高等數學中積分什麼意思

❶ 微分和積分有什麼區別，大一高數，最簡單的解釋

導數和微分在書寫的形式有些區別，如y'=f(x),則為導數，書寫成dy=f(x)dx,則為微分。積分是求原函數，可以形象理解為是函數導數的逆運算。

通常把自變數x的增量 Δx稱為自變數的微分，記作dx，即dx = Δx。於是函數y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx，而其導數則為：y'=f'(x)。

設F(x)為函數f(x)的一個原函數，我們把函數f(x)的所有原函數F(x)+C（C為任意常數），叫做函數f(x)的不定積分，數學表達式為：若f'(x)=g(x)，則有∫g(x)dx=f(x)+c。

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設函數y = f(x)在x的鄰域內有定義，x及x + Δx在此區間內。如果函數的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依賴於Δx的常數），而o(Δx)是比Δx高階的無窮小（註：o讀作奧密克戎，希臘字母）

那麼稱函數f(x)在點x是可微的，且AΔx稱作函數在點x相應於因變數增量Δy的微分，記作dy，即dy = AΔx。函數的微分是函數增量的主要部分，且是Δx的線性函數，故說函數的微分是函數增量的線性主部（△x→0）。

通常把自變數x的增量 Δx稱為自變數的微分，記作dx，即dx = Δx。於是函數y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數因變數的微分與自變數的微分之商等於該函數的導數。因此，導數也叫做微商。

當自變數X改變為X+△X時，相應地函數值由f(X)改變為f(X+△X)，如果存在一個與△X無關的常數A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0關於△X的高階無窮小量，則稱A·△X是f(X)在X的微分，記為dy，並稱f(X)在X可微。一元微積分中，可微可導等價。記A·△X=dy，則dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。

微分概念是在解決直與曲的矛盾中產生的，在微小局部可以用直線去近似替代曲線，它的直接應用就是函數的線性化。微分具有雙重意義：它表示一個微小的量，因此就可以把線性函數的數值計算結果作為本來函數的數值近似值，這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想。

積分發展的動力源自實際應用中的需求。實際操作中，有時候可以用粗略的方式進行估算一些未知量，但隨著科技的發展，很多時候需要知道精確的數值。要求簡單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長×寬×高求出。

但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規則的形狀，就需要用積分來求出容積。物理學中，常常需要知道一個物理量（比如位移）對另一個物理量（比如力）的累積效果，這時也需要用到積分。

勒貝格積分的出現源於概率論等理論中對更為不規則的函數的處理需要。黎曼積分無法處理這些函數的積分問題。因此，需要更為廣義上的積分概念，使得更多的函數能夠定義積分。同時，對於黎曼可積的函數，新積分的定義不應當與之沖突。勒貝格積分就是這樣的一種積分。

黎曼積分對初等函數和分段連續的函數定義了積分的概念，勒貝格積分則將積分的定義推廣到測度空間里。

勒貝格積分的概念定義在測度的概念上。測度是日常概念中測量長度、面積的推廣，將其以公理化的方式定義。黎曼積分實際可以看成是用一系列矩形來盡可能鋪滿函數曲線下方的圖形，而每個矩形的面積是長乘寬，或者說是兩個區間之長度的乘積。

測度為更一般的空間中的集合定義了類似長度的概念，從而能夠「測量」更不規則的函數曲線下方圖形的面積，從而定義積分。在一維實空間中，一個區間A= [a,b] 的勒貝格測度μ(A)是區間的右端值減去左端值，b−a。這使得勒貝格積分和正常意義上的黎曼積分相兼容。

在更復雜的情況下，積分的集合可以更加復雜，不再是區間，甚至不再是區間的交集或並集，其「長度」則由測度來給出。

❷ 什麼是積分和微積分（數學）

微分和積分是兩個不同概念，但二者又有一些聯系！積分分為定積分和不定積分！而微分則與導數有著很多的相似！如果球微積分的話一般就是用牛頓-萊布尼茲公式和積分上限函數。其中可能會用到定積分！！

