數學中群應該滿足哪些律

A. 群應該滿足哪些定律（數學文化）

以加群G為例，應滿足：
1)任a,b∈G,則a+b∈G;
2)任a,b,c∈G,則(a+b)+c=a+(b+c);
3)存在0，對任a∈G,都有a+0=0+a=a;
4）對任a∈G,存在-a,使得a+(-a)=(-a)+a=0.

B. 數學上的群、域、環等有什麼區別和聯系

1、群(group)是兩個元素作二元運算得到的一個新元素，需要滿足群公理(group axioms)，即：

①封閉性：a ∗ b is another element in the set

②結合律：(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

③單位元：a ∗ e = a and e ∗ a = a

④逆 元：加法的逆元為-a，乘法的逆元為倒數1/a，… (對於所有元素)

⑤如整數集合，二次元運算為加法就是一個群(封閉性是顯然的，加法滿足結合律，單位元為0，逆元取相反數-a)。

2、環(ring)在阿貝爾群(也叫交換群)的基礎上，添加一種二元運算·(雖叫乘法，但不同於初等代數的乘法)。一個代數結構是環(R, +, ·)，需要滿足環公理(ring axioms)，如(Z,+, ⋅)。環公理如下：

①(R, +)是交換群

封閉性：a + b is another element in the set

結合律：(a + b) + c = a + (b + c)

單位元：加法的單位元為0，a + 0 = a and 0 + a = a

逆 元：加法的逆元為-a，a + (−a) = (−a) + a = 0 (對於所有元素)

交換律：a + b = b + a

②(R, ·)是幺半群

結合律：(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)

單位元：乘法的單位元為1，a ⋅ 1 = a and 1 ⋅ a = a

③乘法對加法滿足分配律Multiplication distributes over addition

3、域(Field)在交換環的基礎上，還增加了二元運算除法，要求元素(除零以外)可以作除法運算，即每個非零的元素都要有乘法逆元。

由此可見，域是一種可以進行加減乘除(除0以外)的代數結構，是數域與四則運算的推廣。整數集合，不存在乘法逆元(1/3不是整數)，所以整數集合不是域。有理數、實數、復數可以形成域，分別叫有理數域、實數域、復數域。

C. 請解釋一下離散數學中各種群的定義以及之間的關系

存在群結構的集合，若其某個子集上也存在這種群結構，就叫子群，

半群：群要求對其上的運算，必須有逆運算成立，
子群不要求存在逆運算，只要其運算滿足結合律即可，

交換群：群的定義只說運算滿足結合律，可以不滿足交換律，
滿足交換律的群，叫做交換群或者Abel群

D. 數學上的群，域，環等有什麼區別和聯系

（1）群：集合G上定義了二元運算記作「 * 」，滿足以下四個條件:

1. 封閉性。2.結合律。3.含幺。4.有逆。

那麼該集合和二元運算一起構成的代數結構（G，*）稱作一個群。

（2）Abel群：二元運算還滿足交換律的群。所以Abel群也叫做交換群，是一類特殊的群。二元運算記作「 + 」

（3）半群：集合上定義的二元運算，滿足前兩個條件：

1.封閉性。2.結合律。

(群一定是半群，但是半群不一定是群。)

有了以上的定義，我們來看一下什麼是環和域。

（4）環：設集合R上定義了兩個二元運算「 + 」，「 * 」且滿足

1.（R，+）是Abel群。

2.（R，*）是半群。

3.兩種運算滿足分配率，a*（b+c）=a*b+a*c

則集合R和兩個二元運算構成的代數結構叫做環。

（5）域：環中的半群結構，滿足含幺和交換律，則稱作域。可見域是一種特殊的環。

綜上：最大的概念是半群，群是半群的子集，Abel群又是群的子集。環是在Abel群的基礎上進行「修飾」，也就是再增加一種二元運算使得集合構成半群，且兩種運算滿足上面提到的分配率。最後域是環的子集，要求增加的這種二元運算還要滿足含幺和交換律。

