怎麼用數學歸納法證明等比數列

A. 如何求證數列是等比、等差數列

【教學目標】
1. 使學生了解歸納法, 理解數學歸納的原理與實質.
2. 掌握數學歸納法證題的兩個步驟;會用"數學歸納法"證明簡單的與自然數有關的命題.
3. 培養學生觀察, 分析, 論證的能力, 進一步發展學生的抽象思維能力和創新能力,讓學生經歷知識的構建過程, 體會類比的數學思想.
4. 努力創設課堂愉悅情境,使學生處於積極思考、大膽質疑氛圍,提高學生學習的興趣和課堂效率.
5. 通過對例題的探究,體會研究數學問題的一種方法(先猜想後證明), 激發學生的學習熱情,使學生初步形成做數學的意識和科學精神.
【教學重點】歸納法意義的認識和數學歸納法產生過程的分析
【教學難點】數學歸納法中遞推思想的理解
【教學方法】類比啟發探究式教學方法
【教學手段】多媒體輔助課堂教學
【教學程序】
第一階段:輸入階段--創造學習情境,提供學習內容
1. 創設問題情境,啟動學生思維
(1) 不完全歸納法引例:
明朝劉元卿編的《應諧錄》中有一個笑話:財主的兒子學寫字.這則笑話中財主的兒子得出"四就是四橫、五就是五橫……"的結論,用的就是"歸納法",不過,這個歸納推出的結論顯然是錯誤的.
(2) 完全歸納法對比引例:
有一位師傅想考考他的兩個徒弟,看誰更聰明一些.他給每人一筐花生去剝皮,看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包著,看誰先給出答案.大徒弟費了很大勁將花生全部剝完了;二徒弟只揀了幾個飽滿的,幾個干癟的,幾個熟好的,幾個沒熟的,幾個三仁的,幾個一仁、兩仁的,總共不過一把花生.顯然,二徒弟先給出答案,他比大徒弟聰明.
在生活和生產實際中,歸納法也有廣泛應用.例如氣象工作者、水文工作者依據積累的歷史資料作氣象預測,水文預報,用的就是歸納法.這些歸納法卻不能用完全歸納法.
2. 回顧數學舊知,追溯歸納意識
(從生活走向數學,與學生一起回顧以前學過的數學知識,進一步體會歸納意識,同時讓學生感受到我們以前的學習中其實早已接觸過歸納.)
(1) 不完全歸納法實例: 給出等差數列前四項, 寫出該數列的通項公式.
(2) 完全歸納法實例: 證明圓周角定理分圓心在圓周角內部、外部及一邊上三種情況.
3. 藉助數學史料, 促使學生思辨
(在生活引例與學過的數學知識的基礎上,再引導學生看數學史料,能夠讓學生多方位多角度體會歸納法,感受使用歸納法的普遍性.同時引導學生進行思辨:在數學中運用不完全歸納法常常會得到錯誤的結論,不管是我們還是數學大家都可能如此.那麼,有沒有更好的歸納法呢?)
問題1 已知 = (n∈N),
(1)分別求 ; ; ; .
(2)由此你能得到一個什麼結論?這個結論正確嗎?
(培養學生大膽猜想的意識和數學概括能力.概括能力是思維能力的核心.魯賓斯坦指出:思維都是在概括中完成的.心理學認為"遷移就是概括",這里知識、技能、思維方法、數學原理的遷移,我找的突破口就是學生的概括過程.)
問題2 費馬(Fermat)是17世紀法國著名的數學家,他曾認為,當n∈N時, 一定都是質數,這是他對n=0,1,2,3,4作了驗證後得到的.後來,18世紀偉大的瑞士科學家歐拉(Euler)卻證明了 =4 294 967 297=6 700 417×641,從而否定了費馬的推測.沒想到當n=5這一結論便不成立.
問題3 , 當n∈N時, 是否都為質數?
驗證: f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,f(5)=71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=113,f(9)=131,f(10)=151,…,f(39)=1 601.但是f(40)=1 681= ,是合數.
第二階段:新舊知識相互作用階段--新舊知識作用,搭建新知結構
4. 搜索生活實例,激發學習興趣
(在第一階段的基礎上,由生活實例出發,與學生一起解析歸納原理, 揭示遞推過程.孔子說:"知之者不如好之者,好之者不如樂之者."興趣這種個性心理傾向一般總是伴隨著良好的情感體驗.)
實例:播放多米諾骨牌錄像
關鍵:(1) 第一張牌被推倒; (2) 假如某一張牌倒下, 則它的後一張牌必定倒下. 於是, 我們可以下結論: 多米諾骨牌會全部倒下.
搜索:再舉幾則生活事例:推倒自行車, 早操排隊對齊等.
