數學模型如何體現科學探究的

⑴ 科學的四步原理

科學的四步原理和具體解析拆螞如下：
科學原理和方法論實質上是哲學上的方法論原理在各門具體的自然科學中的應用。作為科學，它本身又構成了一門軟科學，它是為各門具體自然科學提供方法、原則、手段、途徑的最一般的科學。自然科學作為一種高級復雜的知識形態和認識形式，是在人類已有知識的基礎上，利用正確的思維方法、研究手段和一定的實踐活動而獲得的，它是人類智慧和創造性勞動的結晶。因此，在科學研究、科學發明和發現的過程中，是否擁有正確的科學研究方法，是能否對科學事業作出貢獻的關鍵。正確的科學方法可以使研究者根據科學發展的客觀規律，確定正確的研究方向；可以為研究者提供研究的具體方法；可以為科學的新發現、新發明提供啟示和借鑒。因此現代科學研究中尤其需要注重科學方法論的研究和利用，這也就是我們要強調指出的一個問題。 一、科學實驗法 科學實驗、生產實踐和社會實踐並稱為人類的三大實踐活動。實踐不僅是理論的源泉，而且也是檢驗理論正確與否的惟一標准，科學實驗就是自然科學理論的源泉和檢驗標准。特別是現代自然科學研究中，任何新的發現、新的發明、新的理論的提出都必須以能夠重現的實驗結果為依據，否則就不能被他人所接受，甚至連發表學術論文的可能性都會被取締。即便是一個純粹的理論研究者，他也必須對他所關注的實驗結果，甚至實驗過程有相當深入的了解才行。因此，可以說，科學實驗是自然科學發展中極為重要的活動和研究方法。 (一)科學實驗的種類 科學實驗有兩種含義：一是指探索性實驗，即探索自然規律與創造發明或發現新東西的實驗，這類實驗往往是前人或他人從未做過或還未完成的研究工作所進行的實驗；二是指人們為了學習、掌握或教授他人已有科學技術知識所進行的實驗，如學校中安排的實驗課中的實驗等。實際上兩類實驗是沒有嚴格界限的，因為有時重復他人的實驗，也可能會發現新問題，從而通過解決新問題而實現科技創新。但是探索性實驗的創新目的明確，因此科技創新主要由這類實驗獲得。 從另一個角度，又可把科學實驗分為以下類型。 定性實驗：判定研究對象是否具有某種成分、性質或性能；結構是否存在；它的功效、技術經濟水平是否達到一定等級的實驗。一般說來，定性實驗要判定的是「有」或「沒有」、「是」或「不是」的，從實驗中給出研究對象的一般性質及其他事物之間的聯系等初步知識。定性實驗多用於某項探索性實驗的初期階段，把注意力主要集中在了解事物本質特性的方面，它是定量實驗的基礎和前奏。 定量實驗：研究事物的數量關系的實驗。這種實驗側重於研究事物的數值，並求出某些因素之間的數量關系，甚至要給出相應的計算公式。這種實驗主要是採用物理測量方法進行的，因此可以說，測量是定量實驗的重要環節。定量實驗一般為定性實驗的後續，是為了對事物性質進行深入研究所應該採取的手段。事物的變化總是遵循由量變到質變，定量實驗也往往用於尋找由量變到質變關節點，即尋找度的問題。 驗證性實驗：為掌握或檢驗前人或他人的已有成果而重復相應的實驗或驗證某種理論假說所進行的實驗。這種實驗也是把研究的具體問題向更深層次或更廣泛的方面發展的重要探索環節。 結構及成分分析實驗：它是測定物質的化學組分或化合配圓物的原子或原子團的空間結構的一種實驗。實際上成分分析實驗在醫學上也經常採用，如血、尿、大便的常規化驗分析和特種化驗分析等。而結構分析則常用於有機物的同分異構現象的分析。 對照比較實驗：指把所要研究的對象分成兩個或兩個以上的相似組群。其中一個組群是已經確定其結果的事物，作為對照比較的標准，稱為「對照組」，讓其自然發展。另一組群是未知其奧秘的事物，作為實驗研究對象，稱為實驗組，通過一定的實驗步驟，判定研究對象是否具有某種性質。這類實驗在生物學和醫學研究中是經常採用的，如實驗某種新的醫療方案或葯物及營養晶的作用等。 相對比較實驗：為了尋求兩種或兩種以上研究對象之間的異同、特性等而設計的實驗。即把兩種或兩種以上的實驗單元同時進行，並作相對比較。這種方培御塌法在農作物雜交育種過程中經常採用，通過對比，選擇出優良品種。 析因實驗：是指為了由已知的結果去尋求其產生結果的原因而設計和進行的實驗。這種實驗的目的是由果索因，若果可能是多因的，一般用排除法處理，一個一個因素去排除或確定。若果可能是雙因的，則可以用比較實驗去確定。這就與謀殺案的偵破類似，把懷疑對象一個一個地排除後，逐漸縮小懷疑對象的范圍，最終找到謀殺者或主犯，即產生結果的真正原因或主要原因。 判決性實驗：指為驗證科學假設、科學理論和設計方案等是否正確而設計的一種實驗，其目的在於作出最後判決。如真空中的自由落體實驗就是對亞里士多德錯誤的落體原理(重物體比輕物體下落得快)的判決性實驗。 此外，科學實驗的分類中還包括中間實驗、生產實驗、工藝實驗、模型實驗等類型，這些主要與工業生產相關。 (二)科學實驗的意義和作用 1．科學實驗在自然科學中的一般性作用 人類對自然界認識的不斷深化過程，實際是由人類科技創新(或稱為知識創新)的長河構成的。科學實驗是獲取新的、第一手科研資料的重要和有力的手段。大量的、新的、精確的和系統的科技信息資料，往往是通過科學試驗而獲得的。例如，「發明大王」愛迪生，在研製電燈的過程中，他連續13個月進行了兩千多次實驗，試用了1600多種材料，才發現了白金比較合適。但因白金昂貴，不宜普及，於是他又實驗了6 000多種材料，最後才發現炭化了的竹絲做燈絲效果最好。這說明，科學實驗是探索自然界奧秘和創造發明的必由之路。 科學實驗還是檢驗科學理論和科學假說正確與否的惟一標准。例如，科學已發現宇宙間存在四種相互作用力，它們之間有沒有內在聯系呢?愛因斯坦提出「統一場論」，並且從1925年開始研究到1955年去世為止，一直沒有得到結果，因此許多專家懷疑「統一場」的存在。但美國物理學家溫伯格和巴基斯坦物理學家薩拉姆由規范場理論給出了弱相互作用和電磁相互作用的統一場，並得到了實驗證明而被公認。這表明理論正確的標準是實驗結果的驗證，而不是權威。 科學實驗是自然科學技術的生命，是推動自然科學技術發展的強有力手段，自然界的奧秘是由科學實驗不斷揭示的，這一過程將永遠不會完結。 2．科學實驗在自然科學中的特殊作用 自然界的事物和自然現象千姿百態，變化萬千，既千差萬別，又千絲萬縷的相互聯系著，這就構成錯綜復雜的自然界。因此在探索自然規律時，往往會因為各種因素糾纏在一起而難以分辨。科學實驗特殊作用之一是：它可以人為地控制研究對象，使研究對象達到簡化和純化的作用。例如，在真空中所做的自由落體實驗，羽毛與鐵塊同時落下，其中就排除了空氣阻力的干擾，從而使研究對象大大的簡化丁。 科學實驗可以憑借人類已經掌握的各種技術手段，創造出地球自然條件下不存在的各種極端條件進行實驗，如超高溫、超高壓、超低溫、強磁場、超真空等條件下的實驗。從這些實驗中可以探索物質變化的特殊規律或制備特殊材料，也可以發生特殊的化學反應。 科學實驗具有靈活性，可以選取典型材料進行實驗和研究，如選取超純材料、超微粒(納米)材料進行實驗。生物學中用果蠅的染色體研究遺傳問題同樣體現了科學實驗的靈活性。 科學實驗還具有模擬研究對象的作用，如用小白鼠進行的病理研究等。科學實驗可以為生產實踐提供新理論、新技術、新方法、新材料、新工藝等。一般新的工業產品在批量生產前都是在實驗室中通過科學實驗製成的，晶體管的生產就是如此。 科學實驗就是自然科學研究中的實踐活動，尊重科學實驗事實，就是堅持唯物主義觀點，無視實驗事實，或在實驗結果中弄虛作假，都是唯心主義的作法，最終必然碰壁。任何自然科學理論都必須以豐富的實驗結果中的真實信息為基礎，經過分析、歸納，從而抽象出理論和假說來。一個科學工作者必須腳踏實地，這個實地就是科學實驗及其結果，因此，唯物主義思想是每一個自然科學工作者都應該具備的基本素質之一。 