症結，改變了原來的教學設計，首先創設情境後先獨立思考，再讓學生在小組內充分討論，有的學生畫草圖、有的學生畫線段圖、還有的學生直接列算式，然後我採用反問的形式以及課件的巧妙演示，數形結合，滲透數學學習方法，給學生提供多次體驗的機會，讓學生有夯實的學習基礎，有效地促進數學思想方法的滲透，這樣為下面的解決實際問題提供了一根將「發現規律」與「運用規律」鏈接起來的拐杖，使學生永遠站在主體的位置。
三、巧用素材，有效提升
練習在數學教學中佔有特殊地位，是課堂教學的重要環節。數學廣角的鞏固練習創設了許多現實的、學生感興趣的情境作為學習的素材。有的教師如果是平時上課他會按教材一題一題講解，不考慮素材安排的目的；如果是上公開課，因為數學廣角的練習題量也不多，他又會自己創設出好多的素材來鞏固，究竟如何去巧用素材，使數學知識有效提升呢？
例如三上的《組合》這一課，教材上安排了組數、早餐搭配、走路中的數學問題、拍照等，這些豐富有趣的情境牢牢的吸引著學生，如果在教學時只是讓學生「用數字卡片擺一擺」、「用線在書上連一連飲料與點心的搭配」、「自己用筆畫一畫從兒童樂園到百鳥園的路線」或「用線連一連一共拍了幾張照片」，這些問題情境的設計與展開是平面的，除了情境的不同，要求上並沒有提升，始終停留於具體操作層面，缺少數學化的過程。所以我們在教學時要注意每一個問題情境應有目標重心，組數問題要突出「有序思考」，把點心搭配從「二三搭配」拓展為「三三搭配」，既是對前面思想方法的鞏固應用，又能起到舉一反三的作用，遊玩路線問題則側重於「符號思想」的應用，讓學生思考「如何可以更清楚地表達路線」，拍照問題則可以拓展為如果我們全班同學每個人都想單獨和聰聰、明明各合一張影，一共要照多少張？只有這樣發揮教材的編排作用，挖掘每個素材的獨特功能，才能使學生的各種技能有效提升。
總之，數學廣角的教學要體現「以學生為本」，突出主體，把握准目標，讓學生經歷數學知識的形成過程，把數學思想方法貫穿始終，體現數學的價值，增強應用數學的意識，為學生的終身發展奠定基礎。
讓我們每一位教師都在數學廣角這一畫卷上描上最美麗的一筆。
㈢ 新人教版 三年級下冊 數學廣角 用0，1，3，5能組成多少個沒有重復 教學設計
新人教版三年級下冊數學《初步感受簡單事物的排列數》教案教學設計
第八單元 數學廣角——搭配（二）
新知識點：
1、簡單事物的排列數。
2、簡單事物的組合數。
教學要求：
1、聯系學生的生活實際，使學生通過觀察、猜測、試驗等活動，找出簡單事物的排列數和組合數。
2、培養學生初步的觀察、分析及推理能力，以及有順序地、全面地思考問題的意識。
3、使學生感受數學在現實生活中的廣泛應用，嘗試用數學的方法解決實際生活中的問題。
4、滲透數學思想和方法，提高學生的數學素質。
5、使學生在數學活動中養成與人合作的良好習慣，並初步學會表達解決問題的大致過程和結果。
教學建議：
「數學廣角—搭配（二）「主要是向學生介紹簡單的排列、組合知識，培養學生的數學思想和方法，使學生感受到數學知識在實際生活中的應用價值。排列與組合不僅是組合數學的最初步知識和學習概率統計的基礎，而且也是日常生活中應用比較廣泛的數學知識。因而在教學中要多注意抓住並把握好適合學生發展的有利素材。
1、選用學生身邊的事例和一些生動有趣的活動，來調動學生參與數學的積極性和主動性。例如兒童節到了，穿什麼衣服，有幾種搭配方法，如何選擇游覽的路線等等。
2、注重學習方式的教學，培養學生的數學素質。本單元的內容活動性和操作性較強，要盡可能的採取學生動手實踐，小組合作學習的方式進行教學，如排出不同的三位數，比賽場次問題等，讓學生根據實際問題採用——列舉、連線等方法感受簡單事物的排列數與組合數。
3、注意數學思想和方法的滲透，培養學生的能力。每種活動結束後，要讓學生發表自己的看法，初步培養學生有序、全面思考問題的意識。例如在活動前質疑：怎樣才能保證不重不漏？
4、注意教學語言的表述，把握好教學目標。教學時要盡量避免出現排列、組合這些術語，以免影響學生的思維。用學生能接受的語言表達、交流即可，使學生感受簡單事物的排列數和組合數在實際生活中的廣泛應用。
第一課時 初步感受簡單事物的排列數
課題 初步感受簡單事物的排列數 課型 新課
教學目標 1、使學生通過動手操作找出簡單事物的排列數，體會數學思想和方法。
2、培養學生初步的觀察、分析、推理能力，以及有順序地、全面地思考問題的意識。
3、培養學生對數學的興趣記憶與人合作的良好習慣。
教學重點 使學生找到簡單事物的排列數，體會書寫思想和方法。
教學難點 使學生找到簡單事物的排列數，體會書寫思想和方法。
教具准備 數字卡片。
教
學
過
程 教學設計 教 學 反 思
一、 學前准備
1、十位上是「2「的兩位數共有多少個？
2、個位上是「0「的兩位數共有多少個？
3、拿出准備好的數字卡片7、3、9.
