危在數學中代表什麼

『壹』 數學史上的三次危機是什麼

第一次數學危機

「萬物皆數」是古希臘畢達哥拉斯學派堅不可摧的信仰。所謂「萬物皆數」就是指任何的實數都可以表示為兩個整數的比值。然而學派引以為傲的畢達哥拉斯定理（也就是我國俗稱的勾股定理）卻恰恰成了其信仰的終結者。

畢達哥拉斯學派中的一個「好事之徒希伯斯（Hippasu）對學派堅守的「萬物皆數」首先表示了懷疑。他思考了一個問題：邊長為1的正方形其對角線有多長呢？一番思索演算之後，他發現這一長度既不是整數，也不是分數，「萬物皆數」的信仰就此崩塌。相傳惱羞成怒的學派成員將希伯斯淹死在了海里，真理不僅沒有給他榮譽反而招致殺身之禍，可悲亦可嘆！

自被希伯斯發現之後，√2這個數學史上的第一個無理數便登上了舞台。然而這一發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊，對於當時所有古希臘人的觀念都是巨大的沖擊。更為惱火的是，面對這一打擊，人們手足無措，於是便直接導致了人們認識上史無前例的危機，從而導致了西方數學史上一場浩大的風波，史稱「第一次數學危機」。

第二次數學危機

自微積分被發明之後，質疑之聲就從未消停過。相當長的時間內，數學界對「無窮小」這一概念的理解和使用都是非常混亂的，但微積分理論的基礎卻恰恰就是「無窮小分析」。

這一理論上的缺陷招致了巨大的抨擊，英國大主教更是直接稱「無窮小」為盤旋的幽靈。如果這一危機無法解除，那無數由微積分理論所獲得的成果都將遭受無情的質疑。這也就是數學史上的第二次危機。

轉機出現在柯西，魏爾斯特拉斯等人用極限的方法定義無窮小量之後，這時微積分理論經過發展和完善才真正具有了嚴格的理論基礎，從而使得數學大廈變得更加堅實牢固可靠，危機便也解除。

第三次數學危機

「數學狂人」康托一手所發展的集合論作為現代數學的基礎早已是數學界的共識。然而在1903年，集合論被發現是有漏洞的！這一發現就像在平靜的水面上投下了一塊巨石，它所引起的巨大反響則導致了第三次數學危機。英國數學家羅素就是這一危機的「始作俑者」。

羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。之後羅素提出問題：S是否屬於S呢？根據邏輯學上的排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。

如果S屬於S，根據S的定義，S就不屬於S；反之，如果S不屬於S，同樣根據S的定義，S就屬於S。所以無論如何都會產生矛盾！一時間，數學家為之恐慌，看似數學大廈即將檣傾楫摧不復存焉。第三次數學危機便自此爆發。

但頑強的數學家不會就此罷手，他們希望通過改造康托的集合論以便消除悖論。1908年，策梅羅提出了第一個公理化集合論體系，後來經其他數學家改進，稱之為ZF系統。這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷，然而也並非完美無瑕。

除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統等。相關的改進工作時至今日也為停下腳步。

總結來說，三次數學危機就是關於無理數，無窮小，羅素悖論的危機。但「危機」恰正好是「生機」，三次數學危機極大地促進了數學的嚴格化發展，使之成為了真正嚴謹的科學。

『貳』 數學的三大危機是什麼

無理數的發現──第一次數學危機

大約公元前5世紀，不可通約量的發現導致了畢達哥拉斯悖論。當時的畢達哥拉斯學派重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何、算術、天文、音樂稱為「四藝」，在其中追求宇宙的和諧規律性。他們認為：宇宙間一切事物都可歸結為整數或整數之比，畢達哥拉斯學派的一項重大貢獻是證明了勾股定理，但由此也發現了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數或整數之比（不可通約）的情形，如直角邊長均為1的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學派的根本信條，導致了當時認識上的「危機」，從而產生了第一次數學危機。

到了公元前370年，這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現在歐幾里得《原本》第5卷中。歐多克斯和狄德金於1872年給出的無理數的解釋與現代解釋基本一致。今天中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。

第一次數學危機對古希臘的數學觀點有極大沖擊。這表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示，反之卻可以由幾何量來表示出來，整數的權威地位開始動搖，而幾何學的身份升高了。危機也表明，直覺和經驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演譯推理，並由此建立了幾何公理體系，這不能不說是數學思想上的一次巨大革命！