二、數學方法 數學方法有兩個不同的概念，在方法論全書中的數學方法指研究和發展數學時的思想方法，而這里所要闡述的數學方法則是在自然科學研究中經常採用的一種思想方法，其內涵是；它是科學抽象的一種思維方法，其根本特點在於撇開研究對象的其他一切特性，只抽取出各種量、量的變化及各量之間的關系，也就是在符合客觀的前提下，使科學概念或原理符號化、公式化，利用數學語言（即數學工具）對符合進行邏輯推導、運算、演算和量的分析，以形成對研究對象的數學解釋和預測，從而從量的方面揭示研究對象的規律性。這種特殊的抽象方法，稱為數學方法。 (二)運用數學方法的基本過程 在科學研究中，經常需要進行科學抽象，並通過科學抽象，運用數學方法去定量揭示研究對象的規律性，其基本過程是：(1)先將研究的原型抽象成理想化的物理模型，也就是轉化為科學概念；(2)在此基礎上，對理想化的物理模型進行數學科學抽象(科學抽象的一種形式)，使研究對象的有關科學概念採用符號形式的量化，達到初步建立起數學模型，即形成理想化了的數學方程式或具體的計算公式；(3)對數學模型進行驗證，即將其略加修正後運用到原型中去，對其進行數學解釋，看其近似的程度如何：近似程度高，說明這是一個較好的數學模型，反之，則是一個較差的數學模型，需要重新提煉數學模型。這一基本過程可用簡圖表示如下： 數學方法又稱數學建模法，之所以其第一步要抽象為物理模型，這是因為數學方法是一種定量分析方法，而自然科學中的量絕大多數都是物理量，因此數學模型實質表達的是各物理量之間的相互關系，而且這種關系需要表達成數學方程式或計算公式。而驗證過程則通常為研究對象中各種物理量的測定(通過實驗)過程。因此，數學建模過程的第一步又常稱為物理建模，換言之，就是說沒有物理建模就難以進行數學建模；但是，若只有物理建模，就難以形成理論性的方程式或計算公式，就難以達到定量分析研究的目的。 (二)數學方法的特點 l.高度的抽象性：各門自然科學乃至社會科學雖然都是抽象的科學，都具有抽象性，可是數學的抽象程度更高，因為在數學中已經沒有了事物的其它特徵，僅存在數和符號，它只表明符號之間的數量關系和運算關系等。也只有這樣才能定量地揭示出研究對象的規律性。 2.高度的精確性：這是因為可以通過數學模型進行精確的計算，而且只有精確(即近似程度高)的數學模型才是人們最終所需要的數學模型。 3．嚴密的邏輯性：這是因數學本身就是一門邏輯嚴謹的科學，同時運用數學方法解決和研究自然規律時，一般總是在已掌握大量的、充分和必要的數據(即實驗信息)的基礎上，並首先運用邏輯推理方法建立物理模型之後才去建立數學模型的，因此數學模型中必然會包含更加嚴密的邏輯性。 4．充滿辯證特徵：因為在數學模型中的量往往是一個符號，如F＝ma就代表了牛頓第二定律，這其中的三個量的大小既是可以變化的，又是相互關聯的。因此數學模型本來就體現了辯證關系的兩大主要特徵：變化特徵和聯系特徵。 5．具有應用的廣泛性：華羅庚教授曾指出：「宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學」。這是因為世上萬物的變化無不由運動而產生，無不遵從由量變到質變的規律性，因此只有通過定量研究才能更深刻揭示自然規律，才能更准確的把握住量變到質變的關鍵——度的問題。 6．隨機性：隨機性是指偶然性中有必然性，實驗信息是偶然的，通過數學建模，從多個偶然數據(分立的)中往往可以給出必然的結果(量之間連續變化的關系)，即規律性的結論。 (三)數學方法的種類 1．自然事物和現象的分類 數學方法及數學建模的應用依賴於自然事物和現象的性質，而自然事物和現象的種類繁多，數量是無限的。在大幹世界中，無法找到兩個完全一樣的東西，這是指再相仿的東西之間也必然會有差別。因此定量研究事物規律性時，數學模型不可能是針對某一個別事物而建立的，而總是針對同一類事物和現象所具有的共同規律性而建立的。這就要求：根據數學建模的需要，按一定的因素把事物進行分類，以便更方便地運用數學方法。概括起來，自然界中多種多樣的事物和現象一般可分為四大類：第一類是有確定因果關系的，稱為必然性的自然事物和自然現象；第二類是沒有確定因果關系的，稱為隨機的自然事物和現象；第三類是界限不明白，稱為模糊的自然事物和自然現象；第四類是突變的自然事物和自然現象。必然事物和現象就如同種豆得豆、種瓜得瓜一樣，因果關系完全確定。而隨機事物和現象就如同氣體分子的相互碰撞一樣，其中某兩個分子是否很快會發生碰撞，沒有必然性，但氣體分子間確實經常發生碰撞，所以可以說分子間發生碰撞是必然的，但某兩個分子的碰撞卻是隨機的。對模糊的事物和自然現象的理解，也可以用一個實例說明。許多國界都是以河流的主河道中線劃分的，中線究竟在哪裡，只能是一個模糊的界限，無法嚴格劃分。因為河水有多的時候，也有少的時候，洞水在流動，波浪在不斷地拍打著河岸，因此不可能進行絕對精確的測量，所以其界限是模糊的。地震的突然發生、橋梁的突然斷裂折墜等則屬於突然性事物和現象。 2．數學方法的分類 按照自然事物和現象的類型，根據理論計算和解決實際問題的需要，人們創立了許多種數學方法，概括起來主要有以下幾種：常量數學方法：古今初等數學所運用的方法，便是常量數學方法，主要有算術法、代數法、幾何法和三角函數法。常量數學方法被用於定量揭示和描述客觀事物在發展過程中處於相對靜止狀態時的數量關系和空間形式(或結構)的規律性。變數數學方法：它是定量揭示和描述客觀事物運動、變化、發展過程中的各量變化與量變之間的關系的一種數學方法。其中最基本的是解析幾何法和微積分法。解析幾何法由數學家迪卡爾創立，是用代數方法研究幾何圖形特徵的一種方法。微積分(通常稱為高等數學)方法是牛頓和萊布尼茨創立的。這種方法主要應用於求某種變化率(如物體運行速率、化學反應速率等)；求曲線(曲面)切線(切平面)；求函數極值；求解振動方程和場方程等問題。 必然性數學方法：這種方法應用於必然性自然事物和現象。描述必然性自然事物和現象的數學工具，一般是方程式或方程組。其中主要有：代數方程、函數方程、常微分方程、偏微分方程和差分方程等。利用方程可以從已知數據，在遵循推理規律和規則的條件下，推算出未知數據，如這種方法可以根據熱力學方程計算出煉鋼爐各部分的溫度分布。因而可通過理論計算，確定和選取煉鋼爐的最佳設計方案。 隨機性數學方法：指定量研究、揭示和描述隨機事物和隨機現象領域的規律性的一種數學方法。它主要含概率論方法和數理統計方法。 突變的數學方法：指定量研究只揭示和描述突變事物和突變現象規律性的一種數學方法。它是20世紀70年代由法國數學家托姆創立的。托姆用嚴密的邏輯和數學推導，證明在不超過四個控制因素的條件下，存在著七種不連續過程的突變類型，它們分別是：折轉型，尖角型，燕尾型，蝴蝶型，雙曲臍點型，橢圓臍點型，拋物臍點型。這些突變數學方法和突變理論，對於解決地質學研究領域中的復雜生突變事件(如地震預測)和現象十分有用。有專家預言：突變的數學方法，可能成為解決地質學領域復雜問題的一種強有力的數學工具。 模糊性數學方法：指用定量方法去研究、揭示和描述模糊事物和模糊現象和規律性的一種數學方法。自然界存在著大量模糊事物、模糊現象和模糊信息，無法用精確數學方法處理。模糊數學方法的創立，才使人類找到了處理該類問題的有效方法，人們稱這種方法的效果是「模糊中見光明」。「模糊數學」並非數學的模糊，這種數學本身仍是邏輯嚴密的精確數學，只是因用於處理模糊事物而得名。 公理化方法：指從初始科學概念和一些不證自明的數學公理出發遵循邏輯思維規律和推理規則，運用正確邏輯推理形式，對一些相關問題進行處理，從而建立起數學模型的一種特殊方法。公理化方法由古希臘數學家歐幾里得首創，並構成了歐氏幾何學理論體系，公理化方法的核心是研究如何把一種科學理論公理化，進而建成一個公理化理論體系。這種體系中首先建立公理，即把某學科中一些初始科學概念公理化，然後由公理推演出定理及其他，從而構成一個公理化理論體系。 (四)提煉數學模型的一般步驟 所謂提煉數學模型，就是運用科學抽象法，把復雜的研究對象轉化為數學問題，經合理簡化後，建立起揭示研究對象定量的規律性的數學關系式(或方程式)。這既是數學方法中最關鍵的一步，也是最困難的一步。提煉數學模型，一般採用以下六個步驟完成： 第一步：根據研究對象的特點，確定研究對象屬哪類自然事物或自然現象，從而確定使用何種數學方法與建立何種數學模型。即首先確定對象與應該使用的數學模型的類別歸屬問題，是屬於「必然」類，還是「隨機」類；是「突變」類，還是「模糊」類。 第二步：確定幾個基本量和基本的科學概念，用以反映研究對象的狀態。這需要根據已有的科學理論或假說及實驗信息資料的分析確定。例如在力學系統的研究中，首先確定的摹本物理量是質主(m)、速度(v)、加速度(α)、時間(t)、位矢(r)等。必須注意確定的基本量不能過多，否則未知數過多，難以簡化成可能數學模型，因此必須詵擇出實質性、關鍵性物理量才行。 第三步：抓住主要矛盾進行科學抽象。現實研究對象是復雜的，多種因素混在一起，因此，必須變復雜的研究對象為簡單和理想化的研究對象，做到這一點相當困難，關鍵是分清主次。如何分清主次只能具體問題具體分析，但也有兩條基本原則：一是所建數學模型一定是可能的，至少可給出近似解；二是近似解的誤差不能超過實際問題所允許的誤差范圍。 第四步：對簡化後的基本量進行標定，給出它們的科學內涵。即標明哪些是常量，哪些是已知量，哪些是待求量，哪些是矢量，哪些是標量，這些量的物理含義是什麼? 第五步：按數學模型求出結果。 第六步：驗證數學模型。驗證時可根據情況對模型進行修正，使其符合程度更高，當然這以求原模型與實際情況基本相符為原則。 (五)數學方法在科學中的作用 1．數學方法是現代科研中的主要研究方法之一 數學方法是各門自然科學都需要的一種定量研究方法，尤其在當今世界科學技術飛速發展的時代，計算機已得到廣泛應用，即使一個極其復雜的偏微分方程的求解問題也同樣可以通過離散化手段進行數字求解。如航磁法、地震法探礦的數據處理問題就異常復雜，其數學模型就是一個偏微分波動(場)方程。當然此類問題都需要在超大型專門計算機構進行的。正因為如此，許多過去無法進行定量研究的問題，現在一般都可以通過數學建模進行定量研究。當然，研究中的關鍵就是如何建模的問題了。同時，只有通過定量研究才能更深刻、更准確地揭示自然事物和自然現象內在的規律性。否則，一切科學理論的建立和理論研究的精確化就難以實現。 馬克思曾指出：「一種科學只有當它達到了能夠運用數學時，才算真正發展了」。這正如我國數千年的傳統中葯，因其葯效及有效成分沒能達到定量研究的程度，因而其發展遲緩。當今世界各主要國家都在對中國的中葯進行定量分析研究，某些中葯已被它國製成精品並擁有專利權向我國傾銷，這充分體現了定量研究的重要意義。 2．數學方法為多門科研提供了簡明精確的定量分析和理論計算方法 數學語言(方程式或計算公式)是最簡明和最精確的形式化語言，只有這種語言才能給出定量分析的理論和計算方法，通過理論計算給出的信息，可以給人們提供某種預測、某種預言。這種預示性的信息，既可能帶來某種發現、發明和創造，也可能導致極大的經濟和社會效益，從而使人們格外地感受到它的分量。 3．數學方法為多門科學研究提供邏輯推理、辯證思維和抽象思維的方法 數學作為自然科學研究的可靠工具，是因為它的理論體系是經過嚴密邏輯推證得到的，因此它也為科學研究提供了眾多邏輯推理方法；同時數學也是一種辯證思維和抽象思維的語言，因此也同樣為科學研究提供了辯證思維和抽象思維的方法。 三、系統科學方法 系統科學是關於系統及其演化規律的科學。盡管這門學科自20世紀上半葉才產生，但由於其具有廣泛的應用價值，發展十分迅速，現已成為一個包括眾多分支的科學領域。它包括有：一般系統論、控制論、資訊理論、系統工程、大系統理論、系統動力學、運籌學、博弈論、耗散結構理論、協同學、超循環理論、一般生命系統論、社會系統論、泛系分析、灰色系統理論等分支。這些分支，各自研究不同的系統。自然界本身就是一個無限大、無限復雜的系統，在自然界中包括著許許多多不同的系統，系統是一種普遍存在。一切事物和過程都可以看作組織性程度不同的系統，從而使系統科學的原理具有一般性和較高的普遍性。利用系統科學的原理，研究各種系統的結構、功能及其進化的規律，稱為系統科學方法，它已得到各研究領域的廣泛應用，目前尤其在生物學領域(生態系統)和經濟領域(經濟管理系統)中的應用最為引人注目。系統科學研究有兩個基本特點：其一是它與工程技術、經濟建設、企業管理、環境科學等聯系密切，具有很強的應用性；其二是它的理論基礎不僅是系統論，而且還依賴於各有關的專門學科，與現代一些數學分支學科有密切關系。正因為如此，人們認為系統科學方法一般指研究系統的數學模型及系統的結構和設計方法。因此，我們下面將僅就上述意義上系統科學方法作簡要論述。 (一)系統科學方法的特點和原則 所謂系統科學方法，是指用系統科學的理論和觀點，把研究對象放在系統的形式中，從整體和全局出發，從系統與要素、要素與要素、結構與功能以及系統與環境的對立統一關素中，對研究對象進行考察、分析和研究，以得到最優化的處理與解決問題的一種科學研究方法。系統科學方法的特點和原則主要有：整體性、綜合性、動態性、模型化和最優化五個方面。 (1)整體化特點和原則：這是系統科學方法的首要特點和原則。所謂整體性特點和原則，是指把研究對象作為一個有機的整體系統去看待。雖然系統中每一個要素，就其單獨功能而言是有限的，但卻是系統所必有的要素。就整體系統而言，缺少了任何一個要素都難以發揮整個系統的功能。這正如一輛汽車一樣，它是一個完整的系統，任何一個部件出現缺損都可能影響整個系統功能的發揮，甚至一個微不足道的螺絲釘的缺損都可能造成某種事故的發生。因此必須把研究對象作為有了質變的有機整體去看待。這里的計算關系應該是1+1>2，這就如同「二人一條心，黃土變成金』』的格言所表示的含義類似，即系統的整體功能大於各要素的功能之和。這被稱為系統各要素功能的非加性規律。這一規律性要求人們在對系統的研究中，必須從有機整體的角度去探討系統與組成它的各要素之間的關系，而且另一方面，需要研究系統與周圍環境之間的聯系和關系，從有機整體的角度去發揮系統的功能，把握系統的性質與運動規律。 (2)綜合性特點和原則：這一特點和原則包括兩方面的含義：一方面指客觀事物和工程都是一個系統，是由諸多要素按一定規律組成的復雜的綜合體，有其特殊的性質、規律和功能；另一方面指，對任何客觀事物和具體系統的研究，都必須進行綜合考察，即從它的組成部分、結構、功能及環境的相互聯系、相互作用和相互制約的諸方面進行綜合研究。而系統的最優化目標就是根據系統科學方法對研究對象進行綜合考察和研究的結果來確定的。 (3)動態性特點和原則：指在物質系統的動態過程中揭示它們的性質、規律和功能。因為客觀世界中實際存在的一切系統，無論是在內部的各要素之間，或系統與環境之間，都存在著物質、能量、信息的流通和交換，因此實際系統都處於動態過程之中，而不是處於靜態，因此就必須堅持動態性原則。 （4）模型化特點和原則：指的是在考察比較大且復雜的系統(如大型工程項目)時，因復雜系統因素眾多，關系復雜，一時難以完全把所有因素和關系都搞清楚，甚至有的因素也沒有必要完全弄清楚，而開始研究和處理問題時又往往要求進行定量分析，這就需要建立數學模型，即將系統加以簡化抽象為理想模型，從而通過對模型的 實驗、研究，達到較好地解決實際問題的目的。 (5)最優化原則：指在運用系統科學方法解決實際問題時，從多個可能的方案中選擇出最佳方案，使系統的運行處於最佳狀態，達到發揮最優功能的目標。按照最優化原則，系統內部各要素之間與系統和環境之間的聯系或結構都必須處於最優狀態，以發揮系統的特殊功能。 (二)常用的幾種系統科學方法(簡) 1 系統分析法 2 信息方法 3 功能模擬方法 4 黑箱方法 5 整體優化方法