二、探究新知
1、用0、1、3、5能組成多少個沒有重復數字的兩位數？
以小組為單位，合作完成，同時思考下面的問題。
（1）怎樣擺能保證不重不漏？
（2）你們一共擺出了幾個兩位數？是怎樣擺的？
（3）用什麼方法記錄既清楚明了又不重不漏？
2、學生以小組為單位探究，教師巡視、指導。
3、匯報：
（1）按照一定的順序來擺就能保證不重不漏。
（2）按數位擺：
十位如果是1，可以擺出10、13、15；
十位如果是3，可以擺出30、31、35；
十位如果是5，可以擺出50、51、53。
（3）按照一定的順序記錄，就能保證不重不漏，清楚明了。
三、課堂作業新設計
1、教材練習二十二第1題。
（1）小組活動：找四個人扮演四位師徒，一個人記錄。
（2）怎樣交換位置更清楚明了？
（3）可以有多少種不同的排法？
2、教材練習二十二第2題。
獨立排一排，並記錄。注意排的順序，體會方法。
3、教材練習二十二第3題。
四、思維訓練
從寫有1、2、3、4的四張卡片中任意選出2張，做一位數的乘法計算。共能組成多少個不同的乘法算式？共有多少個不同的積？寫出這些算式。
五、板書設計
㈣ 人教版小學數學廣角知識梳理
為什麼從二年級開始數學課本內容都有數學廣角？
「數學廣角」是義務教育課程標准試驗教科書二上開始新增設的一個單元，是新教材向學生滲透數學思想方法方面做出的新嘗試。同時也是發展學生抽象能力和邏輯思維能力的好素材，把重要的數學思想方法通過學生日常生活中最簡單的事例呈現出來。
二年級上冊：
簡單的排列和組合
(1)培養數學學習的興趣和利用數學方法解決問題的意識。
(2)讓學生經歷擺學具、畫圖示、列圖表等過程，逐步抽象出全面的、有序的排列和組合的方法，使學生的思維逐步由具體過渡到抽象。
(3)能找出最簡單的事物的排列數和組合數，在活動中培養合作交流的意識和有序思考問題的能力。
簡單的排列組合對二年級學生來說都早有不同層次的接觸，如用1、2兩個數字卡片來排兩位數，學生在一年級時就已經掌握了。而對1、2、3三個數字排列成幾個兩位數，不少學生沒有接觸過，但是對於學生來說也不困難，這些實際情況，在設計本節課時，教學的重點應該偏重於讓學生說一說有序排列、巧妙組合的理由，體會到有順序、全面思考問題的好處。並在設計「擺數」、「握手」這些活動時難度再稍微提升些，盡量做到讓每個學生都能有事可做。同時，根據學生的年齡特點在設計教案時也要做到設計學生感興趣的環節，靈活處理教材。
二年級下冊：
簡單的推理
(1)經歷對生活中的某些現象進行判斷、推理的過程。
(2)能藉助"做標記"、"列圖表"等方式整理信息，並能對生活中的某些現象按一定方法進行推理。
(3)能有條理的表達自己思考的過程，與同伴進行合作與、 本單元的相關概念 。
三年級上冊：
等量代換法
知識點
1、等量代換的思想:相等的量可以互相代替。
2、運用等量代換法來解決生活中的實際問題。
3、在解決等量代換數學問題的過程中,初步體會等量代換數學題的思想方法。
教學目標
1.使學生能初步學會等量代換的方法,接受等量代換的思想。
2.培養學生的觀察力及初步的邏輯推理能力。
3、讓學生在經歷解決問題的過程中,獲得經驗,讓學生充分感受生活中處處有 數學,數學與生活息息相關,形成我要學好數學的精神風貌。
4、在學習過程中培養學生團結、友好合作,營造和諧共進的氛圍。
習題：
1、 1隻河馬的體重等於 2隻大象的體重, 1隻大象的體重等於 10匹馬的體重。 1匹馬的體重是 320千克,這只河馬的體重是多少千克?
320×10=3200(千克 ) 是1隻大象的體重
河馬體重是 3200×2=6400(千克 )
320×(2×10)=6400(千克 )
2、 +++□=25,□=+。 求 =? □=?
3、一隻菠蘿的重量等於 2隻梨的重量,也等於 4隻香蕉的重量,還等於 2隻蘋果、 1隻梨、 1隻香蕉的重量之和。那麼 1隻菠蘿等於幾只蘋果的重量?
