日本數學有哪些學派

㈠ 三大數學流派的三大數學流派簡介

在介紹二十世紀中前期的數學三大流派之前，我想先提一下數學的「學派」，數學學派比數學流派要多的多。一個學派往往是很多知名的數學家在一個共同的地方，做出一系列的研究，並堅持一定的學派風格。在《基礎教育網路全書·數學卷》(設計書)中，提到的數學學派有：伊奧尼亞學派、畢達哥拉斯學派、詭辯學派、智人學派、埃利亞學派、原子論學派、雅典學派、柏拉圖學派、亞里士多德學派、亞歷山大里亞學派、格丁根學派、柏林學派、彼得堡學派、義大利代數幾何學派、法國函數論學派、直覺主義學派、邏輯主義學派、形式主義學派、普林斯頓學派、莫斯科學派、函數論學派、拓撲學派、劍橋分析學派、波蘭學派、華沙學派、利沃夫學派、布爾巴基學派等。
可以看到，中世紀以前的數學學派和哲學學派幾乎是重合的。通過學習《西方哲學史》可以了解到很多相關的東西。數學本身源於自然哲學。當數學科學逐漸從哲學中分離出來，但是數學基礎仍然帶有濃厚的哲學味。關於每個學派，都有一段很長的故事，其中的每個數學家都有很多激動人心的作品，和帶有傳奇色彩的故事。看M.克萊因的四卷本《古今數學思想》和E.T貝爾的《數學精英》，我們可以了解到很多數學家的故事。
直至近代，通過參閱《當代數學精英－菲爾茨獎獲得者傳》，和《當代數學大師:沃爾夫數學獎得主及其建樹與見解》等書，可以對20世紀以來的數學有大概的了解。
莫斯科學派和哥廷根學派是我最喜歡的兩個學派。兩個地方都曾經雲集過一大批著名的數學家，有長久的數學歷史傳統和深刻的數學文化。
關於哥廷根學派：
哥廷根學派是在世界數學科學的發展中長期佔主導地位的學派，該學派堅持數學的統一性，思想反映了數學的本質，促進了數學的發展。
高斯開始了哥廷根數學學派的起始時代，他把現代數學提到一個新的水平。黎曼、狄利克雷和雅可比繼承了高斯的工作，在代數、幾何、數論和分析領域做出了貢獻，克萊因和希爾伯特使德國哥廷根數學學派進入了全盛時期，哥廷根大學因而也成為數學研究和教育的國際中心。
哥廷根學派是世界數學家的搖籃和聖地，但希特勒的上台，使它受到致命的打擊。大批猶太血統的科學家被迫亡命美國，哥廷根數學學派解體。【1】
關於莫斯科學派：
百年來，蘇俄涌現了上百位世界一流的數學家，其中如魯金，亞歷山德羅夫，柯爾莫戈羅夫，蓋爾范德，沙法列維奇，阿洛爾德，諾維可夫，李雅普洛夫，菲赫金哥爾茨，科瓦列夫斯卡婭等都是響當當的數學大師。而這些優秀數學家則大多畢業於莫斯科大學。莫斯科大學所涌現的優秀數學家其數量之多，質量之高，恐怕除了19世紀末20世紀初的哥廷根大學。在20世紀就再也沒有哪個大學敢與之相比了，即使是赫赫有名的普林斯頓大學也沒有出過這么多的優秀數學家，莫斯科大學是當之無愧的世界第一數學強校。
莫斯科學派我最欣賞裡面的阿諾爾德。他寫的書都深入淺出，把高深的數學理論用簡單的數學語言寫出來，並舉出很多生活中的實例，與數學理論相聯系。他是個對數學理解非常深刻的數學家。看他的作品非常的享受，如《常微分方程》、《動力系統》、《經典力學的數學方法》。
很遺憾的是中國還未嘗有過什麼如此著名的數學學派，更不談流派了。中國的數學發展，還需要更多的年輕人的投入和奮斗。
在下面要談到的三大流派中，涉及了很多當時世界上一流的數學家，邏輯學家，哲學家。他們為數學基礎的完善做出了巨大的貢獻，在這里我們向他們致以崇高的敬意。
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【1】『注』這里只需列出一張從德國(包括奧地利、匈牙利)到美國避難的數學家和物理學家的部分名單，就可見人材轉移之一斑了。愛因斯坦(1879～1955，偉大的物理學家)；弗蘭克(J．Franck，1882～1964．1925年獲諾貝爾物理學獎)；馮·諾依曼(1903～1957，傑出數學家之一)；柯朗(1888～1972，哥廷根數學研究所負責人)；哥德爾(1906～1976，數理邏輯學家)；諾特(1882～1935，抽象代數奠基人之一)；費勒(W．Feller，1906～1970，隨機過程論的創始人之一)；阿廷(1896～1962，抽象代數奠基人之一)；費里德里希(K．Friedrichs，1901～1983，應用數學家)；外爾(1885～1955，傑出的數學家之一)；德恩(1878～1952，希爾伯特第3問題解決者)；此外還有波利亞、舍荀(Szeg)、海林格(Hellinger)、愛華德(Ewald)、諾爾德海姆(Nordheim)、德拜(Debye)、威格納(Wigner)等等。
