數學之美有哪些等式

Ⅰ 數學美的表現形式

數學美的表現形式是多種多樣的，從數學內容看，有概念之美、公式之美、體系之美等；從數學的方法及思維看，有簡約之美、類比之美、抽象之美、無限之美等；從狹義美學意義上看，有對稱之美、和諧之美、奇異之美等。

（一）語言美

數學有著自身特有的語言———數學語言，其中包括：

1 數的語言——符號語言

關於「∏」 ，《九章算術》 如斯說：「割之彌細，所失彌小，割之又割，以至於不可割，則與圓合體，而無所失矣」；面對「√2」這一差點被無理的行為淹沒的無理數，我們一直難以忘懷那位因發現「邊長為1的正方形，其對角線長不能表示成整數之比」這一「數學悖論」而被拋進大海的希帕索斯（公元前五世紀畢達哥拉斯學派成員）。還有sin∂、∞ 等等，一個又一個數的語言，無不將數的完美與精緻表現得淋漓盡致。

2形的語言——視角語言

從形的角度來看——對稱性（「中心對稱」、「軸對稱」演繹了多少遙相呼應的纏綿故事）；比例性（美麗的「黃金分割法」分出的又豈止身材的絕妙配置？）；和諧性（如對數中：對數記號、底數以及真數三者之間的關聯與配套實際上是一種怎樣的經典的優化組合！）；鮮明性（「最大值」、「最小值」 讓我們聯想起——「山的偉岸」與「水的溫柔」，並深切地感悟到：有山有水的地方，為何總是人傑地靈的內在神韻……）和新穎性（一個接一個數學「悖論」的出現，保持了數學乃至所有自然科學的新鮮與活力）等等。

（二）簡潔美

愛因期坦說過：「美，本質上終究是簡單性。」他還認為，只有藉助數學，才能達到簡單性的美學准則。樸素，簡單，是其外在形式。只有既朴實清秀，又底蘊深厚，才稱得上至美。

歐拉給出的公式：V－E＋F＝2，堪稱「簡單美」的典範。世間的多面體有多少？沒有人能說清楚。但它們的頂點數V、棱數E、面數F，都必須服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數種多面體的共同特性，能不令人驚嘆不已？！

在數學中，像歐拉公式這樣形式簡潔、內容深刻、作用很大的定理還有許多。比如：圓的周長公式：C=2πR

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊平方 + = 。

正弦定理：ΔABC的外接圓半徑R，則

數學的這種簡潔美，用幾個定理是不足以說清的，數學歷史中每一次進步都使已有的定理更簡潔。正如偉大的希而伯特曾說過：「數學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發現密切聯系著」。

龐加萊指出：「在解中，在證明中，給我們以美感的東西是什麼呢？是各部分的和諧，是它們的對稱，是它們的巧妙、平衡」。

（四）、和諧美

美是和諧的．和諧性也是數學美的特徵之一．和諧即雅緻、嚴謹或形式結構的無矛盾性．

沒有那門學科能比數學更為清晰的闡明自然界的和諧性。

—— Carus,Paul

數論大師賽爾伯格曾經說，他喜歡數學的一個動機是以下的公式： ，這個公式實在美極了，奇數1、3、5、…這樣的組合可以給出 ，對於一個數學家來說，此公式正如一幅美麗圖畫或風景。

歐拉公式： ，曾獲得「最美的數學定理」稱號。歐拉建立了在他那個時代，數學中最重要的幾個常數之間的絕妙的有趣的聯系，包容得如此協調、有序。與歐拉公式有關的棣美弗－歐拉公式是 ――（1）。這個公式把人們以為沒有什麼共同性的兩大類函數――三角函數與指數函數緊密地結合起來了。對他們的結合，人們始則驚詫，繼而贊嘆――確是「天作之合」。

