A. 淺談埃及和古巴數學的各自特點
一、古埃及的數學
古代埃及人憑借尼羅河沿河兩岸的沃土，用他們的智慧獨立地創造出了燦爛的古代文化．遠在公元前4000年以前的古埃及的文明，已經有了象形文字，大約於公元前3000年左右，埃及成為統一的奴隸制國家．根據現在保存在英國牛津Ashmolean博物館的古埃及第一王朝時期(約公元前3400年以前)一個王室的權標上象形文字的記載，當時一次勝仗曾俘獲過120000名俘虜，400000頭牛，1422000頭羊．這表明當時埃及人已能用象形文字表示大的數目．
1．古埃及人的記數法
古埃及人是用以10為基的象形數字記數的
介於其間的各數由這些符號的組合來表示，書寫方式是從右往左．所以 表示為32．
盡管埃及是最早採用10進數制的國家之一，由於沒有採用位置記數的方法，這樣就給記數帶來了麻煩(詳見第三節)．
古埃及人用紙草作為書寫材料，紙草是尼羅河三角洲沼澤地盛產的一種水生植物，把這種草的莖依縱向剖成小薄片，然後壓平曬干使之成為紙卷，可用於書寫．由於埃及地區氣候乾燥，因此有些紙草能幸運地保存至今．其中有兩卷紙草記錄了古埃及數學資料．它們都產生於公元前1700年左右．一卷稱為莫斯科紙草(圖1－1)，其中含有25個數學問題，由俄國人戈蘭尼采夫(голенищев)於1893年在埃及發現，現存於莫斯科美術博物館．另一卷稱為蘭德紙草(圖1－2)由英國人蘭德(A．Henry．Rhind)於1858年在埃及購買的，後收藏於英國博物館．因紙草是由埃及人阿默士(Ahmes)從公元前3000年的文獻中抄寫下來，記錄著85個數學問題的抄本，所以又稱為阿默士紙草．這兩卷紙草是現在我們研究古埃及數學的主要來源．
2．古埃及人的算術知識
在莫斯科和蘭德紙草中記載的110個數學問題多半來源於實際計算．由於任何一個自然數都可以由2的各次冪的和組成．因此我們可以發現古埃及人的計算技術具有迭加的特徵．
通常進行加減法運算時，他們用添上或拆掉一些數字記號求得結果，而進行乘法或除法運算時，則需要利用連續加倍的運算來完成．
例如，計算：27×31．
因為27=20＋21＋23＋24=1＋2＋8＋16，
於是只要把31的這些倍數加起來，即可求得27×31的積．其作法如下：
把那些帶有*號的31的倍數加起來，即得積837．
又如計算：745÷26．
只要連續地把除數26加倍，直到再加倍就超過被除數745為止．其程序如下：
∵745=416＋329
=416＋208＋121
=416+208+104+17．
從上述帶有(*)號的各項，便可得出，其商為16＋8＋4=28，其餘數為17．
古埃及算術最可注意的方面是分數的記法和計算．
古埃及人通常用單位分數(指分子為1的分數)的和來表示分數．
蘭德紙草里有個數表，它把分子為2而分母為5到100的奇數的這類分數，表達成為單位分數的和
用現代的記號，其首末幾行可表示為：
這樣古埃及人就可以利用這張表進行分數運算了．
例如要用5除以21．運算程序可以如下地進行：
由於整數與分數的運算都較為繁復，古埃及算術難以發展到更高的水平．
3．古埃及的代數
在蘭德紙草上有一個方程問題：「有一堆(古埃及人把未知數稱為
在莫斯科紙草上有一個面積問題：「把一個面積為100的正方形分為兩個小正方形，使其中一個的邊長是另一個的四分之三」，寫成現在的形式為
中並沒有說明為什麼要這樣做．
在蘭德紙草中還出現了有關算術級數的問題：「 5個人分100個麵包，要求每個人所得的份數構成一個算術級數」．紙草作者先令公差為
由上所述，古埃及人雖然能解決相當於今天解方程的問題，但實質上用的是純粹算術的方法，還沒有出現代數語言．並不存在解方程的概念．
4．古埃及的幾何
古代埃及人留下了許多氣勢宏偉的建築，其中最突出的是約公元前2900年興建於下埃及的法老胡夫的金字塔，高達146.5米，塔基每邊平均寬230米，任何一邊與此數值相差不超過0.11米，正方程度與水平程度的平均誤差不超過萬分之一．與金字塔媲美的另一建築群是上埃及的阿蒙神廟．其中卡爾納克的神廟主殿總面積達5000平方米，有134根圓柱，中間最高的12根高達21米．這些宏偉建築的落成，離不開幾何學知識．
