什麼數學書講卷積

⑴ 怎樣通俗易懂地解釋卷積

對卷積的意義的理解：

從「積」的過程可以看到，我們得到的疊加值，是個全局的概念。以信號分析為例，卷積的結果是不僅跟當前時刻輸入信號的響應值有關，也跟過去所有時刻輸入信號的響應都有關系，考慮了對過去的所有輸入的效果的累積。在圖像處理的中，卷積處理的結果，其實就是把每個像素周邊的，甚至是整個圖像的像素都考慮進來，對當前像素進行某種加權處理。所以說，「積」是全局概念，或者說是一種「混合」，把兩個函數在時間或者空間上進行混合。

⑵ 什麼是卷積

卷積是分析數學中一種重要的運算。

卷積公式的使用條件是只用來計櫻局算密度函數，不能計算分布函數。在泛函分析中，卷積、旋積或摺積（英語：Convolution）是通過兩個函數f和g生成第三個函數的一納頌帆種數學運算元，表徵函數f與經過翻轉和平移的g的重疊部分的累積。如果將參加卷積的一個函數看作區間的指示函數，卷積還可以被看作是「滑動平均」的推廣。

離散卷積的公式：這里i的定義域為負無窮到正無窮，當然具體的問題要具體分析，比如成績（100分滿分），那麼i的定義域就洞雹是（0-100）。連續卷積的公式：這里定積分的下限是負無窮，上限是正無窮，同理，還是具體情況具體分析，如果還是那個打分情況，那麼就是下限為0，上限為100。

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書名：數學女孩

作者：[日]結城浩

譯者：朱一飛

豆瓣評分：8.9

出版社：人民郵電出版社

出版年份：2016-1-1

頁數：327

內容簡介：

《數學女孩》以小說的形式展開，重點描述一群年輕人探尋數學中的美。內容由淺入深，數學講解部分十分精妙，被稱為「絕贊的初等數學科普書」。內容涉及數列和數學模型盯猜、斐波那契數列、卷積、調和數、泰勒展開、巴塞爾問題、分拆數等，非常適合對數學感興趣的初高中生以及成人閱讀。凱舉型

作者簡介：

作者簡介：

結城浩

日本資深技術作家和程序員。二十年來筆耕不輟，在編程語言、設計模式、數學、密碼技術等領域，編寫著作三十餘本。代表作有《數學女孩》系列、《程序員的數學》等。

作者主頁：http://www.hyuki.com/

譯者簡介：

朱一飛

復旦大學日語系碩士，曾獲日本文部省獎學金赴日本早稻田大學、關西大學交換留學。現任復旦大學外事處項目官員、復旦大學日本研究中心兼職研究員，譯有《小王 金魚生活》《只要一分鍾》《情路9號》《斷食法》《貓叔來了》《新娘修煉記》等。

⑷ 高等數學里的卷積簡單來說是怎麼回事

根據兩個函數生成第三個函數的一種演算法 頻域中卷積對應時域中積,頻域中積對應時域中卷積

⑸ 《心中有數》：透過數學看人生，找到自己人生的最優解

高考的閱卷工作已經到了尾聲，自6月23日起，全國多個省份都紛紛開始陸續「放榜」。

然而，每一年的高考放榜，又是幾家歡喜幾家愁？取到好成績的同學肯定是平時的努力所致，但高考失利的卻不代表平時就不努力，更多的只是概畝和率問題。

這個概率問題剛好和劉雪峰教授在《心中有數：生活中的數學思維》一書中提出概率世界觀吻合，他說：「很多事情的最終結果是我們不能保證的，但是，這個結果發生的概率是我們可以靠努力改變的。」

作者劉雪峰，是北京航空航天大學副教授、博士生導師。他在《心中有數》一書中利用數學思維，結合生活，幫助你解開對人生的困惑；鼓勵你要敢於預測自己的未來，也要善於捕捉生活中的每一次小確幸；在接受不完美的前提下，逐漸完善自己、迭代自己，最終找到生活中的最優解。

一、接受暫時的不完美，完成遠比完美重要。

關於高考成績，無可否認的是，平常認真的同學取得好成績的概率，肯定會比那些不認真的同學要高得多。

而在高考失利這個問題上，可以用劉雪峰教授所提出的概率世界觀來解釋，這其實也和我們熟知的「謀事在人，成事在天」道理相通。

劉教授說：「對於一個參加高考的學生而言，即使他平常非常努力，模擬考試的成績也很好，但在高考成績公布之前，誰也不能保證他一定能考上一個好大學。因為有些重要的因素，例如考題的難度、他的臨場發揮情況等，是他不能控制的。」