和諧的美，在數學中多得不可勝數。如著名的黃金分割比 ，即0.61803398…。

在正五邊形中，邊長與對角線長的比是黃金分割比。建築物的窗口，寬與高度的比一般為 ；人們的膝蓋骨是大腿與小腿的黃金分割點，人的肘關節是手臂的黃金分割點，肚臍是人身高的黃金分割點；當氣溫為23攝氏度時，人感到最舒服，此時23:37（體溫）約為0.618；名畫的主題，大都畫在畫面的0.618處，弦樂器的聲碼放在琴弦的0.618處，會使聲音更甜美。建築設計的精巧、人體科學的奧秘、美術作品的高雅風格，音樂作品的優美節奏，交融於數的對稱美與和諧美之中。

黃金分割比在許多藝術作品中、在建築設計中都有廣泛的應用。達·芬奇稱黃金分割比 為「神聖比例」．他認為「美感完全建立在各部分之間神聖的比例關繫上」。與 有關的問題還有許多， 「黃金分割」、「神聖比例」的美稱，她受之無愧。

（四）奇異美

全世界有很大影響的兩份雜志曾聯合邀請全世界的數學家們評選「近50年的最佳數學問題」，其中有一道相當簡單的問題：有哪些分數 ，不合理地把b約去得到 ，結果卻是對的？

經過一種簡單計算，可以找到四個分數： 。這個問題涉及到「運算謬誤，結果正確」的歪打正著，在給人驚喜之餘，不也展現一種奇異美嗎。

還有一些「歪打正著等式」，比如

人造衛星、行星、彗星等由於運動的速度的不同，它們的軌道可能是橢圓、雙曲線或拋物線，這幾種曲線的定義如下：到定點距離與它到定直線的距離之比是常數e的點的軌跡，

當e＜1時，形成的是橢圓．當e＞1時，形成的是雙曲線．當e＝1時，形成的是拋物線．

常數e由0.999變為1、變為0.001，相差很小，形成的卻是形狀、性質完全不同的曲線。而這幾種曲線又完全可看作不同的平面截圓錐面所得到的截線。

橢圓與正弦曲線會有什麼聯系嗎？做一個實驗，把厚紙卷幾次，做成一個圓筒。斜割這一圓筒成兩部分。如果不拆開圓筒，那麼截面將是橢圓，如果拆開圓筒，切口形成的即是正弦曲線。這其中的玄妙是不是很奇異、很美。

（五）對稱美

在古代「對稱」一詞的含義是「和諧」、「美觀」。畢達哥拉斯學派認為，一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形中，最美的是圓形。圓是中心對稱圓形――圓心是它的對稱中心，圓也是軸對稱圖形――任何一條直徑都是它的對稱軸。

梯形的面積公式：S＝ ，

等差數列的前n項和公式： ，

其中a是上底邊長，b是下底邊長，其中a­1是首項，an是第n項，這兩個等式中，a與a1是對稱的，b與an是對稱的。h與n是對稱的。

對稱美的形式很多，對稱的這種美也不只是數學家獨自欣賞的，人們對於對稱美的追求是自然的、樸素的。如我們喜愛的對數螺線、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。李政道、楊振寧也正是由對稱的研究而發現了宇稱不守恆定律。從中我們體會到了對稱的美與成功。

（六）創新美

歐幾里得幾何曾經是完美的經典幾何學，其中的公理5：「過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行」和結論「三角形內角和等於二直角」，這些似乎是天經地義的絕對真理。但羅馬切夫斯基卻採用了不同公理5的結論：「過直線外一點至少有兩條直線與已知直線平行」，在這種幾何里，「三角形內角和小於二直角」，從而創造了羅氏幾何。黎曼幾何學沒有平行線。這些與傳統觀念相違背的理論，並不是虛無飄渺的，當我們進行遙遠的天文測量時，用羅氏幾何學是很方便的，原子物理、狹義相對論中也有應用；而愛因斯坦建立的廣義相對論中，較多地利用了黎曼幾何這個工具，才克服了所遇到的數學計算上的困難。每一個理論都在需要不斷創新，每一個奇思妙想、每一個似乎不合理又不可思議的念頭都可能開辟新的天地。這種開闊了我們的視野、開闊了我們心胸、給我們完全不同感受的難到不是切入肌膚的美嗎？如果我們再大膽設想一下，是不是還存在一個能包容歐氏幾何和非歐幾何的更廣泛的幾何學呢？事實上，通過高斯曲率可以將三種幾何統一在曲面的內在幾何學中，還可以通過克萊因幾何學與變換群的觀點將三種幾何統一起來。在不斷創新的過程中，數學得到了發展。

