❶ 魔方中的數學知識
風靡全球的 魔方 也蘊藏著數學，那麼你對魔方中的數學知識了解多少呢?以下是由我整理關於魔方中的數學知識的內容，希望大家喜歡!
魔方中的數學知識
通常所說的魔方，其國際標准稱呼是魯比克魔方，由匈牙利布達佩斯應用藝術學院的建築學教授魯比克—艾爾內於1974年發明! 關於魯比克發明魔方的初衷，流傳甚廣的一個說法是為了發明一種教具，以幫助學生理解、認識立體空間的構造。
魯比克一開始並沒有意識到他發明了一個極其具有挑戰性的益智玩具，當他第一次將自己發明的魔方打亂，才發現了這個後來被無數人反復證明的事實：原始狀態的魔方一旦被打亂，想要將其復原是一件極其困難的事情。
1980年初，一家玩具公司將魔方帶至在巴黎、倫敦和美國召開的國際玩具博覽會展出。此後不久，隨著魔方製造技術的改進，魔方迅速風靡全球。到1982年，短短的3年間魔方在全球就售出了200多萬只，而到今天，全世界售出了數億只魔方，魔方已經成為全球最為流行的玩具之一。
魔方核心是三個相互垂直的軸，保證魔方的順利轉動。外觀上，由26個小正方體組成一個正方體。其中包括與中心軸相連的中心方塊6個，相對位置固定不動，僅一面塗有顏色;棱塊12個，兩面有顏色;角塊8個，三面有色。復原狀態下，魔方每面都塗有相同的顏色，六個面的顏色各不相同。魔方每個面都可以自由轉動，從而打亂魔方，形成變化多端的組合。
魔方組合的數量可以按照如下方式計算：8個角塊可以互換位置，存在8!種組合(8=8*7*6*5*4*3*2*1)，又可以翻轉，每個角塊可以具有’種空間位置，但因為不能單獨翻轉一個角塊，需要除以3，總共存在8!* 37種組合;12個棱塊可以互換位置，得到12!，又可以翻轉，得到212，但因為不能單獨翻轉一個棱塊，也不能單獨交換任意兩個棱塊的位置，需要分別除以2，得到12!*212/(2*2)種組合。綜上，得到魔方的所有可能組合數為：8!*37*12!*212/(2*2)=43,252,003,274,489,856,000≈4.33*1019
這是一個天文數字，如果某位玩家想要嘗試所有的組合，哪怕不吃不喝不睡，每秒鍾轉出十種不同的組合，也要花上千億年的時間才能如願，這約是當前宇宙年齡的10倍。
實際上，如果將魔方拆開隨意組合，其組合情況將多達5.19*1020種。也就是說，如果拆散魔方，再隨意安裝，有11/12的幾率無法恢復原狀。所以如果魔方被拆散，安裝時應按復原狀態安裝，否則極可能會無法復原。
魔方復原的另一個困難來自於我們只能按特定的方式復原，即反復旋轉某一面，一面上的9個方塊必須整體參與運動，這樣我們在復原過程中總是會打亂已經復原的部分，這種限制大大加大了復原魔方的難度。
很顯然，任意組合的魔方都可以在有限步驟內復原，那麼，問題來了，是否存在復原任意組合魔方所需的最少轉動次數N?也即，如果至多進行N次轉動便可以將任意魔方復原，這個N具體為多少?這個數字N被稱為上帝數字，從魔方剛剛流行的1982年便被提了出來。
當然，對任意的魔方，尋找最少的轉動步驟是極其困難的，需要針對每種情況尋找特定的步驟。一般的，還是利用本文前面所述的復原辦法，只需學習記憶少量的套路或公式，如CFOP法，需要學習記憶119個公式，平均只需55次轉動便可復原魔方。
數學是一門充滿魅力的學科，在它復雜表面的背後，隱藏著大量極其簡單、漂亮的規律。有趣的游戲、手頭的玩具，往往在簡單中蘊藏著深刻的數學規律。而復雜的數學經常以極其簡單、漂亮的形式展現。
魔方以及其數學原理對於魔方，我們應該都不陌生，近兩年來,魔方初級玩法，稍微細心一點的人都可以發現，魔方作為益智玩具的一種，已經被越來越多的擺上了貨架，被越來越多的人所喜愛。不久以前，我因為無聊，也就拿了一個魔方來，准備學習學習。(其實是因為同學說，許許多多數學牛人魔方都玩得很好，所以就虛榮心作祟了)然後又有一個同學和我說："玩魔方沒有意思，一看到魔方我就想起小學那些奧賽題了。"其實在研究了之後，我不認同這一點，我認為魔方作為一個特殊的代數結構，還是有其相當大的存在價值和研究價值的。這篇 文章 主要是由一些魔方的入門知識(科普版)和數學原理(數學版)組成的。科普版主要寫魔方的基本知識，以及其玩法，啟發公式的重要性。數學版主要是對魔方的數學原理進行探究，其中包含群論的一些內容。
