在數學指什麼

❶ 數學是什麼

數學是什麼--兼談幾何畫板
北京師范大學未來教育研究中心主任 桑新民

（1997年5月，桑新民教授參加全國中小學計算機教育研究中心為北京市老師組織的《幾何畫板》討論組，並發表了即興演講。本稿是根據錄像整理，並經桑新民教授的修改而來的。在此對桑新民教授表示感謝！）提到數學的本質，就涉及到數學和物理、化學這些經驗科學的關系。過去對數學的本質理解存在不少偏頗，認為數學是：世界的數量關系與空間關系的抽象。但實際上，這個定義是在用機械反應論的觀點來定義數學的。這樣一來，數學和物理就無法區別，因為物理也是對客體的反映。

對於這個問題，皮亞傑的研究有一個突破。他區分了兩種經驗，一種叫物理經驗，一種叫數學邏輯經驗。物理經驗不光指物理學，所有的經驗科學都屬於物理經驗，包括化學這類科學。物理經驗是對客體的抽象，而數學邏輯經驗呢，自然界里沒有。自然界沒有數學！數學是什麼？數學邏輯經驗是對人的活動、人的動作的一個反身抽象。這是一個很大的突破。所以，自然界里本身沒有數學，離開人以後沒有數學。

有人說：那有數量關系和空間關系呀！數量關系、空間關系都是人的計數活動和空間度量活動的產物。比如說拿最簡單的自然數來說，1、2、3、……、10。自然數從哪裡來的？世界只有1，沒有2。自然界沒有2！這實際上涉及核段仔到個別和一般的關系。當年，萊布尼茲在宮廷里講數學時，講了個別與一般的關系。他跟皇帝舉例說，世界上沒有兩片相同的葉子。宮女們聽了不相信，就去找，但怎麼也找不出來。只有1，1就是個別，到2，就是抽象了。2是怎麼來的？它其實是人類計數活動的產物。它是把別的相關的因素都抽象掉了，只剩下最抽象的「數量關系「。那什麼是「加」？「加」在自然界就更沒有了。「加」是人的計數活動。這是1個杯子，2個杯子改汪，這個叫「加」。這是計數活動的產物！所以，皮亞傑就揭示出：數學是人的計數活動和空間度量活動的反身抽象。是對人的活動的抽象！而所謂反身抽象就是對主體活動（動作）的抽象。

心理學揭示出很重要的一個規律：兒童在學數學時，都要以濃縮的形態再現整個人類的發展歷程。孩子怎麼學數學的？數學經驗是怎麼獲得、怎麼發展的？孩子學數學的歷程要重演整個人類數學的發展過程。人的數學從哪兒來的？是計數活動（例如結繩計數）才有的，然後才有幾何。但是一旦這個東西形成以後，它就形成了一個抽象的數學體系、幾何體系、邏輯體系，而且分為幾個部分。這樣時間長了以後，就形成了一整套的系統理論。因為它有很大的普遍性，它可以推理，它就好象一個很奇怪的東西。我們好象在學這個東西。而學這個東西就形成了很多公理、定理等，而且只要按照這個套，就不會錯。所以後來一說數學，好象就是記住這些公理、定理，然後一套就行了。其實這樣是不會懂數學的。皮亞傑做了很多實驗，研究兒童數概念的發展、空間概念的發展、時間概念的發展、守恆概念的發展、因果概念的發展，揭示了很多東西，並發現它和整個人類的科學史、數學史的發展是非常一致的。因此，最好的方法就是用科學史、數學史里最典型的那些事實來教給學生，而且一定要操作。

沒有操作、沒有計數活動，兒童學不會算術。所以開始一年級孩子學習算術時，一定要有經驗支撐，而且開始一定要加具體的量，如一個蘋果、一個梨。然後再抽象，再抽象出1、2。現在看來從有量的抽象到沒有量的抽象太難，所以中間應該有一個中介。中介是什麼呢？中國是用算盤。一個算盤珠既可以代替一個蘋果，也可以代替一個梨，已經經過一步抽象了。通過這樣一個中介，兒童比較容易達到這個過程。教孩子不能脫離這個。