（七）統一美

數的概念從自然數、分數、負數、無理數，擴大到復數，經歷了無數次坎坷，范圍不斷擴大了，在數學及其他學科的作用也不斷地增大。那麼，人們自然想到能否再把復數的概念繼續推廣。

英國數學家哈密頓苦苦思索了15年，沒能獲得成功。後來，他「被迫作出妥協」，犧牲了復數集中的一條性質，終於發現了四元數，即形為a1+a2i+a3j+a4k （a1 ，a2 ，a3 ，a4 為實數）的數，其中i、j、k如同復數中的虛數單位。若a3 ＝a4 ＝0，則四元數a1+a2i+a3j+a4k 是一般的復數。四元數的研究推動了線性代數的研究，並在此基礎上形成了線性代數理論。物理學家麥克斯韋利用四元數理論建立了電磁理論。

數學的發展是逐步統一的過程。統一的目的也正如希而伯特所說的：「追求更有力的工具和更簡單的方法」。

愛因斯坦一生的夢想就是追求宇宙統一的理論。他用簡潔的表達式E=mc2揭示了自然界中質能關系，這不能不說是一件統一的藝術品。但他還是沒有完成統一的夢想。人類在不斷探尋著紛繁復雜的世界，又在不斷地用統一的觀點認識世界，宇宙沒有盡頭，統一美也需要永遠的追求。

（八）類比美

解析幾何中的代數語言具有意想不到的作用，因為它不需要從幾何考慮也行。考慮方程 我們知道，它是一個圓。圓的完美形狀，對稱性，無終點等都存在在哪裡呢？在方程之中！例如， 與 對稱，等等。代數取代了幾何，思想取代了眼睛！在這個代數方程的性質中，我們能夠找出幾何中圓的所有性質。這個事實使得數學家們通過幾何圖形的代數表示，能夠探索出更深層次的概念。那就是四維幾何。我們為什麼不能考慮下述方程呢？ 以及形如 的方程呢？這是一個偉大的進步。僅僅靠類比，就從三維空間進入高維空間，從有形進入無形，從現實世界走向虛擬世界。這是何等奇妙的事情啊！用宋代著名哲學家程顥的詩句可以准確地描述這一過程：道通天地有形外，思入風雲變態中。

（九）抽象美、自由美

從初等數學的基本概念到現代數學的各種原理都具有普遍的抽象性與一般性。正如開普勒所說的：「對於外部世界進行研究的主要目的，在於發現上帝賦予它的合理次序與和諧，而這些是上帝以數學語言透露給我們的」。

數學的第一特徵在於她具有抽象思維的能力，在數學中所處理的是抽象的量，是脫離了具體事物內容的用符號表示的量。它可以成為任何一個具體數的代數，但它又不等於任何具體數。比如「N」表示自然數，它不是N個崗位，N只雞或N張照片……也不是哪一個具體的數，分不清是0 ？是1？或者說100？……「知道」中蘊含著「不知道」，「具體」中充滿了「不具體」，它就是這樣一個抽象的數！

達·芬奇是15至16世紀的一位藝術大師和科學巨匠。他用一句話概括了他的《藝術專論》的思想：「欣賞我的作品的人，沒有一個不是數學家」

歷史上不少著名人物都迷戀音樂，大數學家克蘭納克就是一例。一位數學王子何以如此迷戀音樂？原因也許是多方面的，依我看，最重要的一點就是數學和音樂均為一種抽象語言，它們都充滿了抽象美、自由美。而且，數學和音樂還是兩個人造的金碧輝煌的世界，前者僅用十個阿拉伯數字和若干符號便造出了一個無限的、絕對真的世界，後者僅用五條線和一些蝌蚪狀的音符就造出了一個無限的、絕對美的世界。如果說，音樂是人類感情活動最優美的表現，那麼數學便是人類理性活動最驚人的產品。

