離散數學為什麼要用左孝凌

Ⅰ 怎樣學好離散數學

如何學好離散數學
離散數學是現代數學的一個重要分支，是計算機科學中基礎理論的核心課程。離散數學以研究離散量的結構和相互間的關系為主要目標，其研究對象一般地是有限個或可數個元素，因此他充分描述了計算機科學離散性的特點。由於離散數學在計算機科學中的重要性，因此，許多大學都把它作為研究生入學考試的專業課程中的一門，或者是一門中的一部分。
作為計算機系的一門課程，離散數學有與其它課程相通相似的部分，當然也有它自身的特點，現在我們就它作為考試內容時具有的特點作一個簡要的分析。
1、定義和定理多。
離散數學是建立在大量定義上面的邏輯推理學科。因而對概念的理解是我們學習這門學科的核心。在這些概念的基礎上，特別要注意概念之間的聯系，而描述這些聯系的實體則是大量的定理和性質。
在考試中的一部分內容就是考察大家對定義和定理的識記、理解和運用。如2002年上海交通大學的試題，問什麼是相容關系。如果知道的話，很容易得分；如果不清楚，那麼無論如何也得不到分數的。這類型題目往往因其難度低而在復習中被忽視。實際上這是一種相當錯誤的認識，在研究生入學考試的專業課試題中，經常出現直接考查對某知識點的識記的題目。對於這種題目，考生應該能夠准確、全面、完整地再現此知識點。任何的模糊和遺漏，都會造成極為可惜的失分。我們建議讀者，在復習的時候，對重要知識的記憶，務必以上面提到的「准確、全面、完整」為標准來要求自己，不能達到，就說明還不過關，還要下工夫。關於這一點，在後續章節中我們仍然會強調，使之貫穿於整個離散數學的復習過程中。
離散數學的定義主要分布在集合論的關系和函數部分，還有代數系統的群、環、域、格和布爾代數中。一定要很好地識記和理解。
2、方法性強。
離散數學的證明題中，方法性是非常強的，如果知道一道題用怎樣的方法證明，很輕易就可以證出來，反之則事倍功半。所以在平常復習中，要善於總結，那麼遇到比較陌生的題也可以游刃有餘了。在本書中，我們為讀者總結了不少解題方法。讀者首先應該熟悉並且會用這些方法。同時我們還鼓勵讀者勤於思考，對於一道題，盡可能地多探討幾種解法。
3、有窮性。
由於離散數學較為「呆板」，出新題比較困難，不管什麼考試，許多題目是陳題，或者稍作變化的來的。「熟讀唐詩三百首，不會做詩也會吟。」如果拿到一本習題集，從頭到尾做過，甚至背會的話。那麼，在考場上就會發現絕大多數題見過或似曾相識。這時，要取得較好的成績也就不是太難的事情了。
本書是專門針對研究生入學考試而編寫的，適合於讀者對研究生入學考試的復習。如果還有時間的話，我們可以推薦兩本習題集。一本是左孝凌老師等編寫的《離散數學理論、分析、題解》，另一套有三本，是耿素雲老師等編寫的《離散數學習題集》。這兩套書大多數題都是相同的，只是由於某些符號和定義的不同，使得題目的設定和解法有些不同而已。
現在我們就分析一下研究生入學考試有哪些題型，以及我們應如何應付。
1、基礎題
基礎題就是考察對定義的識記，以及簡單的證明和推理。題目主要集中在數理邏輯部分和集合論部分。這些題目不需要思考，很容易上手。
這一部分的題目主要問題是要防止粗心大意和對定義記憶似是而非而丟的分數。不重視這一點的人將會在考試中吃大虧。如在主合取範式中，極大項編碼對應的指派與真值表對應的指派相反，這一點在許多的參考書里也會犯錯誤；還有是要防止沒有按照一定的方法而引起的錯誤，如我們在數理邏輯或者集合論里作等價推演，可以省略若干不重要的步驟，只要老師和考生都清楚就可以了，而在推理理論里則不能省略任何步驟，否則被認為是邏輯錯誤。
我們在學習中，還要注意融會貫通，例如，數理邏輯和集合論是相通的，因此記憶或者總結方法的時候可以綜合起來，這樣便於比較和理解。
2、定理應用題
本部分是最「死」的一部分，它主要體現了離散數學的方法性強的特點。並且這一部分佔了考試內容的大部分，我們必須在這一部分下功夫，記住了各種方法，也就拿到了離散數學的大部分分數。
下面我們就列出常用的幾種應用：
●證明等價關系：即要證明關系有自反、對稱、傳遞的性質。
●證明偏序關系：即要證明關系有自反、反對稱、傳遞的性質。（特殊關系的證明就列出來兩種，要證明剩下的幾種只需要結合定義來進行）。
