❶ 空瓶換汽水的奧數問題是什麼
空瓶換汽水的奧數問題是,三個空瓶可換一瓶汽水,買10瓶汽水,共可喝汽水多少瓶。
解析,10瓶汽水喝完了得到10個空瓶子,可以換10除以3等於3瓶汽水,還剩下一個空瓶子,這3瓶汽水喝完又得到3個空瓶子,又可以換3除以3等於1瓶汽水,還有前面的1個空瓶子,再喝完後就剩2個空瓶子,這時我們說先跟店主借一個空瓶子,就有3個空瓶子了,於是,可以換3除以3等於1瓶汽水,喝完後將空瓶子還給店主。所以,總共能喝汽水10加3加1加1等於15瓶。
奧數問題的作用
奧數相對比較深,數學奧林匹克活動的蓬勃發展,極大地激發了廣大少年兒童學習數學的興趣,成為引導少年積極向上,主動探索,健康成長的一項有益活動,有許多涉及到實際應用的問題,如計數,圖論,邏輯,抽屜原理等。
解決這類問題,一般都需要對實際問題的數學意義進行分析,歸納,把實際問題抽象成為數學問題,然後用相應的數學知識和方法去解決,在這一構造數學模型的過程中,能夠有效地培養學生用數學觀點看待和處理實際問題的能力,提高學生用數學語言和模型解決實際問題的意識和能力,提高學生揭示實際問題中隱含的數學概念及其關系的能力等等。
使學生能夠在這一創造性思維過程中,看到數學的實際作用,感受到數學的魅力,增強學生對數學美的感受力,在強調素質教育的今天,奧林匹克數學的這一教育功能有著更為重要的現實意義。
❷ 數學建模例題
例1 怎樣使飲料罐製造用材最省的問題.
首先,把飲料罐假設為正圓柱體(實際上由於製造工藝等要求,它不可能正好是數學上的正圓柱體,但這樣簡化確實是近似的、合理的).在這種簡化下,我們就可以來明確變數和參數了,例如可以假設:
V一罐裝飲料的體積,r一半徑,h一圓柱高,b一制罐鋁材的厚度,l一製造中工藝上必須要求的折邊長度。
上面的諸多因素中,我們先不考慮l這個因素.於是:
由於易拉罐上底的強度必須要大一點,因而在製造上其厚度為罐的其他部分厚度的3倍.因而制罐用材的總面積A= ,每罐飲料的體積V是一樣的,因而V可以看成是一個常數(參數),解出A:
代入A得:
從而知道,用材最省的問題就是求半徑r使A(r)達到最小。
A(r)的表達式就是一個數學模型。可以用多種精確的或近似的方法求A(r)最小時相應的r。
從而求得
例3 數據擬合模型
在數學建模過程中,常常需要確定一個變數依存於另一個或更多的變數的關系,即函數。但實際上確定函數的形式(線性形式、乘法形式、冪指形式或其它形式)時往往沒有先驗的依據。只能在收集的實際數據的基礎上對若干合乎理論的形式進行試驗,從中選擇一個最能擬合有關數據,即最有可能反映實際問題的函數形式,這就是統計學中的擬合回歸方程問題。
「人口問題」是我國最大社會問題之一,估計人口數量和發展趨勢是我們制定一系列相關政策的基礎。有人口統計年鑒,可查的我國從1949年至1994年人口數據智料如下:
年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994
人口數 (百萬)
541.67
602.66
672.09
704.99
806.71
908.59
975.42
1034.75
1106.76
1176.74
分析:
(1) 在直角坐標繫上作出人口數的圖象。
(2) 估計出這圖象近似地可看做一條直線。
(3) 用以下幾種方法(之一)確定直線方程,並算出1999年人口數。
方法一:先選擇能反映直線變化的兩個點,如(1949,541.67),(1984,1034.75)二點確定一條直線,方程為
N = 14.088 t – 26915.842
代入t =1999,得N »12.46億
方法二:可以多取幾組點對,確定幾條直線方程,將t = 1999代入,分別求出人口數,在取其算數平值。
方法三:可採用「最小二乘法」求出直線方程。
設(x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n, y n)是直角平面坐標系下給出的一組數據,若x 1<x 2<…<x n,我們也可以把這組數據看作是一個離散的函數。根據觀察,如果這組數據圖象「很象」一條直線(不是直線),我們的問題是確定一條直線y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出這組數據的變化。
對個別觀察值來說,它可能是正的,也可能是負的。為了不使它們相加彼此抵消,故"最好"應該是
它可能是正的,也可能是負的。為了不使它們相加彼此抵消,故"最好"應該是
例4 貸款買房問題
某居民買房向銀行貸款6萬元,利息為月利率1%,貸款期為25年,問該居民每月應定額償還多少錢?
確定參變數:用n表示月份, 表示第n個月欠銀行的錢,r表示月利率,x表示每月還錢數, 表示貸款額,則可得下表:
時間 欠銀行款
初始
一個月後
二個月後
三個月後
n個月後
由遞推關系式 可得
令 =60000元, ,n=300,r=0.01
得 元
因此,該居民每月應償還632元。
餐廳選菜的規律
學校餐廳每天供應1000名學生用餐,每星期一有兩樣菜:A,B可供選擇。調查資料表明,凡是在星期一選A菜的,下星期一會有20%改選B菜;而選B菜的,下星期一則有30%改選A,設 表示在第n個星期一選A,B的人數。
(1) 試用 表示 ;
(2) 證明: =0.5 +300;
(3) 若記 ,則
解:(1) =0.8 +0.3
(2) 因 ,故
一般地, =0.8 +0.3 =0.5 +300
(3) 若 ,則
用數學歸納法證之,設
則 =0.5 +300
=0.5[ +300
= .
此例僅供參考,好好努力學習