㈠ 數學極限定義蘊涵哪些哲學思想，並簡要說明
科學是科學，數學是數學，哲學是哲學，我們不能說數學的什麼反映了什麼哲學思想。
或許，某種哲學思想怎樣解釋了某種數學現象，才是更客觀的表述。
先說定義，按照嚴格的ε-δ語言，極限的定義是這樣的：
設函數f(x)在點x0的某一去心鄰域內有定義.若存在常數A，對於任意給定的正數ε(不論它多麼小)，總存在正數δ，使得當x滿足不等式0<|x-x0|<δ時，對應的函數值f(x)都滿足不等式
|f(x)-A|<ε.
那麼常數A就叫做函數f(x)當x→x0時的極限.
這個定義限定了什麼叫做無限趨近——既可以小到不論多小，但又不能取到本身。
解釋了δ是由ε決定的，需要結果趨多近，自變數就趨向相應多近。並且極限存在則函數想趨多近就能多近，但又不是本身。
這個定義很嚴密，掃除了一切因為基本概念似是而非所引起的歧義，徹底讓哲學和玄學滾出微積分。
哲學對於高等數學，只剩下一些對於個別現象的，有選擇性的牽強解釋。
我們以「蘇聯教科書式的馬克思主義哲學」為例，看看這套體系是怎麼「解釋」數學極限的：
極限是質量互變規律的體現，直線與曲線之交從相割到相切的變化，是從量變的積累到質變發生的過程。
質量互變時，量變既可以是量的積累，也可以是結構、次序的改變——無窮級數求和時，若改變了順序，或者添加了括弧，則最終的斂散性、極限的值都有可能改變。
當然，絕對收斂的無窮級數，怎麼換順序加括弧結果都不變，這又說明了內因是事物發展的根據，外因是事物發展的外部條件，外因必須通過內容而起作用。外因對事物的發展有重大影響，有時能引起事物性質的變化。但不管外因的作用有多大，都必須通過內因才能起作用。
極限是對立統一的體現，對於無窮小量，它既是0又不是0，在單獨考察它的時候，它到底是0還是非0是無法判斷的，只有把它放到具體的極限中，才知道它到底是0（高階無窮小），還是非0（同階無窮小）——事物的存在以其對立面為依託，正如如果世上只有黑色，便無顏色這一概念，更無黑色這一說法。
如此還有很多……基本都是先開槍再畫靶。
不是說我否定馬克思主義哲學，或是別的什麼哲學，是現代嚴密的數學公理化體系和嚴格而精確的定義，否定了哲學在數學中的作用。
什麼時候都提哲學，就是在消解哲學——一方面認為意識是物質在頭腦中的反映，另一方面又先驗地認為哲學能夠指導科學、數學，這本身就是反馬克思主義的。
歷史是人的歷史，哲學是人的哲學，人民群眾在生產斗爭和階級斗爭中創造歷史，一切觀察並思考的人在頭腦中構造不同的哲學體系。
自然科學是自然的規律，數學是邏輯的規律，人歸根到底只是發現他們、認識他們，從而遵循他們、利用他們，而不能違背事實憑空創造自然規律，也不能脫離邏輯憑空編造出數學定理來。
懇請哲學還是放過自然科學和數學吧。
自有階級的社會存在以來，人的知識就可分為生產斗爭和階級斗爭的知識——前者是與自然斗爭的武器，後者是與人斗爭的武器——把兩種斗爭的武器混淆，是不可能取得勝利的。
哲學是屬於人的，而人的本質，在其現實性上，是一切社會關系的總和。所以不妨讓哲學在其應有的領域——社會科學中大放異彩，讓共產主義的光輝消除一切壓迫剝削，解放出更多的自由人，來不斷發現和深化認識自然科學和數學。
㈡ 高中數學思想有那些
數學四大思想：函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合；
函數與方程
函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然後通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的。
笛卡爾的方程思想是：實際問題→數學問題→代數問題→方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪裡有等式，哪裡就有方程；哪裡有公式，哪裡就有方程；求值問題是通過解方程來實現的……等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關。而函數和多元方程沒有什麼本質的區別，如函數y＝f(x)，就可以看作關於x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以說，函數的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應用方程思想時需要重點考慮的。
函數描述了自然界中數量之間的關系，函數思想通過提出問題的數學特徵，建立函數關系型的數學模型，從而進行研究。它體現了「聯系和變化」的辯證唯物主義觀點。一般地，函數思想是構造函數從而利用函數的性質解題，經常利用的性質是：f(x)、f (x)的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性。在解題中，善於挖掘題目中的隱含條件，構造出函數解析式和妙用函數的性質，是應用函數思想的關鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產生由此及彼的聯系，構造出函數原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數問題也可以轉化為與其相關的函數問題，即用函數思想解答非函數問題。
函數知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、應用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。我們應用函數思想的幾種常見題型是：遇到變數，構造函數關系解題；有關的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數觀點加以分析；含有多個變數的數學問題中，選定合適的主變數，從而揭示其中的函數關系；實際應用問題，翻譯成數學語言，建立數學模型和函數關系式，應用函數性質或不等式等知識解答；等差、等比數列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數，數列問題也可以用函數方法解決。
等價轉化