●證明滿射：函數f：XY，即要證明對於任意的yY，都有xX，使得f(x)=y。
●證明入射：函數f：XY，即要證明對於任意的x1、x2X，且x1≠x2，則f(x1) ≠f(x2)；或者對於任意的f(x1)=f(x2)，則有x1=x2。
●證明集合等勢：即證明兩個集合中存在雙射。有三種情況：第一、證明兩個具體的集合等勢，用構造法，或者直接構造一個雙射，或者構造兩個集合相互間的入射；第二、已知某個集合的基數，如果為א，就設它和R之間存在雙射f，然後通過f的性質推出另外的雙射，因此等勢；如果為א0，則設和N之間存在雙射；第三、已知兩個集合等勢，然後再證明另外的兩個集合等勢，這時，先設已知的兩個集合存在雙射，然後根據剩下題設條件證明要證的兩個集合存在雙射。
●證明群：即要證明代數系統封閉、可結合、有幺元和逆元。（同樣，這一部分能夠作為證明題的概念更多，要結合定義把它們全部搞透徹）。
●證明子群：雖然子群的證明定理有兩個，但如果考證明子群的話，通常是第二個定理，即設<G,*>是群，S是G的非空子集，如果對於S中的任意元素a和b有a*b-1S,則<S,*>是<G,*>的子群。對於有限子群，則可考慮第一個定理。
●證明正規子群：若<G,*>是一個子群，H是G的一個子集，即要證明對於任意的aG，有aH=Ha，或者對於任意的hH，有a-1 *h*aH。這是最常見的題目中所使用的方法。
●證明格和子格：子格沒有條件，因此和證明格一樣，證明集合中任意兩個元素的最大元和最小元都在集合中。
圖論雖然方法性沒有前幾部分的強，但是也有一定的方法，如最長路徑法、構造法等等。
3、難題
難題就是考試中比較難以下手，大多考生作不出來，用來拉開分數檔次的題。那麼，遇到難題我們怎麼下手分析呢？
難題主要有以下四種，我們來逐一進行分析：
①綜合題
綜合題就是內容涵蓋若干章的問題，這樣的題大多數是在群論裡面的陪集、拉格朗日定理、正規子群、商群這一部分中。這一部分結合的內容很多，而且既復雜又難理解，是整個離散數學中的難點。
首先拉格朗日定理把群和等價關系、劃分結合在一起，又與群的階數相掛鉤（在子群中有一部分階方面的題是比較難的題，它的解法依據就在此處）；然後商群將兩個群結合在一起，因為兩個群的元素是不同的，因此必須時刻概念清楚才不至於混亂；接著同餘關系把群和關系相結合，定義了一種新的關系；自然同態把正規子群和商群相聯系，也成為某些證明題的著眼處；核的定義和群同態定理給出了正規子群的另一種證明方法，因為核就是正規子群……
當然，綜合題不僅此一處，離散數學是一個融會貫通的學科，像集合論，圖論等都可能成為綜合題的命題點。
對於綜合題，我們可以從兩方面下手，首先不管題設如何，看所要證明的問題，按照定理應用的題型著眼，設出所需要的格式，然後進行進一步推演；其次可以先看題設，應用已知條件的性質定理向前推幾步，看看哪一個性質更能夠接近所問，題目也就迎刃而解了。
②例外題
例外題有兩個含義，首先是對於定理應用題而言的，對於一個概念的判定定理和性質定理不是唯一的，而定理應用題是給出的是最常出題的定理，因此有的考題可能考出一個不常用的定理。
其次例外題還有一種題型是與我們平常思維相悖的問題，如：有一些題目給出一個結論，說如果它正確的話請指出來，錯誤的話則請證明，憑做題經驗通常是要選擇證明的那條思路。其實也不妨用一些時間看看能不能指出來，從而不用證明。請看下面的例子：
③ 偏題
常常有的參考書會說某某章是非重點，不會考到之類的話，這是非常錯誤和有害的。其結果是令這些章成為讀者復習中的盲點，成為難題的又一種。這些章通常概念少，定理不多，因此題目本身不難。但由於沒有好好復習或者根本沒有復習，考試中又出了題目，故此拿不到分數則是非常令人懊喪的。所以我們建議讀者進行全面復習，除非是所報考院校明確說明不考的部分，其餘內容一律要認真復習。即使是復習時間比較少，也必須做到至少是了解了基本概念和定義。對於離散數學而言，函數一章中的基數部分和格和布爾代數一章是人們容易忽略的問題。
我們平時復習的時候，不管是什麼課程，一定不能留死角，而這些地方出的題目由於它的本身內容的局限性，又往往是非常簡單的。丟了十分可惜。
