A. 數學教學過程的內涵和實質是什麼
教學是一種傳授社會經驗的手段，通過教學傳授的是社會活動中各種關系的模式、圖式、總的原則和標准。這是一種側重於傳授內容的總體敘述。 美國心理學家布魯納認為：教學是通過引導學生對問題或知識體系循序漸進的學習來提高學生正在學習中的理解、轉換和遷移能力。這是側重於學生獲得發展的敘述。 不論是從認識心理學的角度構築的數學教學理論，還是著眼於未來，注重學習方法的掌握與創造精神發揮的數學教學理論，都必須研究數學教學過程的本質、數學教學的原則和教學方式及方法的開拓，探討數學教學的科學性與藝術性及其統一。特別地，要與信息社會發展的總體趨勢相適應，著眼於促進學生全面、持續、和諧地發展。
B. 數學的本質是什麼，數學內容的精神
數學是人類大腦生理活動生成的信息演繹推理過程。數學作為對客觀事物的一種抽象認識過程，而過程並不是物質，能量的本身，只是在大腦的信息活動中，從感性認識生成的認知概念。也可以說，數學知識是人類通過實踐而獲得的信息，表現為一種經驗知識的積累，從而找出事物之間的及事物本身的內在活動規律。
參考資料：
生命真相 劉量衡著 湖南科技出版社 2012
C. 如何把握數學本質進行教學
一、概念的教學要基於學生已有的認知基礎
皮亞傑的建構主義理論認為，學生要在已有的知識經驗基礎上建構新知識。而數學概念的抽象性更要求基於學生已有的認知基礎上進行教學，關注學生的學習過程，所以教師要善於引導學生從原有經驗、原有的認識中逐步抽象概括出數學的形式化定義。如教學「倍的認識」一課，揭示「倍」概念的方式很多，但新知識與學生認知的最近發展區越接近，學生就會越容易理解。因此，這節課教師可以採用同化的方式引導學生獲取「倍」的概念，即利用學生已有認知結構中對「幾個幾」的理解來同化「幾的幾倍」。教師應鼓勵學生用自己的眼睛去觀察，用自己的語言去表達，用自己的思考去解讀「倍」的相關量的共性，使他們真正領悟每份數、份數與「幾的幾倍」的關系，這樣學生對「倍」的概念會建立得更好，理解會更深刻。
另外，教師在引導學生理解和掌握數學概念的過程中，還可以藉助豐富的數學史資料，展示概念的形成過程，讓學生體驗數學家們對數學知識、數學原理不畏艱難的探索過程。例如，自然數概念形成的漫長過程、不同民族對自然數和表示方法的創造、祖沖之對圓周率的探索過程等。
二、在數學活動中引導學生深刻理解概念的本質
所謂對數學概念的理解是指了解為什麼要學習這一概念，這一概念的現實原型是什麼，這一概念特有的數學內涵、數學符號是什麼，這些需要教師循序漸進地引導學生理解。如對一年級學生教學自然數的概念時要通過「數數」活動，而有些教師認為學生在幼兒園已有「數數」的經驗了，忽視對「數數」的教學。其實，學前兒童的「數數」還大多停留在念歌謠的層面上，對數缺乏深刻的認識。沒有「數」的過程，學生對數的理解是不深刻的。因此，教師要先設計「數數」這一數學活動，充分挖掘「數數」的教育價值，讓學生多形式地數數。如通過一個一個地數，讓學生知道某個集合的數量；通過2個2個或5個5個地數，豐富學生對數的認識；通過數列的變化規律，讓學生進一步認識數的特徵，發現自然數列的內在規律。
數學學科最基本的概念具有本質性、概括性，是學生學習數學知識的導航器，而循序漸進的引導是開啟學生思維活動的金鑰匙。如吳正憲老師執教「10的認識」一課的教學片斷。
（1）突出現實背景，為自主建構運算定律提供支點。
學生對計算方法的選定，更多的是依賴於生活實踐中積累的真實想法與最自然化的理解。如：「天氣變冷了，李阿姨到批發市場去批發衣服。看中一件上衣56元，一條褲子44元，如果她想批8套這樣的衣服，一共要多少元？你可以用哪些方法解答？」面對這樣的問題，學生出現56×8+44×8和（56+44）×8兩種解決方法，然後教師組織學生對這兩種方法進行分析比較。學生除了得出兩種演算法有相同的結果外，更重要的是還驚喜地發現當上衣、褲子的單價正好可以湊成整十、整百時，把它們先合起來再乘會更簡便，從而得到了一種優化的解題方案。因此，教學中，教師需要創設一些情境來幫助學生真正從模仿走向理解。
（2）注重意義感悟，為自主建構運算定律打下基礎。