另外，教幾何也是這樣，一定要有空間度量活動。這樣它才能理解什麼叫點，什麼叫線。我們大人理解起來好象這很容易，點就是點嘛、線就是線嘛、面燃轎就是面嘛、體就是體嘛。孩子不懂。孩子和經驗對照不起來。他一定要從經驗里抽象出這種點、線、面、體，才能理解。包括孩子能不能看懂立體幾何的投影圖，也是受經驗制約的。這實際上是一種空間知覺。空間知覺是後天形成的，不同於先天就有的感覺。空間知覺至少需要是兩種感覺的組合，一是觸覺，一是多種角度的視覺。心理學做過一個實驗：先天的盲人，在眼睛突然能看見以後，沒有空間知覺，不能分辨平面的圖和立體的物。那麼怎麼才能建立空間知覺呢？他就得從不同角度看一個物體。比如這個盒子，我們一看到就知道是立體的。其實你也只看到了三個面，可是你為什麼知道後面還有三個面呢？這是是把原來的經驗綜合起來了。所以先天盲人要建立起空間知覺，一定要從不同角度看一種東西，最好擺弄擺弄，這就把視覺、觸覺、包括從不同角度的視覺綜合起來了，這樣才能建立起空間知覺。

但是我們現在，用傳統手段教數學就缺乏操作，缺乏操作活動！離開人的活動是沒有數學、也學不懂數學的。所以，學習數學很重要的一個環節是了解數學背景、獲得數學經驗。而且數學經驗與物理經驗又連在一塊的。因為我們摸的東西也有各種物理經驗，如形態、軟硬、溫度等，但我現在要把物理經驗抽象掉，只剩下空間關系、數量關系了。所以要經過好幾步思維的變化。有了這些基本的概念以後，數學要進一步講到它們之間的關系。實際上，數學也好、幾何也好，重要的不在數，而在於它們之間的關系，一個是數量關系，一個是空間關系。關系是怎麼把握的呢？這就必須有純數學經驗了。而關系是在變化中把握的。但我們現在教的數學就沒有變化的過程，而且沒有數學操作的過程。因此，最好的辦法是創造一種東西，能夠提供一種純數學經驗，並且最好能把數量關系和空間關系聯系起來。

實際上幾何畫板提供的就是這樣一個東西。它是可以操作的。比如說，過去講數學，要講直角三角形的概念，就要畫幾種典型的直角三角形，但你不能窮盡它吧！所以孩子所看到的就是這幾種直角三角形，再換一個角度看還是不是呢？孩子又要重新判別了。幾何畫板就可以讓孩子操作圖形，這樣就可以把圖形各種不同的狀態都表現出來了。噢，這是一個直角三角形。而在過去是一下子就把本質的東西給學生了。但這本質是從哪兒來的？本質是從現象里抽象出來的。但傳統教學中，你不可能在黑板上把很多具體都提供給他。僅僅用抽象的語言來表述數學關系的本質和規律很容易產生誤解，因為他接觸的是個別，而「直角三角形」 這個概念已經是抽象的了，只剩下最本質的東西了。這個本質是你給他的，不是他把握的，不是他發現的，不是他抽象的，而在操作幾何圖形的過程中，可以看到不同樣子的直角三角形，而且還要有與銳角三角形、鈍角三角形的比較。在這種動態的操作過程中，就給孩子比較和抽象創造了一種活動的空間和條件。這樣它就能在活動中進行反身抽象，獲得、理解和掌握這些抽象的概念，而不是你把抽象的結論告訴他。只有這樣，孩子獲得的才是真正的數學經驗，而不是數學結論。