5. 類比數學問題, 激起思維浪花
類比多米諾骨牌過程, 證明等差數列通項公式 :
(1) 當n=1時等式成立; (2) 假設當n=k時等式成立, 即 , 則 = , 即n=k+1時等式也成立. 於是, 我們可以下結論: 等差數列的通項公式 對任何n∈ 都成立.
(布魯納的發現學習理論認為,"有指導的發現學習"強調知識發生發展過程.這里通過類比多米諾骨牌過程,讓學生發現數學歸納法的雛形,是一種再創造的發現性學習.)
6. 引導學生概括, 形成科學方法
證明一個與正整數有關的命題關鍵步驟如下:
(1) 證明當n取第一個值 時結論正確;
(2) 假設當n=k (k∈ ,k≥ ) 時結論正確, 證明當n=k+1時結論也正確.
完成這兩個步驟後, 就可以斷定命題對從 開始的所有正整數n都正確.
這種證明方法叫做數學歸納法.
第三階段:操作階段--鞏固認知結構,充實認知過程
7. 蘊含猜想證明, 培養研究意識
(本例要求學生先猜想後證明,既能鞏固歸納法和數學歸納法,也能教給學生做數學的方法,培養學生獨立研究數學問題的意識和能力.)
例題 在數列{ }中, =1, (n∈ ), 先計算 , , 的值,再推測通項 的公式, 最後證明你的結論.
8. 基礎反饋練習, 鞏固方法應用
(課本例題與等差數列通項公式的證明差不多,套用數學歸納法的證明步驟不難解答,因此我把它作為練習,這樣既考慮到學生的能力水平,也不沖淡本節課的重點.練習第3題恰好是等比數列通項公式的證明,與前者是一個對比與補充.通過這兩個練習能看到學生對數學歸納法證題步驟的掌握情況.)
(1)(第63頁例1)用數學歸納法證明:1+3+5+…+(2n-1)= .
(2)(第64頁練習3)首項是 ,公比是q的等比數列的通項公式是 .
9. 師生共同小結, 完成概括提升
(1) 本節課的中心內容是歸納法和數學歸納法;
(2) 歸納法是一種由特殊到一般的推理方法,它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種,完全歸納法只局限於有限個元素,而不完全歸納法得出的結論不一定具有可靠性,數學歸納法屬於完全歸納法;
(3) 數學歸納法作為一種證明方法,其基本思想是遞推(遞歸)思想,使用要點可概括為:兩個步驟一結論,遞推基礎不可少,歸納假設要用到,結論寫明莫忘掉;
(4) 本節課所涉及到的數學思想方法有:遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想.
10. 布置課後作業, 鞏固延伸鋪墊
(1) 課本第64頁練習第1, 2題; 第67頁習題2.1第2題.
(2) 在數學歸納法證明的第二步中,證明n=k+1時命題成立, 必須要用到n=k時命題成立這個假設.這里留一個辨析題給學生課後討論思考:
用數學歸納法證明: (n∈ )時, 其中第二步採用下面的證法:
設n=k時等式成立, 即 , 則當n=k+1時,
.
你認為上面的證明正確嗎?為什麼?
【教學設計說明】
1.數學歸納法是一種用於證明與自然數n有關的命題的正確性的證明方法.它的操作步驟簡單、明確,教學重點不應該是方法的應用.我認為不能把教學過程當作方法的灌輸,技能的操練.為此,我設想強化數學歸納法產生過程的教學,把數學歸納法的產生寓於對歸納法的分析、認識當中,把數學歸納法的產生與不完全歸納法的完善結合起來.這樣不僅使學生可以看到數學歸納法產生的背景,從一開始就注意它的功能,為使用它打下良好的基礎,而且可以強化歸納思想的教學,這不僅是對中學數學中以演繹思想為主的教學的重要補充,也是引導學生發展創新能力的良機.
2.在教學方法上,這里運用了在教師指導下的師生共同討論、探索的方法.目的是加強學生對教學過程的參與.為了使這種參與有一定的智能度,教師應做好發動、組織、引導和點撥.學生的思維參與往往是從問題開始的,本節課按照思維次序編排了一系列問題,讓學生投入到思維活動中來,把本節課的研究內容置於問題之中,在逐漸展開中,引導學生用已學的知識、方法予以解決,並獲得知識體系的更新與拓展.
3.運用數學歸納法證明與正整數有關的數學命題,兩個步驟缺一不可.理解數學歸納法中的遞推思想,尤其要注意其中第二步,證明n=k+1命題成立時必須要用到n=k時命題成立這個條件.這些內容都將放在下一課時完成,這種理解不僅使我們能夠正確認識數學歸納法的原理與本質,也為證明過程中第二步的設計指明了思維方向.

