『壹』 高一數學函數值域的求法
1．觀察法
用於簡單的解析式。
y＝1－√x≤1,值域(－∞,
1]
y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).
2.配方法
多用於二次(型)函數。
y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,
＋∞）
y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）
3.
換元法
多用於復合型函數。
通過游嫌換元，使高次函數低次化，分式函數整式枯春化，無理函數有理化，超越函數代數以方便求值域。
特別注意中間變數（新量）的變化范圍。
y=-x+2√(
x-1)+2
令t=√(x-1),
則t≤0,
x=t^2+1.
y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(－∞,
1].
4.
不等式法
用不等式的基本性質，也是求值域的常用方法。
y=（e^x+1）/(e^x-1),
(0
1/(e-1),
y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).
5.
最值法
如果函數f(x)存在最大值M和最小值m.那麼值域為[m,M].
因此,求值域的方法與求最值的方法是相通的.
6.
反函數法
有的又叫反解法.
函數和它的反函數的定義域與值域互換.
如果一個函數的值域不易求,而它的反函數的定義域易求.那麼,我們通過求後沒磨耐者而得出前者.
7.
單調性法
若f(x)在定義域[a,
b]上是增函數,則值域為[f(a),
f(b)].減函數則值域為
[f(b),
f(a)].
『貳』 高一數學必修一求值域方法
你問的問題太寬泛了……碰到我這樣懶的人不會想回答太多的……
高一求值域大致有以下幾種。其中每一種都要注意一下定義域的問題（就是注意一下可能x∈R時的值域一部分可能要省去）。另外下面應該基本上都要用到函數圖象求值域的（其實不用圖象，明白其原理也行，但是高一可能很多原理老師不講的。那就要找到其函數圖畝察帶象的規律，自己總結一下了）
1、單調區間求值域。對於單調遞增或遞減的區域，最大值和最小值分別在函數圖像的兩端上。這個很好求。先證明函數在某一段內是單調函數，然後求兩個端點的值。
2、分離常數。對於y=兩一元沒配一次代數式相除的情況，用此方法。就是把分子的代數式看做分母的代數式的幾倍再加上一個常迅蘆數。比如：(2x+3)/(x+1)，可以把分子看做2(x+1)+1,這樣原來的式子可以變成一個常數加上一個平移後的反比例函數了。具體的網路分離常數法。
3、二次函數值域。直接畫圖，略去不說。
4、對勾函數，略去不說。
5、判別式法，直接網路文庫
6、復合函數的值域。先求出內層函數的值域，作為外層函數的定義域，然後按一般求值域的方法求解。略去不說。
我大概只記得這么多了。上面我只是很馬馬虎虎的講了一下
『叄』 高一求值域的方法有哪些
一函數求值域的方法及例題
高一的。例題不要太深奧
最佳答案
函數值域的求法：
①配方法：轉化為二次函數，利用二次函數的特徵來求值；常轉化為型如： 的形式；
②逆求法（反求法）：通過反解，用 來表示 ，再由 的取值范圍，通過解不等式，得出 的取值范圍；常用來解，型如： ；
④換元法：通過變數代換轉化為能求值域的函數，化歸思想；
⑤三角有界法：轉化為只含正弦答賣、餘弦的函數，運用三角函數有界性來求值域；
⑥基本不等式法：轉化成型如： ，利用平均值不等式公式來求值域；
⑦單調性法：函數為單調函數，可根據函數的單調性求值域。
⑧數形結合：根據函數的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。
1.導數法
利用導數求出其單調性和極值點的極值，最常規，最不易高錯，但往往計算很煩雜