二十世紀中前期的三大數學流派簡介
集合論在19世紀末由康托建立後, 集合概念成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。1900 年，在巴黎召開的國際數學家大會上，龐加萊曾滿懷信心的說：「 現在我們可以說，完全的嚴格化已經達到了。」 可是這話說出後還不到3 年，英國數學家羅素於1902年給德國數學家弗雷格的信中提出一個集合悖論，使數學基礎發生動搖，用弗雷格的話說：「突然它的一塊基石崩塌下來了。」
羅素的集合悖論：
集合可以分為兩類：第一類集合的特徵是：集合本身又是集合中的元素，例如當時人們經常說的「所有集合所成的集合」；第二類集合的特徵是：集合本身不是集合的元素，例如直線上點的集合。顯然，一個集合必須是並且只能是這兩類集合中的一類。那麼，R是哪一類的集合呢？ 羅素悖論一個通俗的說法是理發師悖論：
在某個城市中有一位理發師，他的廣告詞是這樣寫的：「本人的理發技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！」來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理發師從鏡子里看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於「不給自己刮臉的人」，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於「給自己刮臉的人」，他就不該給自己刮臉。
集合論中為什麼會產生矛盾這個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬於數學哲學的范疇。
從1900年到1930年的30年間，許多數學家捲入了一場關於數學哲學基礎的討論，並逐漸形成不同的數學基礎學派的爭論，主要有邏輯主義、形式主義和直覺主義三個學派。
一、邏輯主義
1.邏輯主義的歷史淵源
邏輯主義的形成究其本原可以追溯到萊布尼茲時代，他把邏輯學想像成一種普遍的科學，這種科學包括構成其它所有科學的基礎的一些原則，這種邏輯學先於一切科學的觀點，即是邏輯主義思想原則的萌芽。但他並未能開展這一方面的工作。到了19 世紀，戴德金、弗雷格和皮亞諾等人繼承萊氏先志，逐步發揮，並且都取得了不小的成就。
2.邏輯主義的基本思想
邏輯主義的主要代表人物是英國著名的數學家、哲學家和邏輯學家羅素，他與懷特海於1913年完成了邏輯主義的經典代表作---《 數學原理》。作者企圖在這3卷本的數學巨著中向人們說明：全部數學可以以一個邏輯公理系統嚴格推導出來，也就是說可以從邏輯概念出發用明顯的定義得出數學概念；由邏輯命題開始用純邏輯的演繹推得數學定理。從而，使全部數學都可以從基本的邏輯概念和邏輯規則而推導出來。這樣，就可以把數學看成是邏輯學延伸或分支。所以，羅素說：「邏輯學是數學的青年時代，而數學是邏輯學的壯年時代。」、「數學即邏輯。」
羅素在他的《 數理哲學導論》一書中進一步的闡述了他的主張：「 通過分析來達到越來越大的抽象性和邏輯簡單性，要研究我們能否找到更為一般的思想原則，以這些思想和原則出發能使現在作為出發點的東西得以被定義和演繹出來」 。那麼是什麼樣的思想原則呢？羅素接著說：「 應當以一些已被普遍承認了的邏輯的前提出發，再經過演繹而達到那些明顯的屬於數學的結果。」 即把數學化歸於邏輯，這是他的基本觀點。
在《數學原理》中，羅素和懷特海曾通過純邏輯的途徑再加上集合論的選擇公理和無窮公理把當時的數學嚴格的推導了出來，獲得成功。故羅素宣稱：「 從邏輯中展開純數學的工作，已由懷特海和我在《 數學原理》 中詳細的做了出來。」 但是，事實並非如此，羅素從一個邏輯系統推導數學時使用了集合論的選擇公理和無窮公理，這是不可缺的，否則不能完成。不用無窮公理則自然數系統就無法構造，更不要說全部數學了。所以，羅素並沒有將數學化歸為邏輯，而是化歸為集合論。