（十）辯證美

熟悉數學的人都體會到在數學中充滿著辯證法。如果說各門科學都包含著豐富的辯證思想，那麼，數學則有自己特殊的表現方式，即用數學的符號語言以及簡明的數學公式能明確地表達出各種辯證的關系和轉化。

例如：初等數學中：點與坐標的對應；曲線與方程之間的關系；概率論和數理統計所揭示出的事物的必然性與偶然性的內在聯系等。以及高三數學里所涉及的：極限概念，特別是現代的極限語言，很好地體現了有限與無限，近似和精確的辯證關系；牛頓——萊布尼茨公式描述了微分和積分兩種運算方式之間的聯系和相互轉化等等。

這類事例在數學中比比皆是。當然，要真正掌握好「數學美」，僅僅知道一些數學知識還是遠遠不夠的，還必須善於發現各種數學結構、數學運算之間的關系，建立和運用它們之間的聯系和轉化。唯其如此，才能發揮出蘊藏在數學中的辯證思維的力量。數學中許多計算方法之靈巧，證明方法之美妙，究其思路，往往就是綜合利用了各種關系並對他們進行過適宜的轉化而成的。

掌握了「兩優擇其重，兩劣擇其輕」這一辯證的比較思想，我們就掌握了解這類題目的鑰匙。其實，全部數學無處不在貫徹「兩優擇其重，兩劣擇其輕」這一原則。數學無處不體現著辯證法，數學家們無時不在用辯證的眼光看問題。陳省身教授80年代在北大講學時說：「人們常說，三角形內角和等於180°，但是，這是不對的！」……「說三角形內角和為 180°不對，不是說這個事實不對，而是說這種看問題的方法不對。應該說三角形外角和是360°！把眼光盯住內角，只能看到：三角形內角和是180°；四邊形內角和是360°；五邊形內角和是 540°……n邊形內角和是 （n-2）*180°，雖然找到了一個計算內角和的公式，但公式里包含邊數n。如果看外角呢？三角形外角和是360°，四邊形外角和是 360°，五邊形外角和是360°，……，n邊形外角和是 360°。

這就把多種情況用一個十分簡單的結論概括起來了，用一個與n無關的常數代替了與n有關的公式，找到了更一般的規律。」其實，數學又何嘗不是美學？

數學的力量是無窮的，數學美猶如但丁神曲中的詩句，優美和諧的樂曲，別具一格的繪畫，雄偉壯美的建築，同樣會使數學學習者們激情盪漾，興趣盎然！數學之美，還可以從更多的角度去審視，而每一側面的美都不是孤立的，她們是相輔相成、密不可分的。她需要人們用心、用智慧深層次地去挖掘，更好地體會她的美學價值和她豐富、深隧的內涵和思想，及其對人類思維的深刻影響。如果在學習過程中，我們能與數學家，教師們一起探索、發現，從中獲得成功的喜悅和美的享受，那麼我們就會不斷深入其中，欣賞和創造美。相信我們的數學學習一定能夠取得更好的學習效果。

個人簡介：高中數學教師，從教十年，發表論文「類比三角公式，尋找解題入口」，「一石激起千層浪」。

採納我吧！！！

Ⅱ 在世界上，最著名、最美麗和最偉大的數學公式有哪些

今天我們整理了這10著名公式，分享給大家：

No.10 圓的周長公式(The Length of the Circumference of a Circle)

創立者：古人

意義：自然界之美的數學表達。

這公式賊牛逼了，初中學到現在。目前，人類已經能得到圓周率的2061億位精度。還是挺無聊的。現代科技領域使用的-圓周率值，有十幾位已經足夠了。如果用 35位精度的-圓周率值，來計算一個能把太陽系包起來的一個圓的周長，誤差還不到質子直徑的百萬分之一。現在的人計算圓周率，多數是為了驗證計算機的計算能力，還有就是為了興趣。

No.9 傅立葉變換(The Fourier Transform)

創立者：讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅立葉

意義：將電場和磁場有機地統一成完整的電磁場。並創立了電磁場理論，而沒有電磁學理論，就不會有現在的社會文明。任何一個能把這幾個公式看懂的人，一定會感到背後有涼風——如果沒有上帝，怎麼解釋如此完美的方程?

