3數學建模的基本方法和步驟有哪些

A. 數學建模步驟

摘要
摘要在整篇論文評閱中佔有重要權重，務必認真書寫（篇幅不能超過一頁）。全國評閱時將首先根據摘要和論文整體結構及概貌對論文優劣進行初步篩選。摘要寫得不好，論點不明，條理不清，評委不再閱讀正文，論文即遭被淘汰。
摘要是全文的精華，摘要應當點明：
（1） 模型的數學歸類（數學上屬於什麼類型，如動態規劃，微分方程穩定性等）
（2） 建模的思想（思路）
（3） 演算法思想（求解思路）
（4） 模型特色（模型優缺點，演算法特點，結果檢驗，靈敏度分析，模型檢驗等）
（5） 主要結果（數值結果，結論）（回答題目所問的全部「問題」）
注意表述一定要准確、簡明、通順、工整，務必認真校對。
1． 問題重述
把原問題簡單重述一遍，但不是照搬，而是從數學的角度重新表述。
2． 模型假設
根據評卷原則，基本假設的合理性占重要比重。
應當根據題目中的條件和要求作出合理假設，假設要切合題意，關鍵性假設不能缺。
3． 模型的建立
（1）數學建模是用數學方法解決問題，首先要有數學模型：數學公式、方程、方案等；要求完整，正確，簡明
（2）模型要實用，有效，以解決問題有效為原則，不追求數學上的高（級）、難（度大）。能用初等方法解決的、就不用高級方法；能用簡單方法解決的，就不用復雜方法；能用被多數人理解的方法，就不用只有少數人能理解的方法。
（3）鼓勵創新，但要切合實際。數模創新可體現在模型中（好思想、好方法、好策略等）；模型求解中（好演算法、好步驟、好程序）；結果表示中（醒目、圖表、分析、檢驗等）；模型推廣中。
4． 模型求解
（1） 需要建立數學命題時：命題敘述要符合數學命題的表述規范，盡可能論證嚴密。
（2） 需要說明演算法的原理、依據、步驟。若用現有軟體，要說明理由，軟體名稱。
（3） 計算過程，中間結果可要可不要的，不必列出。
（4） 設法算出合理的數值結果。
5．模型的結果
（1） 最終數值結果的正確性或合理性是第一位的；
（2） 對數值結果或模擬結果須進行必要的檢驗。結果不正確、不合理、或誤差大時，分析原因， 對演算法、計算方法、或模型進行修正、改進；
（3） 題目中要求回答的問題，數值結果，結論，必須一一列出；
（4） 考慮是否需要列出多組數據，對數據進行比較、分析，為各種方案的提出提供依據；
（5） 結果的表示要集中，醒目，直觀，便於比較分析
（6） 必要時對問題解答，作定性或規律性的討論。最後結論要明確。
6．模型評價
（1）說明特色，優點突出，缺點不迴避。
（2）改變原題要求，重新建模可在此做。
（3）推廣或改進方向時，要合理、可行，不要玩弄新數學術語。
7．參考文獻
按規定列出。
8．附錄
（1）主要結果數據，應在正文中列出。
（2）數據、表格，可在此列出，但不要錯，錯的寧可不列。

B. 數學建模五個步驟順序

數學建模五個步驟順序如下：

第一步：根據研究對象的特點，確定研究對象屬哪類自然事物或自然現象，從而確定使用何種數學方法與建立何種數學模型。即首先確定對象與應該使用的數學模型的類別歸屬問題，是屬於「必然」類，還是「隨機」類；是「突變」類，還是「模糊」類。

第三步：抓住主要矛盾進行科學抽象。現實研究對象是復雜的，多種因素混在一起，因此，必須變復雜的研究對象為簡單和理想化的研究對象，做到這一點相當困難，關鍵是分清主次。

如何分清主次只能具體問題具體分析，但也有兩條基本原則：一是所建數學模型一定是可能的，至少可給出近似解；二是近似解的誤差不能超過實際問題所允許的誤差范圍。

第四步：對簡化後的基本量進行標定，給出它們的科學內涵。即標明哪些是常量，哪些是已知量，哪些是待求量，哪些是矢量，哪些是標量，這些量的物理含義是什麼?