⑵ 如何在中學數學教學中滲透數學建模思想

中學數學教學中數學建模思想的滲透
/鄭來兵
[導讀]新課程標准明確提出中學數學要講背景、講應用。
一、數學建模與數學建模意識
在實際工作中遇到的問題，完全純粹的只用現成的數學知識就能解決的問題幾乎是沒有的。其中的數學奧妙不是明擺在那裡等著你去解決，而是暗藏在深處等著你去發現。也就是說，你要對復雜的實際問題進行分析，發現其中可以用數學語言來描述的關系或規律，把這個實際問題化成一個數學問題，這就稱為數學模型，建立數學模型的這個過程就稱為數學建模。著名數學家懷特海曾說：「數學就是對於模式的研究」。所謂數學模型，是指對於現實世界的某一特定研究對象，為了某個特定的目的，在做了一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，並通過數學語言表述出來的一個數學結構。數學中的各種基本概念，都以各自相應的現實原型作為背景而抽象出來的數學概念。各種數學公式、方程式、定理、理論體系等等，都是一些具體的數學模型。 舉個簡單的例子，二次函數就是一個數學模型，很多數學問題甚至實際問題(自由落體運動)都可以轉化為二次函數來解決。而通過對問題數學化，模型構建，求解檢驗使問題獲得解決的方法稱之為數學模型方法。我們的數學教學說到底實際上就是教給學生前人給我們構建的一個個數學模型和怎樣構建模型的思想方法，以使學生能運用數學模型解決數學問題和實際問題。由此，我們可以看到，培養學生運用數學建模解決實際問題的能力，關鍵是把實際問題抽象為數學問題，必須首先通過觀察分析、提煉出實際問題的數學模型，然後再把數學模型納入某知識系統去處理，這不但要求學生有一定的抽象能力，而且要有相當的觀察、分析、綜合、類比能力。學生這種能力的獲得不是一朝一夕的事情，需要把數學建模意識貫穿在教學的始終，也就是要不斷地引導學生用數學思維的觀點去觀察、分析和表示各種事物的關系、空間關系和數學信息，從紛繁復雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數學模型，進而達到用數學模型來解決實際問題，使數學建模意識成為學生思考問題的方法和習慣。具體的講，數學模型方法的操作程序大致上為：
??? 實際問題→分析抽象→建立模型→數學問題 ?????????↑????????????????????????↓ ???????檢驗 ← 實際解 ← 釋譯 ← 數學解
二、在數學建模活動中要充分重視學生的主體性
提高學生的主體意識是新課程改革的基本要求。在課堂教學中真正落實學生的主體地位，讓學生真正成為數學課堂的主人，促進學生自主地發展，是現代數學課堂的重要標志，是高中數學素質教育的核心思想，也是全面實施素質教育的關鍵。中學數學建模活動旨在培養學生的探究能力和獨立解決問題的能力，學生是建模的主體，學生在進行建模活動過程中表現出的主體性表現為自主完成建模任務和在建模活動中的互相協作性。中學生具有好奇、好問、好動、好勝、好玩的心理特點，思維開始從經驗型走向理論型，出現了思維的獨立性和批判性，表現為喜歡獨立思考、尋根究底和質疑爭辯。因此，教師在課堂上應該讓學生充分進行自主體驗，在數學建模的實踐中運用這些數學知識，感受和體驗數學的應用價值。教師可作適當的點撥指導，但要重視學生的參與過程和主體意識，不能越俎代庖，目的是提高學生進行探究性學習的能力、提高學生學習數學的興趣。 三、處理好數學建模的過程與結果的關系
我國的中學數學新課程改革已進入全面實施階段。新的高中數學課程標准強調要拓寬學生的數學知識面，改善學生的學習方式，關注學生的學習情感和情緒體驗，培養學生進行探究性學習的習慣和能力。數學建模活動是一種使學生在探究性活動中受到數學教育的學習方式，是運用已有的數學知識解決問題的教與學的雙邊活動，是學生圍繞某個數學問題自主探究、學習的過程。新的高中數學課程標准要求把數學探究、數學建模的思想以不同的形式滲透在各模塊和專題內容之中，突出強調建立科學探究的學習方式，讓學生通過探究活動來學習數學知識和方法，增進對數學的理解，體驗探究的樂趣。比如正方體截面切割的形狀，用一個平面去截正方體，截面的形狀是什麼樣的？
學習目標：通過想像和操作，探究正方體截面的形狀。 問題串：
1.給出分類的原則（例如：按截面圖形的邊數分類）。按照你的分類原則，能得到多少種不同的截面？設計一種方案，找到截得這些形狀截面的方法，並在正方體中畫出示意圖。
2.如果截面是三角形，你認為可以截出幾種不同的三角形？ 3.如果截面是四邊形，你認為可以截出幾種不同的四邊形？ 4.證明上面的結果。
5.截面多邊形的邊數最多有幾條？請說明理由。
6.截面可能是正方形嗎？可能有幾種？畫出示意圖。 7.如果截面是三角形，其面積最大是多少？畫出示意圖。 8.你還能提出哪些相關的數學問題？
這個問題就可以根據不同的學生提出不同的要求，如：利用土豆、蘿卜或橡皮泥通過切割實驗進行研究；用透明材料製作一個中空的正方體，留出注水口，注入有色水，通過觀察水面形狀的方式進行實驗研究；利用電腦或圖形計算器。藉助某些軟體（如幾何畫板，Z+Z智能平台）進行模擬實驗研究；空間想像；證明你的結論。
四、數學建模教學與素質教育 數學建模問題貼近實際生活，往往一個問題有很多種思路，有較強的趣味性、靈活性，能激發學生的學習興趣，可以觸發不同水平的學生在不同層次上的創造性，使他們有各自的收獲和成功的體驗。由於給了學生一個縱情創造的空間，就為學生提供了展示其創造才華的機會，從而促進學生素質能力的培養和提高，對中學素質教育起到積極推動作用。
1.構建建模意識，培養學生的轉換能力
恩格斯曾說過：「由一種形式轉化為另一種形式不是無聊的游戲而是數學的杠桿，如果沒有它，就不能走很遠。」由於數學建模就是把實際問題轉換成數學問題，因此如果我們在數學教學中注重轉化，用好這根有力的杠桿，對培養學生思維品質的靈活性、創造性及開發智力、培養能力、提高解題速度是十分有益的。學生對問題的研究過程，無疑會激發其學習數學的主動性，且能開拓學生的創造性思維能力，養成善於發現問題、獨立思考的習慣。教材的每一章都由一個有關的實際問題引入，可直接告訴學生，學了本章的教學內容及方法後，這個實際問題就能用數學模型得到解決，這樣，學生就會產生創新意識。
如新教材「三角函數」章前提出：有一塊以O點為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個內接矩形ABCD辟為綠冊，使其冊邊AD落在半圓的直徑上，另兩點BC落在半圓的圓周上，已知半圓的半徑長為a，如何選擇關於點O對稱的點A、D的位置，可以使矩形面積最大？ 這是培養創新意識及實踐能力的好時機，要注意引導，對所考察的實際問題進行抽象分析，建立相應的數學模型，並通過新舊兩種思路方法提出新知識，激發學生的求知慾，但不可挫傷學生的積極性，失去「亮點」。
這樣通過章前問題教學，學生明白了數學就是學習、研究和應用數學模型，同時培養學生追求新方法的意識及參與實踐的意識。因此，要重視章前問題的教學，還可據實際需要及學生實踐活動中發現的問題，補充一些實例，強化這方面的教學，使學生在日常生活及學習中重視數學，培養學生的數學建模意識。 2.注重直覺思維，培養學生的想像能力
眾所周知，數學史上不少的數學發現都來源於直覺思維，如笛卡爾坐標系、歌德巴赫猜想等，應該說它們不是任何邏輯思維的產物，而是數學家通過觀察、比較、領悟、突發靈感發現的。通過數學建模教學，使學生有獨到的見解和與眾不同的思考方法，如善於發現問題，溝通各類知識之間的內在聯系等是培養學生創新思維的核心。七年級的教材里，以游戲的方式編排了簡單而有趣的概率知識，如轉盤游戲，扔硬幣來驗證出現正面或反面的概率等等。通過有趣的游戲，激起了學生學習的興趣，並了解到概率統計知識在社會中應用的廣泛性和重要性。 3.灌輸「構造」思想，培養學生的創新能力
「一個好的數學家與一個蹩腳的數學家之間的差別，就在於前者有許多具體的例子，而後者則只有抽象的理論。」我們前面講到，「建模」就是構造模型，但模型的構造並不是一件容易的事，又需要有足夠強的構造能力，而學生構造能力的提高則是學生創造性思維和創造能力的基礎：創造性地使用已知條件，創造性地應用數學知識。 當然，數學建模在現在的中學數學教育中的地位和作用更加重要。但究竟如何在中學搞好數學建模活動，更好地發揮數學建模的作用，仍將是一個漫長而曲折的過程，是我們廣大中學教師和教育工作者所思考和探索的問題。

⑶ ★數學模型與物理模型的區別是什麼★

★數學模型是指將現實問題歸結為相應的數學問題，並在此基礎上利用數學的概念、方法和理論進行深入的分析和研究，從而從定性或定量的角度來刻畫實際問題，並為解決現實問題提供精確的數據或可靠的指導。
一句話, 就是把實際問題抽象成數學問題, 並分析解答.
分類要有分類的標准,比如按實際問題所在的領域分類,可有:
醫學數學模型
氣象學數學模型
經濟學數學模型
社會學數學模型
等等.
要是按所用到的數學學科來分類,可有
幾何模型
方程模型
圖論模型
泛函模型
等等.
分類其實五花八門.

方程是一個數學概念, 如果你的實際問題建立了方程,你的模型可以稱為一個方程模型.