要從邏輯推出全部數學，就必須發展集合論，而集合論是自相矛盾的，沒有相容性的，但是，在邏輯系統中是不允許有矛盾的，因此，必須排除悖論。可後來羅素與懷特海所做的工作並沒有很好的解決這個問題，進而遭遇了不少困難。
數學基礎學家一般都不接受「數學就是邏輯」的觀點；同樣也不能接受「一切數學思維都是邏輯思維」的說法。但是，盡管如此。羅素與懷特海合著的《數學原理》一書在20世紀的科學技術發展中影響很大。它以當時最嚴格的形式化的符號語言來陳述作者建立的邏輯體系、定義和定理，從而標志符號邏輯方法的成功。並顯示了數學的邏輯基礎研究的意義，因而進一步的顯示了現代邏輯的科學意義。
《數學原理》一書成為名著。盡管邏輯主義的主張不能實現，邏輯主義的數學觀不能為數學基礎學者所廣泛接受，但此書在方法論上的意義是不可忽視的。他們相當成功的把古典數學納入了一個統一的公理系統，使之能從幾個邏輯概念和公理出發，再加上集合論的無窮公理就能推出康托集合論、一般算術和大部分數學來。這把邏輯推理發展到前所未有的高度，使人們看到，在數理邏輯演算的基礎上能夠推演出許多數學內容來，形成了集合論公理系統的邏輯體系，這在邏輯史上是一件大事，對數理邏輯後來的發展起了決定作用，是近代公理方法的一個重要起點。
二、形式主義
一般認為，形式主義的奠基人是希爾伯特 ，並把希爾伯特的數學觀和數學基礎稱作為「形式主義」，羅素和布勞威爾都稱希爾伯特為形式主義的代表人物，但他們是指希爾伯特奠定數學基礎的形式化方法，不一定是指他的某種主張。而希爾伯特本人並不自命為形式主義者，他的學生貝爾奈斯也不認為希爾伯特是形式主義者。
1.形式主義的形成
形式主義理論體系是在非歐幾何產生之後，在數學和數學哲學研究中彌漫的「重建數學基礎」的氣氛中形成的。
當非歐幾何得到人們的承認，亦即當得出互相矛盾的定理的兩種幾何都證明了不自相矛盾的時候，人們便要問：數學的真理體現在那裡？試想，一種幾何說，過直線外一點只能作一條直線不與原有的直線相交；另一種幾何說，過直線外一點至少可作兩條直線不與原有的直線相交；還有一種幾何說：過直線外一點不可以做任何直線於原有的直線不相交。這三種幾何不是互相打架了嗎？理應至少有兩個是錯誤的，為什麼三個幾何都成立呢？
德國著名數學家希爾伯特主張，保衛經典數學和經典的數學方法，並且發展他們。他認為，經典數學，包括由於集合論的出現而發展起來的新的數學方向，都是人類最有價值的精神財富；為了在數學中避免出現悖論，就設法絕對的證明數學的無矛盾性，使數學奠定在嚴格的公理化的基礎上，數學的公理和邏輯推理就像天文學家手中的望遠鏡那樣重要，是不能丟棄的。為了實現這一目的，希爾伯特在1922 年提出了著名的希爾伯特計劃 。
2.形式主義的基本思想
希爾伯特計劃的主要思想就是：奠定一門數學的基礎，應該嚴格的、數學的證明這門數學的協調性（即無矛盾性或一致性、相容性）；希爾伯特計劃的數學內容就是數理邏輯中的證明論。
希爾伯特與貝爾奈斯合著的兩卷《數學基礎》是希爾伯特計劃的代表作。
希爾伯特計劃 ，將各門數學形式化，構成形式系統，然後用一種初等方法證明各個形式系統的相容性，即無矛盾性，從而導出全部數學的無矛盾性。
他區分了3 種數學理論：1. 直觀的非形式化的數學理論；2. 將第一種數學理論形式化，構成一個形式系統，把直觀數學理論中的基本概念轉換為形式系統中的初始符號，命題轉換為符號公式，推演規則轉換為符號公式之間的變形關系，證明轉換為符號公式的有窮序列；3. 是描述和研究第二種數學理論的，稱為元數學、證明論或元理論。元數學是以形式系統為研究對象的一門新數學，它包括對形式系統的描述、定義，也包括對形式系統性質的研究。
形式主義的提出是數學發展史上最重要的轉折點，它標志著元數學的建立。從此，數學的發展進入研究形式系統的新階段。
這里我們要說明一點：形式主義和邏輯主義一樣，都從公理系統出發，不同點是：邏輯主義者當追到邏輯公理系統時，不再持有原來的對公理體系的觀點，而要求邏輯公理系統具有內容，而且想方設法探求邏輯規律的真理性究竟體現在什麼地方，形式主義者則不然，他們認為數學的公理系統或邏輯的公理系統，其中基本概念都是沒有意義的，其公理也只是一行行的符號，無所謂真假，只要能夠證明該公理系統是相容的，不互相矛盾的，該公理系統便得承認，它便代表某一方面的真理。連邏輯公理系統也認為是沒有內容的，不能由內容方面保證其真理性，於是便只留下「相容性」即「不自相矛盾性」作為真理所在了。