第五步：按數學模型求出結果。

C. 建模的五種基本方法

量綱分析法

量綱分析是20世紀初提出的在物理領域中建立數學模型的一種方法，它是在經驗和實驗的基礎上，利用物理定律的量綱齊次性，確定各物理量之間的關系。它是一種數學分析方法，通過量綱分析，可以正確地分析各變數之間的關系，簡化實驗和便於成果整理。

在國際單位制中，有七個基本量：質量、長度、時間、電流、溫度、光強度和物質的量，它們的量綱分別為M、L、T、I、H、J和N，稱為基本量綱。

量綱分析法常常用於定性地研究某些關系和性質，利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關系，在數學建模過程中常常進行無量綱化，無量綱化是根據量綱分析思想，恰當地選擇特徵尺度將有量綱量化為無量綱量，從而達到減少參數、簡化模型的效果。

差分法

差分法的數學思想是通過taylor級數展開等方法把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的方程組，將微分問題轉化為代數問題，是建立離散動態系統數學模型的有效方法。

構造差分的方法有多種形式，目前主要採用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有以下幾種形式：一階向前差分、一階向後差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，後兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。

差分法的解題步驟為：建立微分方程；構造差分格式；求解差分方程；精度分析和檢驗。

變分法

變分法是處理函數的函數的數學領域，即泛函問題，和處理數的函數的普通微積分相對。這樣的泛函可以通過未知函數的積分和它的導數來構造，最終尋求的是極值函數。現實中很多現象可以表達為泛函極小問題，即變分問題。變分問題的求解方法通常有兩種：古典變分法和最優控制論。受基礎知識的制約，數學建模競賽大專組的建模方法使用變分法較少。

圖論法

數學建模中的圖論方法是一種獨特的方法，圖論建模是指對一些抽象事物進行抽象、化簡，並用圖來描述事物特徵及內在聯系的過程。圖論是研究由線連成的點集的理論。一個圖中的結點表示對象，兩點之間的連線表示兩對象之間具有某種特定關系(先後關系、勝負關系、傳遞關系和連接關系等)。事實上，任何一個包含了某種二元關系的系統都可以用圖形來模擬。因此，圖論是研究自然科學、工程技術、經濟問題、管理及其他社會問題的一個重要現代數學工具，更是成為了數學建模的一個必備工具。

D. 數學建模

最近在復習和學習數學建模的東西，主要是《數學建模優秀論文精選與點評(2011-2015)》和《數學建模方法及其應用》兩本書，資源在下面。（包括文中出現的一些案例就來源於書中）

個人覺得數學建模是介乎業務模型和數據挖掘之間的東西，既要有將實際問題轉化為數學模型的思維，同時在採用的模型、演算法方面和數據挖掘有極大的重合。所以對於開拓橫向的數據化業務思維、分析能力以及基礎的數據挖掘能力都有幫助。

鏈接: https://pan..com/s/1U3fI-U3WSFN8Zj02iqLp0w

提取碼: fvfy

數學建模方法：

數學建模步驟：
問題分析→模型假設→模型建立→模型求解→解的分析與檢驗→寫作和應用

基礎理論：

典型場景
微分方程一般是時間微分方程，微分方程穩定性問題的典型場景是判斷博弈過程，判斷最終哪一方會贏、哪一方會敗，比如下面的戰爭問題；或者就是消息/疾病隨時間傳播的過程。

基礎理論：

差分只是一個過程變數，既可以求微分，也可以求積分。而且差分方程本身也是需要求解、以及判斷穩定性的，但是似乎利用差分方程求解方程本身很少，而利用差分/差商來積分反而更常用

基礎理論：

擬合方法：

一般線性最小二乘擬合方法是可以直接求解的，但是非線性最小二乘問題，通常求解很復雜，可以採用梯度法（這個最常用）、共軛梯度法、最速下降法（後兩者是求解特殊的正定矩陣）進行求解。。。。

基礎理論：
方案層、准則層、決策目標→構造比較矩陣→相對權重向量確定→一致性校驗→計算組合權重和組合一致性校驗（兩層權重的累加）
應用場景：
實際應用應該很廣了，發現一個可以用在互聯網運營中的： https://www.jianshu.com/p/f4fdf18988cb

基礎理論：

採用概率分布：

基礎理論：

參數估計：

方差分析：
分為單因素方差分析法和多因素方差分析法。這里只考慮單因素。

相關分析方法：

基礎理論：

多元回歸方程的顯著性校驗和擬合校驗：

回歸模型正交化
正交化的目的只是為了計算，比如自變數有x1，x2和x3=x1*x2，這個時候明知變數中有相關性問題存在，正交化的計算最快。實際應該不會考慮這種情況，反正都是機器跑。