另一方面，幾何學也起源於古埃及的農業．在蘭德紙草中有19個關於土地面積和谷倉容積的計算問題．表明當時的埃及人已經會正確計算矩形、三角形和梯形的面積，並能對其他一些幾何圖形採用近似計演算法，例如在求任意見邊形的面積時，出現過近似公式：
古埃及人很可能已經知道了後來稱為畢達哥拉斯定理的個別特殊情況．例如，埃及人可能已知：把12個單位長的繩子用結分成長為3、4、5個單位的三段，可以用來構造直角，但是這種推測尚未被學者所公認．
在蘭德紙草上有一個求圓形土地面積的例子．他們把圓面積表示為
約為3.1605……，與π值的誤差僅約為0.6％．
對立方體、柱體等體積的計算，他們給出一些計算的法則，其中有比較准確的也有較為粗略的．值得注意的是，在莫斯科紙草中有一個正四稜台的體積的具體計算方法上、下底面和中截面的面積之和乘以高的
其中，a、b分別是上、下底面正方形的邊長，h是高．
這個計算與我們現在所用的公式完全相同，可以說這是埃及幾何中最出色的成就之一．
二、古代巴比倫的數學
公元前4000年左右，生活在西亞的底格里斯河和幼發拉底河之間的地帶，即「美索波達米亞」地區的人民相繼創造了西亞上古時期的文明，已經有了象形文字，大約於公元前1900年形成了奴隸制的巴比倫王國．
從19世紀前期開始，在美索波達米亞工作的考古學家們進行了系統的挖掘工作，發現了大約50萬塊刻寫著文字的「泥板」．古巴比倫人用一種斷面呈三角形的筆在粘土板上刻出楔形的痕跡，稱為楔形文字，這種泥板經曬干或烘烤之後，遂被長時間地、完整地保留了下來．現在世界上許多博物館，如著名的倫敦、巴黎、柏林等博物館中都收藏有許多這類泥板．在發掘出來的50萬塊泥板中，約有400塊是數學泥板，其中記載有數字表和數學問題．
1．古代巴比倫的記數法與六十進位制
古代巴比倫人藉助於符號 和 ，可以表示所有的整數，如：
巴比倫數系的特點是六十進位制．地質學家W·K·勞夫特斯於1854年發掘出兩塊泥板(稱為森開萊泥板)其中一塊上面刻著一個數列，用現代符號來寫，前七個數是1，4，9，16，25，36，49．顯然這是一個自然數平方的數列．49以下自然應該是64，81，…．但記載的卻是1·4，1·21…直到58·1．這個問題只有在六十進位記數制中才能得到妥善的解釋：
1·4=1×60+4=64=82，
1·21=1×60+21=81＝92，
58·1=58×60＋1=3481=592．
由上所述，古代巴比倫人已經懂得了用相同的符號可以按其位置不同來表示不同的數值，這種60進位的位值制記數法，是一項重要的貢獻．但
至於巴比倫人為什麼要採用六十進位制呢？現代人們有種種的推測：一般認為60是許多簡單數字如2，3，4，5，6，10，12，…
化為較大單位時成為整數．也有的認為60=12×5，12是一年包含的月數，5是一隻手的手指數．
2．古代巴比倫人的算術運算
巴比倫人對於加減法的運算只不過是加上或去掉些數字記號而已，加法沒有專門的記號，減法用 記號表示，例如 表示40-3，關於乘法，巴比倫人是在整數范圍內進行的，其記號是 ，如果要計算36×5，他們的做法是30×5＋6×5．這可以看作是乘法分配律的萌芽．為了便於計算，他們大約在公元前2000年以前已經編制了從1×1到60×60的乘法表，並用來進行乘法運算了．
關於除法，巴比倫人進行的是整數除以整數的運算，這種運算可以採用與倒數相乘的辦法來進行，於是經常要使用分數．在巴比倫人遺留
化為有限位的六十進制「小數」．這個倒數表可以用現代的記號表示為
2 30
3 20
……
1 20 45
1 21 44 26 40
其意思是
……
除了乘除法之外，巴比倫人還能藉助於泥板上的數表來進行平方、 但是還沒有根據證明他們已認識了無理數．
3．巴比倫的代數知識
大約於公元前2000年，古代巴比倫人已能使用代表抽象概念的代數語言，可能由於許多代數問題都與幾何有關，因此他們常常用「長」，「寬」，「面積」來代表未知數和它們的乘積等．
例如「給定矩形的周長和面積，試求邊長」也就是相當於求解方程組
早期巴比倫代數中的一個基本問題是：「求一個數，使它和它的倒數之和等於一個給定的數．」用現代的記號來寫就是
對於這個二次方程，他們給出的答案相當於
由於當時還沒有負數的概念，所以負根略去不記，這表明巴比倫人實際上已經會解二次方程了．
通過解二次方程可以求解一些高次方程．例如「我把長乘寬的面積10，我把長自乘的面積，我把長大於寬的量自乘，再把這個結果乘以9，這個面積等於長自乘所得的面積，問長和寬各是多少？」