高考失利，雖然成為你人生中的不完美，但我們必須承認的一個事實就是：世界萬物都毫無完美可言。

很多人認為，高考是人生中的轉折點。沒錯！但它並不是人生的終點，恰恰相反，高考只是人生中的一個新起點。

面對高考失利這個不完美，我們可以選擇全然接受，因為它只是暫時的。人生很長，總有很多站需要你停下來思考。

如果你因為發揮失常而導致的落榜，建議你可以分析一下這次失利的原因，同時也請你好好感謝一下自己一直以來的努力，因為你已經完成了人生中第一個重要的事情，雖然有一點遺憾，但完成遠比完美重要的多。

這時候，你可以選擇復讀，總結了失敗的原因之後繼續努力，准備來年再戰。人生並不是千篇一律的讀書和升學，我們還可以選擇就業、甚至可以選擇創業。

阿里集團的創始人馬雲，在他創立了他的商業帝國之前，也曾經是高考落榜生，而且還是連續三次落榜，甚至最差的數學只有1分。他說「我不相信有一流的人才，我只相信一流的努力。」在他不斷的努力下，連番的落榜經歷，也完全不影響他成為譽滿全球的企業家。

正如劉雪峰教授說的一樣，我們要「平靜接受現實，努力改變概率。」如果你等到的結果不如意，那麼我們就接受暫時的不完美，去完成你該完成的，改變你該改變的，畢竟先有完成，才可能有完美的結果。

當你真的去努力了，我們也不要太焦慮，靜待結果就好，該來的總會在路上。

二、敢於預測未來，也善於捕捉生活中的小確幸。

金無足赤，人無完人。每一個人都不完美，都有優缺點。那些成功的人，並不是說他們有三頭六臂，或者說他們有多完美，而是他們往往比較大膽地去做預測。

在穀神星被發現的故事中，為什麼年僅24歲的高斯，能夠在歐洲天文學界聲名鵲起？那是他敢於預測穀神星的位置，他除了藉助自己在計算天體運動軌跡時就發明的最小二乘估法來消除觀測誤差，還發明了很多方法來對行星運動軌道的估計精度。

終於，穀神星在人們視線中消失了一年後，穀神星在天文學家馮·扎克根據高斯預測的位置上再一次被找到。而在這之前，幾位著名的數學家都沒有找到，從一系列短期觀測數據中確定行星軌道的方法。

之所以高斯可以一下子征服歐洲天文學界，最主要的是他在穀神星再次被觀測到之前，就成功地預測了它的位置。如果高斯在穀神星被再次觀測到之後再來解釋，穀神星為什麼會再次出現在這個位置時，他的解釋會顯得毫無意義。

在這個故事中，劉雪峰教授認為：「「預測」比「解釋」重要得多，也難得多。」也就是說，敢於去「預測」，就等於敢於去行動，而「解釋」卻是馬後炮。很明顯，行動起來春慎比馬後炮更容易讓你成功迅森盯。

其實，不止是穀神星的故事中，「預測」顯得尤為重要，我們的人生也是一樣，你敢於描繪自己未來的藍圖，你就有可能拼出美好的未來。

也許你會說，擁有美好的未來是一種幸福感，而這種幸福感永遠只屬於那些擁有高學歷和擁有高起點的人，又或者是屬於那些有幸運體質的人。

有這種想法的話你就錯了，為什麼呢？劉雪峰教授認為，其實所謂的幸福感，也可以是那些小到想媽媽時，她的電話就打過來了；可以是走在路邊，卻發現路邊的樹已經冒出新芽等等這些小確幸。

在《心中有數》一書中，劉雪峰教授用「卷積」這個數學概念來分析關於究竟是偶爾的大幸福，還是頻繁的小確幸，更能讓我們獲得幸福？

卷積的目的是刻畫一個系統對於外界輸入的反應。系統是控制理論中的概念之一，簡單來說，系統接收輸入信號，然後產生輸出信號。

系統對外界輸入進行輸出，這個概念在生活中無處不在，包括我們說到的幸福感。

卷積的概念可以幫助我們在日常生活中做出正確的選擇，如果我們用心去感知，用心去體會、去捕捉，甚至去創造生活中的每一次小確幸，那麼頻繁的小確幸帶來的幸福感，一定比偶爾的大幸福帶來更多的幸福感。

就比如你在大城市的市中心上班，那麼你買市區的小房子帶來的幸福感，比在郊區買大房子的幸福感要高得多。因為你本身就在市區上班，不必為每天長時間的往返而頭痛，更不必為生活的不便利而煩惱。