④ 錯題
專業課的題目是由較少老師出的，並不像基礎課那樣經過多方面的論證，因此出錯題也不奇怪（雖然非常非常之少），如果我們遇到了一道題目，經過我們判斷和推演得到相悖的答案，不要過分迷信題目的權威性，因為它可能是錯題。

下面講一下離散證明題的證明方法：
1、直接證明法
直接證明法是最常見的一種證明的方法，它通常用作證明某一類東西具有相同的性質，或者符合某一些性質必定是某一類東西。
直接證明法有兩種思路，第一種是從已知的條件來推出結論，即看到條件的時候，並不知道它怎麼可以推出結論，則可以先從已知條件按照定理推出一些中間的條件（這一步可能是沒有目的的，要看看從已知的條件中能夠推出些什麼），接著，選擇可以推出結論的那個條件繼續往下推演；另外一種是從結論反推回條件，即看到結論的時候，首先要反推一下，看看從哪些條件可以得出這個結論（這一步也可能是沒有目的的，因為並不知道要用到哪個條件），以此類推一直到已知的條件。通常這兩種思路是同時進行的。
2、反證法
反證法是證明那些「存在某一個例子或性質」，「不具有某一種的性質」，「僅存在唯一」等的題目。
它的方法是首先假設出所求命題的否命題，接著根據這個否命題和已知條件進行推演，直至推出與已知條件或定理相矛盾，則認為假設是不成立的，因此，命題得證。
3、構造法
證明「存在某一個例子或性質」的題目，我們可以用反證法，假設不存在這樣的例子和性質，然後推出矛盾，也可以直接構造出這么一個例子就可以了。這就是構造法，通常這樣的題目在圖論中多見。值得注意的是，有一些題目其實也是本類型的題目，只不過比較隱蔽罷了，像證明兩個集合等勢，實際上就是證明「兩個集合中存在一個雙射」，我們即可以假設不存在，用反證法，也可以直接構造出這個雙射。
4、數學歸納法
數學歸納法是證明與自然數有關的題目，而且這一類型的題目可以遞推。作這一類型題目的時候，要注意一點就是所要歸納內容的選擇。

Ⅱ 離散數學

如何學習離散數學
離散數學是現代數學的一個重要分支，計算機科學核心課程的基本理論。離散數學的主要目的是研究結構的離散，其研究對象之間的關系是一種有限的或可數的元素，讓他充分描述了計算機科學的離散特性。由於離散數學在計算機科學中的重要性，許多大學把它作為一個研究生入學考試的專業課程，或其中的一部分。
之處，離散數學，計算機科學，當然作為課程與其他課程的溝通，也有其自身的特點，現在的特點進行了簡要分析，我們把它作為考試內容。
1，定義和定理。
離散數學是在上面定義的學科大量的邏輯推理。因此，對概念的理解，是我們學習這門學科的核心。基於這些概念，尤其應注意概念之間的聯系，以及這些鏈接的實體的描述，是一個很大的定理和性質。
檢查的內容是檢查的定義和定理的記憶，理解和應用。上海交通大學在2002年的問題，請問這是什麼一個兼容的關系。如果你知道它，它是容易得分的，如果你不知道，在任何情況下，沒有得分。這種類型的題目往往被忽視，因為它的低難度??的審查。其實，這是一種錯誤的認識問題，研究生入學考試的專業課程，往往直接考察一個知識點的記憶主題。對於這個話題，考生應該能夠准確地完成這方面的知識的再現。任何含糊不清和不作為將導致失去很可惜。我們建議讀者在審查時的重要知識的記憶，一定要在上述「准確，全面，完整」的標准要求自己，不能達到，這意味著不越過邊界，但也作出努力。在這一點上，在隨後的章節中，我們仍然強調，在整個審查過程中整個離散數學。
集理論的關系和功能的一部分，主要分布在離散數學的定義，是該集團的代數系統，環，域，格和布爾代數。必須有充分的記憶和理解。
如圖2所示，該方法是強。
離散數學證明，該方法是非常強的，如果你知道了什麼??證據可以很容易地允許，否則效果較差的問題。在平時的審查，要善於總結，遇到不熟悉的標題即可緩解。在這本書中，我們總結了很多解決問題的方法，供讀者。讀者應該先熟悉和使用這些方法。同時，我們也鼓勵讀者勤於思考，問題，盡可能地探索幾種解決方案。
3有限。
離散數學是「平淡」，新的標題是比較困難的，不管是什麼考試，很多的主題陳的問題，或做一些改變。 「熟讀唐詩三百首，不吟詩大聲，」如果你有一個問題集，從開始到結束，甚至當時。屆時，將發現的問題，絕大多數的測試見過或似曾相識的感覺。在這個時候，得到了良好的效果，所以它是不是一件很難的事情。