這組公式融合了電的高斯定律、磁的高斯定律、法拉第定律以及安培定律。

比較謙虛的評價是：「一般地，宇宙間任何的電磁現象，皆可由此方程組解釋。」到後來麥克斯韋僅靠紙筆演算，就從這組公式預言了電磁波的存在。

我們不是總喜歡編一些故事，比如愛因斯坦小時候因為某一刺激從而走上了發奮學習、報效祖國的道路么?事實上，這個刺激就是你看到的這個方程組。也正是因為這個方程組完美統一了整個電磁場，讓愛因斯坦始終想要以同樣的方式統一引力場，並將宏觀與微觀的兩種力放在同一組式子中：即著名的「大一統理論」。

愛因斯坦直到去世都沒有走出這個隧道，而如果一旦走出去，我們將會在隧道另一頭看到上帝本人。

Ⅲ 「數學之美」有什麼例子

例子如下：

數學之美的例子還是比較多的。比如歐拉，歷史上最重要的數學家之一，也是最高產的數學家，平均每年能寫八百多頁論文。我們經常能見到以他名字命名的公式與定理，可能最廣為人知的便是「世界上最美的公式」歐拉公式。

先不說它的具體意義，能將自然數、虛數、π、0 和 1 這幾個最基本的元素組合在一起，就是令人驚嘆的美。歐拉公式將指數函數的定義域擴大到了復數域，同時建立三角函數和指數函數的關系，被譽為數學中的天橋。

簡介：

數學是人類對事物的抽象結構與模式進行嚴格描述的一種通用手段，可以應用於現實世界的任何問題，所有的數學對象本質上都是人為定義的。從這個意義上，數學屬於形式科學，而不是自然科學。不同的數學家和哲學家對數學的確切范圍和定義有一系列的看法。

Ⅳ 數學之美的內容

數學美是自然美的客觀反映，是科學美的核心。簡言之數學美就是數學中奇妙的有規律的讓人愉悅的美的東西。

作為科學語言的數學，數學具有一般語言文字與藝術所共有的美的特點，即數學在其內容結構上和方法上也都具有自身的某種美，既所謂數學美。

數學美的含義是豐富的，如數學概念的簡單性、統一性，結構關系的協調性、對稱性，數學命題與數學模型的概括性、典型性和普遍性，還有數學中的奇異性等等都是數學美的具體內容。

(4)數學之美有哪些等式擴展閱讀：

數學美有別與其它的美，它沒有鮮艷的色彩，沒有美妙的聲音，沒有動感的畫面，它卻是一種獨特的美。

德國數學家克萊因曾對數學美作過這樣的描述：「音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科技可以改善物質生活，但數學卻能提供以上一切。」

大多數的數學家會由他們的工作及一般數學里得出美學的喜悅。他們形容數學是美麗的來表示這種喜悅。有時，數學家會形容數學是一種藝術的形式，或至少是一個創造性的活動。通常拿來和音樂和詩歌相比較。

Ⅳ 「數學之美」有什麼例子

淺談數學之美

數學美是自然美的客觀反映，是科學美的核心。「那裡有數學，哪裡就有美」，數學美不是什麼虛無縹緲、不可捉摸的東西，而是有其確定的客觀內容。數學美的內容是豐富的，如數學概念的簡單性、統一性，結構系統的協調性、對稱性，數學命題與數學模型的概括性、典型性和普遍性，還有數學中的奇異性等，都是數學美的具體內容。本文主要圍繞數學美的三個特徵：簡潔性、和諧性和奇異性進行闡述。

【關鍵詞】數學，數學美，美學特徵

數學美的表現形式是多種多樣的，從外在形象上看：她有體系之美、概念之美、公式之美；從思維方式上看：她有簡約之美、無限之美、抽象之美、類比之美；從美學原理上看：她有對稱之美、和諧之美、奇異之美等。此外，數學還有著完美的符號語言、特有的抽象藝術、嚴密的邏輯體系、永恆的創新動力等特點。但這些都離不開數學美的三大特徵，即：簡潔性、和諧性和奇異性。