2.分離常數
如 x^2/(x^2+1)將其分離成 1－1/(x^2+1)再判斷值域
3.分子分母同除以某個變數
如x/(x^2+1)同時除以x得 1/（x+1/X）分母的值域很好求，再帶進整個函數即可
4.換元法
可以說是3的拓展
如(x+1)/(x^2+1)一類分子分母同時除以x仍無法判斷的。
令t＝x＋1，再把x^2表示成(t-1)^2，再分子分母同時除以t就成了3中的情形
5.基本換元法
型如1/(x+1)+1/(x+1)^2等，直接令t＝1/(x＋1)，求出t的定義域,可以很快將函數換成型如 t^2+t的形式，從而可求值域。當然，要注嫌游意t的定義域
6.倒數法
和2基本相同。如x/(x^2+1)先求其倒數x＋1/x,再倒回去清者逗，2，6基本類似。
以上是幾條比較基本和常用的方法，當然要注意他們的綜合應用
『肆』 高一數學函數求值域的方法
函數值域求法介紹
在函數的三要素中，定義域和值域起決定作用，而值域是碼派野由定義域和對應法則共同確定。研究函數的值域，不但要重視對應法則的作用，而且還要特別重視定義域對值域的制約作用。確定函數的值域是研究函數不可缺少的重要一環。對於如何求函數的值域，是學生感到頭痛的問題，它所涉及到的知識面廣，方法靈活多樣，在高考中經常出現，佔有一定的地位，若方法運用適當，就能起到簡化運算過程，避繁就簡，事半功倍的作用。
1、直接觀察法
對於一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到。
例1 求函數y = 的值域
解： x ≠0 ， ≠0
顯然函數的值域是：（ -∞，0 ）∪（0 ，+∞）。
例2 求函數y = 3 - 的值域。
解： ≥0 - ≤0 3- ≤3
故函數的值域是：[ -∞，3 ]
2 、配方法
配方法是求二次函數值域最基本的方法之一。
例3 、求函數y= -2x+5，x [-1，2]的值域。
解：將函數配方得：y=（x-1） +4， x [-1，2]， 由二次函數的性質可知：
當x = 1時，y = 4
當x = - 1，時 = 8
故函數的值域是：[ 4 ，8 ]
3 、判別式法
例4 求函數y = 的值域。
解：原函數化為關x的一元二次方程（y-1 ) +（y - 1 ）x= 0
（1）當y≠1時， x R ,△ = (-1) -4(y-1)(y-1) ≥0
解得： ≤y≤
（2）當y=1，時，x = 0,而1 [ , ]
故函數的值域為[ ， ]
例5 求函數y=x+ 的值域。
解：兩邊平方整理得：2 -2（y+1）x+y =0 （1）
x R， △=4（y+1） -8y≥0
解得：1- ≤y≤1+
但此時的函數的定義域由x（2-x）≥0，得：0≤x≤2。
由△≥0，僅保證關於x的方程：2 -2（y+1）x+y =0在實數集R有實根，而不能確保其實根在區間[0，2]上，即不能確保方程（1）有實根，由△≥0求出的范圍可能比y的實際范圍大，故不能確定此函數的值域為[ ， ]。可以採取如下方法進一步確定原函數的值域。
0≤x≤2， y=x+ ≥0，
=0，y=1+ 代入方程（1），解得： = [0，2]，即當 = 時，原函數的值域為：[0，1+ ]。
註：由判別式法來判斷函數的值域時，若原函數的定義域不是實數集時，應綜合函數的定義域，將擴大的部分剔除。
4、反函數法
直接求函數的值域困難時，可以通過求其原函數的定義域來確定原函數的值域。
例6 求羨此函數y= 值域。
解：由原函數式可得：遲喊x =
則其反函數為：y =
其定義域為：x ≠
故所求函數的值域為：（- ∞， ）
5 、函數有界性法
直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，反客為主來確定函數的值域。
例7 求函數y = 的值域。
解：由原函數式可得： =
＞0， ＞0
解得：- 1＜y＜1。
故所求函數的值域為( - 1 , 1 ) .
