高中數學垂心可獲得什麼信息

1. （高中數學）三角形的垂心、外心、內心、重心各有什麼性質

一、外心.

三角形外接圓的圓心，簡稱外心.與外心關系密切的有圓心角定理和圓周角定理.

二、重心

三角形三條中線的交點，叫做三角形的重心.掌握重心將每

條中線都分成定比2:1及中線長度公式，便於解題.

三、垂心

三角形三條高的交戰，稱為三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四個等(外接)圓三角形，給我們解題提供了極大的便利.

四、內心

三角形內切圓的圓心，簡稱為內心.對於內心，要掌握張角公式，還要記住下面一個極為有用的等量關系：

五、旁心

三角形的一條內角平分線與另兩個內角的外角平分線相交於

一點，是旁切圓的圓心，稱為旁心.旁心常常與內心聯系在一起，

旁心還與三角形的半周長關系密切.

重心定理 三角形的三條中線交於一點，這點到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍．
上述交點叫做三角形的重心.
外心定理 三角形的三邊的垂直平分線交於一點．
這點叫做三角形的外心.
垂心定理 三角形的三條高交於一點．
這點叫做三角形的垂心.
內心定理 三角形的三內角平分線交於一點．
這點叫做三角形的內心.
旁心定理 三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點．
這點叫做三角形的旁心．三角形有三個旁心．
三角形的重心、外心、垂心、內心、旁心稱為三角形的五心．它們都是三角形的重要相關點．

2. 數學中的垂心是什麼

三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。
銳角三角形垂心在三角形內部。
直角三角形垂心在三角形直角頂點。
鈍角三角形垂心在三角形外部。
垂心是從三角形的各頂點向其對邊所作的三條垂線的交點。
三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。

3. 高中數學四心常用結論

高中數學四心常用結論如下：

「四心」定義：

1、重心：三邊中線的交點，重心將中線長度分成2：1。

2、垂心：三條高線的交點，高線與對應邊垂直。

3、內心：三條角平分線的交點（內切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等。

4、外心：三條中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等。

3、內心：若O為內心，則圓與△ABC的三條邊相切，則三個小三角形的面積就可以用底乘高來表示，且高相同都為圓的半徑，則三個小三角形的面積比就等價於底邊之比，即S△BOC：S△AOC：S△AOB=a：b：c。根據賓士定理，即可得出結論：a向量OA+b向量OB+c向量OC=向量0。

4、垂心：若O為垂心，向量OA·tan∠A+向量OB·tan∠B+向量OC·tan∠C=0向量。

4. 數學中的重心，中心，垂心的定義和性質

正三角形的重心、垂心、外心、內心重合的點叫中心

一個物體的各部分都要受到重力的作用。從效果上看，我們可以認為各部分受到的重力作用集中於一點，這一點叫做物體的重心。
重心的幾條性質：
1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。
2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。
3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
4、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均，即其坐標為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標系——橫坐標：(X1+X2+X3)/3 縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標：（z1+z2+z3）/3
5、三角形內到三邊距離之積最大的點

三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。
銳角三角形垂心在三角形內部。
直角三角形垂心在三角形直角頂點。
鈍角三角形垂心在三角形外部。
垂心是高線的交點
垂心是從三角形的各頂點向其對邊所作的三條垂線的交點。
三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。

內心是三角形三條內角平分線的交點，即內切圓的圓心。
直角三角形的內心到邊的距離等於兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。

外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，即外接圓的圓心。

三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心叫做旁心。旁心是一個三角形內角平分線與其不相鄰的兩個外角平分線的交點，它到三邊的距離相等。。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點。一個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。

5. 高中數學幾何中的「心」例如：垂心、重心、旁心、內心、外心的性質有些什麼定義是什麼

這是我整理的一些內容，希望對你有所幫助：

【一些結論】：以下皆是向量
1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0
2 若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(內積）
3 若P是△ABC的內心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三邊）
4 若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²
（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）
5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 則直線AP經過△ABC內心
6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 經過垂心
7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 經過重心
8.若aOA=bOB+cOC,則0為∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分線的交點

【以下是一些結論的有關證明】
1.
O是三角形內心的充要條件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性：
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，
延長CO交AB於D，根據向量加法得：
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：
a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,
因為OD與OC共線，所以可設OD=kOC,
上式可化為(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA與DB共線，向量OC與向量DA、DB不共線，
所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知：DA與DB的長度之比為b/a,
所以CD為∠ACB的平分線，同理可證其它的兩條也是角平分線。

必要性：
已知O是三角形內心,
設BO與AC相交於E，CO與AB相交於F，
∵O是內心
∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE
過A作CO的平行線，與BO的延長線相交於N，過A作BO的平行線，與CO的延長線相交於M，
所以四邊形OMAN是平行四邊形
根據平行四邊形法則，得
向量OA
=向量OM+向量ON
=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO
∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0

2.
已知△ABC 為斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一個定點,動點P滿足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
求P點軌跡過三角形的垂心

OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{(AB•BC /|AB|＾2*sin2B)+AC•BC /(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|＾2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},
AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},
根據正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC
∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0，
即AP•BC=0，
P點軌跡過三角形的垂心

3.
OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP與AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共線
根據正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,
所以|AB|sinB=|AC|sinC,
所以AP與AB+AC共線
AB+AC過BC中點D，所以P點的軌跡也過中點D，
∴點P過三角形重心。

4.
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)

OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP•BC=λ(AB•BC cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)
=λ([|AB|•|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]
=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]
=0，
所以向量AP與向量BC垂直，
P點的軌跡過垂心。

5.
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)

OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AB/|AB|、AC/|AC|各為AB、AC方向上的單位長度向量，
向量AB與AC的單位向量的和向量，
因為是單位向量，模長都相等，構成菱形，
向量AB與AC的單位向量的和向量為菱形對角線，
易知是角平分線，所以P點的軌跡經過內心。

三角形重心表達式: 向量OA+向量OB+向量OC=零向量
證明：設AD為三角形ABC中BC邊的中線，O為三角形的重心
延長OD到E,使OD=DE,連結BE,CE
且有BD=DC,所以四邊形BOCE為平行四邊形
所以向量OB+向量OC=向量OE
o為重心，將AD分為2：1兩部分，即AO=2OD=OE
綜上向量OA=-向量OE=-（向量OB+向量OC）
即：向量OA+向量OB+向量OC=0
所以o是三角形的重心

O是三角形的垂心: 向量OA的平方+向量BC的平方=向量OB的平方+向量CA的平方=向量OC的平方+向量AB的平方
證明：向量OA平方+向量BC平方=向量OB平方+向量CA平方
即向量OA平方-向量OB平方=向量CA平方-向量BC平方
即（向量OA-向量OB）（向量OA+向量OB）=（向量CA-向量BC）（向量CA+向量BC）
即向量BA•（向量OA+向量OB）=（向量CA-向量BC）•向量BA
即向量BA•（向量OA-向量CA+向量OB+向量BC）=0
即2向量BA•向量OC=0
∴OC⊥AB
同理可證OA⊥CB，OB⊥AC。
所以O是三角形的垂心.

另:三角形內心是其內切圓圓心，即三條角分線交點，只有一個；
三角形外心是其外接圓圓心，即三條邊的垂直平分線交點，只有一個；
三角形重心是三條中線的交點，只有一個；
三角形垂心是三條高線交點，只有一個；
三角形旁心是一條內角平分線和另兩角外角平分線交點，即和其中一條邊及另兩條邊之延長線相切的圓的圓心，有三個旁心。