❸ 什麼是積分

集體回答如下：

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積分都滿足一些基本的性質，在黎曼積分意義上表示一個區間，在勒貝格積分意義下表示一個可測集合。積分是線性的，如果一個函數f可積，那麼它乘以一個常數後仍然可積。如果函數f和g可積，那麼它們的和與差也可積。

如果一個函數f在某個區間上黎曼可積，並且在此區間上大於等於零。那麼它在這個區間上的積分也大於等於零。如果f勒貝格可積並且幾乎總是大於等於零，那麼它的勒貝格積分也大於等於零。

❹ 高數中積分和微分是什麼意思

在高數中，積分一般分為不定積分、定積分和微積分三種，定積分是變數限定在一定的范圍內的積分，有范圍的。微積分包括微分和積分，積分和微分互為逆運算，積分又包括定積分和不定積分，不定積分是沒范圍的。

拓展內容：

微分在數學中的定義：由函數B=f(A)，得到A、B兩個數集，在A中當dx靠近自己時，函數在dx處的極限叫作函數在dx處的微分，微分的中心思想是無窮分割。微分是函數改變數的線性主要部分。微積分的基本概念之一。

積分是微積分學與數學分析里的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說，對於一個給定的正實值函數，在一個實數區間上的定積分可以理解為在坐標平面上，由曲線、直線以及軸圍成的曲邊梯形的面積值（一種確定的實數值）。

❺ 微分和積分分別是什麼意思了,用通俗的語言解釋下

導數：曲線某點的導數就是該點切線的斜率，在物理學里體現了是瞬時速度，二階導數則是加速度。這個是由牛頓提出並研究的方向。

微分：也就是把函數分成無限小的部分，當曲線無限的被縮小後,可以近似當作直線對待,微分也就能表示為導數與dx的乘積。這個是萊布尼茲提出並研究的方向。

其實導數和微分本質上說並無區別，只是研究方向上的差異。

積分：定積分就是求曲線與x軸所夾的面積；不定積分就是該面積滿足的方程式 ,因此後者是求定積分的一種手段,本質上來說,不定積分就是變限的定積分。

換一個角度來說：

導數y'是函數在某一點的變化率,微分是改變數,導數是函數微分與自變數微分之商,即y'=dy/dx,所以導數與微分的理論和方法統稱為微分學（已知函數,求導數或微分）.積分則是微分學的逆問題。

極限是微分、導數、不定積分、定積分的基礎,最初微積分由牛頓、萊布尼茨發現的時候,沒有嚴格的定義,後來法國數學家柯西運用極限,使微積分有了嚴格的數學基礎.極限是導數的基礎,導數是極限的化簡.微分是導數的變形。

微分：無限小塊的增量可以看作是變化率，也就是導數。 積分：無限小塊的面積和可以看作是整個面積。

可導必連續，閉區間上連續一定可積，可積一定有界。

拓展資料

導數

導數是微積分中的重要基礎概念。當函數y=f(x)的自變數x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變數增量Δx的比值在Δx趨於0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'(x0)或df(x0)/dx。 導數是函數的局部性質。

一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。如果函數的自變數和取值都是實數的話，函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。

例如在運動學中，物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度。 不是所有的函數都有導數，一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。然而，可導的函數一定連續；不連續的函數一定不可導。

對於可導的函數f(x)，x↦f'(x)也是一個函數，稱作f(x)的導函數（簡稱導數）。尋找已知的函數在某點的導數或其導函數的過程稱為求導。實質上，求導就是一個求極限的過程，導數的四則運演算法則也來源於極限的四則運演算法則。反之，已知導函數也可以倒過來求原來的函數，即不定積分。微積分基本定理說明了求原函數與積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學中最為基礎的概念。