4. +=21
+□ =38
+□ =15
=( )
□ =()
=()
5.一個數加上 4,減去 4,乘以 4,再除以 2,結果是 2,求這個數。
三年級下冊
簡單的組合： 生活中， 我們常常應用組合知識來解決問題。 如進行上衣和褲子的搭配、 出行時選擇不同路線、 體育比賽場次的設定等。 本單元要學習的是找出簡單事物的組合數， 是把幾個事物， 每兩個組合在一起， 找出有幾種組合方法。可以用連線的方法進行， 按一定的順序把要組合的事物兩兩相連， 在數一數連了幾條線， 就得到了組合數。
簡單的排列： 生活中， 我們也常常會應用排列知識來解決問題。 如郵政編碼、電話號碼、 身份證號碼等各種編號。 排列與組合的區別是排列與事物的順序有關，而組合與事物的順序無關。 本單元學習的排列比較簡單， 可以用擺一擺或列表的方法， 先確定第一個位置後， 再確定第二、 第三的位置， 看有幾種可能的情況。就得到了他們有幾種可能的情況， 也就是幾種排列方法。 方法有多種， 只要能按一定順序進行， 關鍵做到不重復、 不遺漏。
二、 教學內容 簡單事物的排列。
三、 教學目標
知識目標： 聯系生活實際， 通過觀察、 猜測、 操作、 實驗等活動， 讓學生了解簡單的排列組合的知識能找出最簡單的排列數和組合數， 找出簡單事物間的排列規律。
能力目標： 通過實踐活動， 讓學生經歷找排列數和組合數的過程， 培養學生初步的觀察、 分析和推理能力及有順序地、 全面地思考問題的意識， 並通過互相交流， 使學生體會解決問題策略的多樣性。
情感目標： 讓學生感受數學在現實生活中的廣泛應用， 進一步體會數學與日常生活的密切聯系， 嘗試用數學的方法來解決實際生活中的問題， 增強應用數學的意識， 並使學生在數學活動中養成與人合作的良好習慣。 教學重點： 讓學生經歷觀察、 猜測、 試驗等活動， 找出簡單事物的排列和組合數。
教學難點： 在解決問題的過程中， 能進行簡單的、 有條理的思考。 三、 單元學習內容的前後聯系 知識點： 排列組合。
預測學生情況： 三年級學生已有初步的對自身的審美意識的能力， 衣服的不同搭配穿法是他們在生活中經常遇到的問題， 用學生經常接觸的生活問題作為教學內容的載體， 能激發學生的學習興趣。 引導學生通過動手操作、 觀察分析， 找出所有的組合數， 充分展現學生的所有思考方法， 利用評價、 比較找出最簡便、 合理的表示方法， 學生能體會到解決方法的多樣化和最優化。
四年級上冊：
一、烙餅問題（優化方案）
在解決問題的方案中，尋求最合理、最省事、最節約的最優方案。
（一）烙餅：每次只能烙兩張餅，兩面都要烙，每面3分鍾。
最少需要的時間：餅的張數×3
1、如果要烙8張餅，最少要多少分鍾?
（二）合理安排時間
1、燒水8分鍾、洗水壺1分鍾、洗茶杯2分鍾、接水1分鍾、找茶葉1分鍾、沏茶1分鍾。怎樣才能讓客人盡快喝上茶？請用流程圖把沏茶的順序表示出來。
2、小明（5分鍾）、小亮（3分鍾）、小葉（1分鍾）同時來到學校義務室。要使三人的等候時間的總和最少，應該怎樣安排他們的就診順序？
四年級下冊：
雞兔同籠
表格法、假設法
1、自行車和三輪車共10輛，總共有26個輪子。自行車和三輪車各有多少輛？（用假設法和方程解決）
2、六年級同學分組參加課外興趣小組。科技類每5人一組，藝術類3人一組，共有37名學生報名，正好分成9個組。參加科技樓和藝術類的學生各有多少人？
3、規則：答對一題加10分，答錯一題扣6分。
（1）2號選手共搶答8題，最後得分64分。她答對了幾題？
（2）1號選手共搶答10題，最後得分36分。她答錯了幾題？
（3）3號選手共搶答16題，最後得分16分。她答對了幾題？
五年級上冊：
植樹問題
一、了解間隔、間距、總長的概念、之間的關系。
植樹問題的三種情況：
兩邊都栽：棵樹=間隔數+1
一邊載一邊不栽：棵樹=間隔數
兩邊都不栽：棵樹=間隔數-1
註：封閉圖形屬於「一邊載一邊不栽」這種情況。棵樹=間隔數
二、最外層的總點數=每邊的點數×邊數—邊數
三、練習
1、在一條全長2千米的街道兩旁安裝路燈（兩端也要安裝），每隔50米安一座。一共要安裝多少座路燈？
2、園林工人沿公路一側植樹，每隔6米種一棵，一共種了36棵。從第一棵到最後一棵的距離有多遠？
3、筆直的跑道一旁插著51面小旗，他們的間隔是2米。現在要改為只插26面小旗，間隔應改為多少米？
4、圓形滑冰場的一周全長是150米。如果沿著這一圈每隔15米安裝一盞燈，一共需要裝幾盞燈？
5、廣場上的大鍾5時敲響5下，8秒鍾敲完。12時敲響12下，需要多長時間？
6、咱們班同學團體操表演，排成一個方陣，最外層每邊站15人，最外層一共有多少名學生？整個方陣一共有多少名學生？
五年級下冊：
（一）找次品
方法：把數量盡量平均分成3份，假如不能平均分，3份間盡量只相差1。
用天平找次品時，所測物品數目與測試的次數有以下關系：（只含一個次品，已知次品比正品重或輕。）
待測求物品數目
最少：3（n-1）次方+1 最多：3的n次方
註：如果不知次品是輕或重，那次數比以上次數多1次。
練習：
1、一箱糖果有12袋，其中有11袋質量相同，另有1袋質量不足，輕一些。稱2次有可能稱出來嗎？至少稱幾次能保證找出這袋糖果來？
用下面的圖表示稱的過程：
把12袋糖分成3份，每份4袋。天平兩邊各放4袋。
平衡
不平衡
2、有3袋白糖，其中2袋每袋500克，另1袋不是500克，但不知道比500克重還是輕。你能用天平找出來嗎？稱幾次？
3、五1班有25人，許多同學參加了課外小組。參加音樂組的有12人，參加美術組的有10人，兩個組都沒有參加的有6人。既參加音樂組又參加美術組的有多少人？
（二）打電話（每分鍾通知1人）
第n分鍾新接到通知的隊員人數：2的(n-1)次方
到第n分鍾所有接到通知的隊員總數：2的n次方-1
到第n分鍾所有接到通知的隊員和老師的總數：2的n次方
1、第5分鍾通知的隊員人數？（ ）
2、5分鍾內通知的隊員人數？ （ ）
