1. 數學思想有哪些
數學思想包括:函數思想、數形結合思想、分類討論思想、方程思想、整體思想、化歸思想、隱含條件思想、類比思想、建模思想等。數學思想是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中,經過思維活動而產生的結果。
1、函數方程思想:指用函數的概念和性質去分析問題和解決問題。
例如:等差、等比數列中,前n項和的公式,都可以看成n的函數。
2、數形結合思想:利用「數形結合」可使所要研究的問題化難為易,化繁為簡。
例如:求根號((a-1)^2+(b-1)^2)+根號(a^2+(b-1)^2)+根號((a-1)^2+b^2)+根號(a^2+b^2)的最小值。
3、分類討論思想:問題因為某種量或圖形的情況不同而有可能引起問題的結果不同時,需要對這個量的各種情況進行分類討論。
例如:解不等式|a-1|>4的時候,就要分類討論a的取值情況。
4、方程思想:一個問題可能與某個等式建立關聯時,可以構造方程並對方程的性質進行研究以解決這個問題。
例如:證明柯西不等式的時候,就可以把柯西不等式轉化成一個二次方程的判別式。
5、整體思想:從問題的整體性質出發,突出對問題的整體結構的分析和改造,發現問題的整體結構特徵。
例如:疊加疊乘處理、整體運算、幾何中的補形等都是整體思想。
6、化歸思想:在於將未知的問題通過演繹歸納轉化為已知的,熟悉的,簡單的問題。
例如:三角函數,幾何變換。
7、隱含條件思想:沒有明文表述出來或者是沒有明文表述,但是該條件是真理。
例如:一個等腰三角形,一條過頂點的線段垂直於底邊,那麼這條線段所在的直線也平分底邊和頂角。
8、類比思想:把兩個不同的數學對象進行比較,發現它們在某些方面有相同或類似之處,就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。
9、建模思想:為了更具科學性可重復性地描述一個實際現象,採用一種普遍認為比較嚴格的語言來描述各種現象。
2. 在初中數學教學中應滲透的幾種思想方法
《數學課程標准》在對初中階段的教學建議中要求「對於重要的數學思想方法應體現螺旋上升的、不斷深化的過程,不宜集中體現」。這就要求我們教師能在實際的教學過程中不斷地發現、總結、滲透數學思想仔頌方法。
一、化歸思想,
所謂「化歸」是指把待解決或未解決的問題凳鉛,通過轉化,歸結到已經解決或比較容易解決的問題中去,最終使問題得到解決的一種思想方法。我們也常把它稱之為「轉化思想」。例如:解分式方程轉化為解整式方程,解「二元」方程轉化為解「一元」方程,解多邊形問題轉化為解三角形問題等等。
二、數形結合的思想方法
數形結合思想是指將數與圖形結合起來解決問題的一種思維方式。著名的數學家華羅庚曾經說過:「數缺形時少直觀,形少數時難入微。」這就是在強調把數和形結合起來考慮的重要性。在教材《有理數》裡面用數軸上的點來表示有理數,就是最簡單的數形結合思想的體現。
三、分類討論的思想方法
在滲透分類討論思想的過程中,我認為首要的是分類。比如在《有理數》研究相反數、絕對值、有理數的乘法運算的符號法則等都是按有理數分成正數、負數、零三類分別研究的:在《平面圖形的認識》一章中,用分類討論思想進行了角的分類、點和直線的位置關系的分類、兩條直線位置關系的分類。這種思想方法主要可以避免漏解、錯解。
四、方程思想
方程思想指藉助解方程來求出未知量的一種解題策略。我們知道方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型。所以方程思想實際上就是由實際問題抽象為方程過程的數學建模思想。例如念粗鄭利用一元一次方程,一元二次方程能解決好多實際問題。
五、從特殊到一般的思想方法
從特殊到一般的數學思想方法,即先觀察一些特殊的事例,然後分析它們共同具有的特徵,作出一般的結論。
如用字母表示數,學生始終認為「-a是負數」,「兩個數的和大於其中任何一個加數」等,可以給a取不同的值,從而發現這些結論不正確。這就是滲透了從特殊到一般的數學思想方法。
3. 數學思想方法有哪幾種