例8 求函數y = 的值域。
解：由原函數式可得：ysinx-cosx=3y
可化為： sinx（x+β）=3y
即 sinx（x+β）=
∵x∈R，∴sinx（x+β）∈[-1，1]。即-1≤ ≤1
解得：- ≤y≤ 故函數的值域為[- ， ]。
6 、函數單調性法
例9 求函數y = （2≤x≤10）的值域
解：令y = ， = ，則 y ， 在[ 2， 10 ]上都是增函數。
所以y= y + 在[ 2 ，10 ]上是增函數。
當x = 2 時，y = + = ，
當x = 10 時， = + =33。
故所求函數的值域為：[ ，33]。
例10 求函數y= - 的值域。
解：原函數可化為： y=
令y = ， = ，顯然y ， 在[1，+∞）上為無上界的增函數，所以y= y + 在[1，+∞）上也為無上界的增函數。 所以當x = 1時，y=y + 有最小值 ，原函數有最大值 = 。
顯然y＞0，故原函數的值域為( 0 , ]。
7、換元法
通過簡單的換元把一個函數變為簡單函數，其題型特徵是函數解析式含有根式或三角函數公式模型。換元法是數學方法中幾種最主要方法之一，在求函數的值域中同樣發揮作用。
例11 求函數y = x + 的值域。
解：令x-1=t，（t≥0）則x= +1
∵y= +t+1= + ，又t≥0，由二次函數的性質可知
當t=0時，y = 1， 當t →0時，y →+∞。
故函數的值域為[ 1 ，+∞）。
例12 求函數y =x+2+ 的值域
解：因1- ≥0 ，即 ≤1
故可令x+1=cosβ，β∈[ 0 ，∏] 。
∴y=cosβ+1+ =sinβ+cosβ+1 = sin（β+∏/ 4 ）+1
∵0≤β≤∏，0 ≤β+∏/4≤5∏/4
∴ - ≤sin（β+∏/4）≤1
∴ 0 ≤ sin（β+∏/4）+1≤1+ 。
故所求函數的值域為[0，1+ ]。
例13 求函數 y= 的值域
解：原函數可變形為：y=-
可令x=tgβ，則有 =sin2β， =cos2β
∴y=- sin2β cos2β= - sin4β
當β= k∏/2-∏/8時， = 。
當β= k∏/2+∏/8時，y = -
而此時tgβ有意義。
故所求函數的值域為[- ， ] 。
例14 求函數y=（sinx+1）（cosx+1），x∈[-∏/12∏/2]的值域。
解：y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1
令sinx+cosx=t，則sinxcosx= （ -1）
y = （ -1）+t+1=
由t=sinx+cosx= sin（x+∏/4）且x∈[- ∏/12，∏/2]
可得： ≤t≤
∴當t= 時， = + ，當t= 時，y= +
故所求函數的值域為[ + ， + ] 。
例15 求函數y=x+4+ 的值域
解：由5-x≥0 ，可得∣x∣≤
故可令x = cosβ，β∈[0，∏]
y= cosβ+4+ sinβ= sin（β+∏/4）+ 4
∵ 0 ≤β≤∏， ∴ ∏/4≤β+∏/4≤5∏/4
當β=∏/4時， =4+ ，當β=∏時，y =4- 。
故所求函數的值域為：[4- ，4+ ]。
8 數形結合法
其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目瞭然，賞心悅目。
例16 求函數y= + 的值域。
解：原函數可化簡得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成數軸上點P（x ）到定點A（2 ），B（- 8 ）間的距離之和。
由上圖可知：當點P在線段AB上時，
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，
y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10
故所求函數的值域為：[10，+∞）
例17 求函數y= + 的值域
解：原函數可變形為：y= +
上式可看成x軸上的點P（x，0）到兩定點A（3，2），B（-2 ，-1 ）的距離之和，
由圖可知當點P為線段與x軸的交點時， y =∣AB∣= = ，
故所求函數的值域為[ ，+∞）。
例18 求函數y= - 的值域
解：將函數變形為：y= -
上式可看成定點A（3，2）到點P（x，0 ）的距離與定點B（-2，1）到點P（x，0）的距離之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣
由圖可知：（1）當點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點P1，則構成△ABP1，根據三角形兩邊之差小於第三邊，
有 ∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣= =
即：- ＜y＜