3、如果一個合唱團有50人，最少花多少時間就能通知到每個人？（ ）
六年級上冊：
數與形
觀察圖形找規律，首先應找出哪部分發生了變化，是按照什麼規律變化的，通過分析找到各部分的變化規律後，再利用規律求解。
六年級下冊：
抽屜原理
「抽屜原理」來源於一個基本的數學事實。將三個蘋果放到兩只抽屜里，要麼在一隻抽屜里放兩個蘋果，而另一隻抽屜里放一個蘋果；要麼在一隻抽屜里放三個蘋果，而另一隻抽屜里不放。這兩種情況可用一句話概括：一定有一隻抽屜里放入兩個或兩個以上的蘋果。雖然我們無法斷定哪只抽屜里放入至少兩個蘋果，但這並不影響結論。「抽屜原理」是數學的重要原理之一，在數論、集合論和組合論中有很多應用。它也被廣泛地應用於現實生活中，如招生錄取、就業安排、資源分配、職稱評定等方面，我們經常會看到隱含在其中的「抽屜原理」。
方法：物體數 ÷抽屜數 （商+1）
1、8隻鴿子飛回3個鴿舍，至少有3隻鴿子要飛進同一個鴿舍里。為什麼？
2、向東小學六年級共有370名學生，六年級里至少有幾人的生日是同一天？為什麼？
3、六2班有49人，至少有5人是同一個月出生的，為什麼？
4、把紅、黃、藍三種顏色的小棒各10根混在一起。
（1）如果讓你閉上眼睛，每次最少拿出幾根才能保證一定有2根同色的小棒？
（2）每次最少拿出幾根，才能保證一定有不同顏色的小棒。
㈤ 人教版小學數學二年級下冊數學廣角學的是什麼
《圍棋中的數學問題》說課稿 人教版四年級下冊數學廣角[四年數學說課]
《圍棋中的數學問題》說課稿一、說教材：1、教學內容：人教版教科書四年級下冊數學廣角第120頁例3及部分練習。2、教材分析：大家知道，人教版的新教材都專門安排了「數學廣角」單元，向學生滲透一些重要的數學思想方法，加強學生綜合運用知識的能力，逐步提高解決問題的能力。本冊教材主要是滲透有關植樹問題的一些思想方法，通過現實生活中一些常見的實際問題，讓學生從中發現一些...
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2008-07-27 08:39:00 數學廣角—烙餅問題說課稿 人教版第七冊[四年數學說課]
數學廣角——烙餅問題說課稿一、說教材：《烙餅問題》是人教版教材第七冊《數學廣角》中的內容，主要通過討論烙餅時如何合理安排操作最節省時間，讓學生體會在解決問題中優化思想的利用。本節內容的安排，符合學生的認知特點，是知識源於生活，生活中處處存在數學的一種體現，為我們教師聯系生活進行數學指導提供了很好的材料和示範，由於長期的「應試」教學的影響下，這部分知識對學生來...
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2008-07-26 17:23:55 江蘇（國標）版四年級上冊《認識計算器及其計算方法》說課稿[四年數學說課]
四年級上冊《認識計算器及其計算方法》說課稿「用計算器計算」是江蘇（國標）版四年級（上冊）數學第十一單元的教學內容，這部分內容是在學生熟練掌握了整數的四則計演算法則及兩步混合運算的基礎上進行教學。通過學習，使學生可以藉助計算器進行較大數目的四則運算，並藉助計算器來探索有關規律，有利於幫助學生形成初步的探索和解決問題的能力。本單元內容分兩段安排：第一段，先認識計算...
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2008-07-26 17:22:03 人教版第七冊活動內容《參觀果園》說課稿[四年數學說課]
《小小策劃家》是根據新課程標準的理念，結合我校《運用現代信息技術，培養學生的求異思維的課題研究》而設計的一節數學活動課，為了使活動內容與學生的生活更加貼近，因此我把人教版第七冊活動內容《參觀果園》改編為設計秋遊方案。這節活動課包含了三大部分，第一，課前學生收集資料並作相應的調查，老師根據收集的資料和調查的數據製作成模擬網頁。第二，在課堂中，讓學生在網頁中提取...
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2008-07-26 17:16:18 小數點位置移動引起小數大小的變化[四年數學說課]
（教學設計說課稿）小數點位置移動引起小數大小的變化一、說教材：1、說課內容：九年義務教育六年制小學數學第八冊第96頁「小數點位置移動引起小數大小的變化」。2、本節課教材分析：小數點位置移動引起小數大小的變化這一內容的學習，是在已經掌握了小數的意義、小數的性質和小數大小比較的基礎上進行學習的。學習這一規律既是小數乘除法計算的理論依據，又是復名數與小數相互改寫的...
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2008-07-26 17:12:59 《小數的產生和意義》說課[四年數學說課]
《小數的產生和意義》說課《小數的產生和意義》是在學生三年級學習了「分數的初步認識」和「小數的初步認識」的基礎上進行教學的,是學生系統學習小數的開始。通過這部分內容的教學，使學生裝進一步理解小數的意義和性質，為今後學習小數四則運算打好基礎。本課時的教學重點是使學生明確小數的產生和意義，小數與分數的聯系，小數的計數單位，從而對小數的概念有更清楚的認識。教學難點是...
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2008-07-26 17:10:51 小數的初步認識說課[四年數學說課]
小數的初步認識說課一、說教材1.說課內內容：九年義務教育六年制小學數學第七冊P117-118例1和例2及「做一做題目，練習二十八的第1-3題。2.教學內容的地位和作用：小數的初步認識是在學生熟練地掌握了億以內的四則運算、初步認識分數的基礎上進行學習的。本課內容包括認識一位小數和它的讀、寫法。認識一位小數是小數的初步認識中最基礎的知識，它的學習，不僅為學生准確...