數學思想方法有以下5種:
一、方程思想
當一個問題可能與某個等式建立關聯時,可以構造方程並對方程的性質進行研究以解決這個問題。例如證明柯西不等式的時候,就可以把柯西不等式轉化成一個二次方程的判別式。
二、分類討論思想
當一個問題因為某種量或圖形的情況不同而有可能引起問題的結果不同時,需要對這個量或圖形的各種情況進行分類討論。比如解不等式|a-1|>4的時候,就要分類討論a的取值情況。
三、隱含條件思想
沒有明文表述出來,但是根據已有的明文表述可以推斷出來的條件,或者是沒有明文表述,但是該條件是一個常規或者真理。例如一個等腰三角形,一條過頂點的線段垂直於底邊,那麼這條線段所在的直線也平分底邊和頂角。
四、類比思想
把兩個(或兩類)不同的數學對象進行比較,如果發現它們在某些方面有相同或類似之處,那麼就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。
五、極限思想
極限思想是微積分的基本思想,數學分析中的一系列重要概念,如函數的連續性、導數以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。如果要問:「數學分析是一門什麼學科?」那麼可以概括地說:「數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科」。
4. 數學基本思想有哪些
高中數學基本數學思想
1.轉化與化歸思想:是把那些待解決或難解決的問題化歸到已有知識范圍內可解問題的一種重要的基本數學思想.這種化歸應是等價轉化,即要求轉化過程中的前因後果應是充分必要的,這樣才能保證轉化後所得結果仍為原題的結果. 高中數學中新知識的學習過程,就是一個在已有知識和新概念的基礎上進行化歸的過程.因此,化歸思想在數學中無處不在. 化歸思想在解題教學中的的運用可概括為:化未知為已知,化難為易,化繁為簡.從而達到知識遷移使問題獲得解決.但若化歸不當也可能使問題的解決陷入困境. 例證
2.邏輯劃分思想(即分類與整合思想):是當數學對象的本質屬性在局部上有不同點而又不便化歸為單一本質屬性的問題解決時,而根據其不同點選擇適當的劃分標准分類求解,並綜合得出答案的一種基本數學思想.但要注意按劃分標准所分各類間應滿足互相排斥,不重復,不遺漏,最簡潔的要求. 在解題教學中常用的劃分標准有:按定義劃分;按公式或定理的適用范圍劃分;按運演算法則的適用條件范圍劃分;按函數性質劃分;按圖形的位置和形狀的變化劃分;按結論可能出現的不同情況劃分等.需說明的是: 有些問題既可用分類思想求解又可運用化歸思想或數形結合思想等將其轉化到一個新的知識環境中去考慮,而避免分類求解.運用分類思想的關鍵是尋找引起分類的原因和找准劃分標准. 例證
3. 函數與方程思想(即聯系思想或運動變化的思想):就是用運動和變化的觀點去分析研究具體問題中的數量關系,抽象其數量特徵,建立函數關系式,利用函數或方程有關知識解決問題的一種重要的基本數學思想.
4. 數形結合思想:將數學問題中抽象的數量關系表現為一定的幾何圖形的性質(或位置關系);或者把幾何圖形的性質(或位置關系)抽象為適當的數量關系,使抽象思維與形象思維結合起來,實現抽象的數量關系與直觀的具體形象的聯系和轉化,從而使隱蔽的條件明朗化,是化難為易,探索解題思維途徑的重要的基本數學思想.
5. 整體思想:處理數學問題的著眼點或在整體或在局部.它是從整體角度出發,分析條件與目標之間的結構關系,對應關系,相互聯系及變化規律,從而找出最優解題途徑的重要的數學思想.它是控制論,資訊理論,系統論中「整體—部分—整體」原則在數學中的體現.在解題中,為了便於掌握和運用整體思想,可將這一思想概括為:記住已知(用過哪些條件?還有哪些條件未用上?如何創造機會把未用上的條件用上?),想著目標(向著目標步步推理,必要時可利用圖形標示出已知和求證);看聯系,抓變化,或化歸;或數形轉換,尋求解答.一般來說,整體范圍看得越大,解法可能越好.
在整體思想指導下,解題技巧只需記住已知,想著目標, 步步正確推理就夠了.