科普版：
魔方(Rubik's Cube)是匈牙利布達佩斯建築學院魯比克教授在1974年發明的。他發明魔方的目的是考察建築學院學生的空間建構能力。具體地說，魔方由26塊組成，具有12個棱塊，8個角塊，6個中心塊組成，魔方中心那一塊是中空的。同時6個中心塊是無法移動的。那麼，其實，一個魔方只有12個棱塊，8個角塊可以移動。(其實，拆過魔方的人都清楚，我就是一個拆魔方狂熱分子。。。)。轉動魔方只有一種操作，那就是，將一個面順時針轉90度。其他所有操作，都是這個操作復合而成的。那麼，這一個操作，可以將魔方變出多少種不同的狀態呢?答案是4.3*10^19。如此復雜的一個狀態集合，也難怪大家難以把一個魔方復原了。
我佩服那些沒有通過學習魔方玩法而自己把魔方復原出來的人。我自己就沒有，(其實是我一位同學太壞了!他把我的魔方拆下來，又裝上，於是那個是一個永不可復原的魔方，害得我後來白弄了半個月，只復原成只有一個角塊不對，當然我也感謝這位同學，他讓我思考了到底把魔方拆了再拼上，是一個正確魔方的概率有多大，詳見數學版)這些沒有自己把魔方復原的人大都付出了大量的努力。我非常敬佩這些人的毅力。正是他們，發現了一個又一個的魔方公式，才使我們還原魔方的速度變得越來越快。
普通玩法，也就是各種 愛好 者啦，他們滿足於復原一個魔方，而不作更高的要求。
競速玩法，為了追求更高的速度的玩法，這些復原 方法 是萬能方法，而且他們運用的是復原方法中比較快的一種。我在這里寫幾種復原方法：
1. 層進法(入門方法)：將魔方的一層一層進行還原，每一層進行還原，最後復原整個魔方，這種方法如果有一個好魔方1min之內可以輕松完成。
2. CFOP法(主流方法)：分為4步完成，C=cross(底層十字)F=first 2 layers(前兩層)O=orient last layer(頂層定位)P=position last layer(頂層定向)。這個方法可以在30S內輕松完成。
這些方法大都和CFOP方法屬於一個系統的。一般只是稍微的改變一下。
時間上的節省是用 記憶力 換得的，層進法只需要記憶不過20種情況，不到10個公式即可，而CFOP法則需要記憶上百種情況，及其所對應公式。所以為了比別人快，記憶很多東西是不可避免的。層進法需要大約120步，而CFOP法需要大約60步。關於群論上理論證明，復原任意一個魔方，只需要最多26步(這個界不是緊的)，那麼我們可以設想，如果一個人大腦有足夠的容量，記憶足夠多的公式，那最多26步就可以完成了，肯定是一個創造吉尼斯紀錄的成績。不過，我覺得，比速度。。至少對於我來說，記憶不了那麼多吧。所以這種玩法其實是記憶公式。
盲擰：蒙著眼睛把一個魔方復原，是不是一件很神奇的事情呢?如果按照CFOP法，這可不可能呢?答案是否定的，從盲擰和正常擰的世界紀錄就可以看出它們用的方法不是一種，至今沒有一個人成為這樣的記憶奇才。因為百餘種情況不是鬧著玩的，而且每完成一步以後需要觀察再進行下一步，蒙著眼睛是做不到的。這就需要一個神奇的公式 三輪換公式，通過這個公式，不僅僅使我們變換的塊數最少，而且還減小了它們之間的相互影響，這也使盲擰變成了一種可能。只需要記住4個公式就可以完成。當然同時，更讓人頭疼的可能是記住20塊的位置朝向了。所以說，盲擰與其說是神奇，倒不如說是記憶位置。這個在CCTV科學探索中播出過。
最小步數復原：這個很NB。。應該是通過記公式算公式吧，我不太了解原理了。就把記錄寫在這里。。。目前的世界紀錄是28步還原，耗時2個半小時。
還有單擰(單手擰)腳擰。。。當然我認為這些是無聊的。。
數學版：