三、在不完美中成長迭代，找到人生的最優解。

為什麼建議年輕時多出去闖一闖？劉雪峰在《心裡有數》一書中用到了計算機領域著名的模擬退火演算法來解釋。

模擬退火演算法是解決函數優化問題的數值解法，要找到函數的極值。劉雪峰教授用找到函數y=-x2+2x的極值為例，分別列舉了幾種演算法，包括解析解、梯度法和爬山法。

其中解析解無疑是最優的，但是要找到解析解也並不那麼容易。於是就有了梯度法和爬山法這兩個數值解。

對於剛剛步入社會的有理想的年輕人，劉雪峰教授建議，我們可以先用梯度法的核心思想在工作中「找准方向，精益求精」。有了方向之後，只要做到精益求精，才有可能更接近最優解。

除了梯度法，劉雪峰教授還建議可以用爬山法，顧名思義，爬山法就像是我們平時爬山一樣，每一次出發都會站得比之前的位置高，也就是說你在工作中，需要一次次不斷地迭代自己，一次比一次要更好。

但是，劉雪峰教授也指出了爬山法的缺陷，那就是當你爬到某一座山的最高點時，可能由於山中霧大影響，你以為你已經爬到了最高，但其實還有另外最高的山峰，這時候或許從旁邊那個比現在位置較低的點再出發，有可能會到達更高的高峰。

其實生活中不乏這樣的例子，比如你在跳槽的時候，你肯定是期望新工作的工資比之前的要高，因為是新人，因為公司的考核制度，不可能一開始就給你之前公司的最高工資。如果你覺得公司的前景好，而且更適合你的話，那麼你可以接受現在這個暫時比之前工資低的結果，然後不斷努力去達到符合你期望值的工資。

爬山法的這些演算法會陷入局部最高點無法跳出的缺點，就正如我們的人生一樣，當你不斷地最求利益最高點的時候，難免會被一時的利益蒙蔽雙眼，以至無法接受短期的挫折。但事實上，能接受暫時的不太完美，才有可能換取一個更好的未來。

當我們意識到這一點時，那麼問題又來了，我們應該怎樣去接受不完美呢？劉雪峰教授又給出了一個引入隨機的演算法，就是以一定的概率去接受暫時的不完美。

最後，教授用模擬退火演算法來得到最優解，模擬退火演算法告訴我們，開始時需要接受有很大概率的不完美，但是隨著時間的增加，這個概率會慢慢降低而達到平衡。

所有的演算法都和我們的人生密切相關，劉雪峰教授說：「人生其實是一個尋找最優解的過程。一開始誰都不是完美的，但是我們可以不斷努力提升自己，最後的目標是達到自己可能到達的最優位置。」

這些演算法告訴我們：年輕的時候，可以隨機性地讓自己多去闖一闖，去不斷地嘗試各種職業，不斷地在不完美中成長迭代，從而找到自己真正喜歡的，並且能夠激發你潛能，讓潛能無限放大的工作。然而隨著年齡的增長，就需要控制隨機性，在自己最適合的領域深耕，不要輕易地切換賽道。

寫在最後

劉雪峰教授這本《心中有數》，榮登了2022年5月的中國好書榜，它不僅僅是一本聚焦於計算機演算法領域的科普書，它還是一本教你如何利用演算法看清世界，讓你心中有數的書；更是一本讓你在演算法中得到智慧，不斷迭代自己，從而找到人生最優解的書。

從前，我認為數學就是數學，生活就是生活，它們兩個根本不搭邊。讀完這本書之後才驚覺「生活無處不數學」。

雖然概率世界觀告訴我們，很多事情的最終結果是我們不能保證的，但是，這個結果發生的概率是我們可以靠努力改變的。所以我非常建議你沉下心來慢慢咀嚼，也祝福你從中得到生活的智慧，找到你人生的最優解。