（2）當點P恰好為直線AB與x軸的交點時， 有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣= ∣AB∣= 。
綜上所述，可知函數的值域為：（- ，- ]。 註：由例17，18可知，求兩距離之和時，要將函數式變形，使A，B兩點在x 軸的兩側，而求兩距離之差時，則要使兩點A ，B在x軸的同側。
如：例17的A，B兩點坐標分別為：（3 ，2 ），（- 2 ，- 1 ），在x軸的同側；
例18的A，B兩點坐標分別為：（3 ，2 ），（2 ，- 1 ），在x軸的同側。
9 、不等式法
利用基本不等式a+b≥2 ，a+b+c≥3 （a，b，c∈ ），求函數的最值，其題型特徵解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。
例19 求函y=（sinx +1/sinx）+（cosx+1/cosx）的值域
解：原函數變形為：
y=（ + ）+1/ +1/
= 1+ +
= 3+ +
≥3 + 2
=5
當且僅當tgx=ctgx，即當x=k∏±∏/4時（k∈z），等號成立。
故原函數的值域為：[ 5，+∞）。
例20 求函數y=2sinxsin2x的值域
解：y=2sinxsinxcosx
=4 cosx
=16
=8 （2-2 ）
≤8（ + +2- ）
=8[（ + +2- ）/3]
=
當且當 =2-2 ，即當 =時，等號成立。
由 ≤ ，可得：- ≤y≤
故原函數的值域為：[- ， ）。
10、多種方法綜合運用
例21 求函數y= 的值域
解：令t= （t≥0），則x+3= +1
（1） 當t＞0時，y= = ≤ ， 當且僅當t=1，即x=-1時取等號
所以0＜y≤ 。
（2） 當t=0時，y=0。綜上所述，函數的值域為：[0， ]。
註：先換元，後用不等式法。
例 22 求函數y= 的值域。
解：y= + = +
令x=tg ，則 = ， = sin ，
∴y= + sin =- + sin +1
=- +
∴當sin = 時， = 。當sin =-1時，y =-2。
此時tg 都存在，故函數的值域為：〔－2， 〕。
註：此題先用換元法。後用配方法，然後再運用sin 的有界性。
總之，在具體求某個函數的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特徵，然後再選擇恰當的方法，一般優先考慮直接法，函數單調性法和基本不等式法，然後才考慮用其他各種特殊方法。
『伍』 高一函數的值域的求法
求函數值域的方法有配方法，常數分離法，換元法，逆求法，基本不等式法，求導法，數形結合法和判別式法等，高一函數值域暫時沒有導數法和基本不等式法。
1、配方法：二次函數求值域，將函數配方成頂點式的格式，再根據函數的定義域求函數的值域，畫一個簡單圖更能便捷直觀的求值域。
2、常數分離：一般是對於分數形式的函數來說的。將分子上的函數盡量配成與分母相同的形式，進行常數分離求得值域。
3、逆求法：對於y=f(x)看成方程，去求為x=f⁻¹（y），此時可得出y的限制范圍，就是原式的值域了，這實際是一種方程的方法，利用方程有解的條件得出y的不等式，從而求出函數的定義域。
4、換元法：對於函數的某一部分較復雜或生疏可用換元法，將其轉變成我們熟悉的二次函數或其它函數的基本形式求解。
5、單調性：先求出函數的單調性，注意先求定義域，根據單調性再求函數的值域。
6、基本不等式：根據我們學過的基本不等式可將函數轉換成可運用基本不等式的形式，以此來求值域。
7、數形結合：可根據函數給出的式子畫出函數的圖形，在圖形上找出對應點求出值域。（對於選擇填空題非常實用）
8、求導法：求出函數的導數，觀察函數的定義域，將端點值與極值比較，求出最大值與最小值就可得到值域了。
9、判別式法：將函數轉變成某某等於零的形式，再用解方程的方法求出要滿足的條件，求解即可。
『陸』 高一數學，值域怎麼求，要過程
值域問題是高中函數的一個精華問題。
有很多問題都是圍繞著他展開的。比如說恆成立問題，值域反求定義與問題（即反函數求定義域）……等等。下面就說一下最基本的集中求值域問題的類型。
首先要著重說的是：求值域，必先看定義域。所有函數都是如此。
1.單調性法
利用函數的單調性。當一個函數單調性很容易判斷時，可用定義域來求解。
e.g.1
y=x-√（1-2x).求值域。
解：1-2x≥0,得x≤1/2.
觀察得，函數在指定區間內為增函數，所以y有最大值，即1/2-√（1-1）=1/2.
所以值域為（-∞，1/2]。
2.判別式法。適用於y是x的2次函數的情況。且x∈r.
y=(x^2-x)/(x^2-x+1).求值域。
解：將原式變形得
y*(x^2-x+1)=x^2-x.整理得
（y-1）x^2+(1-y)x+y=0.
因為y=1時，推出y=0.即x∈φ
所以y≠1.
x∈r，即此式恆有根，所以δ=（1-y)^2-4(y-1)*y≥0,
解得-1/3≤y≤1.
又因為y≠1,所以
y∈[-1/3,1).