然後接著就是數量關系。幾何畫板另一個非常好的地方是把數和形給結合起來了。它在畫完圖後，馬上就可以測算出數值，並能把在圖形變化過程中數量關系的變化直觀地顯示出來。這個過去做不到，頂多可以把相對的幾個變化值告訴學生。但隨著一個微小變化，數量都發生了什麼樣的變化就不是傳統教學所能做到的了。而幾何畫板就可以隨時都看到各種情況下的數量關系及其變化，所以它能把數和形的潛在關系及其變化動態地顯現出來。學數學學通了，一定是把數和形都打通了。所以我始終主張：解析幾何應該早學。現在數學是分門別類地學，在小學也是分為整數、分數、小數、對數、指數來學，而且是一種一套運算規則。國內有一個趙宋光教授在小學做了一個實驗，我與他合作多年。他發明了「質因積」的概念，也就是質因數的連乘積，並用指數的形式表現出來。在小學一年級下學期時，學生用幾周左右即可掌握，並把它作為整數、分數、小數、對數、指數的轉換站，非常容易掌握。數和形的打通，解析幾何比較復雜，事實上在學直角坐標系時就可以引入數和形的關系。而幾何畫板又可以提供這方面的東西。因此幾何畫板可開發的東西很多。

理解數學的本質、理解數學教育的本質、理解數學經驗的本質、孩子怎麼發展數學思維的能力，這些問題如果在一個新的高度認識以後，我們會打破很多原來的教學定式，創造出很多新的教學模式。

現在最流行各種多媒體軟體。這些軟體最大的特點是形象和動態這兩個東西。而語言恰恰就是抽象的。一抽象了就不好懂，它提供的不是經驗背景，提供的是語言、概念，是邏輯。所以講了半天，我們大人因為有了經驗的支撐，有這個背景，可能覺得講得挺清楚的，怎麼講了半天學生還是不懂？如果學生沒有這種背景他就是不懂。關鍵在於你怎麼給學生創造這些背景。以往我們所提倡的直觀教學就是想找到一種經驗背景來幫助學生理解，但是有些是找不到的。而通過動態的幾何，就可以提供許多現實中無法提供的經驗背景。所以探索這種教學很重要的是探索如何提供經驗背景，什麼時候給，怎麼給，要探索出一套新的東西。實際上，是要創造出一種學生活動模式，而不是教學模式。老師的目的是要讓學生理解一個概念、一個規律。這在以前是用老師講來讓學生明白的，現在能不能轉換成學生自己的操作活動。你先把目的告訴他，然後提出幾個問題，給他一套操作程序，再笨的孩子也能理解了。所以《幾何畫板》對於差生來說是個救命的東西。

❷ 在數學!是什麼

！在數學中表示階乘
階乘(factorial)是基斯頓·卡曼(Christian Kramp, 1760 – 1826)於1808年發明的運算符芹絕號。

階擾簡乘，也是數學里的一種術語。

階乘指緩首褲從1乘以2乘以3乘以4一直乘到所要求的數。

❸ 數學是指什麼

數學可以分為兩大類，一類是代數學，一類是幾何學，和起來就簡稱『數學』。

❹ 數學是什麼意思

數學【shù xué】（希臘語：μαθηματικ?）西方源自於古這一詞在希臘語的μ?θημα（máthēma），其有學習、學問、科學，以及另外還有個較狹隘且技術性的意義－「數學研究」，即使在其語源內。其形容詞意義為和學習有關的或用功的，亦會被用來指數學的。其在英語中表面上的復數形式，及在法語中的表面復數形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性復數mathematica，由西塞hjt數學（math），以前我國古代把數學叫算術，又稱算學，最後才改為數學。
數學是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的真理。

❺ 1在數學中指什麼

數學上的1可表示以下意義:
1.
表示一個;
2.
在需要表示一個整體時,常用1來表示;這時的1在數學上叫做單位1;如一個班,一所學校等;
3.
用來表示長度,重量,……或計數時的基本單位;如1厘米,1斤重,……
4.
還有其它的特定意義,但是最常見的就是這幾種意義.
5.除了數學上的意義外,1代表的意義就很多了.