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2008-07-26 17:07:29 小學數學第八冊《整理與復習》說課稿[四年數學說課]
《整理與復習》說課稿一、教學內容小學數學第八冊第二單元整理與復習P36—P72部分內容。二、教學目標使學生進一步掌握多位數的讀、寫法則。1、使學生進一步掌握求一個比億大的數的近似數的方法。2、使學生理解四則運算中各部分間的關系。三、教學重點使學生理解四則運算中各部分間的關系。四、教學難點運用四則運算中各部分間的關系解決實際問題，提高自己的解題能力。五、課時安...
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2008-07-20 09:40:09 小學數學說課稿 位置的表示方法[四年數學說課]
位置的表示方法——說課淞南二小孫金琪計算機在教育上的應用，使得教學手段、教學方法、教材觀念與形式、課堂教學結構、以至教學思想與教學理論都發生了變革。然而數學來源於生活，生活又離不開數學知識。小學數學本身所涉及的都是一些具體問題，這些具體問題都離不開學生的日常生活。那麼如何將計算機多媒體輔助教學與課堂教學相整合？因此，我認為教育手段現代化的有效性，是教師探索課...
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2008-07-15 10:37:58 四年級數學活動課說課 《節約能源》[四年數學說課]
《節約能源》數學活動課——說課及教學設計一、說教材1、說課內容：九年義務教育小學數學第七冊中--節約能源。2、教材的意義和作用：本活動通過讓學生調查家裡上月的用水、用電情況，並在小組內進行交流、比較，共同探討節水、節電的好方法，一方面可以鞏固前面所學的小數的有關知識，另一方面可以使學生逐步接觸社會生活，了解一些實際生活中的常識，在解決實際問題的過程中發展初步...
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2008-07-14 11:03:01 《三角形的特性》說課稿 人教版四年級數學說課[四年數學說課]
人教版四年級下冊數學《三角形的特性》說課稿《三角形的特性》是人教版四年級下冊第五單元的第一課時，本課是六年制數學第二學段「空間與圖形」中的學習內容。在此之前，學生已經認識了平行四邊形和梯形的特徵。對三角形有了直觀地認識，已經能從平面圖形中分辨出三角形。本節課主要是幫助學生在原有的感性認識基礎上，理解三角形的意義，掌握它的特徵，為今後進一步學習其他幾何圖形的有...
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2008-07-09 09:35:20 《簡便計算》說課稿 人教版四年級下數學[四年數學說課]
一,說教材:《簡便計算》這一課是人民教育出版社第八冊數學第三單元P44的內容.是在學生已經掌握了乘法的意義並且對乘法交換律,結合律,分配律以及除法的定律有了初步認識的基礎上進行教學的.本節課力求突出以學生發展為本的教育思想,所以整個教學過程要求以學生自主學習,自主探索為主,通過學生的觀察,歸納,運用等數學學習形式,讓學生去感受數學問題的探索性和挑戰性.學生在...
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2008-07-07 08:15:56 《三角形邊的關系》說課稿[四年數學說課]
《三角形邊的關系》說課稿一、說教材說課內容：人教版義務教育課程標准實驗教科書《數學》第八冊第82頁例3——三角形邊的關系。三角形邊的關系這一內容是新教材新增加的內容，並安排在第二學段。通過這一內容的學習，使學生在已經建立三角形概念的基礎上，進一步深化理解三角形的組成特徵，加深學生對三角形的認識，同時，也為以後學習三角形與四邊形及其他多邊形的聯系與區別打下基礎...
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2008-07-02 09:23:10 《正數和負數》說課[四年數學說課]
四年級下說期說課：《正數和負數》說課今天我講的課是《正數和負數》，關於學生以前所學數的知識前面的李娜老師已經作了很好的梳理，我現在只就本節課所涉及的相關內容進行說課。一、我對課標要求的理解《數學課程標准》安排在小學的第二學段初步認識負數，這是小學階段數學教學新增加的內容。很久以來，負數的教學一直安排在中學教學的起始階段，現在考慮到負數在生活中的廣泛應用，學生...
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2008-07-02 08:48:21 《小數的性質》說課設計 四年級數學說課[四年數學說課]
五年制小學數學第七冊說課:《小數的性質》說課設計一、教材1.教學內容：五年制小學數學第七冊第三單元小數的意義和性質第三課時：「小數的性質」（課本第64-65頁，例1—例4）包括：(1)小數的性質；(2)小數性質的應用（六年制第八冊第四單元）。2.教材所處地位：本節是系統學習小數的開始，為後面學習小數四則計算做了必要的准備，起鋪墊作用。3.教材的重點和難點：對...
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2008-06-22 10:35:51 《三角形的認識》說課稿 蘇教版國標[四年數學說課]
蘇教版國標本四年級數學說課稿：「三角形的認識」說課稿一、教學背景和目標定位（一）教材分析：「三角形的認識」是小學數學蘇教版國標教材第八冊第三單元第一課時的內容。在此之前，學生已經學習了角，初步認識了三角形，但對三角形的三邊關系未曾探索,本課將重點引導學生探究三角形的三邊關系，理解任意二邊之和大於第三邊。教材中，例1讓學生在現實情境中找出三角形，並用不同的材料...