這本書是專門為研究生入學考試，適用於讀者的研究生考試復習。如果有時間，我們可以推薦兩個問題集。一個左孝凌老師寫的「離散數學理論分析，問題解決方案」，另一套三是「離散數學習題集Gengsu雲老師寫的。兩套書，大部分的問題都是一樣的，只是不同，由於某些符號和定義提出了一些不同的主題集中對賬。
現在我們分析一下什麼樣的問題，我們應該如何應付研究生入學考試。
如圖1所示，根據標題
基本的問題是檢查的記憶，簡單的證明和推理的定義。數理邏輯和集合論部分的主題集中。這些主題不需要思考的問題，很容易使用。
這部分的主題定義的存儲器似是而非的分數，以防止不小心，失去了存在的主要問題。不重視這個人會在考試中吃大虧。主合取範式，最高刑期相應的真值表相應的賦值分配，而不是編碼，它可以使許多參考書中的錯誤，也想防止由於錯誤，如數學邏輯或集合論相同的扣還不能確定，你可以省略某些步驟不重要，只要教師候選人顯然是不能省略任何步驟的推理理論，否則這是一個邏輯上的錯誤。
在研究過程中，我們也注意掌握，例如，數理邏輯和集合論是相同的記憶體或總結的方法可以結合起來，很容易比較和了解。
2，定理的應用問題
這部分是最「死」的一部分，它主要是離散數學的方法。這部分的考試內容，為廣大的會計，我們必須努力在本節中，牢記各種方法，將獲得的分數離散數學。
下面我們列出了一些應用程序：
●等價關系的證明，以證明之間的關系的性質，自反，對稱，傳遞。
偏序關系證明：證明的關系，自反的，反對稱的，自然的通。 （證明名單上的特殊關系，是兩個，只需要證明的幾個剩餘的綁定定義）。
●滿的證明：函數f：X？ Y，就是要證明，對任意y？ Y，X？ X，使得F（X）= Y。
●事件：證明函數f：X？ Y，也就是，證明了一個任意的x1×2？ X，和x1≠×2，則f（×1）≠（×2），對於任意的f（×1）=（×2），X1 = X2。
●證據收集的潛力：兩個集合的雙射的證明。有三種情況：首先證明兩個特定的等電位的構造方法，或者直接建立一個雙射，或建造兩個集合之間的事件;如果和R雙射f，??位於已知的基數，隨後推出的性質的F雙射，所以等電位;雙射？已知兩個集合和其他潛在的，然後證明其他兩組的潛力，當存在兩組，第一組已知的雙射，然後剩下的題目設置條件證明允許0，設定和N;兩套雙射。
組：證據來證明代數系統關閉，可以結合起來，統一和反。 （同樣，這部分可以被用來作為證明的概念更多的定義，所有的人都一起進行充分的）。
●證明亞組：亞群的證明定理有兩個，但如果研究明子組通常是第二個定理，它是基於<G,*>組，S是G的一個非空子集，如果對於任意元素a和b在S A * B-1？ S，然後<S,*> <G,*>群。有限子群，可以被認為是第一定理。
●證明的正規子群：如果<G,*>是一個子群，H是G，即一個子集，證明，任意一個呢？ G啊=哈，或任何H？ H A-1 * H * A？ H.這是所使用的方法中最常見的問題。
●證明：分格的網格，分格條件，並證明格證明的最大元素和最小的元素集合中的任何兩個元素的集合。
雖然該方法是在此之前的強圖論的幾個部分，但也有一定的方法，如最長的路徑的方法，構造函數方法，等等。
3個問題
現在的問題是比較難的考試開始，大部分的考生不出來，用於將比分拉開檔次標題。好了，遇到困難如何開始分析嗎？
主要有以下四個問題，讓我們一一分析：
（1）綜合問題
綜合標題覆蓋問題的幾個章節，這個標題是在群論，陪集，拉格朗日定理，正規子群，商群。結合了很多的內容，這部分是既復雜又困難的了解，在整個離散數學的困難。
拉格朗日定理結合組和等價關系，劃分，和鏈接的順序的組（分組順序部分的條款的問題是一個比較困難的問題，它是基於對解決本處），然後商群兩個組在一起，因為兩個組的元素是不同的，並因此必須概念清楚，他們是不亂群同餘關系和關系的總和，定義一個新的關系，自然同態的正規子群和商群鏈接也成為關注的焦點的證明;核定義的群同態定理給出證明的另一種方法，因為核是正規子群的正規子群...