❻ r在數學中是指什麼

R+在數學中表示正實數的意思。即1、2、3……

常見的集合字母有：

N：非負整數集合或自然數集合{0,1,2,3,…}

N*或N+：正整數集合{1,2,3,…}

Z：整數集合{…,-1,0,1,…}

Q：有歲租理數集合

Q+：正有理數集合

Q-：負有理數集合

R：實數集合(包括有理數和無理數）

R+：正實數集合

R-：負實數集合

C：復數集合

∅ ：空集（不含有任何元素的集合）

(6)在數學指什麼擴展閱讀

集合常見符號

1、∈

讀作「屬於」。若a∈A，則a屬於集合A，a是集合升如A中的元素。

2、⊆

對於兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說集合A包含於集合B，或集合B包含集合A，也說集合A是集合B的子集。

3、∁

若給定全集U，有A⊆U，則A在U中的相對補集稱為A的絕對補集（或簡稱補集），即由U中所有不屬於A的元素組成的集合，寫作∁UA。

4、∩

由所有屬於集合A且屬於集合B的元素組成的集合，叫做A,B的交集。A 和 B 的交集寫作 "A ∩B"。表示：A 交 B

5、∪

由所有屬於A或屬於B的元素所組成的集合，叫做A,B的並集。讀作：A並B。

❼ 數學指的是什麼

數學（漢語拼音：shù xué；希臘語：μαθηματικ；英語：Mathematics），源自於古希臘語的μθημα（máthēma），其有學習、學問、科學之意．古希臘學者視其為哲學之起點，「學問的基礎」．另外，還有個較狹隘且技術性的意義——「數學研究」．即使在其語源內，其形容詞意義凡與學習有關的，亦會被用來指數學的．
其在英語的復數形式，及在法語中的復數形式+es成mathématiques，可溯至拉丁文的中性復數（Mathematica），由西塞羅譯自希臘文復數τα μαθηματικά（ta mathēmatiká）．
在中國古代，數學叫作算術，又稱算學，最後才改為數學．中國古代的算術是六藝之一（六藝中稱為「數」）．

❽ 什麼是數學

[編輯本段]數學簡介
數學（mathematics；希臘語：μαθηματικά）這一詞在西方源自於古希臘語的μάθημα（máthēma），其有學習、學問、科學，以及另外還有個較狹意且技術性的意義－「數學研究」，即使在其語源內。其形容詞μαθηματικός（mathēmatikós），意義為和學習有關的或用功的，亦會被用來指數學的。其在英語中表面上的復數形式，及在法語中的表面復數形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性復數mathematica，由西塞羅譯自希臘文復數τα μαθηματικά（ta mathēmatiká），此一希臘語被亞里士多德拿來指「萬物皆數」的概念。
數學是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。通過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的真理。
數學屬性是任何事物的可量度屬性，即數學屬性是事物最基本的屬性。可量度屬性的存在與參數無關，但其結果卻取決於參數的選擇。例如：時間，不管用年、月、日還是用時、分、秒來量度；空間，不管用米、微米還是用英寸、光年來量度，它們的可量度屬性永遠存在，但結果的准確性與這些參照系數有關。
數學是研究現實世界中數量關系和空間形式的科學。簡單地說，是研究數和形的科學。由於生活和勞動上的需求，即使是最原始的民族，也知道簡單的計數，並由用手指或實物計數發展到用數字計數。
基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一塊。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本內便可觀見。從那時開始，其發展便持續不斷地有小幅的進展，直至16世紀的文藝復興時期，因著和新科學發現相作用而生成的數學革新導致了知識的加速，直至今日。
今日，數學被使用在世界上不同的領域上，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展。數學家亦研究沒有任何實際應用價值的純數學，即使其應用常會在之後被發現。
創立於二十世紀三十年代的法國的布爾巴基學派認為：數學，至少純粹數學，是研究抽象結構的理論。結構，就是以初始概念和公理出發的演繹系統。布學派認為，有三種基本的抽象結構：代數結構（群，環，域……），序結構（偏序，全序……），拓撲結構（鄰域，極限，連通性，維數……）。
詞源 數學（mathematics；希臘語：μαθηματικά）這一詞在西方源自於古希臘語的μάθημα（máthēma），其有學習、學問、科學，以及另外還有個較狹意且技術性的意義－「數學研究」，即使在其語源內。其形容詞μαθηματικός（mathēmatikós），意義為和學習有關的或用功的，亦會被用來指數學的。其在英語中表面上的復數形式，及在法語中的表面復數形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性復數mathematica，由西塞羅譯自希臘文復數τα μαθηματικά（ta mathēmatiká），此一希臘語被亞里士多德拿來指「萬物皆數」的概念。
（拉丁文：Mathemetica)原意是數和數數的技術。
我國古代把數學叫算術，又稱算學，最後才改為數學。
[編輯本段]數學的本質
數學的本質是什麼？為什麼數學可以運用在所有的其它科目上？
數學是研究事物數量和形狀規律的科目
如果要深入的研究其本質及其擴展問題，就必須引入【全集然文明】專有名詞了
其實數學的本質是：一門研究【儲空】的科目
自然萬物都有其存儲的空間，這種現象稱之為【儲空】
要判斷一個事物是否為「儲空」其實很簡單：只要能夠套入「在××里」的××就是「儲空」（包括具體和抽象）。於是大家將會發現，所有的事物都可以套入其中，也就是說：自然萬物都只是不同的「儲空」而已。
於是人們也發現：【代數】就是研究【儲空量】的科目；【幾何】就是研究【儲空形狀】的科目。而既然自然萬物都只是不同的儲空而已，那麼數學當然也就可以通用於所有的科目之中了！
擴展信息：