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2008-05-14 09:44:46 人教版《角的分類》說課[四年數學說課]
《角的分類》說課——人教版四年級上冊數學說課《角的分類》是人教版小學數學實驗教材四年級上冊第二單元《角的度量》中第三課時的內容。一、教材分析：關於角，學生在二年級《角的初步認識》里已有了初步的接觸，對於直角已經有了一些了解，但是大多是屬於直觀的描述。本冊是在二年級的基礎上恰當抽象出圖形的特徵。《角的分類》是本單元的第三課時，是在學生已初步認識直線、線段、射線...
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2008-05-13 16:51:06 人教版《三角形的內角和》說課[四年數學說課]
《三角形的內角和》說課——人教版四年級下冊數學說課稿★教材與學情分析《三角形的內角和》是人教版四年級下冊的教學內容，這一內容是三角形的一個重要性質。它有助於學生理解三角形的三個內角之間的關系，也是進一步學習的基礎。經過第一學段以及本單元的學習，學生已具備了一些相應的三角形知識和技能，初步的動手操作能力、主動探究能力以及合作學習的習慣，這為感受、理解、抽象「三...
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2008-05-13 11:22:06 北師大版《乘法結合律》說課稿[四年數學說課]
四年級數學《乘法結合律》說課稿——北師大版《數學》第七冊說課稿一、背景分析：本教材是在學生已經掌握了乘法的意義並且對乘法交換律有了初步認識的基礎上進行教學的。本節課力求突出以學生發展為本的教育思想，所以整個教學過程要求以學生自主學習、自主探索為主，通過學生的觀察、驗證、歸納、運用等數學學習形式，讓學生去感受數學問題的探索性和挑戰性。學生在認知的過程中可能對於...
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2008-05-13 10:21:02 《小數點搬家》說課設計(北師大版八冊)[四年數學說課]
《小數點搬家》說課設計——北師大版小學數學說課設計（第8冊）教學內容：義務教育課程標准實驗教材（北師大版）四年級下冊第三單元中的「小數點搬家」。一、教材分析：教材利用學生喜愛的卡通人物開餐館的情境，呈現了「山羊快餐」通過價格的變化吸引顧客的故事。生動地說明小數點移動引起小數大小變化的規律。二、學情分析：四年級的學生已經了解了一些有關小數的知識，看到小數點在數...
㈥ 人教版四年級數學上冊《數學廣角》該如何教學
教材分析：《數學課程標准》指出：當學生「面對實際問題時，能主動嘗試著從數學的角度運用所學知識和方法尋找解決問題的策略。」本課所學內容就是通過日常生活中的簡單事例，讓學生嘗試從優化的角度在解決問題的多種方案中尋找最優的方案，初步體會運籌思想在實際生活中的應用，以及在解決問題中的運用。
設計理念：優化問題是人們經常要遇到的問題，本課的教學設計力求從學生的生活經驗和知識基礎出發，創設問題情境，讓學生通過觀察、操作、實驗、推理、交流等活動尋找解決問題的方法，從不同的方法中選擇最優方案，在解決問題中初步體會數學方法的應用價值，初步體會優化思想，培養學生良好的數學思維能力。
教學目標：
1、通過生活中的簡單事例，使學生初步體會到優化思想在解決問題中的應用。
2、使學生認識到解決問題中的策略的多樣性，初步形成尋找解決問題最優化方案的意識。
3、讓學生感受到數學在日常生活中的廣泛應用，嘗試用數學的方法來解決實際生活中的簡單問題，初步培養學生的應用意識和解決問題的實際能力。
教學案例：
一、創設情境，學習新知
1、預設情景
師：同學們，在節假里你家來了客人你准備做什麼呢？
師：星期天的上午李阿姨到小明家來做客。
師：從圖.......能得到哪些信息？
生：小明的媽媽讓小明給李阿姨沏茶。
師：想一想你平時在家沏茶時要做什麼呢？生：、、、、、、
師：你們要做這么多事，是吧！那我們來看一看小明沏茶都需要做那些事？分別需要多長時間？誰來說給大家聽一聽？
2、自主設計方案
師：小明需要做這么多事情，那麼請你幫小明想一想，他應該先做什麼？再做什麼？怎樣才能盡快讓客人喝上茶？用你們課前准備的工藝圖片擺一擺，設計一個最佳方案，並算一算需要多長時間？
3、展示學生不同的方案
師：誰願意上講台來展示你的設計方案？
師：剛才同學們幫小明設計的沏茶的方案是通過同時做幾件事情才節省了時間，在燒水的同時做洗茶杯和找茶葉這兩件事，也就是說洗茶杯和找茶葉共花得分鍾時間可以在燒水的8分鍾之內完成。這樣小明就可以在8分鍾以內完成需要11分鍾才完成的事情，也就讓客人盡快地喝茶了。
4、小結
師：我們在做一些事情時，應先確定好做事的先後順序，然後在有效的時間內盡可能多同時做幾件事，能同時做的事情越多，所用的時間就越短。李阿姨喝完茶想走了，但小明是非常好客的好孩子，非要李阿姨留下不可，（點擊多媒體）我們來看一看到底是為什麼呢？
二、再探新知
