檢測系統的數學模型有哪些

❶ 航空重力矢量測量的數學模型

1.航空重力矢量測量的數學模型

在經典力學中，根據牛頓第二運動定律，作用於單森譽位質點的總加速度矢量（稱為比力）fⁱ與載體運動加速度矢量

和引力加速度矢量Gⁱ之間的關系為：

航空重力勘探理論方法及應用

牛頓第二運動定律只成立於慣性系，上式中上標i表示慣性坐標系。按照愛因斯坦等效原理，

與

是不可分的，要獲取引力加速度Gⁱ，則必先求得載體運動加速度

（通過動態GPS），再從測得的比力中爛耐減去（孫中苗，2004）。

設質點在慣性系i和地球系e中的位置矢量分別為rⁱ和r^e，兩者之間的關系可表示為：

航空重力勘探理論方法及應用

式中：

為從i繫到e系的坐標變換矩陣，將上式對時間求導得：

航空重力勘探理論方法及應用

式中：

為反對稱矩陣，表示e系相對於i系的運動角速度。設v是載體相對地球的速度，即v^e＝

,v^e在n系可表示為：

航空重力勘探理論方法及應用

將式（3-3-3）代入式（3-3-4）可得：

航空重力勘探理論方法及應用

由上式可解得：

航空重力勘探理論方法及應用

於是

航空重力勘探理論方法及應用

上式因

量級很小，而忽略

。在n系中，顧及式（3-3-1）可得：

航空重力勘探理論方法及應用

將式（3-3-7）代入上式得：

航空重力勘探理論方法及應用

利用相似此歷段變換：

，及式（3-3.6）得：

航空重力勘探理論方法及應用

重力是引力和離心力之和，

即為慣性系中的重力gⁱ，所以：

航空重力勘探理論方法及應用

上式即為慣導系統中的比力方程，式中

稱為科里奧利（Coriolis）加速度，

為載體運動加速度，gⁿ為重力加速度矢量。

航空重力勘探理論方法及應用

或寫為：

航空重力勘探理論方法及應用

式中qⁿ表示科里奧利加速度和運動加速度的綜合影響。

式（3-3-12）中的重力加速度矢量gⁿ又可以表示成正常重力矢量γⁿ和擾動重力矢量δgⁿ之和，由此可得出航空重力矢量測量的基本模型（Titterton,2004；孫中苗，2004）：

航空重力勘探理論方法及應用

式中：

為載體的加速度；vⁿ為載體的速度；fⁿ為坐標系n加速度計的比力測量值；

為地球自轉角速度在當地地理坐標系n下的投影；γⁿ為正常重力；δgⁿ為所求的重力擾動矢量。

為當地地理坐標系n相對地球坐標系e的角速度在n系下的投影。

嚴格地說，上式適用於當地水平穩定平台系統，其中三軸加速度計的空中定向由電子機械反饋環路維持，因此所有觀測量均直接在n系中獲得。

對捷聯式矢量重力測量系統，加速度計和陀螺的觀測量是在載體坐標系b中獲得的，故其相應的數學模型為：

航空重力勘探理論方法及應用

式中：

為載體坐標系b與當地地理坐標系n之間的方向餘弦轉換矩陣；f^b為坐標系b下加速度計的比力測量值。

2.航空重力測量矢量模型的分量形式

下面將式（3-3-14）表示成分量形式

航空重力勘探理論方法及應用

式中

表示地球旋轉角速度的矩陣形式：

航空重力勘探理論方法及應用

航空重力勘探理論方法及應用

由此可得：

航空重力勘探理論方法及應用

式中：

航空重力勘探理論方法及應用

注意到γⁿ=[0 0 γ_u]^T，則式（3-3-14）的分量形式為：

航空重力勘探理論方法及應用

將vⁿ以橢球坐標表示為：

航空重力勘探理論方法及應用

即：

航空重力勘探理論方法及應用

R_N和R_M分別為卯酉圈和子午圈半徑，將式（3-3-22）代入式（3-3-20），得航空重力測量矢量模型的分量形式：

航空重力勘探理論方法及應用

式中：δg_N、δg_E、δg_U為重力擾動矢量的北向、東向和天向的分量；

為載體運動加速度的北向、東向和天向的分量；v_N、v_E、v_U為載體速度的北向、東向和天向的分量；f_N、f_E、f_U為比力的北向、東向和天向的分量；φ 、h為地理緯度和大地高度；ω為地球自轉角速度；γ_U為正常重力（指向天向）。

式（3-3-23）的第三式右端的[·]項為科里奧利加速度的垂直分量，通常稱為厄缶改正（Eötvös），記為δa_E：

航空重力勘探理論方法及應用

該改正項模型首先是由匈牙利物理學家厄缶推導的，並於1919年用實驗方法得到證實。

在當地地理坐標系n中，正常重力模型是大地緯度φ和飛行高度h（海拔高度m）的函數（Tit-terton,2004）：

航空重力勘探理論方法及應用

式中：y₀=9.780327（1+5.3024×10^-3sin²φ－5.9×10^-6sin²2φ）（m/s²,1979年國際地球物理及大地測量聯合會推薦的重力正常場計算公式）；