1.更多的證據

因為一個除真空外的儲空都是有【儲隔】（儲空隔膜）的，於是人們在其它科目中使用數字就必須用【單位】來區分各種不同的儲空，如：個、頭、條、小時、牛、焦耳、歐姆、安培等等，可以說離開了單位，數字幾乎毫無意義。
並且各種名詞的【定義】也是相關儲空的儲隔，就是區別於其他事物的地方。

2.新數學等式和計算模型

異儲空計算模型
異儲空等式【異儲空等式】比如：1個人 異等於 5個蘋果 ，就是說：一個人可以得到5個蘋果，或一個人和5個蘋果相聯系（任何聯系都可以）；異等號就是等號=下面加個o（儲空標志）；這樣就可以簡單的描述很多日常生活中碰到的計算。而且您還可以通過右圖的【異儲空計算模型】（最簡單的模型），來計算一些事物。

3.其他幾何領域

當然有，其實一直都有兩個巨大的幾何領域被人們長期的忽視，那就是【文字幾何】與【功能幾何】。
（1）文字幾何：當一些有特定含義的文字按照特殊的組合和形狀排列下來就會出現各種特殊的功能和特性。就像我們最常見的「化學元素周期表」、「文字圖表」、「數學計算模型」等等。
（2）功能幾何：各種形狀都是擁有各種不同的功能的！如球形可以做大容量的容納物質，交叉有利於物質傳播等等。所以我們應該仔細研究和探討各種形狀的各種特殊功能！
使用全集然文明邏輯：如果自然萬物有共同的本質和規律，那麼它們必然可以用來推導各個科目的本質和規律，並推理出該科目內的新內容。於是我們發現了數學就是研究「儲空」的一個科目，並推理出了各種新領域。
註：（等式、四則運算、解方程式的本質都可以用【儲空】內部規律推理出來）
[編輯本段]數學研究的各領域
數學主要的學科首要產生於商業上計算的需要、了解數字間的關系、測量土地及預測天文事件。這四種需要大致地與數量、結構、空間及變化(即算術、代數、幾何及分析)等數學上廣泛的子領域相關連著。除了上述主要的關注之外，亦有用來探索由數學核心至其他領域上之間的連結的子領域：至邏輯、至集合論(基礎)、至不同科學的經驗上的數學(應用數學)、及較近代的至不確定性的嚴格學習。
數量
數量的學習起於數，一開始為熟悉的自然數及整數與被描述在算術內的自然數及整數的算術運算。整數更深的性質被研究於數論中，此一理論包括了如費馬最後定理之著名的結果。數論還包括兩個被廣為探討的未解問題：孿生素數猜想及哥德巴赫猜想。
當數系更進一步發展時，整數被承認為有理數的子集，而有理數則包含於實數中，連續的數量即是以實數來表示的。實數則可以被進一步廣義化成復數。數的進一步廣義化可以持續至包含四元數及八元數。自然數的考慮亦可導致超限數，它公式化了計數至無限的這一概念。另一個研究的領域為其大小，這個導致了基數和之後對無限的另外一種概念：艾禮富數，它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較。
結構
許多如數及函數的集合等數學物件都有著內含的結構。這些物件的結構性質被探討於群、環、體及其他本身即為此物件的抽象系統中。此為抽象代數的領域。在此有一個很重要的概念，即向量，且廣義化至向量空間，並研究於線性代數中。向量的研究結合了數學的三個基本領域：數量、結構及空間。向量分析則將其擴展至第四個基本的領域內，即變化。
空間