等價轉化是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式法、簡單的問題。歷年高考，等價轉化思想無處不見，我們要不斷培養和訓練自覺的轉化意識，將有利於強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧。 轉化有等價轉化與非等價轉化。等價轉化要求轉化過程中前因後果是充分必要的，才保證轉化後的結果仍為原問題的結果。非等價轉化其過程是充分或必要的，要對結論進行必要的修正（如無理方程化有理方程要求驗根），它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。我們在應用時一定要注意轉化的等價性與非等價性的不同要求，實施等價轉化時確保其等價性，保證邏輯上的正確。
著名的數學家，莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數學奧林匹克參賽者發表《什麼叫解題》的演講時提出：「解題就是把要解題轉化為已經解過的題」。數學的解題過程，就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉換過程。
等價轉化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。在應用等價轉化的思想方法去解決數學問題時，沒有一個統一的模式去進行。它可以在數與數、形與形、數與形之間進行轉換；它可以在宏觀上進行等價轉化，如在分析和解決實際問題的過程中，普通語言向數學語言的翻譯；它可以在符號系統內部實施轉換，即所說的恆等變形。消去法、換元法、數形結合法、求值求范圍問題等等，都體現了等價轉化思想，我們更是經常在函數、方程、不等式之間進行等價轉化。可以說，等價轉化是將恆等變形在代數式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由於其多樣性和靈活性，我們要合理地設計好轉化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。
在數學操作中實施等價轉化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標准化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復雜的問題，變成比較簡單的問題，比如從超越式到代數式、從無理式到有理式、從分式到整式…等；或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉化為比較直觀的問題，以便准確把握問題的求解過程，比如數形結合法；或者從非標准型向標准型進行轉化。按照這些原則進行數學操作，轉化過程省時省力，有如順水推舟，經常滲透等價轉化思想，可以提高解題的水平和能力。
分類討論
在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，並逐類求解，然後綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中佔有重要的位置。
引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：
① 問題所涉及到的數學概念是分類進行定義的。如|a|的定義分a>0、a＝0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。
② 問題中涉及到的數學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數列的前n項和的公式，分q＝1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質型。
③ 解含有參數的題目時，必須根據參數的不同取值范圍進行討論。如解不等式ax>2時分a>0、a＝0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。
另外，某些不確定的數量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。
進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是「不漏不重」。
解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標准，正確進行合理分類，即標准統一、不漏不重、分類互斥（沒有重復）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最後進行歸納小結，綜合得出結論。
數形結合
中學數學的基本知識分三類：一類是純粹數的知識，如實數、代數式、方程（組）、不等式（組）、函數等；一類是關於純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關於數形結合的知識，主要體現是解析幾何。
數形結合是一個數學思想方法，包含「以形助數」和「以數輔形」兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是藉助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質；或者是藉助於數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。
恩格斯曾說過：「數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學。」數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。「數」與「形」是一對矛盾，宇宙間萬物無不是「數」和「形」的矛盾的統一。華羅庚先生說過：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。
數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特徵，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取值范圍。
㈢ 高中數學有哪些數學思想
解: 高中數學數學思想主要有:
(一)數形結合的思想方法;
(二)隨機和統計的思想方法;
(三)演算法的數學思想方法;
(四)函數和方程思想方法;
(五)分類和整合的思想方法;
(六)有限和無限的思想方法;
(七)向量的思想方法.