正態分布數學期望怎麼算

Ⅰ 正態分布的期望怎麼求

Ⅱ 正態分布的數學期望推導過程！希望拍照啊！

設正態分布概率密度函數是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]

其實就是均值是u，方差是t^2

於是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.（*）

（1）求均值

對（*）式兩邊對u求導：

∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0

約去常數，再兩邊同乘以1/(√2π)t得：

∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0

把(u-x)拆開，再移項：

∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx

也就是 ∫x*f(x)dx=u*1=u

這樣就正好湊出了均值的定義式，證明了均值就是u。

（2）方差

對(*)式兩邊對t求導：∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π

移項：∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2

也就是 ∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2

(2)正態分布數學期望怎麼算擴展閱讀：

由於一般的正態總體其圖像不一定關於y軸對稱，對於任一正態總體，其取值小於x的概率。只要會用它求正態總體在某個特定區間的概率即可。

為了便於描述和應用，常將正態變數作數據轉換。將一般正態分布轉化成標准正態分布。

服從標准正態分布,通過查標准正態分布表就可以直接計算出原正態分布的概率值。故該變換被稱為標准化變換。（標准正態分布表：標准正態分布表中列出了標准正態曲線下從-∞到X（當前值）范圍內的面積比例。）

Ⅲ 正態分布期望如何算

這個計算有些麻煩的，不過只要熟悉了反常積分的解題技巧巧妙地構造二重積分(或用我們熟知的貝塔函數)就很容易解出來了

要計算正態分布的期望就要遇到解決積分：∫[(-∞，+∞)，e^(-x^2)]dx
由函數的奇偶性知：∫[(-∞，+∞)，e^(-x^2)]dx=2∫[(0，+∞)，e^(-x^2)]dx
記A=∫[(0，+∞)，e^(-x^2)]dx，
我們先來計算：A^2=∫[(0，+∞)，e^(-x^2)]dx∫[(0，+∞)，e^(-y^2)]dy
=∫[(0，+∞)]dx∫[(0，+∞)，e^(-x^2-y^2)dy
作變數替換：x=rcosθ，y=rsinθ，在上式可化為
A^2=∫[(0，π/2)]dθ∫[(0,+∞)，re^(-r^2)]dr=π/4
那麼A=(√π)/2
所以：∫[(-∞，+∞)，e^(-x^2)]dx=2A==√π

那麼：E(X)=1/[σ√（2π）]∫[(-∞，+∞)，xe^{[-(x-µ)^2)]/(2σ^2)}dx
=1/[σ√（2π）]∫[(-∞，+∞)，(x-µ)e^{[-(x-µ)^2)]/(2σ^2)}dx
+ µ/[σ√（2π）]∫[(-∞，+∞)，e^{[-(x-µ)^2)]/(2σ^2)}dx
第一個積分算得0，第二個積分根據上面的結論得 µ，
所以E(X)= µ

還可以用根據第一類歐拉積分與第二類歐拉積分的關系來求解

Ⅳ 正態分布的期望和方差是什麼

在概率論和統計學中，數學期望(mean)（或均值，亦簡稱期望）為試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和，是最基本的數學特徵之一。

正態分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分布，在統計學的許多方面有著重大的影響力。若隨機變數X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的高斯分布，記為N(μ，σ^2)。

其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標准差σ決定了分布的幅度。因其曲線呈鍾形，因此人們又經常稱之為鍾形曲線。我們通常所說的標准正態分布是μ = 0,σ = 1的正態分布。

若隨機變數X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的正態分布，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標准差σ決定了分布的幅度。當μ = 0,σ = 1時的正態分布是標准正態分布。

在統計描述中，方差用來計算每一個變數（觀察值）與總體均數之間的差異。為避免出現離均差總和為零，離均差平方和受樣本含量的影響，統計學採用平均離均差平方和來描述變數的變異程度。

由於一般的正態總體其圖像不一定關於y軸對稱，對於任一正態總體，其取值小於x的概率。只要會用它求正態總體在某個特定區間的概率即可。

為了便於描述和應用，常將正態變數作數據轉換。將一般正態分布轉化成標准正態分布。

對於連續型隨機變數X，若其定義域為（a，b），概率密度函數為f（x），連續型隨機變數X方差計算公式：D（X）=（x-μ）^2 f（x） dx

方差刻畫了隨機變數的取值對於其數學期望的離散程度。（標准差、方差越大，離散程度越大）

若X的取值比較集中，則方差D（X）較小，若X的取值比較分散，則方差D（X）較大。

因此，D（X）是刻畫X取值分散程度的一個量，它是衡量取值分散程度的一個尺度。