註：此法可用的原因：化成x的式子後發現，x∈r對該式都成立，也就是說有這樣的x,一定可以為根，要y來配合。此式由無窮個根，即如果你給了合適的y後，在式子中總能找到x解。那麼這個y就是為了保證讓式子一定有解才會滿足x∈r成立，即判別式大於等於0.
3.分離常數法。適用於分母分子有相同的形式的部分，然後用觀察法（單調性法）
y=(2-sinx)/(2+sinx).求值域。
變形為y=(-2-sinx+4)/(2+sinx)=-1+4/(2+sinx)
因為sinx∈[-1,1],所以2+sinx∈[1,3].所以4/（2+sinx)∈[4/3,4].
所以y∈[1/3,3]
4.反表示法。把未知項（含x項）用y來表示，要知道未知項的范圍。
y=3^x/(3^x+1).求值域。
解：變形得3^x(1-y)=y.討論
當y=1,即3^x/(3^x+1)=1.不成立（因為此式小於1）所以y≠1,
則有3^x=y/(1-y).這就是說3^x與y/(1-y）是等同的。那麼他們的范圍也就等同。也就是說y/(1-y)＞0.解得y∈(0,1).
5.幾何意義法。題乾的形式會讓我們產生聯想。如想到斜率、兩點間距離公式等。
①。y=√(x^2+1)+√[(2-x)^2+4].求值域。
先看定義域，全體實數。那麼不用管了。
變形得y=√[(x-0)^2+(0-1)^2]+√[(x-2)^2+(0-2)^2].
y的幾何意義是（x,0)點到點（0，1）的距離與（x.0)點到點（2，2）的距離的和。畫出圖像，觀察知，當（x,0)點在直線y-2=3/2(x-2)上時，有最小值。
解直線與x軸交點，得x=2/3.對應的原函數值y=√(4+9)=√13.(勾股定理）
②。求y=sinx/(2-x)的值域。
解：變形得y=-(0-sinx)/(2-cosx).y的幾何意義是（2，0）到（cosx,sinx)的斜率的相反數。畫圖，觀察計算得k的范圍是[-√3/3,√3/3].
所以y的范圍是-k,為[-√3/3,√3/3].
如果你是新生的話，可能有些東西你還沒接觸到，理解的會差一些。沒關系，不出幾個月，你就都能學到了。
除了上面我介紹的幾種方法外，還有什麼換元法，上下同除法，平方去根號法，導數法等等。但最常用的還是上面那幾個。
『柒』 高一數學函數值域怎麼求
求函數值域方法•常數分離法•不等式法•配方法•逆求法•換元法•判別式法
一、 配方法
通過配方結合函數圖像求函數的值域，一般地，對於二次函數 求值域問題可運用配方法.
二、 反函數法
一般地，形如 ，可利用原函數與反函數的定義域和值域之間的互逆關系.
三、 分離常數法
一般地，對於分式函數來說，可以分離一個常數去求函數的值
四、 判別式法
一般地.形如 ，轉化為關於y的一元二次方程，利用方程有實數解， 來求y.
五、 換元法
一般地，形如 ，通過換元 (注意此時t的范圍)
六、 分類討論法
通過分類討論函數定義域x的符號去求值域.
『捌』 高一數學，求各種值域的方法
一、配方法
通過配方結合函數圖像求函數的值域，一般地，對於二次函數 求值域問題可運用配方法.
例1、 求 的值域
解：
於是 的值域為 .
二、反函數法
一般地，形如 ，可利用原函數與反函數的定義域和值域之間的互逆關系.
例2、 求函數 的值域.
解：由 得 ，因為 ，所以 .
於是此函數的值域為
三、分離常數法
一般地，對於分式函數來說，可以分離一個常數去求函數的值域.
例3、 求 的值域
解：
而
即 ，所以
即函數 的值域為 .
注意：例2也可以利用分離常數法去求值域，有興趣的讀者可以試一試.
四.判別式法
一般地.形如 ，轉化為關於y的一元二次方程，利用方程有實數解， 來求y.
例4、 求 的值域.
解：由 去分母得
即
當y=2時，此方程無實根.
當 ，此方程為一元二次方程，
即
所以 ，又因為 ，於是
故函數 的值域為
注意：下面2點不能直接用判別式法.
1、定義域去掉無限個點. 2、分子分母中含有公因式.