E. 數學中「群」的概念和應用

在數學中，群是一種代數結構，由一個集合以及一個二元運算所組成。要具有成為群的資格，這個集合和運算必須滿足一些被稱為「群公理」的條件，也就是結合律、單位元和逆元。盡管這些對於很多數學結構比如數系統都是很熟悉的，例如整數配備上加法運算就形成一個群，但將群公理的公式從具體的群和其運算中抽象出來，就使得人們可以用靈活的方式來處理有著非常不同的數學起源的實體，而同時在抽象代數之上保留很多對象的本質結構體貌。群在數學內外各個領域中是無處不在的，使得它們成為當代數學的中心組織原理。[1][2]
群與對稱概念共有基礎根源。對稱群把幾何物體的對稱特徵定為：它由保持物體不變的變換的集合，和通過把兩個這種變換先後進行來組合它們的運算構成。這種對稱群，特別是連續李群，在很多學術學科中扮演重要角色。例如，矩陣群可以用來理解在狹義相對論底層的基本物理定律和在分子化學中的對稱現象。
群的概念引發自多項式方程的研究，由埃瓦里斯特•伽羅瓦在 1830 年代開創。在得到來自其他領域如數論和幾何的貢獻之後，群概念在 1870 年左右形成並牢固建立。現代群論是非常活躍的數學學科，它以自己的方式研究群。 為了探索群，數學家發明了各種概念來把群分解成更小的、更好理解的部分，比如子群、商群和單群。除了它們的抽象性質，群理論家還從理論和計算兩種角度來研究具體表示群的各種方式(群表示)。對有限群已經發展出了特別豐富的理論，這在1983年完成的有限簡單群分類中達到頂峰。

F. 請用通俗的語言解釋一下數學中群，環，域的概念

群，環，域都是集合，在這個集合上定義有特定元素和一些運算，這些運算具有一些性質
群上定義一個運算，滿足結合律，有單位元（元素和單位元進行運算不變），每個元素有逆元（元素和逆元運算得單位元）
例整數集，加法及結合律，單位元0,逆元是相反數，
正數集，乘法及結合律，單位元1，逆元是倒數
環是一種群，定義的群運算（記為＋）還要滿足交換律。另外環上還有一個運算（記為×），滿足結合律，同時有分配律a(b+c)＝ab+ac，（a+b)c=ac+bc，由於×不一定有交換律，所以分開寫
例整數集上加法和乘法
域是一種環，上面的×要滿足交換律，除了有＋的單位元還要有×的單位元（二者不等），除了＋的單位元外其他元素都有×的逆元
例整數集上加法和乘法，單位元0,1

G. 一個非空集合要想成為群,只要滿足封閉率,結合律,幺元律,逆元律中的三個就可以

很抱歉！「集合」是學過，但可能有一定區別，我真的沒學過「封閉率」，「幺元律」，「逆元律」這些概念…… 請見諒！

H. 什麼是數學上的群

這是抽象代數的內容:
集合是基本概念,相當於一類/一堆/全體/...你該理解，不說了。
群是特殊的集，在它上面可以定義一種運算（通常叫做「乘法」，但跟數的乘法無必然聯系），要封閉/可結合/有單位元（類似乘1/加0）/有逆元（類似乘倒數/加相反數）...
例如，正有理數是乘法群，非零有理數也是乘法群，整數集在加法下成群。
注意，群不要求交換律，如果滿足交換律，叫阿貝爾群（或加法群）。
環和域的要求就更高了，不必給你講抽象的，只在數的范圍內討論：
在加/減/乘下封閉的數集是數環，如果數環在除法下也封閉，就叫數域。
某數的倍數全體（包括負的）成一數環，有理數集是最小的數域，實數集/復數集也是數域。
更深的內容參見大學課本，抽象代數/近世代數之類......

I. 數學中，群、環、域、集分別是什麼它們的范圍不同嗎

群：在數學中，群表示一個擁有滿足封閉性、結合律、有單位元、有逆元的二元運算的代數結構，包括阿貝爾群、同態和共軛類。

環(Ring)：是一類包含兩種運算(加法和乘法)的代數系統，是現代代數學十分重要的一類研究對象。其發展可追溯到19世紀關於實數域的擴張及其分類的研究。

域：定義域，值域，數學名詞，函數經典定義中，因變數改變而改變的取值范圍叫做這個函數的值域，在函數現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。

集合：簡稱集，是數學中一個基本概念，也是集合論的主要研究對象。集合論的基本理論創立於19世紀，關於集合的最簡單的說法就是在樸素集合論（最原始的集合論）中的定義，即集合是「確定的一堆東西」，集合里的「東西」則稱為元素。現代的集合一般被定義為：由一個或多個確定的元素所構成的整體。