B. 高中數學等比數列數學歸納法證明結論問題

sn^2=(sn-1/2)an,an=2sn(an-sn)=-2[an+s(n-1)]s(n-1),2s(n-1)^2+2s(n-1)an+an=0
an=-2s(n-1)^2/[2s(n-1)+1]
a1=1,s1=a1=1,
a2=-2/3,s2=1/3,
a3=-2/15,s3=1/5
a4=-2/35,s4=1/7
,...,
先歸納出s(n-1)=1/[2(n-1)-1]=1/(2n-3),
然後求an=-2s(n-1)^2/[2s(n-1)+1]=-[2/(2n-3)^2]/[2/(2n-3)+1]=-2/[(2n-1)[(2n-3)]，n>=2
然後求得sn=an+s(n-1)=1/(2n-3)-2/[(2n-1)[(2n-3)]=1/(2n-1)，這就證明了sn

再歸納出s(n-1)>0,an=-2/[(2n-1)[(2n-3)],然後按照2s(n-1)^2+2s(n-1)an+an=0求出正確的s(n-1)
s(n-1)=-an/2+-√(4an^2-8an)/4=-an/2+-√(an^2-2an)/2
=1/[(2n-1)(2n-3)]+-√[4+4(2n-1)(2n-3)/[2(2n-1)(2n-3)]
=1/[(2n-1)(2n-3)]+-2(n-1)/[(2n-1)(2n-3)]
所以s(n-1)=1/[(2n-1)(2n-3)]+2(n-1)/[(2n-1)(2n-3)]=1/(2n-3)
所以sn=s(n-1)+an=1/(2n-3)-2/[(2n-1)[(2n-3)]=1/(2n-1)
所以a(n+1)=-2sn^2/[2sn+1]=-2/[(2n-1)[(2n+1)]=-2/{[2(n+1)-1][(2(n+1)-3]}，這就證明了an

C. 幫忙解一道用數學歸納法的證明題（證明等差等比數列前n項和的公式）

等差數列公式證明：
(1)n=1,S1=a1，成立
(2)設Sk=ka1+(1/2)k(k-1)d,則Sk+1=Sk+ak+1=ka1+(1/2)k(k-1)d+a1+kd
=(k+1)a1+(1/2)(k+1)kd，所以n=k+1也成立。
等比數列
(1)n=1,S1=a1成立
(2)Sk+1=Sk+ak+1=a1(1-q^k)/(1-q)+a1q^k
=[a1/(1-q)][1-q^k+q^k-q^(k+1)]
=a1[1-q^(k+1)]/(1-q)
所以n=k+1時公式仍成立。
綜上，兩個公式都成立。

D. 證明等差數列，等比數列前n項和的公式

下面用數學歸納法證明Sn=na1+n(n-1)d/2和Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q)
（一）等差數列前n項和公式Sn=na1+n(n-1)d/2證明：
(1)n=1,S1=a1，成立
(2)設Sk=ka1+k(k-1)d/2,則
S(k+1)=Sk+a(k+1)
=ka1+k(k-1)d/2+a1+kd
=(k+1)a1+(k+1)kd/2
所以n=k+1也成立。
所以等差數列前n項和公式為Sn=na1+n(n-1)d/2。

（二）等比數列前n項和公式Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q)證明：
(1)n=1,S1=a1成立
(2)設Sk=[a1(1-q^k)]/(1-q)。
S(k+1)=Sk+a(k+1)
=a1(1-q^k)/(1-q)+a1q^k
=[a1/(1-q)][1-q^k+q^k-q^(k+1)]
=a1[1-q^(k+1)]/(1-q)
所以n=k+1時公式仍成立。
所以等比數列前n項和公式Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q)。

E. 等比數列求證

可以用數學歸納法。
一般地，證明一個與正整數n有關的命題，有如下步驟：
（1）證明當n取第一個值時命題成立；
（2）假設當n=k（k≥n的第一個值，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1是命題也成立。

F. 怎麼證明是 等比數列

a1=3,a(n+1)=(3an—2)/an,n
為正整數，證明數列{(an—1)/(an—2)}為等比數列
a(n+1)=(3an—2)/an
得
an
a(n+1)
=
3an
-2
[(an—1)/(an—2)]
/
[(a(n-1)—1)/(a(n-1)—2)]
=(an—1)(a(n-1)—2)
/
(an—2)(a(n-1)—1)
分子
=
an
a(n-1)
-
2an
-
a(n-1)
+2
=
(3a(n-1)
-2)
-
2an
-
a(n-1)
+2
=
-2an
+
2a(n-1)
分母
=
an
a(n-1)
-an
-2a(n-1)
+2
=
(3a(n-1)
-2)
-an
-2a(n-1)
+2
=
-an
-
a(n-1)
分子/
分母
=2
所以數列{(an—1)/(an—2)}為等比數列
再用數學歸納法
a(n+1)=(3an—2)/an
=
3
-
2/an
若an>2則a(n+1)
>
3-1
=2,
分母不會為
0

G. 證明等比數列的4種方法

方法1：（定義法）若後項a(n+1)與前項a(n)之比為定值q，則數列是等比數列；
方法2：（等比中項法）若前後三項關系滿足：a(n)²=a(n-1)*a(n+1)，則數列是等比數列；
方法3：（通項公式法）若數列通項公式類似於指數函數a(n)=m*q^(n)，則數列是等比數列；
方法4：（前n項和特徵法）若數列前n項和類似於函數S(n)=-A+A*q^(n)，則數列是等比數列；

H. 請教用數學歸納法證明這個數列是等比數列