怎麼求二維正態分布的數學期望

1. 設二維隨機變數(X,Y)服從二維正態分布(1,-1;4,9;0),則E(X^2Y^2)=

結果為：50

解題過程如下：

解：

∵（x，y）~N（0，0，1，1，0）

∴X~N(0,1)，Y~N(0,1)

且X與Y獨立

∵X/Y<0，即X與Y反號

∴P（X/Y<0）

E(X)=1

D(X)=4

E(X^2)=D(X)+E(X)^2=5

E(Y)=1

D(Y)=9

E(Y^2)=D(Y)+E(Y)^2=10

∴E(X^2Y^2)=E(X^2)E(Y^2)=50

(1)怎麼求二維正態分布的數學期望擴展閱讀

求二維正態分布方法：

若隨機變數X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的正態分布，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標准差σ決定了分布的幅度。當μ = 0,σ = 1時的正態分布是標准正態分布。

由於一般的正態總體其圖像不一定關於y軸對稱，對於任一正態總體，其取值小於x的概率。只要會用它求正態總體在某個特定區間的概率即可。

服從標准正態分布,通過查標准正態分布表就可以直接計算出原正態分布的概率值。故該變換被稱為標准化變換。（標准正態分布表：標准正態分布表中列出了標准正態曲線下從-∞到X（當前值）范圍內的面積比例。）

2. 正態分布的期望和方差公式是什麼

在概率論和統計學中，數學期望(mean)（或均值，亦簡稱期望）為試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和，是最基本的數學特徵之一。它反映隨機變數平均取值的大小。

設正態分布概率密度函數是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]

其實就是均值是u，方差是t^2。

於是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t（*）

(2)怎麼求二維正態分布的數學期望擴展閱讀：

服從標准正態分布,通過查標准正態分布表就可以直接計算出原正態分布的概率值。故該變換被稱為標准化變換。（標准正態分布表：標准正態分布表中列出了標准正態曲線下從-∞到X（當前值）范圍內的面積比例。）

μ維隨機向量具有類似的概率規律時，稱此隨機向量遵從多維正態分布。多元正態分布有很好的性質，例如，多元正態分布的邊緣分布仍為正態分布，它經任何線性變換得到的隨機向量仍為多維正態分布，特別它的線性組合為一元正態分布。

3. 正態分布期望如何算

這個計算有些麻煩的，不過只要熟悉了反常積分的解題技巧巧妙地構造二重積分(或用我們熟知的貝塔函數)就很容易解出來了

要計算正態分布的期望就要遇到解決積分：∫[(-∞，+∞)，e^(-x^2)]dx
由函數的奇偶性知：∫[(-∞，+∞)，e^(-x^2)]dx=2∫[(0，+∞)，e^(-x^2)]dx
記A=∫[(0，+∞)，e^(-x^2)]dx，
我們先來計算：A^2=∫[(0，+∞)，e^(-x^2)]dx∫[(0，+∞)，e^(-y^2)]dy
=∫[(0，+∞)]dx∫[(0，+∞)，e^(-x^2-y^2)dy
作變數替換：x=rcosθ，y=rsinθ，在上式可化為
A^2=∫[(0，π/2)]dθ∫[(0,+∞)，re^(-r^2)]dr=π/4
那麼A=(√π)/2
所以：∫[(-∞，+∞)，e^(-x^2)]dx=2A==√π

那麼：E(X)=1/[σ√（2π）]∫[(-∞，+∞)，xe^{[-(x-µ)^2)]/(2σ^2)}dx
=1/[σ√（2π）]∫[(-∞，+∞)，(x-µ)e^{[-(x-µ)^2)]/(2σ^2)}dx
+ µ/[σ√（2π）]∫[(-∞，+∞)，e^{[-(x-µ)^2)]/(2σ^2)}dx
第一個積分算得0，第二個積分根據上面的結論得 µ，
所以E(X)= µ

還可以用根據第一類歐拉積分與第二類歐拉積分的關系來求解

4. 二元正態分布的期望

(X,Y)服從N（u1,u2,σ1,σ2,p）
有定理：aX+bY服從N(au1+bu2,a^2σ1+b^2σ2+2abpσ1σ2)
剩下的直接套公式即可

5. 正態分布的期望和方差怎麼求

設正態分布概率密度函數是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]