★物理模型就是用物理學的概念和理論來描述抽象現實問題,特點是
舍棄次要因素，抓住主要因素，從而突出客觀事物的本質特徵，這就叫構建物理模型。構建物理模型是一種研究問題的科學的思維方法。
物理模型一般可分三類：物質模型、狀態模型、過程模型。

★數學模型與物理模型之間究竟有何區別？
這其實就是數學和物理的區別, 數學和物理的聯系很緊密, 很多模型你不能單純地說是物理還是數學模型.當然數學模型更純粹和抽象. 自然科學的研究一般思路可以說是先建立物理模型, 再抽象成數學模型, 再由解算結果反過來反映物理意義, 進而得出實際意義.

滿意與否?

⑷ 關於數學模型的創新性體現在哪裡

數學建模就是用數學語言描述實際現象的過程。這里的實際現象既包涵具體的自然現象比如自由落體現象，也包涵抽象的現象比如顧客對某種商品所取的價值傾向。這里的描述不但包括外在形態，內在機制的描述，也包括預測，試驗和解釋實際現象等內容。

我們也可以這樣直觀地理解這個概念：數學建模是一個讓純粹數學家（指只懂數學不懂數學在實際中的應用的數學家）變成物理學家，生物學家，經濟學家甚至心理學家等等的過程。

數學模型一般是實際事物的一種數學簡化。它常常是以某種意義上接近實際事物的抽象形式存在的，但它和真實的事物有著本質的區別。要描述一個實際現象可以有很多種方式，比如錄音，錄像，比喻，傳言等等。為了使描述更具科學性，邏輯性，客觀性和可重復性，人們採用一種普遍認為比較嚴格的語言來描述各種現象，這種語言就是數學。使用數學語言描述的事物就稱為數學模型。有時候我們需要做一些實驗，但這些實驗往往用抽象出來了的數學模型作為實際物體的代替而進行相應的實驗，實驗本身也是實際操作的一種理論替代。

數學是研究現實世界數量關系和空間形式的科學，在它產生和發展的歷史長河中，一直是和各種各樣的應用問題緊密相關的。數學的特點不僅在於概念的抽象性、邏輯的嚴密性，結論的明確性和體系的完整性，而且在於它應用的廣泛性，進入20世紀以來，隨著科學技術的迅速發展和計算機的日益普及，人們對各種問題的要求越來越精確，使得數學的應用越來越廣泛和深入，特別是在即將進入21世紀的知識經濟時代，數學科學的地位會發生巨大的變化，它正在從國或經濟和科技的後備走到了前沿。經濟發展的全球化、計算機的迅猛發展，數學理倫與方法的不斷擴充使得數學已經成為當代高科技的一個重要組成部分和思想庫，數學已經成為一種能夠普遍實施的技術。培養學生應用數學的意識和能力已經成為數學教學的一個重要方面。

應用數學去解決各類實際問題時，建立數學模型是十分關鍵的一步，同時也是十分困難的一步。建立教學模型的過程，是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數學結構的過程。要通過調查、收集數據資料，觀察和研究實際對象的固有特徵和內在規律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數量關系，然後利用數學的理論和方法去分折和解決問題。這就需要深厚扎實的數學基礎，敏銳的洞察力和想像力，對實際問題的濃厚興趣和廣博的知識面。數學建模是聯系數學與實際問題的橋梁，是數學在各個領械廣泛應用的媒介，是數學科學技術轉化的主要途徑，數學建模在科學技術發展中的重要作用越來越受到數學界和工程界的普遍重視，它已成為現代科技工作者必備的重要能力之。為了適應科學技術發展的需要和培養高質量、高層次科技人才，數學建模已經在大學教育中逐步開展，國內外越來越多的大學正在進行數學建模課程的教學和參加開放性的數學建模競賽，將數學建模教學和競賽作為高等院校的教學改革和培養高層次的科技人才的個重要方面，現在許多院校正在將數學建模與教學改革相結合，努力探索更有效的數學建模教學法和培養面向21世紀的人才的新思路，與我國高校的其它數學類課程相比，數學建模具有難度大、涉及面廣、形式靈活，對教師和學生要求高等特點，數學建模的教學本身是一個不斷探索、不斷創新、不斷完善和提高的過程。為了改變過去以教師為中心、以課堂講授為主、以知識傳授為主的傳統教學模式，數學建模課程指導思想是：以實驗室為基礎、以學生為中心、以問題為主線、以培養能力為目標來組織教學工作。通過教學使學生了解利用數學理論和方法去分折和解決問題的全過程，提高他們分折問題和解決問題的能力；提高他們學習數學的興趣和應用數學的意識與能力，使他們在以後的工作中能經常性地想到用數學去解決問題，提高他們盡量利用計算機軟體及當代高新科技成果的意識，能將數學、計算機有機地結合起來去解決實際問題。數學建模以學生為主，教師利用一些事先設計好問題啟發，引導學生主動查閱文獻資料和學習新知識，鼓勵學生 積極開展討論和辯論，培養學生主動探索，努力進取的學風，培養學生從事科研工作的初步能力，培養學生團結協作的精神、形成一個生動活潑的環境和氣氛，教學過程的重點是創造一個環境去誘導學生的學習慾望、培養他們的自學能力，增強他們的數學素質和創新能力，提高他們的數舉素質，強調的是獲取新知識的能力，是解決問題的過程，而不是知識與結果。接受參加數學建模競賽賽前培訓的同學大都需要學習諸如數理統計、最優化、圖論、微分方程、計算方法、神經網路、層次分析法、模糊數學，數學軟體包的使用等等「短課程」（或講座），用的學時不多，多數是啟發性的講一些基本的概念和方法，主要是靠同學們自己去學，充分調動同學們的積極性，充分發揮同學們的潛能。培訓中廣泛地採用的討論班方式，同學自己報告、討論、辯論，教師主要起質疑、答疑、輔導的作用，競賽中一定要使用計算機及相應的軟體，如Mathemathmatica,Matlab,Mapple，甚至排版軟體等。

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⑸ 如何培養學生的數學模型思維

1如何有效地幫助學生構建數學模型?在數學教學中構建學生的數學建模意識與素質教育所要求的培養學生的創造性思維能力是相輔相成，密不可分的。要真正培養學生的創新能力，今天，朴新小編給大家帶來數學教學方法.

1、為了培養學生的建模意識，中學數學教師應首先需要提高自己的建模意識。這不僅意味著我們在教學內容和要求上的變化，更意味著教育思想和教學觀念的更新。中學數學教師除需要了解數學科學的發展歷史和發展動態之外，還需要不斷地學習一些新的數學建模理論，並且努力鑽研如何把中學數學知識應用於現實生活。北京大學附中張思明老師對此提供了非常典型的事例：他在大街上看到一則廣告：「本店承接A1型號影印。」什麼是A1型號?在弄清了各種型號的比例關系後，他便把這一材料引入到初中「相似形」部分的教學中。這是一般人所忽略的事，卻是數學教師運用數學建模進行教學的良好機會。

2.快樂實踐——讓數學課堂生活化、探究化

實踐是創造的源泉。脫離了實踐活動的數學將成為無源之水，無本之木。現代教育思想認為：數學教學應該是數學活動的教學，學生的思維活動只有通過數學活動才有可能被激活，才能迸射出創新的火花。因此，在實際教學中就要把課堂知識的學習和社會體驗結合起來，使學生的學習渠道多樣化，學習的方式生活化，用動手實踐這把"鑰匙"開啟學生緊閉的心智，喚醒學生沉睡的潛能，激活學生封存的記憶，放飛學生囚禁的情愫，讓學生在動手實踐中對知識的認識和體驗不斷深化、豐滿、鮮活起來。

3.創設情景調動課堂氣氛

從心理學的角度來講，小學生有著好奇心理、疑問心理、愛美心理和活潑好動的特點。作為老師因從這些方面多去思考，充分的發揮小學生非智力因素在學習中的作用。在課堂中創設出學與"玩"交融為一體的教學方法，使學生在"玩"中學，在學中"玩"的情景。在課堂上創造情景的方法有很多，我們要根據自己班級學生的實際情況選擇合適的方法，提供具體的內容，生動活潑的形式，新奇動人的事物，以恰當的手法表現出來，讓學生真正的體會到其中的樂趣。如我在教作文《記一次游戲》時，我創設了這樣一個課堂情景。我與學生一起玩貼鼻子的游戲，自然，這個游戲其樂無窮，學生個個開懷大笑。在游戲中，我讓學生仔細觀察游戲過程以及人物的語言、動作、神態，同時談談自己的體會或感觸，一節課里學生的熱情始終高漲。這樣，既解決了學生寫作文"寫什麼"，"怎樣寫"兩大老大難問題，又提高了學生的學習興趣，這樣課堂氣氛會更活躍些的。

4激發學生數學學習興趣

1.增加學生互動，提高學習興趣

在教學完成以後，要下意識地將學生分成不同的幾類，讓學習能力較強的學生引領學習能力較弱的學生學習，增加學生之間的互動，讓學生之間互相交流、幫助，從而在互相幫助中提升學生對學習的興趣，以開拓學生的數學思維。

