數學歸納法又叫什麼

❶ 什麼是數學歸納法

數學歸納法（Mathematical
Inction,
MI）是一種數學證明方法，通常被用於證明某個給定命題在整個（或者局部）自然數范圍內成立。除了自然數以外，廣義上的數學歸納法也可以用於證明一般良基結構，例如：集合論中的樹。這種廣義的數學歸納法應用於數學邏輯和計算機科學領域，稱作結構歸納法。
在數論中，數學歸納法是以一種不同的方式來證明任意一個給定的情形都是正確的（第一個,第二個，第三個，一直下去概不例外）的數學定理。
雖然數學歸納法名字中有「歸納」，但是數學歸納法並非不嚴謹的歸納推理法，它屬於完全嚴謹的演繹推理法。事實上，所有數學證明都是演繹法。

❷ 什麼叫數學歸納法

概述 數學上證明與自然數N有關的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與正整數有關的數學問題，在高中數學中常用來證明等式成立和數列通項公式成立。 編輯本段 基本步驟 （一）第一數學歸納法： 一般地，證明一個與自然數n有關的命題P(n），有如下步驟： （1）證明當n取第一個值n0時命題成立。n0對於一般數列取值為0或1，但也有特殊情況； （2）假設當n=k（k≥n0，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。 綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題P(n）都成立。 （二）第二數學歸納法： 對於某個與自然數有關的命題P(n）， （1）驗證n=n0時P(n）成立； （2）假設n0≤n<=k時P(n）成立，並在此基礎上，推出P(k+1）成立。 綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題P(n）都成立。 （三）倒推歸納法（反向歸納法）： （1）驗證對於無窮多個自然數n命題P(n）成立（無窮多個自然數可以是一個無窮數列中的數，如對於算術幾何不等式的證明，可以是2^k，k≥1）； （2）假設P(k+1）（k≥n0）成立，並在此基礎上，推出P(k）成立， 綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題P(n）都成立； （四）螺旋式歸納法 對兩個與自然數有關的命題P(n），Q(n）， （1）驗證n=n0時P(n）成立； （2）假設P(k）（k>n0）成立，能推出Q(k）成立，假設 Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立； 綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。 編輯本段 應用 （1）確定一個表達式在所有自然數范圍內是成立的或者用於確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。 （2）數理邏輯和計算機科學廣義的形式的觀點指出能被求出值的表達式是等價表達式。 （3）證明數列前n項和與通項公式的成立。 （4）證明和自然數有關的不等式。 編輯本段 變體及應用 在應用，數學歸納法常常需要採取一些變化來適應實際的需求。下面介紹一些常見的數學歸納法變體。 從0以外的數字開始 如果我們想證明的命題並不是針對全部自然數，而只是針對所有大於等於某個數字b的自然數，那麼證明的步驟需要做如下修改： 第一步，證明當n=b時命題成立。第二步，證明如果n=m(m≥b）成立，那麼可以推導出n=m+1也成立。 用這個方法可以證明諸如「當n≥3時，n2>2n」這一類命題。 針對偶數或奇數 如果我們想證明的命題並不是針對全部自然數，而只是針對所有奇數或偶數，那麼證明的步驟需要做如下修改： 奇數方面： 第一步，證明當n=1時命題成立。第二步，證明如果n=m成立，那麼可以推導出n=m+2也成立。 偶數方面： 第一步，證明當n=0或2時命題成立。第二步，證明如果n=m成立，那麼可以推導出n=m+2也成立。 遞降歸納法 數學歸納法並不是只能應用於形如「對任意的n」這樣的命題。對於形如「對任意的n=0,1,2,...,m」這樣的命題，如果對一般的n比較復雜，而n=m比較容易驗證，並且我們可以實現從k到k-1的遞推，k=1,...,m的話，我們就能應用歸納法得到對於任意的n=0,1,2,...,m，原命題均成立。如果命題P(n）在n=1,2,3,......,t時成立，並且對於任意自然數k，由P(k),P(k+1）,P(k+2）,......,P(k+t-1）成立，其中t是一個常量，那麼P(n）對於一切自然數都成立. 其它形式 如跳躍數學歸納法的定義 通常，跳躍數學歸納法的第二步總是由k推出,跨度為n 。但是並不是對於所有的問題都能解決. 編輯本段 合理性 數學歸納法的原理，通常被規定作為自然數公理（參見皮亞諾公理）。但是在另一些公理的基礎上，它可以用一些邏輯方法證明。比如，由下面的公理可以推出數學歸納法原理： 自然數集是良序的。 注意到有些其它的公理確實是數學歸納法原理的可選的公理化形式。更確切地說，兩者是等價的。 編輯本段 歷史 已知最早的使用數學歸納法的證明出現於Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri o（1575年）。Maurolico利用遞推關系巧妙的證明出證明了前n個奇數的總和是n^2，由此揭開了數學歸納法之謎。 最簡單和常見的數學歸納法證明方法是證明當n屬於所有正整數時一個表達式成立，這種方法是由下面兩步組成： 遞推的基礎：證明當n=1時表達式成立。 遞推的依據：證明如果當n=m時成立，那麼當n=m+1時同樣成立。 這種方法的原理在於第一步證明起始值在表達式中是成立的，然後證明一個值到下一個值的證明過程是有效的。如果這兩步都被證明了，那麼任何一個值的證明都可以被包含在重復不斷進行的過程中。 或許想成多米諾效應更容易理解一些，如果你有一排很長的直立著的多米諾骨牌那麼如果你可以確定： 第一張骨牌將要倒下，只要某一個骨牌倒了，與之相鄰的下一個骨牌也要倒，那麼你就可以推斷所有的的骨牌都將要倒。 這樣就確定出一種遞推關系，只要滿足兩個條件就會導致所有骨牌全都倒下： （1）第一塊骨牌倒下； （2）任意兩塊相鄰骨牌，只要前一塊倒下，後一塊必定倒下。 這樣，無論有多少骨牌，只要保證（1）（2）成立，就會全都倒下。 解題要點： 數學歸納法對解題的形式要求嚴格，數學歸納法解題過程中， 第一步為：驗證n取第一個自然數時成立 第二步：假設n=k時成立，然後以驗證的條件和假設的條件作為論證的依據進行推導，在接下來的推導過程中不能直接將n=k+1代入假設的原式中去。 最後一步總結表述

