數學三角形怎麼證明勾股定理

⑴ 三角形勾股定理怎麼算 要詳細過程

三角形的勾股定理可以通過公式a²+b²=c²來計算。勾股定理的定義為：直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。念羨即勾股定理的表達式為A²+B²=C²，或者也可以寫為C=√（A²+B²）。中國古代稱直角三角形為勾股形，並且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為顫猜股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理。

使用勾股定理解決三角形計算的問題方法如下：例如直角三角形的三條邊是3（直角邊）、4（直角邊）、5（斜邊）則3²+4²=5²，可得5=√（3²+4²）=√5²=5。三角形勾股定理的推論，勾股數組是滿足勾股定理的正整數組，其中的稱為勾股數。

(1)數學三角形怎麼證明勾股定理擴展閱讀

勾股定理的證明方法仔洞拍：

在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，

，，

∵

⑵ 三角形勾股定理公式及證明方法

勾股定理是指直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。接下來分享三角形勾股定理公式及證明方法。

三角形勾股定理公式

1.基本公式

在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等於斜邊長的平方。如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是a和b，斜邊長度是c，那麼勾股定理的公式為a ^² +b ^² =c ^² 。

2.完全公式

a=m，b=(m²/k-k)/2，c=(m²/k+k)/2其中m≥3

(1)當m確定敬純為任意一個≥3的奇數時，k={1，m²的所有小於m的因子}

(2)當m確定為任意一個≥4的偶數時，k={m²/2的所有小於m的偶數因子}

3.常用公式

（1）(3,4,5),(6,8,10)……3n,4n,5n(n是正梁帆整數)。

（2）(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)……2n+1,2n²+2n,2n²+2n+1(n是正整數)。

（3）(8,15,17),(12,35,37)……2²*(n+1),[2(n+1)]²-1,[2(n+1)]²+1(n是正整數)。

（4）m²-n²,2mn,m²+n²(m、n均是正整數,m>n)。

三角形勾股定理證明方法

設△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。

其邊為亮渣咐BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

畫出過點A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE於K、L。

分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因為AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因為A與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。

因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四邊形BDLK=BAGF=AB²。

同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC²。

把這兩個結果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

由於BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由於CBDE是個正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。

⑶ 直角三角形勾股定理如何證明

直角三角形勾股定理證明方彎纖洞法如下：

1、以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角埋枯形豎螞，則每個直角三角形的面積等於2分之一ab。

2、AEB三點在一條直線上，BFC三點在一條直線上，CGD三點在一條直線上。

3、證明四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形後即可推出勾股定理。

⑷ 勾股定理的證明方法最簡單的6種

勾股定理的證明方法最簡單的6種如下：

一、正方形面積法

這是一種很常見的證明方法，具體使用的是面積來證明的。以三角形的三邊分別作三個正方形，發現兩個較小的正方形面積之和等於較大的那個三角形。勾股定理得到證明。

二、趙爽弦圖

趙爽弦圖是指用四個斜邊長為c，較長直角邊為a,較短直角邊為c的指教三角形組成一個正方形。在這個較大的正方形里還有一個較小的正方形。通過計算整體的面積算出勾股定理。

五、畢達哥拉斯證明

畢達哥拉斯的證明方法，也是證明面積相等，蛋是才去的方法是對三角形進行了移動。比如將原來的四個分散在四周的三角形，兩兩相組合，洞缺發現兩個正方形的面積和兩個長方形的面積相等。

六、三角形相似證明

利用三角形的相似性來證明勾股定理。就是將三角形從直角邊作垂線，這單個三角形相似。以三邊分別作正方形，因為邊成比例，所以面積也具有成比例的關系。

⑸ 勾股定理怎麼證明呢

簡單的勾股定理的證明方法如下：

拓展資料：

勾股定理是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形，並且直角邊中悔賀較小者為勾，另一搜昌長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理，也有人稱商高定理。

勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工世前扒具之一，也是數形結合的紐帶之一。在中國，商朝時期的商高提出了「勾三股四玄五」的勾股定理的特例。在西方，最早提出並證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和。

參考資料：勾股定理_網路

⑹ 三角形勾股定理的證明方法

1．中國方法：畫兩個邊長為(a+b)的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個正方形全等，故面積相等。

左圖與右圖各有四個與原直角三角形全等的三角形，左右四個三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個正方形，分別以a、b為邊。右圖剩下以c為邊的正方形。於是
a^2+b^2=c^2。
這就是手侍我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。

2．希臘方法：直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖。

容易看出，

△ABA』 ≌△AA'C 。

過C向A』』B』』引垂線，交AB於C』，交A』』B』』於C』』。

△ABA』與正方形ACDA』同底等高,前者面積為後者面積的一半，△AA』』C與矩形AA』』C』』C』同底等高，前者的面積也是後者的一半。由△ABA』≌△AA』』C，知正方形ACDA』的面積等於矩形AA』』C』』C』的面積。同理可得正方形BB』EC的面積等於矩形B』』BC』C』』的面積。

於是， S正方形AA』』B』』B=S正方形ACDA』+S正方形BB』EC，

即 a2+b2=c2。

至於三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補法得到（請讀者自己證明）。這里只用到簡單的面積關系，不涉及三角形和矩形的面積公式。