2.改變教學方法，開拓學生的數學思維

在教授知識的環節，教師應該關注學生的興趣所在，同時相應地改變自己的教學方法，滿足學生的興趣，通過實例或是教學輔助工具來講述知識，開拓學生的思維，不要一味枯燥地只是進行單純的知識講解，過多的理論不會吸引學生的興趣，要創新自己的教學方法，實現教學目標，達到教學目的。區分知識的難易程度，合理安排所講知識的次序，由易及難，不斷加深知識的深度，開拓知識的廣闊面，開拓學生的思維，提高學生的學習興趣。同時，要從多個角度幫助學生進行思考，將知識徹底吃透，從而開拓學生的知識面，開拓學生對於學習數學的思維，加深學生的理解。

3.講練結合，開拓思維，提高效率

課堂不只是一個講授知識的過程，同時也是一個鞏固知識的環境，在講授完知識以後及時地對所講知識進行總結練習是一個很重要的過程，這樣有利於學生加深對知識的理解運用，有利於提高學生學習的效率。教學的目的就是讓學生能夠掌握知識並加以利用，因此，要注重學生的學習效率。教師也可以在講授的過程中及時地將練習題目分配給大家，以供學生練習掌握知識。課堂訓練結束以後，教師可以給學生布置適量的課後鞏固習題，加深學生對知識的理解，拓寬學生的思維，布置一些有利於開拓學生思維的練習，提高其學習的興趣，以更好地學習並利用知識。在此過程中，要努力地引領學生，多做開拓思維層次的訓練，提高其學習能力。

⑹ 數學建模的思路是什麼

說就是把實際問題用數學語言抽象概括，從數學角度來反映或近似地反映實際問題，得出的關於實際問題的數學描述。其形式是多樣的，可以是方程（組）、不等式、函數、幾何圖形等等。

在數學建模中常用思想和方法：類比法、二分法、量綱分析法、差分法、變分法、圖論法、層次分析法、數據擬合法、回歸分析法、數學規劃、機理分析、排隊方法、對策方法、決策方法、模糊評判方法、時間序列方法、灰色理論方法、現代優化演算法。

模型准備

了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。以數學思想來包容問題的精髓，數學思路貫穿問題的全過程，進而用數學語言來描述問題。要求符合數學理論，符合數學習慣，清晰准確。

根據實際對象的特徵和建模的目的，對問題進行必要的簡化，並用精確的語言提出一些恰當的假設。在假設的基礎上，利用適當的數學工具來刻劃各變數常量之間的數學關系，建立相應的數學結構（盡量用簡單的數學工具）。

⑺ 如何在小學數學教學中滲透數學建模思想

在《數學課程標准》我們發現這樣一句話——「讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型並進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。」,這實際上就是要求把學生學習數學知識的過程當做建立數學模型的過程,並在建模過程中培養學生的數學應用意識,引導學生自覺地用數學的方法去分析、解決生活中的問題。明確要求教師在教學中引導學生建立數學模型，不但要重視其結果，更要關注學生自主建立數學模型的過程，讓學生在進行探究性學習的過程中科學地、合理地、有效地建立數學模型。
一、數學模型的概念
數學模型是對某種事物系統的特徵或數量依存關系概括或近似表述的數學結構。數學中的各種概念、公式和理論都是由現實世界的原型抽象出來的,從這個意義上講,所有的數學知識都是刻畫現實世界的模型。狹義地理解,數學模型指那些反映了特定問題或特定具體事物系統的數學關系結構,是相應系統中各變數及其相互關系的數學表達。數學建模就是建立數學模型來解決問題的方法。《數學課程標准》安排了「數與代數」「空間與圖形」「統計與概率」「實踐與綜合應用」四塊學習領域,強調學生的數學活動,發展學生的數感、符號感、空間觀念、以及應用意識與推理的能力。這些內容中最重要的部分,就是數學模型。在小學階段,數學模型的表現形式為一系列的概念系統,演算法系統,關系、定律、公理系統等。
二、小學數學教學滲透數學建模思想的可行性
數學模型不僅為數學表達和交流提供有效途徑，也為解決現實問題提供重要工具，可以幫助學生准確、清晰地認識、理解數學的意義。在小學數學教學活動中，教師應採取有效措施，加強數學建模思想的滲透，提高學生的學習興趣，培養學生用數學意識以及分析和解決實際問題的能力。數學在本質上就是在不斷的抽象、概括、模式化的過程中發展和豐富起來的。數學學習只有深入到「模型」、「建模」的意義上，才是一種真正的數學學習。這種「深入」，就小學數學教學而言，更多地是指用數學建模的思想和精神來指導著數學教學，「從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型並進行解釋與運用的過程，進而使學生獲得對數學的理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進入和發展。」
對數學建模這個概念來講也許是新的，但回想我們的日常教學不難發現我們的學生已經有數學建模的思想或意識，只不過沒有從理論的角度把它概括出來而已。例如，在以往教學求比一個數多幾的應用題時，經常碰到這樣一個例題「小明家養了6隻公雞，養的母雞只數比公雞多3 只，母雞有幾只？」在教學此例時老師們都是採用讓學生擺、說等教學活動來幫助學生分析數量關系，理解「同樣多的部分」，但教學效果並沒有我們老師想像的那麼好，一般同學們在解釋數量關系式6+3=9時，母雞和公雞是不分的，極大部分學生都會說6隻公雞加3隻母雞等於9隻母雞。為什麼學生不會用「同樣多的部分」去描述母雞的只數，其原因是十分明顯的，那就是學生在操作時頭腦中已經對現實問題進行簡化，並建立了一個有關母雞只數求法的數學模型，這個模型顯然是一種疊加模型，即6+3=9（只），而6表示什麼在模型中已經是無關緊要，因為實際問題最終要解決的是數量問題。從以上這個教學實例至少可以說明兩點；其一，小學生在解決實際問題時有他自己的數學模型，有他自圓其說的解讀數學模型的方法，因此，小學生也有數學建模能力 。其二，當學生的數學模型一旦建立了以後，即使他的模型是不合理或不規范的，但外人很難改變他的模型結構。
三、小學生如何形成自己的數學建模
一、創設情境，感知數學建模思想。
數學來源於生活，又服務於生活，因此，要將現實生活中發生的與數學學習有關的素材及時引入課堂，要將教材上的內容通過生活中熟悉的事例，以情境的方式在課堂上展示給學生，描述數學問題產生的背景。情景的創設要與社會生活實際、時代熱點問題、自然、社會文化等與數學問題有關的各種因素相結合，讓學生感到真實、新奇、有趣、可操作，滿足學生好奇好動的心理要求。這樣很容易激發學生的興趣，並在學生的頭腦中激活已有的生活經驗，也容易使學生用積累的經驗來感受其中隱含的數學問題，從而促使學生將生活問題抽象成數學問題，感知數學模型的存在。
如教學平均數一課，新課伊始出示兩個小組一分鍾做題道數：
第一組 9 8 9 6
第二組 7 10 9 8
教師提問：哪組獲勝，為什麼？
這時出示，第一組請假的一位同學後來加入比賽。
第一組 9 8 9 6 8
第二組 7 10 9 8
師：根據比賽成績我們判定一組獲勝。
此時有學生提出異議：雖然第一組做對的總道數比第二組多，但是兩個隊的人數不同，這樣比較不公平。
師：那怎麼辦呢？
生：可以用平均數進行比較。
師：什麼是平均數？
學生根據自己的生活經驗進行總結。
本節課平均數這一抽象的知識隱藏在具體的問題情境中，學生在兩次評判中解讀、整理數據，產生思維沖突，從而推進數學思考的有序進行。學生從具體的問題情境中抽出平均數這一數學問題的過程就是一次建模的過程，
二、參與探究，主動建構數學模型
數學家華羅庚通過多年的學習、研究經歷總結出：對書本中的某些原理、定律、公式，我們在學習的時候不僅應該記住它的結論、懂得它的道理，而且還應該設想一下人家是怎樣想出來的，怎樣一步一步提煉出來的。只有經歷這樣的探索過程，數學的思想、方法才能沉積、凝聚，從而使知識具有更大的智慧價值。動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。學生的數學學習活動應當是一個主動、活潑的、生動和富有個性的過程。因此，在教學時我們要善於引導學生自主探索、合作交流，對學習過程、學習材料、學習發現主動歸納、提升，力求建構出人人都能理解的數學模型。
如教學圓錐的體積一課：
1、回顧、猜想：
師：請同學們回憶我們在學習圓柱的體積推導過程中，應用了哪些數學思想方法？
生：運用了轉化的方法。
師：猜一猜圓錐的體積能否轉化成已經學過的圖形的體積？它會與學過的哪種立體圖形有關？
學生大膽進行猜想，有的猜能轉化成圓柱、有的猜能轉化成長、正方體。
2、動手驗證
師：請同學們利用手中的學具進行操作，研究圓錐體積的計算方法。
教師給學生提供多個圓柱、長方體、正方體和圓錐空盒（其中圓柱和圓錐有等底等高關系的、有不等底不等高關系的，圓錐與其他形體沒有等底或等高關系）、沙子等學具，學生分小組動手實驗。
3、反饋交流
生1：我們選取了一個圓錐和一個正方體進行實驗，將正方體中倒滿沙子，然後倒入圓錐容器中，到了四次，還剩下一些，發現圓錐體與這個圓柱體之間沒有關系。
生2：我們組選取的是圓錐和圓柱，這個圓錐與這個圓柱之間也沒存在關系，然後我們換了一個圓柱，這個圓柱的體積是這個圓錐體積的三倍。
4、歸納總結。
師：那麼存在3倍關系的圓柱和圓錐的底面有什麼關系?它們的高又有什麼關系?
生3：底面積相等，高也相等。
師：圓柱的體積和同它等底等高圓錐的體積的有什麼關系?
生：圓柱的體積是圓錐體積的3倍。
生：圓錐的體積是同它等底等高的圓柱體權的1/3。
師：是不是所有的等底等高的圓柱、圓錐都存在這樣的關系？請每個組都選出這樣的學具進行操作驗證。
生：匯報後師板書:
圓錐的體積等於同它等底等高的圓柱體積的1/3。
師：如果沒有圓柱這一輔助工具，我們怎樣計算圓錐的體積？
生：圓錐的體積等於底面積乘高乘1/3。
在上述教學過程中，教師提供豐富的實驗材料，學生需要從中挑選出解決問題必須的材料進行研究。學生的問題不是一步到位的，通過不斷地猜測、驗證、修訂實驗方案，再猜測、再驗證這樣的過程，逐步過渡到復雜的、更一般的情景，學生在主動探索嘗試過程中，進行了再創造學習，以抽象概括方式自主總結出圓錐體積計算公式。這一環節的設計，不僅發展了學生的策略性知識，同時讓學生經歷猜測與驗證、分析與歸納、抽象與概括的數學思維過程。學習過程中學生有時獨立思考，有時小組合作學習，有時是獨立探索和合作學習相結合，學生在新知探索中充分體驗了數學模型的形成過程。
三、解決問題，拓展應用數學模型
用所建立的數學模型來解答生活實際中的問題，讓學生能體會到數學模型的實際應用價值，體驗到所學知識的用途和益處，進一步培養學生應用數學的意識和綜合應用數學知識解決問題的能力，讓學生體驗實際應用帶來的快樂。解決問題具體表現在兩個方面：一是布置數學題作業，如基本題、變式題、拓展題等；二是生活題作業，讓學生在實際生活中應用數學。通過應用真正讓數學走入生活，讓數學走近學生。用數學知識去解決實際問題的同時拓展數學問題，培養學生的數學意識，提高學生的數學認知水平，又可以促進學生的探索意識、發現問題意識、創新意識和實踐意識的形成，使學生在實際應用過程中認識新問題，同化新知識，並構建自己的智力系統。
如在學生掌握了速度、時間、路程之間關系後，先進行單項練習，然後出示這樣的變式題：
1、汽車4小時行駛了240千米，12小時可行駛多少千米？
2、火車的速度是每小時130千米，火車早上8：00出發，14：00到站，兩站之間的距離是多少千米？
學生在掌握了速度乘時間等於路程這一模型後，進行變式練習，學生基本能正確解答，說明學生對基本數學模型已經掌握，並能夠從4小時行駛了240千米中找到需要的速度，從8：00至14：00中找到所需時間。雖然兩題敘述不同，但都可以運用同一個數學模型進行解答。掌握了數學模型，學生解答起數學問題來得心應手。
又如學習了圓的周長後設計這樣的題目：怎樣利用你的自行車測量學校到家裡的實際距離。
這一問題的設計既考慮與學生生活的真實情景相結合，又能引起學生的猜測、估計、操作、觀察、思考等具體的學習活動，並能使學生在具體的學習活動中學會搜集資料、分析問題。在解決實際問題中，學生需要搜集大量的信息，並從信息中剔除無用信息，留下有用信息，構建起數學模型，並運用數學模型進行計算、解決問題。在這一過程中，學生易於形成實事求是的態度以及進行質疑和獨立思考的習慣，激發學生的創新精神。因此，我們在教學過程中，應注重學生建模思想的形成與運用。
綜上所述，小學數學建模思想的形成過程是一個綜合性的過程，是數學能力和其他各種能力協同發展的過程。在數學教學過程中進行數學建模思想的滲透，不僅可以使學生體會到數學並非只是一門抽象的學科，而且可以使學生感覺到利用數學建模的思想結合數學方法解決實際問題的妙處，進而對數學產生更大的興趣。通過建模教學，可以加深學生對數學知識和方法的理解和掌握，調整學生的知識結構，深化知識層次。同時，培養學生應用數學的意識和自主、合作、探索、創新的精神，為學生的終身學習、可持續發展奠定基礎。因此在數學課堂教學中，教師應逐步培養學生數學建模的思想、方法，形成學生良好的思維習慣和用數學的能力。