師：原來小明的媽媽要用最拿手的烙餅來招待客人。從圖.......能得到哪些信息？（這一環節是通過創設出生活化的情境，激發學生的學習興趣。利用烙餅這一事例，調動學生已有的生活經驗，使學生處於主動思考解決問題的最佳狀態。）
1、 學生觀察、理解圖中的內容。 教師提問：「烙一張餅需要幾分鍾？「 「烙兩張餅呢？」 「爸爸、媽媽和小麗各吃一張餅，一共要烙幾張餅呢？」 「一共要烙3張餅，怎樣烙花費的時間最少？」
2、學生拿出准備好的圓片，圓片的正、反面上分別寫上正、反兩字來代表餅的正、反面。每烙完一面，就讓學生在這一面上用鉛筆做上記號。先讓學生試一試，思考烙3張餅，怎樣才能使花費的時間最少，然後分小組討論交流，說一說自己是怎樣安排的，自己的方案一共需要多長時間，並把自己的實踐結果記錄在老師發的表格中，教師參與到小組活動中。（相信學生，放手讓學生探索解決問題的方法，才能使學生成為學習的主人。）
3、展示學生的方案。
教師：「誰來給大家說一說，你們小組設計的方案是什麼？」 在展示台上投影學生填寫的表格。小組代表來根據表格敘述設計方案，並用圖片來演示。幾個小組演示完畢後，教師讓大家來比較。 「這些方案，哪一種能讓大家盡快地吃上餅？」 （烙3張餅的最佳方法是解決烙餅問題的關鍵。我讓學生演示烙餅過程，學生通過動手操作，探索嘗試，再進行比較，既可以有效地幫助學生理清思路，為後面的學習打下基礎，又培養了學生的創新能力。）
4、拓展延伸：
教師：剛才我們一起找到了烙3張餅的最佳方法。請大家想一想，如果要烙4張餅，怎樣烙才能盡快吃上餅呢？」 小組活動，並用表格記錄。小組代表發言。班內交流，並比較哪個小組的方法最好。 教師小結後提問：「如果要是烙5張餅，怎樣才能讓大家盡快地吃上餅？」 小組活動，進行記錄。 通過小組交流，使學生找到最佳方法。（通過以上活動，可以使學生找到最優方法，體會優化思想在解決實際問題中的應用。）
教師：「如果要烙6張餅、7張餅……10張餅，怎樣安排最節省時間？」 小組討論交流，說一說自己的發現。學生在充分交流探討的基礎上，得出結論：如果要烙的餅的張數是雙數，2張2張的烙就可以了，如果要烙的餅的張數是單數，可以先2張2張的烙，最後3張餅按上面的最佳方法烙，最節省時間。讓學生仔細觀察表格，看發現了什麼？得出結論：每多烙一張餅，時間就增加3分鍾，用餅數乘烙一面餅所用的時間，就是所用的最短時間。
教師：「誰能很快地說出烙11張餅用多長時間？烙15張餅呢？」呢？ 假如媽媽使用了新式電餅鐺，每烙一面餅只需要2分鍾，烙3張餅需要幾分鍾？烙5張餅呢？烙6張餅呢？」 （ 通過拓展性的設問，既對前面所學知識進行了鞏固，也為學生思維能力的培養提供了時間和空間。）
三、 實踐應用
出示114頁做一做第1題。
教師：「現在美味餐廳的廚師也遇到了難題，餐廳里來了三位客人，每人點了兩個菜，而餐廳里只有兩位廚師，假設兩個廚師做每個菜的時間都相等，怎樣安排炒菜的順序才比較合理呢？」 學生思考後，進行匯報交流。（讓學生可以更加領悟到數學思想方法，同時感受嚴謹求實的科學精神。）
四、全課總結教師：「這節課大家的收獲是什麼？」 學生交流。
教師：「今天，我們一起學習了如何用最優方案解決問題的例子，大家可以回去找一找生活中的實例，看能不能用今天所學的知識來解決。」 （最後老師對學生提出要求，可以讓學生感受到數學在日常生活中的廣泛應用，也可以進一步鞏固所學知識，通過嘗試對知識的運用，來初步培養學生應用的意識和解決問題的能力。）
總之，這一節課通過簡單最優化的問題向學生滲透優化思想，讓學生體會運籌思想在實際解決問題中的作用，來感受數學的魅力。
㈦ 小學數學廣角找次品教學設計
現實生活生產中的“次品”有許多種不同的情況，有的是外觀與合格品不同，有的是所用材料不符合標准等。接下來我為你整理了小學數學廣角找次品教學設計，一起來看看吧。
教學內容：
新人教版小學五年級數學下冊第八單元《數學廣角———找次品》
教學目標：
1、通過比較、猜測、驗證等活動，探索解決問題的策略，滲透優化思想，感受解決問題策略的多樣性，培養觀察、分析、推理的能力。
2、學慣用圖形、符號等直觀方式清晰、簡明地表示數學思維的過程，培養邏輯思維的能力。
3、通過解決實際生活中的簡單問題，初步培養學生的應用意識和解決實際問題的能力。
教學重、難點：
讓學生經歷“比較——猜想——驗證”的過程，尋求找次品的最優策略。
學情分析：
“找次品”的教學內容在“奧數”活動中時有出現，用圖形幫助思考，對培養學生動手能力和思維能力都是比較好的，學生雖然是初次接觸，但只要通過動手實踐、小組討論、探究等方式來解決問題，掌握一題多解的方法還是不難的。關鍵是最優化的解決策略，學生總結方法時有些難度，教師要適時引導。
教學過程：
一、弄清問題題意，激發探究慾望
師：今天這節課，我們就從某公司招聘員工的一道題目開始，假定你就是應聘者，想不想接受一下智慧的挑戰?(出示課件)
問題是：假如你有81個外觀完全一樣的玻璃球，其中有一個球比其它的球稍輕，屬於次品，如果只能利用沒有砝碼的天平來斷定哪一個球輕，請問你最少要稱幾次才能保證找到較輕的那個球?
(一分鍾思考)學生匯報：1次丶2次⋯…
師：請只用1次的同學說一說，你是怎樣想的?