希爾伯特原來設想，數學的相容性證明可以限於有窮的構造性方法范圍之內。但是研究表現，這個范圍應當加以擴充。哥德爾的不完備性定理說，「任何一個相容的數學形式化理論中，只要它強到足以在其中定義自然數的概念，就可以在其中構造在體系中既不能證明也不能否證的命題。」 、「任何相容的形式體系不能用於證明它本身的相容性」。 這個定理徹底粉碎了希爾伯特的形式主義理想。但是希爾伯特的數學基礎思想卻發展了元數學，這就把形式心理學向前推進了一步，促進了數學的發展。元數學（證明論）已發展為數理邏輯的四大分支之一。
形式主義的代表人物有美國數學家魯濱遜和柯恩等人。他們認為：數學應該被看作一種純粹的紙上符號游戲，對這種形式的唯一要求是不會導致矛盾。
但是，這種形式主義思想顯然與希爾伯特的主張是不同的。
三、直覺主義
1.直覺主義的歷史根源
直覺主義的思想可以追溯到亞里士多德時期，亞里士多德是歷史上第一位反對實無窮，只承認潛無窮的哲學家。直覺主義的哲學觀點則是直接淵源於康德和布勞威爾的自然數源於「原始直覺」，即是康德的「自然數是從時間的直覺推演出來」的主張。
19世紀的克羅內克強調能行性，說當時好些定理都只是符號的游戲，沒有實際意義。他認為：「上帝創造了自然數，別的都是人造的。而整數在直觀上是清楚的，故可以接受，其他則是可疑。」 其意是說，只有自然數是真實存在，其餘都只是人為做出的一些文字元號罷了。他還主張在自然數的基礎上來構造整個數學。
20 世紀初，龐加萊亦持自然數為最基本的直觀及潛無窮的主張。其他如包瑞爾、勒貝格、魯金等半直覺主義或法國經驗主義亦強調能行性的觀念。
他們公開否認選擇公理，認為根據選擇公理而作的集合，根本沒有能行性，不能承認其存在。他們提出能行性的概念，沒有能行性的便不承認其存在。他們都是直覺主義的先驅。所有這一切，都為布勞威爾的直覺主義提供了直接的前提，布勞威爾集其先驅們之大成，系統的提供了直覺主義的主張。
2.直覺主義的數學觀思想
直覺主義的奠基人和代表人物是荷蘭數學家布勞威爾, 從1907 年布勞威爾的博士論文《 數學的基礎》 開始，直覺主義者逐步系統的闡述了他們的數學觀和重建數學基礎的主張。
他的數學觀包括以下幾個方面：
(1) 他對數學對象的觀點。
他提出一個著名的口號：「存在即是被構造。」他認為，人們對數學的認識不依賴於邏輯和語言經驗，而是「原始直覺」（即人皆有的一種能力），純粹數學是「心智的數學構造自身」、是「反身的構造」，它「開始於自然數」，而不是集合論。這種數學構造之成為構造，與這種構造物的性質無關，與其本身是否獨立於人們的知識無關，與人們所持的哲學觀點也無關。構造物應該怎樣就怎樣，數學判斷應該是永恆的真理。
因此，布勞威爾不承認有客觀存在的、封閉的和已完成的實無窮體系。
實無窮論者認為「 自然數全體」 就是指自然數集{0，1，2，3，……} ，這是一個確實存在了的完成了的集合，可以而且應該作為數學研究的對象。
潛無窮論者否認實無窮，認為無窮只是潛在的，並不是已完成了的封閉實體，只是就其發展來說是無窮的。在他們看來，自然,0，1，2，3，……只能是永遠處於不斷被構造和生成的過程，而不是完成了的、封閉實體。
所以，諸如「自然數全體」這樣的概念是沒有意義的。
(2)對數學所用的邏輯的觀點。
布勞威爾對數學對象的觀點直接導出了他對數學所用的邏輯觀點；認為「 邏輯不是發現真理的絕對可靠的工具」 ，並認為，在真正的數學證明中不能使用排中律，因為排中律和其他經典邏輯規律是從有窮集抽象出來的規律，因此不能無限制的使用到無窮集上去。同樣不能使用反證法。
直覺主義對20世紀數學的發展產生很大的影響。本世紀30年代以後，由於哥德爾的工作，許多數學家開始重視直覺主義。數學家們紛紛嘗試用構造法建立實數理論、數學分析以至全部數學，得出不少重要結果。
構造性數學已經成為數學科學中一個重要的數學學科群體，與計算機科學密切相關。1967年，美國數學家畢肖普完成並出版《構造性分析》一書，開始了直覺主義學派的構造主義時期。
歷史證明，三大流派都有各自的優點和缺陷，但是他們彌補了數學基礎的很多不足，為數學的嚴密性提供了更加精確的符號和語言。用G. H. Hardy的一句話來結束這篇文章吧：「Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics.」