范圍：

群、環、域都是滿足一定條件的集合，可大可小，可可數 也可 不可數，一個元素可以是群『0』，三個也可以『0，1，-1』，可數的：以整數為系數的多項式（可以驗證也是環），當然R也是；環不過是在群的基礎上加上了交換律和另外一種運算，域的條件更強（除0元可逆），常見的一般是數域，也就是：整數，有理數，實數，復數。

群，環，域都是集合，在這個集合上定義有特定元素和一些運算，這些運算具有一些性質。群上定義一個運算，滿足結合律，有單位元（元素和單位元進行運算不變），每個元素有逆元（元素和逆元運算得單位元） 例整數集，加法及結合律，單位元0,逆元是相反數， 正數集，乘法及結合律，單位元1，逆元是倒數 環是一種群，定義的群運算（記為＋）還要滿足交換律。

另外環上還有一個運算（記為×），滿足結合律，同時有分配律a(b+c)＝ab+ac，（a+b)c=ac+bc，由於×不一定有交換律，所以分開寫。 例整數集上加法和乘法。 域是一種環，上面的×要滿足交換律，除了有＋的單位元還要有×的單位元（二者不等），除了＋的單位元外其他元素都有×的逆元。 例整數集上加法和乘法，單位元0,1。

(9)數學中群應該滿足哪些律擴展閱讀

群、環、域代數結構：

群、環、域、向量空間、有序集等等，用集合與關系的語言給出來的統一的形式。首先，由於數學對象的多樣性，有不同的類型的集。

如群表示的集為G×G.實際上，群涉及的是二元運算；而向量空間表示的集為F×F→F，F×V→V，V×V→V，向量空間涉及域F中的運算，域F中的元對V中元的運算，V中元的運算.引入基本概念——「合成」(如，群的合成就是乘法運算；向量空間的「合成」有F中的元對V中元的作用乘法，V中元的加法運算)，並且，要求「合成」適合給定的公理體系，得到的就是一個數學結構。