生1：
生2：
師：看來，1次雖少，但只是有可能，不能保證找到那個次品球，所以我們在思考這個問題的時候，不光要最少，還要以保證能找到為前提。
師：如果以“保證能找到”為前提，在同學們這么多的答案中，哪個次數是最少的呢?這一節課我們就一起來研究這個問題一一找次品。
二、簡化問題，經歷問題解決基本過程。
對於從81個小球中找次品的問題，比較復雜，那麼怎樣開始我們今天的研究呢?
生：可以從最少的試一試。
師：如果從最簡單的入手研究，2個小球至少稱幾次?
生：1次。
師：如果是3個呢?
生猜測：2次?3次?1次?
師：老師這里有3瓶口香糖，其中有一瓶少了3粒，你覺得應該怎樣稱?
生匯報：先把其中的2瓶放在天平的兩側，如果左邊下沉，就說明右邊的是次品;如果右邊的下沉，就說明左邊的是次品;如果天平平衡，則沒稱的是次品。(學生邊說老師邊配合進行稱量演示。)
師邊演示課件邊帶領學生進一步感受推理過程：雖然有3瓶，而天平只有兩個托盤，但是只需要把其中的2瓶放在天平的兩側，可能平衡，也可能不平衡，如果平衡⋯⋯如果不平衡⋯⋯不論是否平衡，利用推理，只要稱1次肯定能將那個次品找出來。
師小結：看來2個和3個雖然數量不同，但是都只稱1次就可以將次品找到。(將探究結果記錄在表格中)
三、再次探究“關鍵數目”，初步感知、歸納規律
1、探究4個小球的情況。
(1)師：如果再增加一個球，現在有4個球，其中有一個是次品，一次可以保證找到次品嗎?
生猜測：4次?3次?⋯⋯
師：紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。咱們還是親自動手探究一下吧。請同學們與自己的同桌共同討論一下。可以借用小方塊擺一擺，也可以在紙上畫一畫，不論用什麼樣的方式，都要將思考過程簡要記下來。
(生分組研究)
師：4個小球時，你們稱了幾次?
(生邊匯報師邊板書枝狀圖)
師：4個球有兩種不同的測量方法，但結果測量的次數都一樣，至少要2次才能保證找出次品。(把結果記錄在表格中)
師：如果球的個數再多一些，例如9個，至少需要幾次才能保證找出次品呢?請同學們用學具擺一擺，用筆畫一畫。
(生匯報師出示課件)
師：為什麼把9個球分成(3，3，3)只要2次就可以找到次品呢?
(引導學生發現規律，把結果填入表格中)
師：4個球只需要2次就可以保證找到次品，9個球也只需要2次就能保證找到次品，那麼大膽猜測一下，在4與9之間的5、6、7、8個球，至少需要幾次就能找出次品呢?⋯⋯現在我們分組來研究一下：第1大組的同學研究5個小球的情況，依次研究6、7、8個球。
(生匯報，重點是8個球)(把結果填入表格中)
師：我們來比較一下，我們將8個小球分成(3，3，2)三組稱2次，可是把8個小球分成(4，4)兩組卻稱了3次，多稱了1次，多稱的1次多在哪兒呢?
生：小球數是2和3個時只用一次，把8分成(3，3，2)每組是3個或2個，3個或2個都只需要稱1次就能找到次品。
師：你們明白他的意思嗎?你們看，稱(3，3)或(4，4)，都只稱1次就能確定次品在哪邊，可是接下來，第一種是在3個或2個里找，只需一次，第二種要在4個里找，要用2次，所以會多一次。
師：大家最後稱的次數不同，原因是什麼呢?
生：分的組數不同，每組數量也不同。
師：那到底怎麼分，才能既保證找到次品，又能使稱的次數盡可能少呢?
(生分組討論後匯報)
生1：應該分3組，因為天平有2個托盤⋯⋯
生2：每組的數目還要少。
生3：盡可能讓每組數目比較接近，每次稱完，次品就被確定在更小的范圍內。
師：你們太了不起了，通過我們剛才的試驗、討論、交流，不僅解決了問題，而且發現了其中分組的秘密規律。
(師板書：分3組，盡量平均分。)
四、進一步發現規律
師：現在我們就應用分組的規律，再來一次實驗，如果小球個數是10個(課件)，該怎麼分?稱幾次?
(生匯報，師板書：10(3，3，4)3次)(課件)
師：如果是27個呢?(課件)
(生匯報，師板書：27(9，9，9)3次(課件)
師：這位同學說的太好了，他先是分成了3組，然後用轉化的思想把問題變成我們前面解決的9個小球的找次品問題了。
看來大家都掌握了分組規律。最開始的招聘問題，81個小球，大家能解決了嗎?誰有了答案?把結果直接寫在黑板上。
(生討論並匯報結果)(課件)
師：你能發現它和前面我們解決的27個，9個，3個，有什麼關系嗎?
(小組研究)
生匯報：被測小球數目是幾個3相乘就稱幾次，比如4個3相乘是81，81個小球就只需稱4次。
師：你們很了不起，既解決了公司“招聘”問題，又發現了“被測物品數目與稱的最少次數之間”神秘的規律。
五、課堂小結
隨著招聘問題的解決，今天的課也即將結束，回顧我們整節課的經歷，從最初的招聘問題，回歸到解決2、3的問題，再到研究8、9發現分組規律，直至研究了更大的數目，像27、81這樣的數目，發現了被測物品數目與稱的最少次數之間的一些關系。
在這一路的探究過程中，我們不斷思考，不斷實踐，不斷發現，我想大家在收獲知識的同時，一定收獲了更多的智慧。最後有兩句話與大家共勉：(課件出示)
探究問題，學會化繁為簡
解決問題，要有優化意識