無窮小是零嗎？──第二次數學危機

18世紀，微分法和積分法在生產和實踐上都有了廣泛而成功的應用，大部分數學家對這一理論的可靠性是毫不懷疑的。

1734年，英國哲學家、大主教貝克萊發表《分析學家或者向一個不信正教數學家的進言》，矛頭指向微積分的基礎--無窮小的問題，提出了所謂貝克萊悖論。他指出：「牛頓在求xn的導數時，採取了先給x以增量0，應用二項式（x+0）n，從中減去xn以求得增量，並除以0以求出xn的增量與x的增量之比，然後又讓0消逝，這樣得出增量的最終比。這里牛頓做了違反矛盾律的手續──先設x有增量，又令增量為零，也即假設x沒有增量。」他認為無窮小dx既等於零又不等於零，召之即來，揮之即去，這是荒謬，「dx為逝去量的靈魂」。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論。導致了數學史上的第二次數學危機。

18世紀的數學思想的確是不嚴密的，直觀的強調形式的計算而不管基礎的可靠。其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，從而導數、微分、積分等概念也不清楚，無窮大概念不清楚，以及發散級數求和的任意性，符號的不嚴格使用，不考慮連續就進行微分，不考慮導數及積分的存在性以及函數可否展成冪級數等等。

直到19世紀20年代，一些數學家才比較關注於微積分的嚴格基礎。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結束，中間經歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數學分析奠定了嚴格的基礎。

悖論的產生---第三次數學危機

數學史上的第三次危機，是由1897年的突然沖擊而出現的，到現在，從整體來看，還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由於在康托的一般集合理論的邊緣發現悖論造成的。由於集合概念已經滲透到眾多的數學分支，並且實際上集合論成了數學的基礎，因此集合論中悖論的發現自然地引起了對數學的整個基本結構的有效性的懷疑。

1897年，福爾蒂揭示了集合論中的第一個悖論。兩年後，康托發現了很相似的悖論。1902 年，羅素又發現了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素於1919年給出的，它涉及到某村理發師的困境。理發師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，並且，只給村裡這樣的人刮臉。當人們試圖回答下列疑問時，就認識到了這種情況的悖論性質：「理發師是否自己給自己刮臉？」如果他不給自己刮臉，那麼他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，那麼他就不符合他的原則。

羅素悖論使整個數學大廈動搖了。無怪乎弗雷格在收到羅素的信之後，在他剛要出版的《算術的基本法則》第2卷末尾寫道：「一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎垮掉了，當本書等待印出的時候，羅素先生的一封信把我置於這種境地」。於是終結了近12年的刻苦鑽研。

承認無窮集合，承認無窮基數，就好像一切災難都出來了，這就是第三次數學危機的實質。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數學的確定性卻在一步一步地喪失。現代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數學是血肉相連的。所以，第三次危機表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續著。

『叄』 數學史上的三次數學危機分別是什麼

畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數學家與哲學家。他曾創立了一個合政治、學術、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學派。由畢達哥拉斯提出的著名命題「萬物皆數」是該學派的哲學基石。而「一切數均可表成整數或整數之比」則是這一學派的數學信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學派數學信仰的「掘墓人」。畢達哥拉斯定理提出後，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數√2 的誕生。小小√2的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊。對於當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。這一結論的悖論性表現在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內都可以表示成有理數。這不但在希臘當時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術已經高度發展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了！這應該是多麼違反常識，多麼荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的風波，史稱「第一次數學危機」。

第二次數學危機導源於微積分工具的使用。伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，十七世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數學工具為牛頓、萊布尼茲各自獨立發現。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具後變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。

羅素悖論與第三次數學危機

十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。「一切數學成果可建立在集合論基礎上」這一發現使數學家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：「………藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……」

康托爾

可是，好景不長。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。

羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定的集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬於S，根據S的定義，S就不屬於S；反之，如果S不屬於S，同樣根據定義，S就屬於S。無論如何都是矛盾的。

羅素

其實，在羅素之前集合論中就已經發現了悖論。如1897年，布拉利和福爾蒂提出了最大序數悖論。1899年，康托爾自己發現了最大基數悖論。但是，由於這兩個悖論都涉及集合中的許多復雜理論，所以只是在數學界揭起了一點小漣漪，未能引起大的注意。羅素悖論則不同。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。如G.弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信後傷心地說：「一個科學家所遇到的最不合心意的事莫過於是在他的工作即將結束時，其基礎崩潰了。羅素先生的一封信正好把我置於這個境地。」戴德金也因此推遲了他的《什麼是數的本質和作用》一文的再版。可以說，這一悖論就象在平靜的數學水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導致了第三次數學危機。

危機產生後，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。「這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。」1908年，策梅羅在自已這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，後來經其他數學家改進，稱為ZF系統。這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統等。公理化集合系統的建立，成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展等等。