事實上，代數結構中，所有概念均可用集合及關系來定義，即用集合及關系的語言來表述。

做為基本概念，若僅僅著眼於「合成」(即「運算」)，則這種數學結構稱為代數結構，或代數系(統).換言之，代數結構(代數系)就是帶有若干合成(運算)的集合。

J. 數學問題中群的概念

多項式的對稱假設 是未知數， 是 的二次方程， ,它的兩個根 有如下關系： ， 和 都有這樣的性質：把 和 對換，結果仍然不變，因為 ， 凡是有這樣性質的 和 的多項式叫做對稱多項式。例如， , 也是對稱多項式，但是 就不是對稱多項式。並且我們習慣上把 和 叫做初等對稱多項式。我們來看一般情況，設n∈Z+, a0，a1，……an∈C,a0≠0設現在有一元n次多項式方程： 著名的代數基本定理告訴我們，這樣的方程有n個根，假設為 ，那麼： 和二次的情形相仿，韋達定理給出： 像如上左邊各式： 等這樣的多項式，不論我們對 ，作怎樣的排列，都是不會變的。也就是說我們把 ， 是一個n排列,那麼以上的式子是不會變的。這樣的式子我們稱為 的對稱多項式，並且以上的幾個對稱多項式為初等對稱多項式。定義6：設 是C上的一個n元多項式，如果對這n個文字 的指數集{1，2，…n}施行任一個置換後， 都不改變，那麼就稱 是C上一個n元對稱多項式。例如: 是對稱多項式，而 就不是，如果把：1→2，2→3，3→1 那麼 初等對稱多項式的重要性在於定理（對稱多項式基本定理）：每一個n元對稱多項式都可以唯一地表示成初等對稱多項式的多項式。現在我們用群的語言去描述n元多項式的對稱性。令 ,Sn是M的變換群，即前面提到的n次對稱群。如果我們略去字母 而只記下標，這時Sn中的元素可以記為： 是一個n排列。令F 記數域F上n元多項式的全體。對 ,利用 可以定義F 到F 的一個映射， 那麼 是集合F 的一個一一變換。為什麼？ 令 Tn中 那麼（Tn，o）滿足 ，稱之為F 的置換群。如果把n元多項式和平面圖形類比，把F 和平面類比，則F 的置換群相當於平面的運動群，（平面的所有保距變換）。 即所有不變 的那些 ，那麼我們 滿足性質 ,稱之為n 元多項式 的對稱群。例1： ，那麼 ，即四次對稱群是 的對稱群。例2： 例3： ——Klein 4元群例4： 單位元群例5： 是3階循環解。定義 ： 的一個多項式 稱為對稱多項式，如果 。即對稱群是整個置換群。就這樣我們用群來刻劃了多項式的對稱。如何去構造對稱多項式，可見《近世代數》P55。四、數域的對稱數域的概念在大學一年級高等代數中就講過了。一個非空數集F，至少含有一個非零的數，如果F對＋，－，×，÷封閉，那麼F稱為一個數域。 Q，R，C都是數域，最小的數域是Q， 也是一個數域。平面圖形是一個幾何結構，即是把一個點集M（圖形由點組成）連同此點集M中任意兩點間的距離作為一個整體來考慮，而其對稱群就是M的保持其任兩點間的距離不變的變換的全體，這些保持M的幾何結構（即距離）的變換的全體，就刻畫了幾何結構的對稱。完全類似地，數域F是一個代數結構，也就是把一個數集F連同此數集F中加、減、乘、除的運算作為一個整體一起來考慮。所以數域F的對稱也同樣地可以用F的保持代數結構（即運算）的變換的全體來刻畫。定義7數域F的自同構 是指：（1） 是F的一個一一變換（2） 定理1若 是F的自同構，那麼 有以下系列的性質：（1） （2） ；（3） （4） . 和我們前面討論平面有限圖形K的對稱一樣兩個對稱變換的乘積仍是K的一個對稱變換，類似地我們有：性質1設 和 是數域F的兩個自同構，那麼 和 也是F的一個自同構. 性質2令Aut（F）表示F的所有自同構的全體，令o表示變換的乘法，則（Aut(F),o）滿足G1)—G4)。定義8 稱（Aut(F),o）為數域F的自同構群。我們可以這樣來類比：數域F的自同構群相當於圖形K的對稱群，後者刻畫了圖形K的對稱，前者則刻畫了數域的「對稱」，——它是圖形對稱在數域上的一個類比概念。定理2有理數域 的自同構群只有一個元素——恆等自同構I。由此可知，若任意數域F，F ，且 ，那麼 。即 ， 限制在 上是恆等變換。例1令 是一個數域，是把 添加到 做成的代數擴域。考察F的自同構群。設 ，由定理1知， ，故 ，變換的結果取決於 令 最多隻有2個數值 和 ，故F的自同構群只有 可以驗證I、 確為F上的自同構。 o I φ I I φ φ φ I 這是一個2元循環群， ，同構於 ，即 的對稱群。例2令 這也是一個數域。設 ，同上例， 的作用決定於 和 ，知 和 只有4種組合方式。故Aut(E)只有4個元素 o I φ1 φ2 φ12 I I φ1 φ2 φ12 φ1 φ1 I φ12 φ2 φ2 φ2 φ12 I φ1 φ12 φ12 φ2 φ1 I o (1) (12) (34) (12)(34) (1) (1) (12) (34) (12)(34) (12) (12) (1) (12)(34) (34) (34) (34) (12)(34) (1) (12) (12)(34) (12)(34) (34) (12) (1) Aut(E)與Klein 4元群同構 : ，即 的對稱群。我們把上面說的推廣到一般情況，定義9給定兩個數域F和E，如果F E，則稱F是E的子域，而稱E為F的擴域。令 即 是使得F中元素不動的E的自同構，Aut(E:F)就是由所有這樣的 組成。 F就相當於平面圖形的對稱中的對稱軸或是旋轉中心。命題（Aut(E:F)，o）滿足 ，稱為數域E在F上的對稱群。例3 和 都不能使到a+b 保持不變。設 ， 為n次多項式，n個根為 ， 在F上的分裂域為E， ，那麼稱（Aut(E:F)，o）為F上多項式 的根的對稱群，也稱為F上一元多項式 的Galois群。這個群在解決五次以上多項式方程不可能有根式解的問題上起了關鍵作用。五、關於「對稱與群」的教學（1） 認識運算的廣泛性，不只是數可以運算，其他的一些數學對象也可以運算，並且滿足一些數的運算所具有的性質。（2） 乘法不一定是可以交換的。（3） 代數結構的概念：一個集合，加上這個集合中的運算，構成一個代數系統，其結構體現在運算關繫上。（4） 群的概念：對稱群是一個具體的群。滿足G1)—G4)，就稱為群。（5） 數學語言是刻畫自然現象的一個極好工具，數學是模式的研究。數學來源於實際問題。參考資料：這是我們當時學的課件內容，希望對你有幫助