五、換元法
一般地，形如 ，通過換元 （注意此時t的范圍）
例5求 的值域
解：令 則
所以 =
當t=0時，y有最小值3.
於是 的值域為 .
六、分類討論法
通過分類討論函數定義域x的符號去求值域.
例6求 的值域
解；
因為 ，所以 ，即
當
而 即
綜上： 的值域為 .
『玖』 高一函數 值域怎麼求 要詳細點的 不然不懂
求
函數值域的幾種常見方法
1．直接法：利用常見函數的值域來求
一次函數y=ax+b(a
0)的定義域為R，值域為R；
反比例函數
的定義域為{x|x
0}，值域為{y|y
0}；
二次函數
的定義域為R，
當a>0時，值域為{
}；當a<0時，值域為{
}.
例1．求下列函數的值域
①
y=3x+2(-1
x
1)
②
③
④
解：①∵-1
x
1，∴-3
3x
3，
∴-1
3x+2
5，即-1
y
5，∴值域是[-1，5]
②∵
∴
即函數
的值域是
{
y|
y
2}
③
④當x>0，∴
=
，
當x<0時，
=－
∴值域是
[2，+
).（此法也稱為配方法）
函數
的圖像為：
2．二次函數比區間上的值域(最值)：
例2
求下列函數的最大值、最小值與值域：
①
；
解：∵
，∴頂點為(2,-3)，頂點橫坐標為2.
①∵拋物線的開口向上，函數的定義域R，
∴x=2時，ymin=-3
,無最大值；函數的值域是{y|y
-3
}.
②∵頂點橫鄭孝升坐標2
[3,4]，
當x=3時，y=
-2；慎鎮x=4時，y=1；
∴在[3,4]上，
=-2，
=1；值域為[-2，1].
③∵頂點橫坐標2
[0,1]，當x=0時，y=1；x=1時，y=-2,
∴在[0,1]上，
=-2，
=1；值域為[-2，1].
④∵頂點橫坐標2
[0,5]，當x=0時，y=1；x=2時，y=-3,
x=5時，y=6,
∴在[0,1]上，
=-3，
=6；值域為[-3，6].
註：對於二次函數
,
⑴若定義域為R時，
①當a>0時，則當
時，其最小值
；
②當a<0時，則當
時，其最大值
.
⑵若定義域為x
[a,b],則應首先判定其頂點橫坐標x0是否屬於區間[a,b].
①若
[a,b],則
是函數的最小值（a>0）時或最大值（a<0）時，再比較
的大小決定函數的最大（小）值.
②若
[a,b],則[a,b]是在
的單調區間內，只需比較
的大小即可決定函數的最大（小）值.
註：①若給定區間不是閉區間，則可能得不到最大（小）值；
②當頂點橫坐標是字母時，則應根據其對應區間特別是區間兩端點的位置關系進行討論.
3．判別式法（△法）：
判別式法一般用於分式函數，其分子或分母只能為二次式，解題中要注意二次項系數是否為0的討論
例3．求函數
的值域
方法一：去分母得
(y-1)
+(y+5)x-6y-6=0
①
當
y11時
∵x?R
∴△=(y+5)
+4(y-1)×6(y+1)
0
由此得
(5y+1)
0
檢驗
時
（代入①求根）
∵2
?
定義域
{
x|
x12且
x13}
∴
再檢驗
y=1
代入①求得
x=2
∴y11
綜上所述，函數
的值域為
{
y|
y11且
y1
}
方法二：把已知函數化為函數
(x12)
∵
x=2時
即
說明：此法是利用方程思想來處理函數問題，一般稱判別式法.
判別式法一般用於分式函數，其分子或分母只能為二次式.解題中要注意二次項系數是否為0的討論.
4．換元法喊老
例4．求函數
的值域
解：設
則
t
0
x=1-
代入得
5．分段函數
例5．求函數y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：將函數化為分段函數形式：
，畫出它的圖象（下圖），由圖象可知，函數的值域是{y|y
3}.
解法2：∵函數y=|x+1|+|x-2|表示數軸上的動點x到兩定點-1，2的距離之和，∴易見y的最小值是3，∴函數的值域是[3，+
].
如圖
兩法均採用「數形結合」，利用幾何性質求解，稱為幾何法或圖象法.