中學數學中還有一些數學思想,如:
集合的思想;
補集思想;
歸納與遞推思想;
對稱思想;
逆反思想;
類比思想;
參變數思想
有限與無限的思想;
特殊與一般的思想.
它們大多是本文所述基本數學思想在一定知識環境中的具體體現.所以在中學數學中,只要掌握數學基礎知識,把握代數,三角,立體幾何,解析幾何的每部分的知識點及聯系,掌握幾個常用的基本數學思想和將它們統一起來的整體思想,就定能找到解題途徑.提高數學解題能力.
數學解題中轉化與化歸思想的應用
數學活動的實質就是思維的轉化過程,在解題中,要不斷改變解題方向,從不同角度,不同的側面去探討問題的解法,尋求最佳方法,在轉化過程中,應遵循三個原則:1、熟悉化原則,即將陌生的問題轉化為熟悉的問題;2、簡單化原則,即將復雜問題轉化為簡單問題;3、直觀化原則,即將抽象總是具體化.
策略一:正向向逆向轉化
一個命題的題設和結論是因果關系的辨證統一,解題時,如果從下面入手思維受阻,不妨從它的正面出發,逆向思維,往往會另有捷徑.
例1 :四面體的頂點和各棱中點共10個點,在其中取4個不共面的點,不共面的取法共有__________種.
A、150 B、147 C、144 D、141
分析:本題正面入手,情況復雜,若從反面去考慮,先求四點共面的取法總數再用補集思想,就簡單多了.
10個點中任取4個點取法有 種,其中面ABC內的6個點中任取4點都共面有 種,同理其餘3個面內也有 種,又,每條棱與相對棱中點共面也有6種,各棱中點4點共面的有3種, 不共面取法有 種,應選(D).
策略二:局部向整體的轉化
從局部入手,按部就班地分析問題,是常用思維方法,但對較復雜的數學問題卻需要從總體上去把握事物,不糾纏細節,從系統中去分析問題,不單打獨斗.
例2:一個四面體所有棱長都是 ,四個頂點在同一球面上,則此球表面積為( )
A、 B、 C、 D、
分析:若利用正四面體外接球的性質,構造直角三角形去求解,過程冗長,容易出錯,但把正四面體補形成正方體,那麼正四面體,正方體的中心與其外接球的球心共一點,因為正四面體棱長為 ,所以正方體棱長為1,從而外接球半徑為 ,應選(A).
策略三:未知向已知轉化
又稱類比轉化,它是一種培養知識遷移能力的重要學習方法,解題中,若能抓住題目中已知關鍵信息,鎖定相似性,巧妙進行類比轉換,答案就會應運而生.
例3:在等差數列 中,若 ,則有等式
( 成立,類比上述性質,在等比數列 中, ,則有等式_________成立.
分析:等差數列 中, ,必有 ,
,
故有 類比等比數列 ,因為
,故 成立.
邏輯劃分思想
例題1、已知集合 A= ,B= ,若B A,求實數 a 取值的集合.
解 A= : 分兩種情況討論
(1)B=¢,此時a=0;
(2)B為一元集合,B= ,此時又分兩種情況討論 :
(i) B={-1},則 =-1,a=-1
(ii)B={1},則 =1, a=1.(二級分類)
綜合上述 所求集合為 .
例題2、設函數f(x)=ax -2x+2,對於滿足1≤x≤4的一切x值都有f(x)≥ 0,求實數a的取值范圍.
例題3、已知 ,試比較 的大小.
【分析】
於是可以知道解本題必須分類討論,其劃分點為 .
小結:分類討論的一般步驟:
(1)明確討論對象及對象的范圍P.(即對哪一個參數進行討論);
(2)確定分類標准,將P進行合理分類,標准統一、不重不漏,不越級討論.;
(3)逐類討論,獲取階段性結果.(化整為零,各個擊破);
(4)歸納小結,綜合得出結論.(主元求並,副元分類作答).