❷ 習題 2-1 什麼是系統的數學模型常用的數學模型有哪些

—般說來建立數學模型的方法大體上可分為兩大類、一類是機理分析方法，一類是測試分析方法．機理分析是根據對現實對象特性的認識、分析其因果關系，找出反映內部機理的規律,建立的模型常有明確的物理或現實意義. 模型准備 首先要了解問題的實際背景，明確建模的目的搜集建模必需的各種信息如現象、數據等，盡量弄清對象的特徵,由此初步確定用哪一類模型，總之是做好建模的准備工作．情況明才能方法對，這一步一定不能忽視，碰到問題要虛心向從事實際工作的同志請教，盡量掌握第一手資料. 模型假設 根據對象的特徵和建模的目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言做出假設，可以說是建模的關鍵一步．一般地說，一個實際問題不經過簡化假設就很難翻譯成數學問題，即使可能，也很難求解．不同的簡化假設會得到不同的模型．假設作得不合理或過份簡單，會導致模型失敗或部分失敗，於是應該修改和補充假設；假設作得過分詳細，試圖把復雜對象的各方面因素都考慮進去，可能使你很難甚至無法繼續下一步的工作．通常，作假設的依據，一是出於對問題內在規律的認識，二是來自對數據或現象的分析，也可以是二者的綜合．作假設時既要運用與問題相關的物理、化學、生物、經濟等方面的知識，又要充分發揮想像力、洞察力和判斷力，善於辨別問題的主次，果斷地抓住主要因素，舍棄次要因素，盡量將問題線性化、均勻化．經驗在這里也常起重要作用．寫出假設時，語言要精確，就象做習題時寫出已知條件那樣． 模型構成 根據所作的假設分析對象的因果關系，利用對象的內在規律和適當的數學工具，構造各個量(常量和變數)之間的等式(或不等式)關系或其他數學結構．這里除需要一些相關學科的專門知識外，還常常需要較廣闊的應用數學方面的知識，以開拓思路.當然不能要求對數學學科門門精通,而是要知道這些學科能解決哪一類問題以及大體上怎樣解決．相似類比法，即根據不同對象的某些相似性，借用已知領域的數學模型，也是構造模型的一種方法．建模時還應遵循的一個原則是，盡量採用簡單的數學工具，因為你建立的模型總是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少數專家欣賞. 模型求解 可以採用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值計算等各種傳統的和近代的數學方法，特別是計算機技術． 模型分析 對模型解答進行數學上的分析，有時要根據問題的性質分析變數間的依賴關系或穩定狀況，有時是根據所得結果給出數學上的預報，有時則可能要給出數學上的最優決策或控制，不論哪種情況還常常需要進行誤差分析、模型對數據的穩定性或靈敏性分析等． 模型檢驗 把數學上分析的結果翻譯回到實際問題，並用實際的現象、數據與之比較，檢驗模型的合理性和適用性．這一步對於建模的成敗是非常重要的，要以嚴肅認真的態度來對待．當然，有些模型如核戰爭模型就不可能要求接受實際的檢驗了．模型檢驗的結果如果不符合或者部分不符合實際，問題通常出在模型假設上，應該修改、補充假設，重新建模．有些模型要經過幾次反復，不斷完善，直到檢驗結果獲得某種程度上的滿意． 模型應用 應用的方式自然取決於問題的性質和建模的目的，這方面的內容不是本書討論的范圍。 應當指出，並不是所有建模過程都要經過這些步驟，有時各步驟之間的界限也不那麼分明．建模時不應拘泥於形式上的按部就班，本書的建模實例就採取了靈活的表述方式

❸ 模型檢驗常用方法有哪些

正確性分析：（模型穩定性分析，穩健性分析，收斂性分析，變化趨勢分析，極值分析等）
有效性分析：誤差分析，參數敏感性分析，模型對比亂州檢驗
有用性分析：關鍵梁團數據求解，極值點，拐點，變化趨勢分析，用數據橡陪橘驗證動態模擬。
高效性分析：時空復雜度分析與現有進行比較

❹ 數學模型有哪些

1、生物學數學模型

2、醫學數學模型

3、地質學數學模型

4、氣象學數學模型

5、經濟學數學模型

6、社會學數學模型

7、物理學數學模型

8、化學數學模型

9、天文學數學模型

10、工程學數學模型

11、管理學數學模型

(4)檢測系統的數學模型有哪些擴展閱讀：

數學模型的歷史可以追溯到人類開始使用數字的時代。隨著人類使用數字，就不斷地建立各種數學模型，以解決各種各樣的實際問題。

數學模型這種數學結構是藉助於數學符號刻劃出來的某種系統的純關系結構。從廣義理解，數學模型包括數學中的各種概念，各種公式和各種理論。

因為它們都是由現實世界的原型抽象出來的，從這意義上講，整個數學也可以說是一門關於數學模型的科學。從狹義理解，數學模型只指那些反映了特定問題或特定的具體事物系統的數學關系結構，這個意義上也可理解為聯系一個系統中各變數間內的關系的數學表達。