用現代的記號表示為方程組
在求復利問題的時候，甚至巴比倫人還能解指數方程．例如「有一筆錢，利息率為每年20％，問經過多長時間以後利息與本金相等？」這實際上是求解指數方程
(1.2)x=2．
上述例子表明古代巴比倫在代數學上的成就確實很高．
紐格包爾(Otto Neugebauer)和薩克斯(Sachs)於1945年對收藏在哥倫比亞大學普林頓收藏館的第322號巴比倫數學泥板(簡稱為普林頓322號)作了成功的解釋．普林頓322號包括基本上完整的三列數字．左邊應該還有第四列數，但已佚失．將它用現代十進位符號改寫，得到圖1－3．顯然最右邊的那一列只不過是用來表示行數的，他們兩人還發現：兩列中的對應數字(除了四個例外)正好構成一個邊長為正整數的直角三角形的斜邊(圖1－3中的中間一列)和一個直角邊．在圖1－3中帶括弧的四個值是例外值，放在經我們改正的數字的右邊．
現在人們把象(3，4，5)這樣一組能作為一個直角三角形的邊的正整數稱為畢達哥拉斯數(簡稱為畢氏三數)如果這樣一組數除了1以外，沒有其他公因子，則就稱它為素畢氏三數．(3，4，5)是素畢氏三數，而(6，8，10)則不是．
現在我們已經證明了所有的素畢氏三數(a，b，c)能用下列參數式表達：
a=2uv，b=u2-v2，c=u2+v2．
這里，u和v互素，奇偶性不同，並且u＞v，例如，u=2，v=1則得素畢氏三數a=4，b=3，c=5．
假定我們用普林頓322號數學泥板上給出的斜邊c和直角邊b來確定那個邊為正整數的直角三角形的另一邊a，則得如圖1－4的畢氏三數．我們還注意到，圖1－4中的畢氏三數，除了第11行和第15行外，都是素畢氏三數．為了便於研究和討論，我們也列出了這些畢氏三數的參數值u和v．(圖1－4)對數學泥板的解釋工作現在還在繼續進行，今後也許還會有新的發現．
B. 為什麼古埃及人在天文學數學幾何學地理學等方面取得了很高的成就
古埃及是農業文明，需要丈量土地和對收成的測算，都需要幾何和算術的知識，所以有很大發展；歷法源於對太陽、星辰等天文觀測，而歷法有對農業發展有重大意義，所以埃及人的天文學也很了不起，體現在他們的太陽歷十分精確。
C. 古巴比倫和古埃及數學的優劣
作為兩大文明古國，古巴比倫和古埃及在數學方面都讓蠻夷之地有了數學之靈光的閃爍。從他們的歷史中可以看出，數學起初只是一種工具，或者是為計算歷法，以便掌握更為精確的時間來拜祭神靈；或者是為計算賦稅，以便更為准確地收取土地賦稅。古巴比倫和古埃及的數學始終是重演算法而輕推理，或許他們根本就沒去考慮嚴密的推理，而僅是注重計算的技巧和實用性。 古巴比倫和古埃及都做了一些數的表示的嘗試，雖然不如現代的簡潔明了，但古巴比倫人的數制也像今日所用一樣，是由許多歷史條件和地區習慣形成的混合數制，不過他們在數學和天文上更加親睞於60進制，楔形文字記錄了這些；古埃及的計數是以10為基底的。他們都對數的加減運算有了一些認識，對乘法也有一些計算技巧，卻未成體系，他們沒有除法的概念，例如1/2在他們的理解中是一個數字，他們用巧妙卻繁瑣的連分數彌補了沒有除法的這一空缺。 古巴比倫和古埃及的代數也有一些發展，他們可以解一些二次方程，古巴比倫人甚至給出了一些五次方程的非常精確的近似解，但他們的解法依然帶有很強的技巧性，而且從未討論方程解的存在性。這些類似於今天的代數方程機械解法，只論演算法而不計算理。 古巴比倫和古埃及對幾何也有一些探索，這在於其政府官員需徵收土地的賦稅，需要精確計算各種形狀土地的面積。他們也能夠計算一些三角形，四邊形，甚至是圓的面積，其中圓面積用的是近似解，但逼近程度已經很高。同樣，在這些過程中他們依然是非常講究技巧，但沒有嚴格的推理。 因此，可以看的出來，數學的最初發展並不像現代數學一樣抽象，而是非常具體的實際問題的需求下應運而生的。最初的數學也僅僅是一種解決問題的工具，其自身並非是一門學科，最多也只是一種非常有效的計算工具而已，這一時期所謂的數學家也只是技術嫻熟的計算師，他們從不探索其中的嚴格推理，直到希臘數學學派的出現這一現象才有所改觀。 古巴比倫人和古埃及人，從巧妙的演算法中打開了人類對數學的探索之門，他們的符號計數則為後人的數學乃至整個生活都帶來了巨大的變化和方便。