5. 解一個方程式用的是什麼數學思想
使方程左右兩邊相等的未知數的值,叫做方程的解。求方程的解的過程叫做解螞並方程。必須含有未知數等式的等式才叫方程。等式不一定是方程,方程一定是等式。
相關概念
1.含有未知數的等式叫方程,也可以說是含有未知數的等式是方程。
2.使等式成立的未知數的值,稱為方程的解,或方程的根。
3.解方程就是求出方程中所有未知數的值的過程。
4.方程一定是等式,等式不一定是方程。不含未知數的等式不是方程。
5.驗證:一般解方程之後,需要進行驗證。驗證就是將解得的未知數的值代入原方程,看看方程兩邊是否相等。如果相等,那麼所求得的值就是方程的解。
6.注意事項:寫世物培「解」字,等號對齊,檢驗。
7.方程依靠等式各部分的關系,和加搜唯減乘除各部分的關系(加數+加數=和,和-其中一個加數=另一個加數,差+減數=被減數,被減數-減數=差,被減數-差=減數,因數×因數=積,積÷一個因數=另一個因數,被除數÷除數=商,被除數÷商=除數,商×除數=被除數)
6. 常用的數學思想方法有哪些 常用的數學思想方法有什麼
1、數學常用的數學思想方法主要有:用字母表示數的思想,數形結合的思想,轉化思想(化歸思想),分類思想,類比思想,函數的思想,方程的思想,無逼近思想等等。
2、用字母表示數的思想:這是基本的數學思想之一.在代數第一冊第二章「代數初步知識」中,主要體現了這種思想。
3、數形結合:是數學中最重要的,也是最基本的思想方法之一,是解決許多數學問題的有效思想。「數缺形時少直觀,形無數時難入微」是我國著名數學家華羅庚教授的名言,是對數形結合的作用進行了高度的概括。
4、轉化思想:在整個初中數學中,轉化(化歸)思想一直貫穿其中。轉化思想是把一個未知(待解決)的問題化為已解決的或易於解決的問題來解決,如化繁為簡、化難為易,化未知為已知,化高次為低次等,它是解決問題的一種最基本的思想,它是數學基本思想方法之一。
5、分類思想:有理數的分類、整式的分類、實數的分類、角的分類,三角形的分類、四邊形的分類、點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系,圓與圓的位置關系等都是通過分類討論的。
6、類比:類比推理在人們認識和改造客觀世界的活動中具有重要意義.它能觸類旁通,啟發思考,不僅是解決日常生活中大量問題的基礎,而且是進行科學研究和發明創造的有力工具.
7、函數的思想:辯證唯物主義認為,世界上一切事物都是處在運動、變化和發展的過程中,這就要求我們教學中重視函數的思想方法的教學。
8、方程:是初中代數的主要內容.初中階段主要學習了幾類方程和方程組的解法,在初中階段就要形成方程的思想.所謂方程的思想,就是突出研究已知量與未知量之間的等量關系,通過設未知數、列方程或方程組,解方程或方程組等步驟,達到求值目的的解題思路和策略。
7. 常見的數學思想有哪些
1、符號化思想
在數學教學中,各種量的關系、量的變化以及在量與量之間進行推導和演算,都是以符號形式(包括字母、數字、圖形與圖表以及各種特定的符號)來表示,即運行著一套形式化的數學語言。
2、分類思想
以比較為基礎,按照事物間性質的異同,將相同性質的對象歸入一類,不同性質的對象歸入不同類別——這就是分類,也稱劃分。數學的分類思想體現對數學對象的分類及其分類標准。
3、函數思想
函數概念深刻地反映了客觀世界的運動變化與實際事物的量與量之間的依存關系。
它告訴人們一切事物都在不斷地變化著,而且相互聯系、相互制約,從而了解事物的變化趨勢及其運動規律。對於函數,《標准》提出了學生各個學段的要求,結合實驗教材,小學中年級的要求是「探索具體問題中的數量關系和變化規律」「通過簡單實例,了解常量和變數的意義」。
4、化歸思想
「化歸」就是轉化和歸結。在解決數學問題時,人們常常是將需要解決的問題,通過某種轉化手段,歸結為另一個相對比較容易解決的或者已經有解決程序的問題,以求得問題的解答。在小學數學中處處都體現出化歸的思想,它是解決問題的一種最基本,最常用的思想方法。
5、歸納思想
