數學的基本思想包括哪些

Ⅰ 數學基本思想有哪些

高中數學基本數學思想
1.轉化與化歸思想:是把那些待解決或難解決的問題化歸到已有知識范圍內可解問題的一種重要的基本數學思想.這種化歸應是等價轉化,即要求轉化過程中的前因後果應是充分必要的,這樣才能保證轉化後所得結果仍為原題的結果. 高中數學中新知識的學習過程,就是一個在已有知識和新概念的基礎上進行化歸的過程.因此,化歸思想在數學中無處不在. 化歸思想在解題教學中的的運用可概括為:化未知為已知,化難為易,化繁為簡.從而達到知識遷移使問題獲得解決.但若化歸不當也可能使問題的解決陷入困境. 例證
2.邏輯劃分思想(即分類與整合思想):是當數學對象的本質屬性在局部上有不同點而又不便化歸為單一本質屬性的問題解決時,而根據其不同點選擇適當的劃分標准分類求解,並綜合得出答案的一種基本數學思想.但要注意按劃分標准所分各類間應滿足互相排斥,不重復,不遺漏,最簡潔的要求. 在解題教學中常用的劃分標准有:按定義劃分;按公式或定理的適用范圍劃分;按運演算法則的適用條件范圍劃分;按函數性質劃分;按圖形的位置和形狀的變化劃分;按結論可能出現的不同情況劃分等.需說明的是: 有些問題既可用分類思想求解又可運用化歸思想或數形結合思想等將其轉化到一個新的知識環境中去考慮,而避免分類求解.運用分類思想的關鍵是尋找引起分類的原因和找准劃分標准. 例證
3. 函數與方程思想(即聯系思想或運動變化的思想):就是用運動和變化的觀點去分析研究具體問題中的數量關系,抽象其數量特徵,建立函數關系式,利用函數或方程有關知識解決問題的一種重要的基本數學思想.
4. 數形結合思想:將數學問題中抽象的數量關系表現為一定的幾何圖形的性質(或位置關系);或者把幾何圖形的性質(或位置關系)抽象為適當的數量關系,使抽象思維與形象思維結合起來,實現抽象的數量關系與直觀的具體形象的聯系和轉化,從而使隱蔽的條件明朗化,是化難為易,探索解題思維途徑的重要的基本數學思想.
5. 整體思想:處理數學問題的著眼點或在整體或在局部.它是從整體角度出發,分析條件與目標之間的結構關系,對應關系,相互聯系及變化規律,從而找出最優解題途徑的重要的數學思想.它是控制論,資訊理論,系統論中「整體—部分—整體」原則在數學中的體現.在解題中,為了便於掌握和運用整體思想,可將這一思想概括為:記住已知(用過哪些條件?還有哪些條件未用上?如何創造機會把未用上的條件用上?),想著目標(向著目標步步推理,必要時可利用圖形標示出已知和求證);看聯系,抓變化,或化歸;或數形轉換,尋求解答.一般來說,整體范圍看得越大,解法可能越好.
在整體思想指導下,解題技巧只需記住已知,想著目標, 步步正確推理就夠了.
中學數學中還有一些數學思想,如：
集合的思想;
補集思想;
歸納與遞推思想;
對稱思想;
逆反思想;
類比思想;
參變數思想
有限與無限的思想；
特殊與一般的思想.
它們大多是本文所述基本數學思想在一定知識環境中的具體體現.所以在中學數學中,只要掌握數學基礎知識,把握代數,三角,立體幾何,解析幾何的每部分的知識點及聯系,掌握幾個常用的基本數學思想和將它們統一起來的整體思想,就定能找到解題途徑.提高數學解題能力.
數學解題中轉化與化歸思想的應用
數學活動的實質就是思維的轉化過程,在解題中,要不斷改變解題方向,從不同角度,不同的側面去探討問題的解法,尋求最佳方法,在轉化過程中,應遵循三個原則：1、熟悉化原則,即將陌生的問題轉化為熟悉的問題；2、簡單化原則,即將復雜問題轉化為簡單問題；3、直觀化原則,即將抽象總是具體化.