說明：以上是求函數值域常用的一些方法（觀察法、配方法、判別式法、圖象法、換元法等），隨著知識的不斷學習和經驗的不斷積累，還有如不等式法、三角代換法等.有的題可以用多種方法求解，有的題用某種方法求解比較簡捷，同學們要通過不斷實踐，熟悉和掌握各種解法，並在解題中盡量採用簡捷解法.
『拾』 高一數學函數值域求法
函數值域(最值)求法小結
一、配方法
適用類型：二次函數及能通過換元法等轉化為二次函數的題型.
【例1】 求函數 的值域.
解：為便於計算不妨: 配方得: ，
利用二次函數的相關知識得 ,從而得出: .
【例2】已知咐核函數y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函數y的最小值.
解析：y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.
令t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2.
∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定義域為[2，＋∞)．
∵拋物線y＝f(t)的對稱軸為t＝a，
∴當a≤2且a≠0時，ymin＝f(2)＝2(a－1)2；
當a＞2時，ymin＝f(a)＝a2－2.
練習 ○1 求y = sin2x - 6sinx + 2值域.
○2 當1≤x≤1000時，求 y＝(lgx)2－2lgx＋3值域.
二、換元法
【例3】 求函數 的值域.
適用類型:無理函數、三角函數（用三角代換）.
解析：由於題中含有 不便於計算，但如果令： 注意 從而得： 變形得 即：
【例4】 設a，b∈R，a2＋2b2＝6，則a＋b的最鍵滑小值是______．
解：∵a，b∈R，a2＋2b2＝6，
∴令a＝6cosα，2b＝6sinα，α∈R.
∴a＋b＝6cosα＋3sinα＝3sin(α＋φ)．
∴a＋b的最小值是－3；故填－3.
練習 ○3 已知 是圓 上的點，試求 的值域.
三、反函數法（變數分類法）
【例5】求函數 的值域.
解：原式中x∈R，將原式化為 由○1解出x，得 ；（也可由 直接得到 ）
因此函數值域是（－1，1）
四、不等式稿簡臘法
利用不等式法求解函數最值，主要是指運用均值不等式及其變形公式來解決函數最值問題的一種方法．常常使用的基本不等式有以下幾種：
a2＋b2≥2ab(a，b為實數)；a＋b2≥ab(a≥0，b≥0)；ab≤a＋b22≤a2＋b22(a，b為實數)．
【例6】設x，y，z為正實數，x－2y＋3z＝0，則 的最小值為________．
解析：因為x－2y＋3z＝0，所以y＝x＋3z2，因此y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz.
又x，z為正實數，所以由基本不等式，得y2xz≥6xz＋6xz4xz＝3，當且僅當x＝3z時取「＝」．
故y2xz的最小值為3
五、數形結合法
【例7】適用類型:函數本身可和其幾何意義相聯系的函數類型.
六、判別式法
把函數轉化為x的二次方程F(x，y)＝0，通過方程有實根，判別式Δ≥0，從而求得函數的最值．判別式法多用於求形如y＝ax2＋bx＋cdx2＋ex＋f(a，d不同時為0)的分式函數的最值．
【例9】求函數y＝x2－3x＋4x2＋3x＋4的最大值和最小值．
解析：∵x2＋3x＋4＝0的判別式Δ1＝32－4×1×4＝－7＜0，
∴x2＋3x＋4＞0對一切x∈R均成立．∴函數的定義域為R.
∴函數表達式可化為(y－1)x2＋(3y＋3)x＋4y－4＝0.
當y＝1時，x＝0；
當y≠1時，由x∈R，上面的一元二次方程必須有實根，
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y－4)≥0，
解得17≤y≤7(y≠1)．綜上得ymax＝7，ymin＝17.
七、函數單調性法
【例10】設a＞1，函數f(x)＝logax在區間[a,2a]上的最大值與最小值之差為 12，則a＝________.
解析：∵a＞1，∴函數f(x)＝logax在區間[a,2a]上是增函數，
∴函數在區間[a,2a]上的最大值與最小值分別為loga2a，logaa＝1.
又∵它們的差為12，∴loga2＝12，a＝4.
八、導數法
【例11】函數f(x)＝x3－3x＋1在閉區間[－3,0]上的最大值、最小值分別是________．
解析：因為f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝－1(舍正)．
又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，比較得，f(x)的最大值為3，最小值為－17.