空間的研究源自於幾何－尤其是歐式幾何。三角學則結合了空間及數，且包含有著名的勾股定理。現今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何(其在廣義相對論中扮演著核心的角色)及拓撲學。數和空間在解析幾何、微分幾何和代數幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的計算等概念。在代數幾何中有著如多項式方程的解集等幾何物件的描述，結合了數和空間的概念；亦有著拓撲群的研究，結合了結構與空間。李群被用來研究空間、結構及變化。在其許多分支中，拓撲學可能是二十世紀數學中有著最大進展的領域，並包含有存在久遠的龐加萊猜想及有爭議的四色定理，其只被電腦證明，而從來沒有由人力來驗證過。
基礎與哲學
為了搞清楚數學基礎，數學邏輯和集合論等領域被發展了出來。康托（Georg Cantor，1845-1918）首創集合論，大膽地向「無窮大」進軍，為的是給數學各分支提供一個堅實的基礎，而它本身的內容也是相當豐富的，提出了實無窮的存在，為以後的數學發展作出了不可估量的貢獻。Cantor的工作給數學發展帶來了一場革命。由於他的理論超越直觀，所以曾受到當時一些大數學家的反對，就連被譽為「博大精深，富於創舉」的數學家Pioncare也把集合論比作有趣的「病理情形」，甚至他的老師Kronecker還擊Cantor是「神經質」，「走進了超越數的地獄」.對於這些非難和指責，Cantor仍充滿信心，他說：「我的理論猶如磐石一般堅固，任何反對它的人都將搬起石頭砸自己的腳.」他還指出：「數學的本質在於它的自由性，不必受傳統觀念束縛。」這種爭辯持續了十年之久。Cantor由於經常處於精神壓抑之中，致使他1884年患了精神分裂症，最後死於精神病院。
然而，歷史終究公平地評價了他的創造，集合論在20世紀初已逐漸滲透到了各個數學分支，成為了分析理論，測度論，拓撲學及數理科學中必不可少的工具。20世紀初世界上最偉大的數學家Hilbert在德國傳播了Cantor的思想，把他稱為「數學家的樂園」和「數學思想最驚人的產物」。英國哲學家Russell把Cantor的工作譽為「這個時代所能誇耀的最巨大的工作」。
數學邏輯專注在將數學置於一堅固的公理架構上，並研究此一架構的成果。就其本身而言，其為哥德爾第二不完備定理的產地，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果－總存在一不能被證明的真實定理。現代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論計算機科學有著密切的關連性。
恩格斯說：「數學是研究現定世界的數量關系與空間形式的科學。」
[編輯本段]數學的分類
離散數學
模糊數學

數學分支

1.算數
2.初等代數
3.高等代數
4. 數論
5.歐式幾何
6.非歐式幾何
7.解析幾何
8.微分幾何
9.代數幾何
10.射影幾何學
11.拓撲幾何學
12.拓撲學
13.分形幾何
14.微積分學
15. 實變函數論
16.概率和數量統計
17.復變函數論
18.泛函分析
19.偏微分方程
20.常微分方程
21.數理邏輯
22.模糊數學
23.運籌學
24.計算數學
25.突變理論
26.數學物理學
詳細請見詞條：數學分支