策略一：正向向逆向轉化
一個命題的題設和結論是因果關系的辨證統一,解題時,如果從下面入手思維受阻,不妨從它的正面出發,逆向思維,往往會另有捷徑.

例1 ：四面體的頂點和各棱中點共10個點,在其中取4個不共面的點,不共面的取法共有__________種.
A、150 B、147 C、144 D、141

分析：本題正面入手,情況復雜,若從反面去考慮,先求四點共面的取法總數再用補集思想,就簡單多了.
10個點中任取4個點取法有 種,其中面ABC內的6個點中任取4點都共面有 種,同理其餘3個面內也有 種,又,每條棱與相對棱中點共面也有6種,各棱中點4點共面的有3種, 不共面取法有 種,應選（D）.

策略二：局部向整體的轉化
從局部入手,按部就班地分析問題,是常用思維方法,但對較復雜的數學問題卻需要從總體上去把握事物,不糾纏細節,從系統中去分析問題,不單打獨斗.
例2：一個四面體所有棱長都是 ,四個頂點在同一球面上,則此球表面積為（ ）
A、 B、 C、 D、

分析：若利用正四面體外接球的性質,構造直角三角形去求解,過程冗長,容易出錯,但把正四面體補形成正方體,那麼正四面體,正方體的中心與其外接球的球心共一點,因為正四面體棱長為 ,所以正方體棱長為1,從而外接球半徑為 ,應選（A）.

策略三：未知向已知轉化
又稱類比轉化,它是一種培養知識遷移能力的重要學習方法,解題中,若能抓住題目中已知關鍵信息,鎖定相似性,巧妙進行類比轉換,答案就會應運而生.
例3：在等差數列 中,若 ,則有等式
（ 成立,類比上述性質,在等比數列 中, ,則有等式_________成立.

分析：等差數列 中, ,必有 ,
,
故有 類比等比數列 ,因為
,故 成立.
邏輯劃分思想
例題1、已知集合 A= ,B= ,若B A,求實數 a 取值的集合.
解 A= ： 分兩種情況討論
（1）B=￠,此時a=0;
(2)B為一元集合,B= ,此時又分兩種情況討論 ：
(i) B={-1},則 =-1,a=-1
（ii）B={1},則 =1, a=1.（二級分類）
綜合上述 所求集合為 .
例題2、設函數f(x)＝ax －2x＋2,對於滿足1≤x≤4的一切x值都有f(x)≥ 0,求實數a的取值范圍.
例題3、已知 ,試比較 的大小.
【分析】
於是可以知道解本題必須分類討論,其劃分點為 .

小結：分類討論的一般步驟：
（1）明確討論對象及對象的范圍P.（即對哪一個參數進行討論）；
（2）確定分類標准,將P進行合理分類,標准統一、不重不漏,不越級討論.；
（3）逐類討論,獲取階段性結果.（化整為零,各個擊破）；
（4）歸納小結,綜合得出結論.（主元求並,副元分類作答）.

Ⅱ 數學思想包括哪些內容

數學思想包括的內容有：

函數方程思想：

函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然後通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還需要函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的。

整體思想：

從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特徵，善於用「集成」的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的的、有意識的整體處理。

化歸思想：

在於將未知的，陌生的，復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的，熟悉的，簡單的問題。三角函數，幾何變換，因式分解，解析幾何，微積分，乃至古代數學的尺規作圖等數學理論無不滲透著轉化的思想。

隱含條件思想：

沒有明文表述出來，但是根據已有的明文表述可以推斷出來的條件，或者是沒有明文表述，但是該條件是一個常規或者真理。

類比思想：

把兩個（或兩類）不同的數學對象進行比較，如果發現它們在某些方面有相同或類似之處，那麼就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。

建模思想：

為了更具科學性，邏輯性，客觀性和可重復性地描述一個實際現象，人們採用一種普遍認為比較嚴格的語言來描述各種現象，這種語言就是數學。

歸納推理思想：

由某類事物的部配盯爛分對象具有某些特徵,推出該類事物的全部對象都具有這些特徵的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理稱為歸納推理（簡稱歸納），簡言之，歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。