❸ 數學歸納法是怎樣用的數學歸納法什麼時候不能用 什麼時候不能用

我們都學過數學歸納法,非常精妙的一種數學方法,其主要用於證明某個命題在自然數范圍內成立.大概步驟如下：
1：假設當n=1時命題成立；
2：證明如果在n=m時成立,那麼可以推導n=m+1時命題也成立.
3：從而可以證明此命題成立.
這就是我們常見的數學歸納法.名叫第一歸納法.事實上,數學歸納法可不止這一種形式,他有多種變體,除了我們可以從n=3等開始,或者是只考慮n為奇數偶數等,還有下面的完整歸納法：
1：證明當n=1,2,……,k時命題p(n)成立
2：證明p(m),p(m+1),p(m+2)……,p(m+k-1)成立,能推導出p(m+k)成立.從而證明此命題成立.也就是將第一歸納法里的一個推一個換成多個推一個.我們以一個例子,那就是證明菲波拉契數列的通項公式：
證明：當n=1,2時,可以檢驗其成立.
假設當n=k和n=k+1時命題皆成立,即：
從而證明了這個通項公式的正確.關於數學歸納法的內容,遠不止我們中學所學的那麼點.就此一例,希望能讓各位同學打開自己的眼界,去探尋真正的數學王國.

❹ 什麼是數學歸納法,能舉例嗎

一樓完全將歸納法的思想方法搞錯了。

數學歸納法(Mathematical Inction)是：
先驗證，後假設，再歸納。

具體的方法就是
1、根據已知的表達式進行驗證，通常是驗證第一項；
2、假設到第n項也成立；
3、推廣到第(n+1)項。

舉例如下：
試用歸納法證明：
1²+2²+3²+4²+.......+n²=n(n+1)(2n+1)/6
證明：
當n=1時，1²=1
1×(1+1)(2+1)/6=1
∴n=1時，1²+2²+3²+4²+.......+n²=n(n+1)(2n+1)/6 成立

假設n=k時，1²+2²+3²+4²+.......+k²=k(k+1)(2k+1)/6 也成立

1²+2²+3²+4²+.......+k²+(k+1)²
=k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)²
=[(k+1)/6]×[k(2k+1)+6(k+1)]
=[(k+1)/6]×(2k²+7k+6)
=[(k+1)/6]×(k+2)(2k+3)
=[(k+1)/6]×[(k+1)+1]×[2(k+1)+1]
=(k+1)×[(k+1)+1]×[2(k+1)+1]/6
證明完畢！

說明：
第二步的假設是，級數的最後一項是k²,等式後面對應的是k;
第三步的級數最後一項是(k+1)²,等式右邊對應的是(k+1).
這說明，k=1成立，k+1變成了2，2也成立
k=2成立，2+1變成了3，3也成立。。。。。都成立。

記住：歸納法的公式是用其他方法得出的，不是如樓上講的找出規律！
歸納法是先有了結論，這個結論甚至可能是猜出來的，都沒有關系。

平時的數學是演繹法(dece)，是可以遞推的。歸納法正好相反，不可以遞推，
所以稱為歸納，歸納到一個表達式中，歸納到一個方法中。

³

❺ 什麼是數學歸納法 與完全歸納法 不完全歸納法有什麼區別

數學歸納法是完全歸納法的一種。是嚴謹的數宏旁學證明。它的主要思想有兩個步驟，1、證明n=1時命題正確。2、假設當n=k是命題正確，以此來推導n=k+1時命悶鄭題正確。這樣對於一切自然數，命題都正確了。1可以推得2，2可以推得3，以此類推。
而不蔽罩橡完全歸納法則只能證明n取其中某些數字時命題正確，沒有證明對於所有的自然數都正確。

❻ 數學歸納法是什麼

數學歸納法就是一種證明方式。

通過過歸納，可以使雜亂無章的數學條理化，使大量的數學系統化。歸納是在比較的基礎上進行的。通過比較，找出數學間的相同點和差異點，然後把具有相同點的數學歸為同一類，把具有差異點的數學分成不同的類。最終達到數學上的證明。

(6)數學歸納法又叫什麼擴展閱讀：

數學歸納法原理可以由下面的良序性質（最小自然數原理）公理可以推出：

自然數集是良序的。（每個非空的正整數集合都有一個最小的元素）；比如{1, 2, 3 , 4, 5}這個正整數集合中有最小的數——1。

下面我們將通過這個性質來證明數學歸納法：

對於一個已經完成上述兩步證明的數學命題，我們假設它並不是對於所有的正整數都成立。

對於那備型些不成立的數所構成的集合S，其中必定有一個最小的元素k。（1是不屬於集合S，所以k>1）

k已經是集合S中的最小元素了，所以k-1是不屬於S，這意味著k-1對於命題而言是成立的——既然對於k-1成立，那麼也對手仔k也應該成立，這與畢滾汪我們完成的第二步驟矛盾。所以這個完成兩個步驟的命題能夠對所有n都成立。