曾經有個人發表了一個一篇關於三輪換的文章，結果。。有人欽佩，有人諷刺，只有極少數的人和作者進行了討論。魔友大部分只是記住公式，其實也不用知道原理。他們也許是對的，不過，我在這里說一句，我覺得中國對於數學至少是不重視的，數學只是作為一種升學手段應用於應試 教育 中。尤其是奧數，其實數學當中哪裡有那麼多的技巧??奧數中絕大部分的題目來源於同年齡段更高等的數學之中。很多人都說奧數題又偏又難，為什麼，因為他們沒有學過相關知識而去做題，不習慣那些思考方式，怎麼會不覺得難?為什麼陶哲軒12歲拿到奧數金牌並且成為數學大師而中國本土出了那麼多奧數金牌卻都平平庸庸?因為陶哲軒不是做題做出來的，他在12歲前就把微積分學完了而且學得很好。再者中國為什麼那麼多人痛恨數學?做題做的。數學是很直觀的東西，每一個概念都對應一個直觀，從生活中抽象出來，只要用心看就有收獲。
符號：u=upper, f=front, b=back,魔方站論壇, r=right, d=down, l=left
我們將魔方面對右面(r面)，看到右面一層如下左圖，轉動Y3後如右圖，就可得出各塊的變動。
類似分析Z3，
二者復合為
其中對角方塊，右上角的正號表示此塊順時針轉2π/3 ，負號表示反時針轉。對棱方塊表示有一個方向的翻轉。 上面分析說明，經過Y3,Z3兩個轉動，上右前角塊回到原地，但順時針轉了2π/3 。還有5個角方塊做了一個輪換，各反時針轉了2π/3 ，或說順時針轉了4π/3 。7個棱方塊做了一個輪換。
可以看出這是一個置換群，它是全部狀態的一個子群，但它不是一個普通的20階群，因為其棱塊角塊的朝向問題，魔方的群結構比一般的20階群更復雜。而且它有另一個特點 更為特殊。
特殊之處在於兩個三輪換公式(分別是對棱塊，角塊)，這個公式我首先是直觀認識到的，是我在學習層進法中眾多公式的一個，它的意義在於我們可以把3個棱塊(角塊)互換，相當於(123)->(231)，而且在確定位置的情況下，這3塊的朝向是確定的。我本來沒有打算去證明這個結論，因為我們線性代數老師說過："如果你不信這件事情的話，親自去做做不就行了。
我們證明對於棱塊的三輪換公式是存在的。設想有兩個輪換t1, t2, 它們分別代表一個對於魔方的置換。這兩個輪換有一個特點，他們變換了一個相同的棱塊記為a，t1中a1->a,魔方高級玩法公式，t2中b1->a,下面我們做一個共軛變換t=(t1')(t2)(t1)，t是什麼呢?t是一個近似t2的變換，只不過t1的a1變到t2的"軌道"里去了，而a還在原來的位置，下面我們做(t2')(t),就有a1,a,b1互換位置。
我們有圖解如下：
其實證明中有一個小小的問題，因為只有8個角塊，所以說我們要找兩個共用一個角塊的四輪換才可以，我們可以利用上述方法繼續找，方法不詳述了。
推論：我們能找到任意三輪換公式(即任何3個棱塊(角塊)都存在三輪換)。
對棱塊進行說明，記6個棱塊，123456，首先我們能找到兩個三輪換(123),(345),我們作一個共軛變換(345)(123)(345)'=(124)，這樣我們就從一個三輪換推到了另一個三輪換。我們再找一個關於6的棱塊，把(124)共軛成(164)，這樣，164三個棱塊都是任選的了，證畢。
三輪換公式完全說明了魔方中角塊和邊塊是互不影響的!也就是我們可以把魔方的20塊拆成12個角塊和8個邊塊分別進行研究。下面我有些?。。我應該說明二輪換公式是不存在的，不過我沒有證明出來，但它確實是不存在的。也許哪位高人可以幫我。其實計算機搜索應該是可以解決的。。但一個純數學的證明會更好些。
下面討論如果把一個魔方拆了之後再拼上，正確概率有多大?我們知道一個好的魔方和一個不好的魔方只是不在一個"軌道"里，但是他們變出的狀態時一樣多的，因為他們同構。所以說我們只需要算出魔方不同軌道個數即可。
我們首先計算出隨便拼出的魔方有多少種狀態，這是可以由初等數學的排列組合解決的。
12!*8!*2^12*3^8=519024039293878272000
然後我們利用上面的結果，把角塊和棱塊分開考慮。對於棱塊，全部正確是一種情況，如果我們把一塊棱塊朝向改變，其餘都正確，是不可復原的。而這一個棱塊可以在任意位置，它們都在一個軌道內(這個用任意三輪換公式可以證明)。還有一種是兩個棱塊調換位置，注意調換位置之後再改變朝向也是可以化到這種情況里的，而3個棱塊及以上的調換，都可以用三輪換公式約簡到2個棱塊及以下的調換。所以對於棱塊來說，只有3種情況。同樣，由於角塊多了一種朝向，所以是4種，那麼，我們一共有3*4=12個軌道。
