Ⅰ 初中數學函數知識講解
一、關於函數教材的地位
函數關系是量與量之間關系的抽象，凡涉及到量的關系就少不了要用函數概念去描述、去刻畫，並通過它去研究客觀實際中的數量關系，所以無論就業或升學都要學點函數概念．
高中代數教材是以函數為中心，函數又比較抽象、難學，所以在初中講點函數為高中作點准備也是必要的．
就以初中代數本身而言，像解三角形、二次不等式等也都離不開函數的有關概念．在物理、化學中像勻速運動、波義耳定律、拋射運動、自由落體也都要有相應的函數作基礎．
因此，初中學習函數初步是相當必要的．
二、初中函數教學的特點
首先，從整個中學階段來看，函數教學大致可劃分為下面三個階段：
第一，感性認識階段
這一階段以積累材料為其主要特徵．在正式引入函數概念之前，基本上都屬於這一階段．
這一階段教學的基本內容，大致有以下幾個方面：
(1)通過各種關型的算術運算，讓學生觀察運算的結果與組成這一運算的各項之間的相互關系．如：和數與被加數、加數之間的相互關系，商數與被除數、除數之間的相互關系等．
(2)通過代數式和方程的學習，讓學生進一步認識到如何用文字來表示一般的數量關系；如何用代數式來表示量與量之間的關系等．
(3)通過數的概念的發展，來積累學生關於「集合」這一概念的初步思想．例如在講被開方數的容許值時，可以引導學生注意非負數集合．課本有意識地滲透了一些集合思想，這對以後講函數概念是極其有幫助的．
(4)通過數軸和坐標的教學積累關於「對應」這一概念的初步思想．
第二，理性認識階段
這一階段是函數教學的主要階段．它分為二個小循環．第一個循環是初中的「函數及其圖像」；第二個循環是高中從集合開始一直講到三角函數及其圖像．這一階段的教學任務是正確地形成函數的一般概念，較深刻地理解函數關系，掌握繪制簡單的函數圖像和討論它們的性質的方法，學會應用函數的性質來解決某些比較簡單的實際問題，把學生的認識水平和思維水平向前推進一步．
第三，深化和發展階段
這一階段的主要任務是了解函數的變化趨勢，並通過它，初步掌握極限的方法——無限精確化的方法；利用微積分這一工具，對函數的增減、極值再作深一步的研究，並指出利用初等方法研究函數的局限性．
這三個階段是彼此銜接的，由此可見，初中的函數教學具有承上啟下的作用，對它學習的好壞，會直接影響後面的學習．
其次，初中的函數教學，無論對函數概念還是函數性質的教學，都是一種描述性的．這樣，准確性和通俗性是其教學特點．盡管是描述性的，但交待要准確，不要給學生以錯覺，並且交待又要遇俗易懂，讓學生易於接受．為此需要多舉實例，多運用圖形、表格等直觀手段．
三、關於函數概念
關於函數定義，常常有要素說的提法，如函數是由三個要素組成：定義域、對應法則、值域．這種提法不太科學，最好不要提要素，而應該重點放在函數概念的本質特徵上．因為要素並未完全反映本質特徵．
函數概念，它的本質特徵是兩條：一條是「隨處定義」，一條是「單值對應」(名詞可不必向學生提)．
「隨處定義」是指：在一個 R：X→Y的關系中，如果定義域和X相等，則R便是一個隨處定義的關系．也就是說，X中的任一個元x都有Y中的元y和它對應．所以隨處定義的條件是
在圖39所表示的關系中，(1)是隨處定義的，而(2)不是．
單值對應是指：若R為由集X到集Y的關系，而對任何一個x∈X都只有一個y∈Y和它對應，則說R是單值的，即
圖40的(1)、(2)是單值對應，(3)不是單值對應．
在初中代數的函數定義中，本質就是這兩條：「對於x在某一個確定的范圍內的每一個確定的值(隨處定義)，y都有唯一確定
的值與它對應(單值對應)．」這兩條缺一條就不成為其函數了，所以強調本質特徵比強調要素明確得多了．
此外，還要防止學生把函數都看成式，不然，就縮小了函數概念的外延．為此，在講授函數概念時，還要舉出不能用式子表示的函數的例子．
四、關於函數定義域的教學
中學課本對定義域有兩個方面要求：如果用式子給出，不指明定義域，那是指自然定義域，即使式子有意義的自變數x的取值范圍．課本還指出「遇到實際問題時，確定函數的自變數取值范圍，必須使實際問題也有意義」．所以教學時要有所反映．
求函數定義域要涉及到諸如解方程、不等式、分式、根式等知識，所以是以新帶舊很好的材料，這在教學中應作適當要求，但是題目應該是最基本的，不要故意去搞一些很做作的題，因為這種訓練是沒有多大意義的．
五、關於函數圖像的教學
由於函數往往涉及無窮集，因而一般來說圖像應無限延伸，但這在畫圖像方面有局限，只能用有限來表示無限．這樣，一方面要求有限圖像能反映出無限圖像的主要特徵(如與軸的交點、峰點等要表現出來)；另一方面，要反映出無限的趨勢(如與x軸無限接近等)．這兩點也是畫函數圖像總的要求．
要讓學生掌握描繪函數圖像的下述技能：設數、計算(或查表)、設坐標單位、標點、補點、用光滑曲線連接．
這里要分兩種情況：
一種情況是事先並不知所畫圖像是什麼樣子，也不知其什麼性質．這時候設點應該密一些，並正、負都有，如果自變數及對應值數值較大，那麼坐標單位可設小一些；如果彎曲處點還不夠，則應適當補點，總之不要讓圖像走樣．
另一種情況是事先已知圖像是什麼樣子，那麼設點可以根據圖像特點來設．如正比例函數，只需設一個點，再與原點連結即可．一次函數可任意設兩點．反比例函數若k＞0，只需設第一象限的點，第三象限的點可用原點對稱的點得到．k＜0，只需設第二象限的點，第四象限的點可用與原點對稱的點得到．對於二次函數可設頂點、與x軸的兩個交點等．
以上這些技能都應讓學生掌握．
教學中要注意函數圖像在解方程、不等式中的作用．
六、關於反比例函數的教學
反比例函數無論從定義、圖像、性質來說，都是教學的難點．這反映在的敘述方式與正比例函數極其相似，就容易給人以誤解．
(2)反比例函數圖像是曲線而不是直線(第一次出現曲線)，畫曲線圖像技能的培養，如曲線是兩支、曲線不與任何軸相交，且與x軸、y軸無限接近等都是難點．
(3)在講授單調性時，對於「負值絕對值越大就越小」，就常常被圖像的表面現象迷惑而錯誤理解，從而對單調性得出錯誤結論．
這些都是應該予以重視的．
七、關於二次函數的教學
二次函數是初中字習函數的高潮和重點．它一方面與二次方程、二次不等式等密切相關，即把二次方程、二次不等式統一在函數觀點下，可把兩者有機地聯系起來；另一方面，在講授二次函數時，又要學習如「沿橫、縱軸平移」、「配方」、「極值」等重要的數學思想、概念和方法，因此二次函數教材具有重要的培養性．
「參數a的意義」、「對稱軸方程」、「沿軸平移」、「極值的意義」等，都是教學的難點．教學中克服這些難點，要從學生實際出發，採用具體的、形象的方法來講授．
有關二次函數的題目難度要適當控制，題型要適當歸類，重點應放在培養分析問題的能力上．