⑹ 線性代數里什麼叫卷積

所謂的卷積即是一種加權平均
形式上卷積f*g是積分f(t-s)g(s)ds，可以看成f在權數g下的野螞平均頌吵埋，碰敏或者g在權數f下的平均

⑺ 卷積 什麼意思

卷積
convolution

分析數學中一種重要的運算。設f（x）， g（x）是R1上的兩個可積函數，作積分：
可以證明，關於幾乎所有的x∈（－∞，∞） ，上述積分是存在的。這樣，隨著x的不同取值 ，這個積分就定義了一個新函數h(x)，稱為f與g的卷積，記為h（x）＝（f *g）（x）。容易驗證，（f *g）（x）＝（g *f）（x），並且（f *g）（x）仍為可積函數。這就是說，把卷積代替乘法，L1（R1）1空間是一個代數，甚至是巴拿赫代數。並察
卷積與傅里葉變換有著密切的關系。以(x) ，(x)表示L1（R）1中f和g的傅里葉變換，那麼有如下的關系成立：（f *g）∧（x）＝(x)·(x)，即兩函數的傅里葉變換的乘積等於它們卷積後的傅里葉變換。這個關系，使傅里葉分析中許多問題的處理得到簡化。
由卷積得到的函數（f *g）（x），一含蔽鏈般要比f，g都光滑。特別當g為具有緊支集的光滑函數，f 為局部可積時，它們談孫的卷積（f *g）（x）也是光滑函數。利用這一性質，對於任意的可積函數 ， 都可以簡單地構造出一列逼近於f 的光滑函數列fs（x），這種方法稱為函數的光滑化或正則化。
卷積的概念還可以推廣到數列 、測度以及廣義函數上去。

⑻ 二維卷積在哪本數學書上有講

數學分析的下冊有，內容比較抽象，希望能幫上你！

⑼ 卷積運算是啥

在泛函分析中，卷積(卷積)、旋積或摺積(英語：Convolution)是通過兩個函數f
和g
生成第三個函數的一種數學運算元，表徵函數f
與經過翻轉和平移與g
的重疊部分的累積。如果將參加卷積的一個函數看作區間的指示函數，卷積還可以被看作是「滑動平均」的推廣。
簡單介紹
卷積是分析數學中一種重要的運算。設:
f(x),g(x)是R1上的兩個可積函數，作吵態積分：
可以證明，關於幾乎所有的
，上述積分是存在的。這樣，隨著
x
的不同取值，這個積分就定義了一個新函數h(x)，稱為函數f
與g
的卷積，記為h(x)＝(f*g)(x)。容易驗證，(f
*
g)(x)
＝
(g
*
f)(x)，並且(f
*
g)(x)
仍為可積函數。這就是說，把卷積代替乘法，L1（R1）1空間是一個代數，甚至是巴拿赫代數。
卷積與傅里葉變換有著密切的關系。利用一點性質，即兩函數的傅里葉變換的乘積等於它們卷積後的傅里葉變換升纖源，能使傅里葉分析中許多問題的處理得到簡化。
由卷積得到的函數f*g
一般要比f
和g
都光滑。特別當g
為具有緊支集的光滑函數，f
為局部可積時，它們的卷積f
*
g
也是光滑函數。利用這一性質，對於任意的可積函數f，都可以簡單地構造出一列逼近於f
的光滑函數列fs，這種方法稱為函數的光滑化或正則化。
卷積的概念還可以推廣到數列、測度以及廣義函數上去。
卷積在工程和數學上都有很多應用：
統計學中，加權的滑動平均是一種卷積。
概率論中，兩個統計獨立變數X與Y的和的概率密度函數是X與Y的概率密度函數的卷積。
聲學中，回聲可以用源聲與一個反映各種反射效應的函數的卷積表示。
電子工程與信號處理中，任一個線性系統的輸出都可以通過將輸入信號與系統函數（系統的沖激響應）做卷積豎陸獲得。
物理學中，任何一個線性系統（符合疊加原理）都存在卷積。
卷積是一種線性運算,圖像處理中常見的mask運算都是卷積，廣泛應用於圖像濾波。castlman的書對卷積講得很詳細。
高斯變換就是用高斯函數對圖像進行卷積。高斯運算元可以直接從離散高斯函數得到：
for(i=0;
i<N;
i++)
{
for(j=0;
j<N;
j++)
{
g[i*N+j]=exp(-((i-(N-1)/2)^2+(j-(N-1)/2)^2))/(2*delta^2));
sum
+=
g[i*N+j];
}
}
再除以
sum
得到歸一化運算元
N是濾波器的大小，delta自選
首先，再提到卷積之前，必須提到卷積出現的背景。卷積是在信號與線性系統的基礎上或背景中出現的，脫離這個背景單獨談卷積是沒有任何意義的，除了那個所謂褶反公式上的數學意義和積分（或求和，離散情況下）。
信號與線性系統，討論的就是信號經過一個線性系統以後發生的變化（就是輸入
輸出
和所經過的所謂系統，這三者之間的數學關系）。所謂線性系統的含義，就是，這個所謂的系統，帶來的輸出信號與輸入信號的數學關系式之間是線性的運算關系。
因此，實際上，都是要根據我們需要待處理的信號形式，來設計所謂的系統傳遞函數，那麼這個系統的傳遞函數和輸入信號，在數學上的形式就是所謂的卷積關系。
卷積關系最重要的一種情況，就是在信號與線性系統或數字信號處理
中的卷積定理。利用該定理，可以將時間域或空間域中的卷積運算等價為頻率域的相乘運算，從而利用FFT等快速演算法，實現有效的計算，節省運算代價。