如上述案例中，在學生得出56×8+44×8=（56+44）×8後，教師可趁熱打鐵地追問學生：「如果不計算，你能用以前學過的知識來解釋這兩種解法為什麼相等嗎？」接著以數形結合的思想，引導學生根據乘法意義來理解兩種解法相等的算理。如：「學校擴建草坪（如右圖），求擴建後的草坪面積。」在數形圖的`幫助下，學生明白8個56加8個44等於8個100（即56+44）的道理。在後繼的練習中，教師有必要反復多樣地呈現這樣的情境，然後引導學生看著算式去思考，不斷思考算式的本意。
（3）逐步抽象概括，為自主建構運算定律搭建模型。
如在上述教學的基礎上，教師又安排了橫向比較抽象、逐步符號抽象和新舊對比抽象的三次抽象活動。橫向比較抽象（把例題中的「8套」改成「20套」，列成等式成立嗎？為什麼）脫離了具體數的抽象，從中引導學生初步總結出乘法分配律；逐步符號抽象（將「20套」改成「c套」，能列成等式嗎？為什麼？這里的c能表示哪些數？把「56元」改成「a元」，把「44元」改成「b元」，等式怎麼變）脫離了具體情境的抽象，從中引導學生進一步感悟乘法分配律的特徵，並得到乘法分配律的字母表達式；新舊對比抽象（「a+b」在這里表示一套衣服的價錢，除此之外，還能表示哪些數量？溝通舊知「速度和」「長寬和」等與新知間的聯系）脫離了具體數和具體情境的抽象，從中引導學生在溝通中完善關於運算定律的認知結構，並進一步加強對乘法分配律特徵的認識。乘法分配律模型的建構，在以上三次抽象的過程中自然生成了。
開展有效的數學活動
數學教學是活動的教學，是讓學生經歷數學化過程的活動，是讓學生自己建構數學知識的活動。教學活動是否有效，關鍵是看活動能否引發學生的數學思考，能否提高學生的思維能力。如何在課堂上既讓學生在動手操作中獲得知識又使操作促進數學思維的發展，使數學活動發揮最大的數學價值。
數學家弗賴登塔爾說過：通過自身活動所得到的知識與能力比由旁人硬塞的理解得透徹，掌握得快，同時也善於應用，還可以保持較長久的記憶。在《東南西北》這課教學中，「東西、南北相對」、「東南西北順時針排的」這兩個知識是教學的重點，更是接下去學生根據一個方向找出其他三個方向的方法基礎。因此在本課教學中設計了兩個活動，以此激發學生的求知慾和探索精神，把外部的肢體活動和內部的數學思維有效結合，使學生的活動具有數學味，學生通過活動親身感悟到這兩個知識點，並體會到這兩個知識點的運用價值，為接下來的根據一個方向找出另三個方向的活動奠定了扎實的基礎，學生在活動中愉快地參與、自主地感悟、主動地學會並運用知識。在組織學生進行數學活動時，應把學生看作一個有豐富內在世界、獨立人格尊嚴和重大生命潛能的活的生命體，設計多渠道的、有挑戰的、有意義的數學活動，讓學生充分參與，並幫助學生在活動中體驗、在活動中感悟、在活動中發展。
發揮教師的價值引領
由於學生的認識水平正處於發展階段，生活閱歷也並不豐富，所以他們的發展常常不能自發完成，這決定了教師是課堂的靈魂。任何一個教學目標的實現，既離不開學生，也離不開教師。盡管課堂是動態生成的，但教學的過程必須服從教師課前預設的價值追求（不排除追求過程中的自覺調整與完善），服務於全體學生的多元發展。沒有教師的價值引領，就不可能有高質量的教學，學生的自主探究、合作交流就可能會喪失方向，成為信馬由韁式的活動。如，一位教師在教學「百以內的口算減法（24—19）」時，學生獨立思考後匯報了七八種方法。在交流的過程中，教師邊板書，邊反復用「真行！」「還有不同意見嗎？」加以引導。整個交流過程學生非常投入，教師也很滿意。
最後教師說：「小朋友，你們的辦法真多！以後就用自己喜歡的方法進行口算。」事實上，絕大多數的學生只理解其中的一種方法，並且幾乎仍停留在原有的認知水平上，思維沒有得到相應的發展，讓學生理解、掌握多種口算方法的目標成了空談。在這一教學片段中，教師沒有意識到各種方法之間的內在聯系，以及各種方法之間還有相對合理、簡潔的區別，沒有意識到自己有責任引導學生進行比較、歸類，在此基礎上做出選擇和自我調整，使學生的構建活動富有意義而不是雜亂無章。形式化的開放和放開只能帶來表面的熱鬧而缺乏實效。這就需要教師能夠准確把握學生的學習動態，做到「該出手時就出手」：即適時介入，充分發揮教師的價值引領作用。