⑻ 如何通過數學建模和數學探究改善對學生的評價，突出評價的過程性和激勵作用。

學生的數學學習活動不應只限於接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式.這些方式有助於發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的「再創造」過程.要使這個課程基本理念真正落實到高中數學教學中，教師應根據學生的認知水平和已有的知識經驗設立體現數學某些重要應用的課程，開展「數學探究」「數學建模」的學習活動，力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用，數學與日常生活及其他學科的聯系，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力，體驗數學的真諦.

20世紀下半葉以來，數學應用的巨大發展是數學發展的顯著特徵之一.當今知識經濟時代，數學正從幕後走向台前，數學和計算機技術的結合使得數學能夠在許多方面直接為社會創造價值，同時，也為數學發展開拓了廣闊的前景.我國的數學教育在很長一段時間內對於數學與實際、數學與其他學科的聯系未能給予充分的重視，因此，高中數學在數學應用和聯系實際方面需要大力加強.近幾年來，我國大學 、中學數學建模的實踐表明，開展數學應用的教學活動符合社會需要，有利於激發學生學習數學的興趣，有利於增強學生的應用意識，有利於擴展學生的視野.在這樣的課程理念下，人民教育出版社課程標准B版教材給我們吹來了一股春風，它不僅僅是簡單的文字變化，而是教學思想理念的突出體現.整套教材設立了大量的「數學探究」「數學建模」等學習活動，提供了基本內容的實際背景，反映了數學的應用價值.這些體現數學應用的課程為學生形成積極主動的、多樣的學習方式進一步創造了有利條件，同時也激發學生的數學學習興趣、鼓勵學生在學習過程中，養成獨立思考、積極探索的習慣.

下面筆者就對「函數（第一課時）」內容進行了如下教學設計和嘗試.

教材分析

1.本課的地位和作用

函數是數學中重要的基礎概念之一。學生進一步學習的高等數學基礎課程，包括極限理論、微分學、積分學、微分方程和泛函分析等，無一不是以函數作為基本概念和研究對象的。其他學科，如物理學科等，也是以函數的基礎知識作為研究問題和解決問題的工具。它是在初中初步探討函數的概念，函數關系的表示方法、圖象的位置等基礎上，對函數概念的再認識，即用集合的思想理解函數的一般定義。函數及應用研究的深入及提高，也是今後進一步參加工農業生產建設需要具備的基礎知識.本章的學習對中學生數學學習起著決定性的作用.而且不僅是知識性方面，更重要的是在數學建模方面，也將是終身受益的一章.

2.教學重點與難點

重點:體會函數是描述兩個變數之間的依賴關系的重要數學模型,在映射的基礎上理解函數的概念.

難點:對函數符號y=f(x)的理解.

教學目標

1.知識與技能目標：

(1)通過不同的生活實例幫助學生建立數學概念的背景,從而正確理解函數的概念.

(2)能用集合與對應的語言來刻畫函數,了解構成函數的要素，即定義域和對應法則；進一步理解對應法則的意義.

2．過程與方法目標：

了解函數是描述變數之間依賴關系的重要數學模型。在此基礎上學慣用集合與對應的語言來刻畫函數，再現函數知識產生的過程。在數學建模中體驗用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程。

3．情感態度與價值觀目標：

通過創設實際生活情景，讓學生接近現實生活，關注社會實際；感受對應關系在刻畫函數的概念中的作用，激發學生學習數學的興趣，陶冶學生的情操，培養學生勇於探索的科學精神.

教學過程

一、創設問題情境

師：在初中我們已經學習過函數的概念，並且知道可以用函數描述兩個變數之間的依賴關系，今天我們將進一步學習函數及其構成要素.下面我們一起看幾個實例：

問題1：一枚炮彈發射後，經過26s落到地面擊中目標.炮彈的射高為845m，且炮彈距地面的高度h(m)隨時間t(s)的變化的規律是h=130t-5t2.提出以下問題：

（1） 炮彈飛行1s、10s、20s時距地面多高？

（2） 炮彈何時距離地面最高？

（3） 你能指出變數t和h的取值范圍嗎？分別用集合A和集合B表示出來.

（4） 對於集合A中的任意一個時間t，按照對應關系h=130t-5t2，在集合B中是否都有唯一的高度h和它對應？

生:因為有初中的基礎，很快說出前三個小問題的答案，問題（4）師啟發學生用集合與對應的語言描述變數之間的依賴關系：在t的變化范圍內，任給一個t，按照給定的解析式，都有唯一的一個高度h與之對應.