⑽ AI數學基礎26-卷積（Convolution）

卷積（Convolution）是一個應用非常廣泛的函數間的數學運算，類似加、減、乘、除。之所以很多同學聽到卷積二字就頭皮發麻，是因為不熟悉，而且在日常生活中用的少。加、減、乘、除從小就學習，天天在使用，所以覺得簡單、容易，親切。

加、減、乘、除 用符號 +，-，×，÷，表示；同樣，卷積用符號：* 表示。

如上所述，卷積是兩個函數之間的數學運算，假設有兩個函數f(t), g(t)，其卷積運算的結果也是函數，我們記做c(t)，則：

c(t) = f(t)*g(t) = (f*g)(t)

注意：f(t)*g(t)和(f*g)(t)這兩種寫法，都是表示卷積運算，大家世神在學習一個數學運算的時候， 首先是要學習並熟悉其標記的含義 ，這跟學習加、減、乘、除一樣。

卷積具體的計算是如何定義的呢？

兩個函數f(t), g(t)是定義在實數范圍內可積的函數，其卷積記作：f*g，是其中一個函數翻轉並平移後與另一個函數的乘積的積分，如下圖所示：

咋一看，有點兒懂了，也有點兒沒懂，不著急，接下來我們一步一步圖解卷積運算的過程。

首先 ，已知兩函數f(t)和g(t)，如下圖所示

然後 ，根據上述的卷積運算定義，把兩個函數f(t)和g(t)自變數由t換為τ，並把其中一個函數，比如g(τ)，向右移動t個單位，得到g(τ-t)。

接著 ，把右移t個單位的函數，以縱軸為中心，180°翻轉（Flip）,得到g(-(τ-t))，即g(t-τ)，如下圖所示：

這樣，經過平移和翻轉，我們得到了積分表達式中的f(τ）和g(t-τ)。

接下來 ，τ是自變數，對整個定義域，我們對f(τ）和g(t-τ)積分，如下圖所示：

最後 ，完成f(τ）和g(t-τ)的積分運算後，就完成了兩個函數f(t)和g(t)的卷積運算。

通過上述演示過程，大家可以把兩個函數的卷積運算，簡單記住為：「 卷積就是平移翻轉再積分 」，其過程如下圖所示：

若把g(t-τ)看作為是一個加權函數的話，卷積可以認為是對f(τ)取加權值的過程。

跟加、減、乘、除有交換律，結合律相似，卷積也有如下性質

卷積定模巧理 指出，函數卷積的 傅里葉變換 是函數傅里葉變換的乘積。即，一個域中的卷積相當於另一個域中的乘積，例如 時域 中的卷積就對應於 頻域 中的乘積。

這一定理對 拉普拉斯變換 、 雙邊拉普拉斯變換 、 Z變換 、 Mellin變換 和 Hartley變換 （參見 Mellin inversion theorem ）等各種傅里葉變換的變體同樣成立。利用卷積定理可以簡化卷積的運算量。對於長度為 n 的序列，按照卷積的定義進行計算，需要做 2n-1 組對位乘法，旦返鍵其 計算復雜度 為O(n²)；而利用 傅里葉變換 將序列變換到頻域上後，只需要一組對位乘法，利用傅里葉變換的 快速演算法 之後，總的計算復雜度為O(n·log(n))。卷積定理簡化運算在工程實現中，經常使用。

卷積在科學、工程和數學上都有很多應用 ：

代數 中，整數乘法和多項式乘法都是卷積。

圖像處理 中，用作圖像模糊、銳化、 邊緣檢測 。

統計學 中，加權的滑動平均是一種卷積。

概率論 中，兩個統計獨立變數X與Y的和的 概率密度函數 是X與Y的概率密度函數的卷積。

聲學 中， 回聲 可以用源聲與一個反映各種反射效應的函數的卷積表示。

電子工程 與信號處理中，任一個線性系統的輸出都可以通過將輸入信號與系統函數（系統的 沖激響應 ）做卷積獲得。

物理學 中，任何一個線性系統（符合 疊加原理 ）都存在卷積。

下一節將繼續介紹《 AI數學基礎27-離散卷積（Discrete convolution） 》