在這12個軌道里，我們只有一個是正確的，所以我們隨意拼上正確的概率為1/12。
由此，我們可以計算魔方的狀態數：12!*8!*2^12*3^8*1/12=43252003274489856000
後記：
其實我有更深的思考，魔方只是群論中的一個具體例子，但它已經如此繁復，有限群的研究不是那麼簡單的事情。而23步就一定能復原一個魔方給了計算機科學更大的挑戰。如何搜索，能不能出現更新的技術都是小魔方能引入的大問題。實際上，把魔方用群的語言表示出來，最後找到復原解，是一個純粹符號的計算，它只涉及到置換群的乘法，要找到復原魔法的最小步驟解，只需把分解成最少次乘法。研究這個搜索技術應該對研究置換群的運算是有很大好處的。
將魔方符號化是有好處的，它直接允許我們用計算機來研究魔方。
把魔方當作數學看，真的是一件很有趣的事情，也是學習群論的一種手段吧。
❷ 魔方裡面都有什麼數學知識
魔方裡面都有什麼數學知識
2008 年七月, 來自世界各地的很多最優秀的魔方玩家聚集在捷克共和國 (Czech Republic) 中部的帕爾杜比采 (Parbice), 參加魔方界的重要賽事： 捷克公開賽. 在這次比賽上, 荷蘭玩家阿克斯迪傑克 (E. Akkersdijk) 創下了一個驚人的紀錄： 只用 7.08 秒就復原一個顏色被徹底打亂的魔方. 無獨有偶, 在這一年的八月, 人們在研究魔方背後的數學問題上也取得了重要進展. 在本文中, 我們就來介紹一下魔方以及它背後的數學問題.
一. 風靡世界的玩具
1974 年春天, 匈牙利布達佩斯應用藝術學院 (Budapest College of Applied Arts) 的建築學教授魯比克 (E. Rubik) 萌生了一個有趣的念頭, 他想設計一個教學工具來幫助學生直觀地理解空間幾何的各種轉動. 經過思考, 他決定製作一個由一些小方塊組成的, 各個面能隨意轉動的 3×3×3 的立方體. 這樣的立方體可以很方便地演示各種空間轉動.
這個想法雖好, 實踐起來卻面臨一個棘手的問題, 即如何才能讓這樣一個立方體的各個面能隨意轉動? 魯比克想了很多點子, 比如用磁鐵或橡皮筋連接各個小方塊, 但都不成功. 那年夏天的一個午後, 他在多瑙河畔乘涼, 他的眼光不經意地落在了河畔的鵝卵石上. 忽然, 他心中閃過一個新的設想： 用類似於鵝卵石表面那樣的圓形表面來處理立方體的內部結構. 這一新設想成功了, 魯比克很快完成了自己的設計, 並向匈牙利專利局申請了專利. 這一設計就是我們都很熟悉的魔方 (magic cube), 也叫魯比克方塊 (Rubik's cube)[注一].
六年後, 魯比克的魔方經過一位匈牙利商人兼業余數學家的牽頭, 打進了西歐及美國市場, 並以驚人的速度成為了風靡全球的新潮玩具. 在此後的 25 年間, 魔方的銷量超過了 3 億個. 在魔方的玩家中, 既有牙牙學語的孩子, 也有跨國公司的老總. 魔方雖未如魯比克設想的那樣成為一種空間幾何的教學工具, 卻變成了有史以來最暢銷的玩具.
魔方之暢銷, 最大的魔力就在於其數目驚人的顏色組合. 一個魔方出廠時每個面各有一種顏色, 總共有六種顏色, 但這些顏色被打亂後, 所能形成的組合數卻多達 4325 億億[注二]. 如果我們將這些組合中的每一種都做成一個魔方, 這些魔方排在一起, 可以從地球一直排到 250 光年外的遙遠星空. 也就是說, 如果我們在這樣一排魔方的一端點上一盞燈, 那燈光要在 250 年後才能照到另一端. 如果哪位勤勉的玩家想要嘗試所有的組合, 哪怕他不吃、 不喝、 不睡, 每秒鍾轉出十種不同的組合, 也要花 1500 億年的時間才能如願 (作為比較, 我們的宇宙目前還不到 140 億歲). 與這樣的組合數相比, 廣告商們常用的 「成千上萬」、 「數以億計」、 「數以十億計」 等平日里虛張聲勢、 忽悠顧客的形容詞反倒變成了難得的謙虛. 我們可以很有把握地說, 假如不掌握訣竅地隨意亂轉, 一個人哪怕從宇宙大爆炸之初就開始玩魔方, 也幾乎沒有任何希望將一個色彩被打亂的魔方復原.