什麼是數學的公理

『壹』 數學的公理和定理有什麼區別

定理和公理的區別：公理是不能被證明但確實是正確的結論，是客觀規律。定理是在一定條件下，由公理推導證明出來的正確的結論。
在數學里，定理是指在既有命題的基礎上證明出來的命題，這些既有命題可以是別的定理，或者廣為接受的陳述，比如公理。數學定理的證明即是在形式系統下就該定理命題而作的一個推論過程。定理的證明通常被詮釋為對其真實性的驗證。由此可見，定理的概念基本上是演繹的，有別於其他需要用實驗證據來支持的科學理論。

公理是指依據人類理性的不證自明的基本事實，經過人類長期反復實踐的考驗，不需要再加證明的基本命題。在數學中，公理都是用來推導其他命題的起點。公理和定理不同，一個公理(除非有冗餘的)不能被其他公理推導出來，否則它就不是起點本身，而是能夠從起點得出的某種結果—可以乾脆被歸為定理了。
在數學中，公理這一詞被用於兩種相關但相異的意思之下——邏輯公理和非邏輯公理。在這兩種意義之下，公理都是用來推導其他命題的起點。
而從其一系列命題中挑選出一組公理，而其餘的命題，都應用邏輯規則從公理推演出來，稱為定理。

『貳』 在數學上什麼叫做公理

公理是一個漢語詞彙，讀音為gōng lǐ，是指依據人類理性的不證自明的基本事實，經過人類長期反復實踐的考驗，不需要再加證明的基本命題。
在數學中，公理這一詞被用於兩種相關但相異的意思之下——邏輯公理和非邏輯公理。在這兩種意義之下，公理都是用來推導其他命題的起點。和定理不同，一個公理（除非有冗餘的）不能被其他公理推導出來，否則它就不是起點本身，而是能夠從起點得出的某種結果—可以乾脆被歸為定理了。

『叄』 數學公理的定義

公理是一個漢語詞彙，讀音為gōng lǐ，是指依據人類理性的不證自明的基本事實，經過人類長期反復實踐的考驗，不需要再加證明的基本命題。

在數學中，公理這一詞被用於兩種相關但相異的意思之下——邏輯公理和非邏輯公理。在這兩種意義之下，公理都是用來推導其他命題的起點。和定理不同，一個公理（除非有冗餘的）不能被其他公理推導出來，否則它就不是起點本身，而是能夠從起點得出的某種結果—可以乾脆被歸為定理了。

中文名
公理
外文名
axiom
拼音
gōng lǐ
注音
ㄍㄨㄙ ㄌㄧˇ
適用范圍
數學，物理學
快速
導航
詞語概念

公理系統

實例

公理集合論

公理化

更多的探討
歷史發展
古希臘
經由可靠的論證（三段論、推理規則）由前提（原有的知識）導至結論（新的知識）的邏輯演繹方法，是由古希臘人發展出來的，並已成為了現代數學的核心原則。除了重言式之外，沒有任何事物可被推導，若沒有任何事物被假定的話。公理即是導出特定一套演繹知識的基本假設。公理不證自明，而所有其他的斷言（若談論的是數學，則為定理）則都必須藉助這些基本假設才能被證明。然而，對數學知識的解釋從古至今已不太一樣，且最終「公理」這一詞對今日的數學家眼中和在亞里斯多德和歐幾里得眼中的意思也有了些許的不同。
古希臘人認為幾何學也是數種科學的其中之一，且視幾何學的定理和科學事實有同等地位。他們發展並使用邏輯演繹方法來作為避免錯誤的方法，並以此來建構及傳遞知識。亞里斯多德的後分析篇是對此傳統觀點的一決定性的闡述。
「公理」，以傳統的術語來說，是指在許多科學分支中所共有的一個不證自明的假設。
在各種科學領域的基礎中，或許會有某些未經證明而被接受的附加假定，此類假定稱為「公設」。公理是許多科學分支所共有的，而各個科學分支中的公設則是不同的。公設的有效性必須建立在現實世界的經驗上。確實，亞里斯多德曾言，若讀者懷疑公設的真實性，這門科學之內容便無法成功傳遞。
傳統的做法在《幾何原本》中很好地描繪了出來，其中給定一些公設（從人們的經驗中總結出的幾何常識事實），以及一些「公理」（極基本、不證自明的斷言）。
公設
能從任一點畫一條直線到另外任一點上去。
能在一條直線上造出一條連續的有限長線段。
能以圓心和半徑來描述一個圓。
每個直角都會相互等值。
（平行公設）若一條直線與兩條直線相交，在某一側的內角和小於兩個直角，那麼這兩條直線在各自不斷地延伸後，會在內角和小於兩直角的一側相交。
公理
等同於相同事物的事物會相互等同
若等同物加上等同物，則整體會相等。
若等同物減去等同物，則其差會相等。
相互重合的事物會相互等同。
整體大於部分。
近代的發展
近150年來，數學家所學到的是，將意思從數學陳述（公理、公設[1] 、命題、定理）和定義中抽離出去是很有用的。此一抽象化（或甚至可說是公式化）使得數學知識變得更一般化，容許多重不同的意思，且因此可以用在多重的方面上。
結構主義的數學走得更遠，並發展出沒有「任一」特定應用的理論和公理（如體論、群論、拓撲學、向量空間）。「公理」和「公設」之間的差異消失了。歐幾里得公設因為可以導出大量的幾何事實而被創造出來。這些復雜事實的真實性依賴於對基本假定的承認。然而，若舍棄第五公設，則可以得到有更多內容的理論，如雙曲幾何。我們只需要准備以更彈性的方式來使用「線」和「平行」等術語。

『肆』 數學有哪些公理有哪些基本事實

公理：等於同量的量彼此相等。等量加等量，其和相等。等量減等量，其差相等。

在數學中，公理這一詞被用於兩種相關但相異的意思之下——邏輯公理和非邏輯公理。在這兩種意義之下，公理都是用來推導其他命題的起點。

和定理不同，一個公理（除非有冗餘的）不能被其他公理推導出來，否則它就不是起點本身，而是能夠從起點得出的某種結果—可以乾脆被歸為定理了。

經由可靠的論證（三段論、推理規則）由前提（原有的知識）導至結論（新的知識）的邏輯演繹方法，是由古希臘人發展出來的，並已成為了現代數學的核心原則。除了重言式之外，沒有任何事物可被推導，若沒有任何事物被假定的話。

公理即是導出特定一套演繹知識的基本假設。公理不證自明，而所有其他的斷言（若談論的是數學，則為定理）則都必須藉助這些基本假設才能被證明。

然而，對數學知識的解釋從古至今已不太一樣，且最終「公理」這一詞對今日的數學家眼中和在亞里斯多德和歐幾里得眼中的意思也有了些許的不同。