基礎理論：

線性規劃的求解方法
知己用lingo吧騷年！

線性規劃的對偶問題

常用方法

基礎理論

無約束規劃的解法

有約束非線性規劃的解法

我認為真正的動態規劃問題，其實是類似於馬爾可夫鏈的那種問題，這里其實沒有涉及到這么高深。反而是把本來可以用靜態規劃方法求解的，轉化成動態來求解。

基礎理論

XY分布
分布才是排隊論的理論核心，在確定了分布之後，你甚至可以直接用蒙特卡洛模擬出排隊結果嘛。

二人有限零和對策的基本模型：

二人有限零和對策的混合策略：
（雙方為了獲取更多的利益，會根據概率來博弈）

二人有限非零和對策：

基礎理論

在帕累托最優解中，再找最優解

圖 ：

樹 ：

遍歷

解法
常採用匈牙利演算法，暫時不研究。

圖矩陣

書中還給出了一個婚配的案例，但是實際上可以直接線性規劃求解的。。。線性規劃其實適合很多問題，包括上面的決策等等。。。

基礎理論

模糊綜合評判
總評分法、加權評分法
然後針對多層次模糊綜合評判會涉及到一個矩陣的綜合加權

典型場景
問題：中介機構有遵紀守法情況、納稅情況、獎懲情況等等維度的情況，建立綜合評估問題。
看計算過程，理解起來還是比較簡單，最直觀的理解就是，比如針對幾個指標，分為差、中、好三個等級，隸屬度是一個隸屬度矩陣，然後最終的展示結果就是經過加權之後的綜合向量，比如是0.3,0.3,0.2，那就是經過模糊綜合評判，整體屬於差、中、好的隸屬度分別是多少。
所以模糊綜合評判方法最後也只是給你一個隸屬於各個等級的隸屬度，但如何確定他是好還是差，還是要再加一個指標判斷，而綜合評判方法給你提供的便利，只是讓多級指標匯總而已。。。
模糊綜合評判和AHP很大程度上都是解決一類型問題，就看怎麼選擇。

個人覺得，灰色系統模型的應用場景一般都是用來對時間做回歸預測，那還不如直接用回歸呢。所以可能灰色系統模型基本不會採用？

E. 數學建模的一般步驟

數學建模的一般步驟如下：

1、 實際問題通過抽象、簡化、假設,確定變數、參數。

2、 建立數學模型並數學、數值地求解、確定參數。

3、 用實際問題的實測數據等來檢驗該數學模型。

2、 按研究對象的實際領域（或所屬學科）分：人口模型、交通模型、環境模型、生態模型、生理模型、城鎮規劃模型、水資源模型、污染模型、經濟模型、社會模型等。

F. 數學建模有哪些方法

一、機理分析法 從基本物理定律以及系統的結構數據來推導出模型.
1.比例分析法--建立變數之間函數關系的最基本最常用的方法.
2.代數方法--求解離散問題（離散的數據、符號、圖形）的主要方 法.
3.邏輯方法--是數學理論研究的重要方法,對社會學和經濟學等領域的實際問題,在決策,對策等學科中得到廣泛應用.
4.常微分方程--解決兩個變數之間的變化規律,關鍵是建立"瞬時變化率"的表達式.
5.偏微分方程--解決因變數與兩個以上自變數之間的變化規律.
二、數據分析法 從大量的觀測數據利用統計方法建立數學模型.
1.回歸分析法--用於對函數f（x）的一組觀測值（xi,fi）i=1,2… n,確定函數的表達式,由於處理的是靜態的獨立數據,故稱為數理統計方法.
2.時序分析法--處理的是動態的相關數據,又稱為過程統計方法.
三、模擬和其他方法
1.計算機模擬（模擬）--實質上是統計估計方法,等效於抽樣試驗
① 離散系統模擬--有一組狀態變數.
② 連續系統模擬--有解析表達式或系統結構圖.
2.因子試驗法--在系統上作局部試驗,再根據試驗結果進行不斷分析修改,求得所需的模型結構.
3.人工現實法--基於對系統過去行為的了解和對未來希望達到的目標,並考慮到系統有關因素的可能變化,人為地組成一個系統.