極限思想：

極限思想是微積分的基本思想，數學分析中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。

Ⅲ 數學的基本思想

一、講授法

三大好處:面積大、見效快、好操作

辯證的思想看問題

二、數學的基本思想

數學基本思想有三，分別為抽象、推理、模型。有的裡面還增加一項審美。

1.抽象

分類，集合，對應，變中有不變，符號化，有限無限

2.推理

歸納，演繹，類比，數形結合，逐步逼近，化歸，運籌，公理化

3.模型

量化，簡化，優化，函數，方程，統計

Ⅳ 數學三個基本思想

數學的三個基本思碧世液想：抽象，推理，模型

抽象：分類思想，集合思想，對應思想，變中有不變思想，符號化思想，有限無限思想

推理：歸納思想，類比思想，數形結合悔物思想，逐步逼近思想，演繹思想，化歸返指思想，運籌思想，公理化思想

模型：簡化思想，量化思想，函數思想，方程思想，優化思想，統計思想

Ⅳ 什麼是數學基本思想

基本思想指的是數學產生與發展所依賴的思想；學習數學以後具有的思維能力（學過數學與沒有學過數學的思維差異）。
數學基本思想主要有下面的三個：一個是數學抽象的思想，一個是數學推理的思想，一個是數學建模的思想。

Ⅵ 義務教育階段數學基本思想有哪些

義務教育階段數學基本思想為：數學抽象的思想、數學推理的思想、數學建模的思想。

人類通過數學抽象從客觀世界中，得到數學的概念和法則建立了數學學科；通過數學推理，進一步得到大量的結論，數學科學就得以發展；再通過數學模型把數學應用到客觀世界中去，就產生了巨大的櫻嘩效益，反過來又促進迅畝了數學科學的發展。這個三點簡單概括為抽象、推理、建模。這是數學的基本思想脊昌行。

Ⅶ 數學的基本思想具體有哪些

數學的基本思想主要有下面的三個：一個是數學抽象的思想，一個是數學推理的思想，一個是數學建模的思想。
在基本思想下一層還有很多數學思想。例如像數學抽象的思想才能產生出來分類的思想、集合的思想、數形結合的思想、符號表示的思想、對稱的思想、對應的思想、有限與無限的思想等等。在基本思想下面會派生出來很多的思想。
例如數學推理的思想，還能派生像歸納的思想，演繹的思想，公理化的思想，轉化的思想，類比的思想，逐步逼近的思想，代換的思想，特殊一般的思想，等等。
例如像數學建模的思想，還能進一步派生出來，像簡化的思想，量化的思想，函數的思想，方程的思想，優化的思想，隨機的思想，抽樣統計的思想等等。

Ⅷ 數學基本思想

數學基本思想有三大類：

抽象思想包括：分類思想、集告豎合思想、數形結襪臘大合思想

推理思想局頃包括：化歸思想、演繹思想、特殊與一般思想

模型思想包括：函數思想、方程思想

Ⅸ 數學思想有哪些

常用的數學思想（數學中的四大思想）

1. 函數與方程的思想 用變數和函數來思考問題的方法就是函數思想，函數思想是函數概念、圖象和性質等知識更高層次的提煉和概括，是在知識和方法反復學習中抽象出的帶有觀念的指導方法。深刻理解函數的圖象和性質是應用函數思想解題的基礎，運用方程思想解題可歸納為三個步驟：①將所面臨的問題轉化為方程問題；②解這個方程或討論這個方程，得出相關的結論；③將所得出的結論再返回到原問題中去。

2. 數形結合思想 在中學數學里，我們不可能把「數」和「形」完全孤立地割裂開，也就是說，代數問題可以幾何化，幾何問題也可以代數化，「數」和「形」在一定條件下可以相互轉化、相互滲透。