研究一般性問題時,先研究幾個簡單、個別的、特殊的情況,從中歸納出一般的規律和性質,這種從特殊到一般的思維方式被稱為歸納思想。
歸納法分為不完全歸納法和完全歸納法兩種。小學階段學生接觸較多是不完全歸納法。教學四年級上冊運算律(以加法交換律和加法結合律為例),就採用了不完全歸納法展開了教學。
6、優化思想
「多中選優,擇優而用」既是一種自然規律,又是一種好的思想方法。演算法多樣化是解決問題策略多樣化的一種重要體現。計算長方形的周長是一題多解,求同存異,在對的方法中要選擇最好的方法,弄清對的與好的,選擇好的。
在教學中滲透優化的策略和方法,及時引導學生對各種方法進行評價與反思,通過對各種不同方法的辨析、比較,幫助學生認識不同方法的特點與優勢,達到「去偽存真、去粗存精」的目的,培養學生「多中選優,擇優而用」的優化意識,構建數學知識,實現對知識的優化和系統化。
7、數形結合思想
數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學。數形結合的思想,就是把問題的數量關系和空間形式結合起來加以考察的思想。
8. 初中數學幾種重要的數學思想
1、「方程」的思想
數學是研究事物的空間形式和數量關系的,初中最重要的數量關系是等量關系,其次是不等量關系。最常見的等量關系就是「方程」。比如等速運動中,路程、速度和時間三者之間就有一種等量關系,可以建立一個相關等式:速度*時間=路程,在這樣的等式中,一般會有已知量,也有未知量,像這樣含有未知量的等式就是「方程」,而通過方程里的已知量求出未知量的過程就是解方程。我們在小學就已經接觸過簡易方程,而初一則比較系統地學習解一元一次方程,並總結出解一元一次方程的五個步驟。如果學會並掌握了這五個步驟,任何一個一元一次方程都能順利地解出來。初二、初三我們還將學習解一元二次方程、二元二次方程組、簡單的三角方程;到了高中我們還將學習指數方程、對數方程、線性方程組、、參數方程、極坐標方程等。解這些方程的思維幾乎一致,都是通過一定的方法將它們轉化成一元一次方程或一元二次方程的形式,然後用大家熟悉的解一元一次方程的五個步驟或者解一元二次方程的求根公式加以解決。物理中的能量守恆,化學中的化學平衡式,現實中的大量實際應用,都需要建立方程,通過解方程來求出結果。因此,同學們一定要將解一元一次方程和解一元二次方程學好,進而學好其它形式的方程。
所謂的「方程」思想就是對於數學問題,特別是現實當中碰到的未知量和已知量的錯綜復雜的關系,善於用「方程」的觀點去構建有關的方程,進而用解方程的方法去解決它。
2、「數形結合」的思想
大千世界,「數」與「形」無處不在。任何事物,剝去它的質的方面,只剩下形狀和大小這兩個屬性,就交給數學去研究了。初中數學的兩個分支棗-代數和幾何,代數是研究「數」的,幾何是研究「形」的。但是,研究代數要藉助「形」,研究幾何要藉助「數」,「數形結合」是一種趨勢,越學下去,「數」與「形」越密不可分,到了高中,就出現了專門用代數方法去研究幾何問題的一門課,叫做「解析幾何」。在初三,建立平面直角坐標系後,研究函數的問題就離不開圖象了。往往藉助圖象能使問題明朗化,比較容易找到問題的關鍵所在,從而解決問題。在今後的數學學習中,要重視「數形結合」的思維訓練,任何一道題,只要與「形」沾得上一點邊,就應該根據題意畫出草圖來分析一番,這樣做,不但直觀,而且全面,整體性強,容易找出切入點,對解題大有益處。嘗到甜頭的人慢慢會養成一種「數形結合」的好習慣。
3、「對應」的思想
「對應」的思想由來已久,比如我們將一支鉛筆、一本書、一棟房子對應一個抽象的數「1」,將兩隻眼睛、一對耳環、雙胞胎對應一個抽象的數「2」;隨著學習的深入,我們還將「對應」擴展到對應一種形式,對應一種關系,等等。比如我們在計算或化簡中,將對應公式的左邊,對應a,y對應b,再利用公式的右邊直接得出原式的結果即。這就是運用「對應」的思想和方法來解題。初二、初三我們還將看到數軸上的點與實數之間的一一對應,直角坐標平面上的點與一對有序實數之間的一一對應,函數與其圖象之間的對應。「對應」的思想在今後的學習中將會發揮越來越大的作用。