這就是希臘古代數學家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。

以上兩個證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個基本觀念：

⑴ 全等形的面積相等；

⑵ 一個圖形分割成幾部分，各部分面積之和等於原圖形的面積。

這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。

我國歷代數學家關於勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖注也不少，其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附於《周髀算經》之中的論文《勾股圓方圖注》中的證明。採用的是割補法：

如圖，將圖中的四個直角三角形塗上硃色，把中間小正方形塗上黃色，叫做中黃實，以弦為邊的正方形稱為弦實，然後經過拼補搭配，「令出入相補，各從其類」，他肯定了勾股弦三者的關系是符合勾股定理的。即「勾股各自乘，並之為弦實，開方除之，即弦也」。

趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數學家高超的證題思想，較為簡明、直觀。

西方也有很多學者研究了勾股定理，給出了很多證明方法，其中有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據說當他證明了勾股定理以後，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為「百牛定理」。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法。

下面介紹的是美國第二十任總統伽菲爾德對勾股定理的證明。

如圖，

S梯形ABCD= (a+b)2

= (a2+2ab+b2)， ①

又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED

= ab+ ba+ c2

= (2ab+c2)。 ②

比較以上二式，便得

a2+b2=c2。

這一證明由於用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當簡潔。

1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日誌》上發表了他對勾股定理的這一證明。5年後，伽菲爾德就任美國第二十任總統。後來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的「總統」證法，這在數學史上被傳為佳話。

在學習了相似三角形以後，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個直角三角形所分成的兩個直角三角形與原畢差吵三角形相似。

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足為D。則

△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。

由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ①

由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ②

我們發現，把①、②兩式相加可得

BC2+AC2=AB（AD+BD），

而AD+BD=AB，

因此有 BC2+AC2=AB2，這就是

a2+b2=c2。

這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相慶襪似三角形的知識。

在對勾股定理為數眾多的證明中，人們也會犯一些錯誤。如有人給出了如下證明勾股定理的方法：

設△ABC中，∠C=90°，由餘弦定理

c2=a2+b2-2abcosC，

因為∠C=90°，所以cosC=0。所以

a2+b2=c2。

這一證法，看來正確，而且簡單，實際上卻犯了循環證論的錯誤。原因是餘弦定理的證明來自勾股定理。

人們對勾股定理感興趣的原因還在於它可以作推廣。

歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：「直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和」。

從上面這一定理可以推出下面的定理：「以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等於以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和」。

勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等於直角邊上兩個多面體表面積之和。

若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等於兩直角邊上所作二球表面積之和。

⑺ 勾股定理的幾種證明方法

勾股定理常用的公式就一個，就是a的平方加上b的平方等於c的平方，如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為C，那麼公式就是：a²+b²=c²。

勾股定理是一個基本的幾滲坦何定理，它是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。

勾股定理的逆定理叢螞桐：如果三角形三邊長a，b，c滿足a²+b²=c²，那麼這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊。即直角三角形兩直角邊長的平方和等於斜邊長的平方。

歐幾里得證法

在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點畫一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。

在這個定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：

如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS）

三角形面積是任物悉一同底同高之平行四邊形面積的一半。

任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。

任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。

⑻ 直角三角形的勾股定理怎麼證明

勾股定理：b^2=c^2-a^2

正弦定理：b/(sinB)=c/(sin90)

除了具有一般三角形的性質外，具有一些特殊的性質：

1、直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。∠BAC=90°，則AB²+AC²=BC²（勾股定理)

2、在直角三角形中，兩個銳角互余。如圖，若∠BAC=90°，則∠B+∠C=90°

3、直角三角形中，斜邊手團上的中線等於斜邊的一半（即直角三角形的外心位於斜邊的中點，外接圓半徑R=C/2）。該性質稱為直角三角形斜邊中線定理。

4、直角三角形的兩直角邊的乘積等於斜邊與斜邊搏銀上高的乘積。

(8)數學三角形怎麼證明勾股定理擴展閱讀：

在直角三角形中，如果有一個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。

在直角三角形中，如果有一條直角邊等於斜邊的一半，那麼這條直角邊所對的銳角等於30°。

證明方法多種，下面採取較簡單的幾何證法。

先證明定理的前半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，那麼BC=AB/2

∵基薯宴∠A=30°

∴∠B=60°（直角三角形兩銳角互余）

取AB中點D，連接CD，根據直角三角形斜邊中線定理可知CD=BD

∴△BCD是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）

∴BC=BD=AB/2

再證明定理的後半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB/2，那麼∠A=30°

取AB中點D，連接CD,那麼CD=BD=AB/2（直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半）

又∵BC=AB/2

∴BC=CD=BD

∴∠B=60°

∴∠A=30°

⑼ 勾股定理的證明方法

勾股如殲櫻定理的證明方法如下改仔：

求證：勾股定理，即直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。

證明：分兩種情況來討論，即兩條直角邊長度不相等與相等。

1. 兩條直角邊長度不相等。

   如圖，分別設直角三角形的邊長為a、b、c，（a<b，c為斜邊）。

將四個同樣大小的三角形拼成右圖形式，則：

則右圖正方形渣叢的面積為四個直角三角形的面積之和。

得：c^2=4*(aa/2)=2a^2=a^2+a^2

即a^2+a^2=c^2，原命題得證。

所以，直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。