3. 分類討論思想 在數學中，我們常常需要根據研究對象性質的差異。分各種不同情況予以考察，這是一種重要數學思想方法和重要的解題策略，引起分類討論的因素較多，歸納起來主要有以下幾個方面：
   （1）由數學概念、性質、定理、公式的限制條件引起的討論；
   （2）由數學變形所需要的限制條件所引起的分類討論；
   （3）由於圖形的不確定性引起的討論；
   （4）由於題目含有字母而引起的討論。分類討論的解題步驟一般是：（1）確定討論的對象以及被討論對象的全體；（2）合理分類，統一標准，做到既無遺漏又無重復；（3）逐步討論，分級進行；（4）歸納總結作出整個題目的結論。

4. 等價轉化思想 等價轉化是指同一命題的等價形式.可以通過變數問題的條件和結論，或通過適當的代換轉化問題的形式，或利用互為逆否命題的等價關系來實現。常用的轉化策略有：已知與未知的轉化；正向與反向的轉化；數與形的轉化；一般於特殊的轉化；復雜與簡單的轉化。

Ⅹ 數學思想包括哪些內容

數學思想包括的內容如下：

1、對應思想方法

對應是人們對兩個集合因素之間的聯系的一種思想方法，小學數學一般是一一對應的直觀圖表，並以此孕伏函數思想。如直線上的點（數軸）與表示具體的數是一一對應。

2、假設思想方法

假設是先對題目中的已知條件或問題作出某種假設，然後按照題中的已知條件進行推算，根據數量出現的矛盾，加以適當調整，最後找到正確答案的一種思想方法。假設思想是一種有意義的想像思維，掌握之後可以使要解決的問題更形象、具體，從而豐富解題思路。

3、型祥猛比較思想方法

比較思想是數學中常見的思想方法之一，也是促進學生思維發展的手段。在教學分數應用題中，教師要善於引導學生比較題中已知和未知數量變化前後的情況，可以幫助學生較快地找到解題途徑。

4、符號化思想方法

用符號化的語言（包括字母、數字、圖形和各種特定的符號）來描述數學內容，這就是符號思想。如數學中各種數量關系，量的變化及量與量之間進行推導和演算，都是用小小的字母表示數，以符號的濃縮形式表達大量的信息。如定律、公式、等。

5、類比思想方法

類比思想是指依據兩類數學對象的相似性，有可能將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象上去的思想。如加法交換律和乘法交換律、長方形的面積公式、平行四邊形面積公式和三角形面積公式。類比思想不僅使數學知識容易理解，而且使公式的記憶變得順水推舟般自然和簡潔。

6、轉化思想方法

轉化思想是由一種形式變換成另一種形式的思想方法，而其本身的大小是不變的。如幾何的等積變換、解方程的同解變換、公式的變形等，在計算中也常用到甲÷乙＝甲×1/乙。

7、分類思想方法

分類思想方法不是數學獨有的方法，數學的分類思想方法體現對數學對象的分類及其分類的標准。如自然數的分類，宴信若按能否被2整除分奇數和偶數；按約數的個數分質數和合數。又如三角形可以按邊分，也可以按角分。不同的分類標准就會有不同的分類結果，從而產生新的概念。對數學對象的正確、合理分類取決於分類標準的正確、合理性，數學知識的分類有助於學生對知識的梳理和建構。

8、集卜橋合思想方法

集合思想就是運用集合的概念、邏輯語言、運算、圖形等來解決數學問題或非純數學問題的思想方法。小學採用直觀手段，利用圖形和實物滲透集合思想。在講述公約數和公倍數時採用了交集的思想方法。

9、數形結合思想方法

數和形是數學研究的兩個主要對象，數離不開形，形離不開數，一方面抽象的數學概念，復雜的數量關系，藉助圖形使之直觀化、形象化、簡單化。另一方面復雜的形體可以用簡單的數量關系表示。在解應用題中常常藉助線段圖的直觀幫助分析數量關系。

10、統計思想方法

小學數學中的統計圖表是一些基本的統計方法，求平均數應用題是體現出數據處理的思想方法。