廣義的數學分類

從縱向劃分：
1、初等數學和古代數學：這是指17世紀以前的數學。主要是古希臘時期建立的歐幾里得幾何學，古代中國、古印度和古巴比倫時期建立的算術，歐洲文藝復興時期發展起來的代數方程等。
2、變數數學：是指17--19世紀初建立與發展起來的數學。從17世紀上半葉開始的變數數學時期，可以分為兩個階段：17世紀的創建階段（英雄時代）與18世紀的發展階段（創造時代）。
3、近代數學：是指19世紀的數學。近代數學時期的19世紀是數學的全面發展與成熟階段，數學的面貌發生了深刻的變化，數學的絕大部分分支在這一時期都已經形成，整個數學呈現現出全面繁榮的景象。
4、現代數學：是指20世紀的數學。1900年德國著名數學家希爾伯特（D. Hilbert）在世界數學家大會上發表了一個著名演講，提出了23個預測和知道今後數學發展的數學問題（見下），拉開了20世紀現代數學的序幕。
註：希爾伯特的23個問題——
在1900年巴黎國際數學家代表大會上，希爾伯特發表了題為《數學問題》的著名講演。他根據過去特別是十九世紀數學研究的成果和發展趨勢，提出了23個最重要的數學問題。這23個問題通稱希爾伯特問題，後來成為許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展產生了深刻的影響，並起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發的想信每個數學問題都可以解決的信念，對於數學工作者是一種巨大的鼓舞。
希爾伯特的23個問題分屬四大塊：第1到第6問題是數學基礎問題；第7到第12問題是數論問題；第13到第18問題屬於代數和幾何問題；第19到第23問題屬於數學分析。 現在只列出一張清單：
（1）康托的連續統基數問題。
（2）算術公理系統的無矛盾性。
（3）只根據合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的。
（4）兩點間以直線為距離最短線問題。
（5）拓撲學成為李群的條件（拓撲群）。
（6）對數學起重要作用的物理學的公理化。
（7）某些數的超越性的證明。
（8）素數分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素共問題。
（9）一般互反律在任意數域中的證明。
（10）能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數解？
（11）一般代數數域內的二次型論。
（12）類域的構成問題。
（13）一般七次代數方程以二變數連續函數之組合求解的不可能性。
（14）某些完備函數系的有限的證明。
（15）建立代數幾何學的基礎。
（16）代數曲線和曲面的拓撲研究。
（17）半正定形式的平方和表示。
（18）用全等多面體構造空間。
（19）正則變分問題的解是否總是解析函數？
（20）研究一般邊值問題。
（21）具有給定奇點和單值群的Fuchs類的線性微分方程解的存在性證明。
（22）用自守函數將解析函數單值化。
（23）發展變分學方法的研究。
從橫向劃分：
1、基礎數學（英文：Pure Mathematics）。又稱為理論數學或純粹數學，是數學的核心部分，包含代數、幾何、分析三大分支，分別研究數、形和數形關系。
2、應用數學。簡單地說，也即數學的應用。
3 、計算數學。研究諸如計算方法（數值分析）、數理邏輯、符號數學、計算復雜性、程序設計等方面的問題。該學科與計算機密切相關。
4、概率統計。分概率論與數理統計兩大塊。
5、運籌學與控制論。運籌學是利用數學方法，在建立模型的基礎上，解決有關人力、物資、金錢等的復雜系統的運行、組織、管理等方面所出現的問題的一門學科。
[編輯本段]符號、語言與嚴謹
在現代的符號中，簡單的表示式可能描繪出復雜的概念。此一圖像即是由一簡單方程所產生的。
我們現今所使用的大部份數學符號都是到了16世紀後才被發明出來的。在此之前，數學被文字書寫出來，這是個會限制住數學發展的刻苦程序。現今的符號使得數學對於專家而言更容易去控作，但初學者卻常對此感到怯步。它被極度的壓縮：少量的符號包含著大量的訊息。如同音樂符號一般，現今的數學符號有明確的語法和難以以其他方法書寫的訊息編碼。
數學語言亦對初學者而言感到困難。如何使這些字有著比日常用語更精確的意思。亦困惱著初學者，如開放和域等字在數學里有著特別的意思。數學術語亦包括如同胚及可積性等專有名詞。但使用這些特別符號和專有術語是有其原因的：數學需要比日常用語更多的精確性。數學家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為「嚴謹」。
嚴謹是數學證明中很重要且基本的一部份。數學家希望他們的定理以系統化的推理依著公理被推論下去。這是為了避免錯誤的「定理」，依著不可靠的直觀，而這情形在歷史上曾出現過許多的例子。在數學中被期許的嚴謹程度因著時間而不同：希臘人期許著仔細的論點，但在牛頓的時代，所使用的方法則較不嚴謹。牛頓為了解決問題所做的定義到了十九世紀才重新以小心的分析及正式的證明來處理。今日，數學家們則持續地在爭論電腦輔助證明的嚴謹度。當大量的計量難以被驗證時，其證明亦很難說是有效地嚴謹。
[編輯本段]數學的發展史