[從多媒體展示的生活問題入手，再現初中變數觀點描述函數的概念，為後面用集合和對應的觀點來定義函數奠定基礎。]

問題2.某市氣象觀測站測試一天24小時內的氣溫變化如圖所示

(1) 上午8時的氣溫約是多少？

(2) 你能指出變數t和θ的取值范圍嗎？分別用集合A和集合B表示出來.

(3) 對於集合A中的每一個時刻t,按照圖像所示,在集合B中是否都有唯一確定的溫度θ和它對應?

生1答:上午8時的氣溫約是0。C；t的取值范圍是[0，24]；

θ的取值范圍是[-2，9]。

生2答：對於集合A中的每一個時刻t，按照圖象所示，在集合B中都有唯一確定的溫度θ和它對應。

接著師請學生回顧近十年來自己家庭生活的變化,其中哪些方面的消費變化大?哪些方面的消費變化小?

[學生回答踴躍,進一步調動了學生的積極性,並親身經歷將實際問題抽象成數學模型的過程,這實際是倡導做數學和用數學,關注學生知識的形成發展的過程.]

師又拋出問題3.你認為該用什麼數據來衡量家庭生活質量的高低?幻燈展示恩格爾系數隨時間(年)變化的情況表明，「八五」計劃以來，我國城鎮居民的生活質量發生了顯著變化.

t
91
92
93
94
95
96
97
98
99
00
01

r
53.8
52.9
50.1
49.9
49.9
48.6
46.5
44.5
41.9
39.2
37.9

閱讀圖表後仿照問題1、問題2、描述表中恩格爾系數r和時間t（年份）的關系.

生歸納：對於表中的任一個時間t（年份），按照表格，都有唯一的一個恩格爾系數r與之對應.

二、探索新知

生分組討論以上實例的共同特點，歸納總結出：都涉及到兩個非空數集A、B，都存在某種對應關系，使對於A中的每一個數x，按照這種對應關系，在B中都有唯一的y與x對應.

[實際問題引出概念，激發學生興趣，給學生思考、探索的空間，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，提高分析和解決問題的能力。]

1．函數的定義

設A，B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f,使對於集合A中的任意一個數x.在集合B中都有唯一確定的數值y和它對應,則這種對應關系叫做集合A上的一個函數。記作，其中.定義域：x的取值范圍（數集A）叫做函數的定義域；如果自變數取值a，則法則f確定的值y稱為函數在a處的函數值。值域：函數值的集合{y/y=,}叫做函數的值域.

師生共同回憶在初中介紹的函數概念，它是這樣表述的：

設在一個變化過程中有兩個變數與，如果對於的每一個值，都有惟一的值與它對應，那麼就說是自變數，是的函數.

[我們看到，這里是用運動變化的觀點對函數進行定義的，它反映了歷史上人們對它的一種認識，而且這個定義較為直觀，易於接受，因此按照由淺入深、力求符合學生認知規律的內容編排原則，函數概念在初中介紹到這個程度是合適的.]

師：函數的對應法則通常用記號表示，函數記號表明，對於定義域中的任意，在「對應法則」作用下得到.在比較簡單的情況下，對應法則可用一個解析式來表示，但在不少問題中，對應法則要用幾個解析式來表示，有時甚至不可能用解析式來表示，那用什麼表示呢？

生：要用其他方式（如列表、圖象）來表示.

學生分組討論，函數定義需要注意的幾個方面：(師板書)

（1）,方向性；

（2）關鍵詞「任意一個x」「唯一確定的數f(x)」.

（3）A，B為非空數集；

（4）A中的任一個元素，B中都有惟一的元素與之對應；而B中的元素在A中的對應元素可以不惟一，也可以沒有，顯然值域.

[教師在講解概念時，在多媒體屏幕上有意識地用不同顏色的字體，突出強調重點，調動學生的非智力因素理解概念。]

2． 問題4：

(1)下列對應發則是否是在給定集合上的一個函數？

①R，g:自變數的倒數；

②R,h:自變數的平方根；

③R,s:自變數t的平方減2。

（2）下面一組函數，是否為相同的函數？

①f(x)=x2,x∈R;

②s(t)=t2，t∈R;

③g(x-2)=(x-2) 2,x∈R .

生：確定一個函數的兩要素：定義域和對應法則.

師生互動研討得出：函數用符號表示，在初中學習函數時未出現這個符號，應說明幾點：

①，是表示是的函數，不是表示等於與的乘積；

② 不一定是一個解析式；

③ 與 是不同的.

3、例題教學：

師出示例1 ，某西瓜攤賣西瓜，6斤以下每斤4角，6斤以上每斤6角.請表示出西瓜重量x與售價y的函數關系.

生解:用解析法，這個函數的解析表示應分兩種情況：

當時，；當時，.

師：這種函數叫分段函數，我們還可以用圖象法來表示.請一位學生畫出這個函數的圖象.

師：請問這個函數關系是否能用列表法表示呢?不方便.因為西瓜重量的等級太多，列表不易列全.

三、鞏固練習1：下列圖形中可以作為函數圖象的是（ ）

練習2：下列函數中哪個與函數是同一函數？

四、課堂小結

這節課的研究學習就到這里了，請大家回顧一下這節課的探索和收獲.

生1、我們知道了函數定義：設A，B都是非空的數集，那麼A到B的映射就叫做A到B的
函數，記作，其中，.

生2、我們知道了函數有三種表示方法：解析法，列表法，圖象法.

生3、我們知道了函數的三要素：定義域；值域；

中的為對應法則.定義域為函數的基礎，對應法則為函數的核心.

生4、本節課我們討論、合作、交流等小組活動，親身經歷了將實際問題抽象成數學模型並進行解釋與應用的過程，覺得我們身邊處處有數學.

師：說得好！這些正是我們這一節課的重心所在，希望以後能看到你們獨立思考探索的成果，展示你們的研究風采.

五、建模作業

①某種釘子，每隻1角5分，買只釘子的錢數是元，請列出與的函數關系式，並畫出函數的圖象.

②郵寄包裹，每千克重的包裹收郵資費2元，郵程超過100km以後，每增加1km加收2角，求郵資與包裹所走的千米數的函數關系.

③請同學記錄一周的天氣預報，列出日最高氣溫與日期的函數關系.

教學評析

一、注重函數概念形成過程，感悟數學真諦

我們都知道數學概念都是從客觀世界中直接或間接抽象出來的，其定義大多採用「問題情景—抽取本質屬性—推廣到一般」的方法給出.本節課函數的概念就是在教師的引導下，學生以探索者的姿態出現，參與了概念的形成規律的揭示過程，使其思維親身經歷了一個由具體到抽象、概括事物本質的認知過程，領悟知識形成過程中隱藏的思想方法，則學生獲得的不僅是函數概念，更重要的是拓寬了思維空間感悟了數學的真諦，在掌握概念的同時其概括能力得到訓練.

二、問題設計開放新穎，滲透數學思想方法

我們都知道學生原有的知識和經驗是學習的基礎，學生的學習都是在原有的知識經驗基礎上自我生成的過程.在學習函數概念前，學生在初中已經接觸函數，教學中教師善於運用類比思想，抓住初中與高中兩個函數概念的優劣，使學生體會知識之間的有機聯系，感受數學的整體性。在學生合作交流的基礎上，學生歸納出函數定義的幾個注意方面，滲透了轉化思想與歸納方法.

三、挖掘教材資源，拓展學生探究空間

我們都知道數學教材是數學課程標準的體現，是數學學科知識體系的精選，師生使用起來非常方便.本節課教師在教學中沒有隻停留在課本表面，而是認真鑽研和熟悉教材，針對教材中的知識點，充分利用各種教學資源，組織學生探究，以培養學生的探究能力.這種精心設計的探究活動，能激發學生學習數學的積極性，提高學生探索問題、研究問題的能力.

四、改善教與學的方式，使學生主動地學習

豐富學生的學習方式、改進學生的學習方法是高中數學課程追求的基本理念。學生的數學學習活動不應只限於對概念、結論和技能的記憶、模仿和接受，獨立思考、自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等都是學習數學的重要方式。本節教學中，既有教師的講授和指導，也有學生的自主探索與合作交流，整節課教師都關注了學生的主體參與，給學生留有適當的拓展、延伸的空間和時間，激發學生對數學學習的興趣，養成良好的學習習慣.

五、注重數學建模活動，發展學生應用意識

著名數學教育家弗賴登塔爾在談到數學應用時，曾指出「應從兩個方面來理解數學應用：既要重視從實際問題中提取數學概念和原理，又要重視用數學概念與原理反過來處理實際問題」；「而要將學校數學更為廣泛地應用到不同的脈絡背景，數學化應該是數學教學的主要方式」。本節課教師通過數學建模活動引導學生從實際情境中發現問題，並歸結為數學模型，形成數學問題（即實際問題數學化）。同時開闊了學生的視野，體會了數學的科學價值、應用價值、人文價值.