其實就是均值是u，方差是t^2。

於是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t（*）

積分區域是從負無窮到正無窮，下面出現的積分也都是這個區域。

（1）求均值

對（*）式兩邊對u求導：

∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0

約去常數，再兩邊同乘以1/(√2π)t得：

∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0

把(u-x)拆開，再移項：

∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx

也就是

∫x*f(x)dx=u*1=u

這樣就正好湊出了均值的定義式，證明了均值就是u。

(2)方差

過程和求均值是差不多的，我就稍微略寫一點了。

對(*)式兩邊對t求導：

∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π

移項：

∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2

也就是

∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2

正好湊出了方差的定義式，從而結論得證。

(5)怎麼求二維正態分布的數學期望擴展閱讀：

若隨機變數X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的正態分布，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標准差σ決定了分布的幅度。當μ = 0,σ = 1時的正態分布是標准正態分布。

在統計描述中，方差用來計算每一個變數（觀察值）與總體均數之間的差異。為避免出現離均差總和為零，離均差平方和受樣本含量的影響，統計學採用平均離均差平方和來描述變數的變異程度。

由於一般的正態總體其圖像不一定關於y軸對稱，對於任一正態總體，其取值小於x的概率。只要會用它求正態總體在某個特定區間的概率即可。

為了便於描述和應用，常將正態變數作數據轉換。將一般正態分布轉化成標准正態分布。

對於連續型隨機變數X，若其定義域為（a，b），概率密度函數為f（x），連續型隨機變數X方差計算公式：D（X）=（x-μ）^2 f（x） dx

方差刻畫了隨機變數的取值對於其數學期望的離散程度。（標准差、方差越大，離散程度越大）

若X的取值比較集中，則方差D（X）較小，若X的取值比較分散，則方差D（X）較大。

因此，D（X）是刻畫X取值分散程度的一個量，它是衡量取值分散程度的一個尺度。

6. 正態分布的期望值怎麼求

Φ(x)=1/2+（1/√π）*∑(-1)^n*(x/√2)^(2n+1)/(2n+1)/n! 其中n從0求和到正無窮因為正態分布是超越函數，所以沒有原函數，只能用級數積分的方法。

稱其分布為高斯分布或正態分布，記為N（μ，σ2），其中為分布的參數，分別為高斯分布的期望和方差。當有確定值時，p(x)也就確定了，特別當μ=0，σ2=1時，X的分布為標准正態分布。

μ正態分布最早由棣莫佛於1730年在求二項分布的漸近公式時得到；後拉普拉斯於1812年研究極限定理時也被引入。

(6)怎麼求二維正態分布的數學期望擴展閱讀

標准正分布的性質：

1、密度函數關於平均值對稱

2、平均值與它的眾數（statistical mode）以及中位數（median）同一數值。

3、函數曲線下68.268949%的面積在平均數左右的一個標准差范圍內。

4、95.449974%的面積在平均數左右兩個標准差的范圍內。

5、99.730020%的面積在平均數左右三個標准差的范圍內。

6、99.993666%的面積在平均數左右四個標准差的范圍內。

7、函數曲線的反曲點（inflection point）為離平均數一個標准差距離的位置。

7. 求二維正態曲線的期望值

結果為：0.5

解題過程如下：

解：

∵（x，y）~N（0，0，1，1，0）

∴X~N(0,1)，Y~N(0,1)

且X與Y獨立

∵X/Y<0，即X與Y反號

∴P（X/Y<0）

=P(X>0,Y<0)+P(X<0,Y>0)

=0.5×0.5+0.5×0.5

=0.5

(7)怎麼求二維正態分布的數學期望擴展閱讀

求二維正態分布方法：

設E是一個隨機試驗，它的樣本空間是S={e}，設X=X（e）和Y=Y(e)S是定義在S上的隨機變數，由它們構成的一個向量（X，Y），叫做二維隨機變數或二維隨機向量。

例如：現在有一個班（即樣本空間）體檢,指標是身高和體重,從中任取一人（即樣本點）,一旦取定,都有唯一的身高和體重（即二維平面上的一個點）與之對應,這就構造了一個二維隨機變數。由於抽樣是隨機的,相應的身高和體重也是隨機的,所以要研究其對應的分布。

公式：

8. 正態分布的期望怎麼求

正態分布的期望求法為E（X）=X1*p（X1）+X2*p（X2）+…+Xn*p（Xn）。正態分布也稱常態分布，又名高斯分布最早由棣莫弗，在求二項分布的漸近公式中得到。若隨機變數X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的正態分布，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標准差σ決定了分布的幅度。當μ=0,σ=1時的正態分布是標准正態分布。

9. 已知（X，Y）二維正態分布概率密度怎樣求數學期望E（X）和E（Y）

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