世界數學發展史

奇普，印加帝國時所使用的計數工具。數學，起源於人類早期的生產活動，為中國古代六藝之一，亦被古希臘學者視為哲學之起點。數學的希臘語μαθηματικός（mathematikós）意思是「學問的基礎」，源於μάθημα（máthema）（「科學，知識，學問」）。
數學的演進大約可以看成是抽象化的持續發展，或是題材的延展。第一個被抽象化的概念大概是數字，其對兩個蘋果及兩個橘子之間有某樣相同事物的認知是人類思想的一大突破。 除了認知到如何去數實際物質的數量，史前的人類亦了解了如何去數抽象物質的數量，如時間－日、季節和年。算術(加減乘除)也自然而然地產生了。古代的石碑亦證實了當時已有幾何的知識。
更進一步則需要寫作或其他可記錄數字的系統，如符木或於印加帝國內用來儲存數據的奇普。歷史上曾有過許多且分歧的記數系統。
從歷史時代的一開始，數學內的主要原理是為了做稅務和貿易等相關計算，為了了解數字間的關系，為了測量土地，以及為了預測天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數學對數量、結構、空間及時間方面的研究。
到了16世紀，算術、初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備。17世紀變數概念的產生使人們開始研究變化中的量與量的互相關系和圖形間的互相變換。在研究經典力學的過程中，微積分的方法被發明。隨著自然科學和技術的進一步發展，為研究數學基礎而產生的集合論和數理邏輯等也開始慢慢發展。
數學從古至今便一直不斷地延展，且與科學有豐富的相互作用，並使兩者都得到好處。數學在歷史上有著許多的發現，並且直至今日都還不斷地發現中。依據Mikhail B. Sevryuk於美國數學會通報2006年1月的期刊中所說，「存在於數學評論資料庫中論文和書籍的數量自1940年(數學評論的創刊年份)現已超過了一百九十萬份，而且每年還增加超過七萬五千份的細目。此一學海的絕大部份為新的數學定理及其證明。」

❾ 到底什麼是數學它的范圍有哪些

數學是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科.透過抽象化和邏輯推理的使用,由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生.數學家們拓展這些概念,為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的真理.研究現實世界中數量關系和空間形式的科學.簡單地說,是研究數和形的科學.由於生活和勞動上的需求,即使是最原始的民族,也知道簡單的計數,並由用手指或實物計數發展到用數字計數.基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一塊.其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本內便可觀見.從那時開始,其發展便持續不斷地有小幅的進展,直至16世紀的文藝復興時期,因著和新科學發現相作用而生成的數學革新導致了知識的加速,直至今日.今日,數學被使用在世界上不同的領域上,包括科學、工程、醫學和經濟學等.數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學,有時亦會激起新的數學發現,並導致全新學科的發展.數學家亦研究沒有任何實際應用價值的純數學,即使其應用常會在之後被發現.創立於二十世紀三十年代的法國的布爾巴基學派認為：數學,至少純粹數學,是研究抽象結構的理論.結構,就是以初始概念和公理出發的演繹系統.布學派認為,有三種基本的抽象結構：代數結構（群,環,域……）,序結構（偏序,全序……）,拓撲結構（鄰域,極限,連通性,維數……）.數學還分幾何,計算,還有面積.