當然，全面的問題並不只此一家，離散數學是掌握的科目，，像集合論，圖論，並等都可能成為主題綜合命題點。
綜合性的問題，我們可以有兩種方式啟動，無論設置在第一個問題，怎麼看都證明，按照該定理應用問題的焦點放在所需的格式，然後再扣除;二看問題設置，應用程序稱為的條件定理向前走了幾步，看看哪些性質更接近的ASK的性質，這個問題將得到解決。
（2）例外標題
例外的標題有兩層含義，一個概念的判定定理和性質定理，而定理的應用問題不僅在第一定理的應用問題，給出該定理的最常見的問題，所以一些考試可以測試出一個共同的定理。
第二個例外標題的另一個問題是我們通常的想法相反，如：部分給出了結論的話題，如果它是正確的，那麼請點錯了，請證明其標題通常要選擇經驗證明，這種想法。事實上，一段時間也不妨看不能指向它，因此沒有必要證明。請看下面的例子：
③棘手的問題
經常有一些書會說某一章非重點，而不是像當年進行測試，這是非常錯誤的，有害的。其結果是在讀者回顧這些章節成為另一個盲點成為一個問題。這些章節是通常的概念，定理很少，所以題目本身並不難。但不是一個很好的審查或不審查職稱考試，並因此無法獲得的分數都非常黯然。我們建議讀者進行全面的審查，除非考生院校顯然沒有測試的其餘部分必須認真檢討的內容。甚至更少的復習時間，必須這樣做，至少要了解基本概念和定義。離散數學，格和布爾代數「一章一章中的功能的基本部分是容易被忽視的問題的人。
我們平時的復習時間，無論什麼樣的課程必須不留死角主題，在這些地方，因為自己的內容的限制，但也往往是很簡單的。失落的一大遺憾。
（4）錯誤的問題
有權以更少的教師專業課程，不喜歡的專業基礎課，經過多次論證的錯誤標題也就不足為奇了（盡管很短），如果我們有一個主題，我們的判斷，推理相反的答案後，不要盲目相信的主題權威，因為它可能是一個錯誤的問題。

這里講有關的離散證據證明：
1，直接證明
的方法，直接證明方法證明是最常見的一種，它通常被用來作為證明某種類型的東西有相同的性質，或在利益的一些性質必須是某種類型的東西。
直接的證明方法，有兩種思路，從已知的條件一個結論，那就是，看到的情況，不知道如何可以得出結論，你就可以開始引入一個中間的已知條件，根據定理的條件（這一步可能沒有目的，從已知的條件，??能夠推出什麼），然後可以推出結論的條件??繼續演繹另一個的結論反推回條件見結論，我們必須首先推，一起來看看在什麼情況下（這一步可能沒有得出這個結論的目的，因為它不知道使用何種條件下），依此類推，直至已知的條件。正常情況下，這兩種想法同時進行。
2，反證法
歸謬法來證明「有一個例子或性質」，「不具有某種性質的」，「只有唯一的話題。
其方法是先假設命題的命題，問的基礎上的命題是否和已知條件推導出，直到發射的矛盾與已知條件或定理，這樣的假設是不成立的，因此，命題證明。
3，構造方法
證明「就是一個例子，或自然的主題，我們可以用反證法，假定有沒有這樣的例子和性質，然後再啟動的矛盾，也可以直接建立這樣的一個例子可以。這是類的構造方法，這個話題通常比較常見的圖論中。值得一提的是，一些題目實際上是類型的主題，但更微妙的填充，證明兩個集合等，潛在的事實是兩套雙射，我們可以假設，有沒有歸謬法，也可以直接建立一一對應。
4，數學歸納法
的主題相關的自然數，數學歸納法證明，這種類型的題目可以是遞歸的。對於這種類型的題目，這一點是要注意的感性內容的選擇。