㈡ 數學有哪些分支哪些是屬於難的數學中都有哪些有名的猜想和難題（已得出結果的和還待解決的）

希爾伯特的23個問題

希爾伯特（Hilbert D.,1862.1.23～1943.2.14）是二十世紀上半葉德國乃至全世界最偉大的數學家之一。他在橫跨兩個世紀的六十年的研究生涯中，幾乎走遍了現代數學所有前沿陣地，從而把他的思想深深地滲透進了整個現代數學。希爾伯特是哥廷根數學學派的核心，他以其勤奮的工作和真誠的個人品質吸引了來自世界各地的年青學者，使哥廷根的傳統在世界產生影響。希爾伯特去世時，德國《自然》雜志發表過這樣的觀點：現在世界上難得有一位數學家的工作不是以某種途徑導源於希爾伯特的工作。他像是數學世界的亞歷山大，在整個數學版圖上，留下了他那顯赫的名字。

1900年，希爾伯特在巴黎數學家大會上提出了23個最重要的問題供二十世紀的數學家們去研究，這就是著名的"希爾伯特23個問題"。

1975年，在美國伊利諾斯大學召開的一次國際數學會議上，數學家們回顧了四分之三個世紀以來希爾伯特23個問題的研究進展情況。當時統計，約有一半問題已經解決了，其餘一半的大多數也都有重大進展。

1976年，在美國數學家評選的自1940年以來美國數學的十大成就中，有三項就是希爾伯特第1、第5、第10問題的解決。由此可見，能解決希爾伯特問題，是當代數學家的無上光榮。

下面摘錄的是1987年出版的《數學家小辭典》以及其它一些文獻中收集的希爾伯特23個問題及其解決情況：

1． 連續統假設 1874年，康托猜測在可列集基數和實數基數之間沒有別的基數，這就是著名的連續統假設。1938年，哥德爾證明了連續統假設和世界公認的策梅洛--弗倫克爾集合論公理系統的無矛盾性。1963年，美國數學家科亨證明連續假設和策梅洛--倫克爾集合論公理是彼此獨立的。因此，連續統假設不能在策梅洛--弗倫克爾公理體系內證明其正確性與否。希爾伯特第1問題在這個意義上已獲解決。

2． 算術公理的相容性 歐幾里得幾何的相容性可歸結為算術公理的相容性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明。1931年，哥德爾發表的不完備性定理否定了這種看法。1936年德國數學家根茨在使用超限歸納法的條件下證明了算術公理的相容性。

1988年出版的《中國大網路全書》數學卷指出，數學相容性問題尚未解決。

3． 兩個等底等高四面體的體積相等問題

問題的意思是，存在兩個等邊等高的四面體，它們不可分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等。M.W.德恩1900年即對此問題給出了肯定解答。

4． 兩點間以直線為距離最短線問題 此問題提得過於一般。滿足此性質的幾何學很多，因而需增加某些限制條件。1973年，蘇聯數學家波格列洛夫宣布，在對稱距離情況下，問題獲得解決。

《中國大網路全書》說，在希爾伯特之後，在構造與探討各種特殊度量幾何方面有許多進展，但問題並未解決。

5.一個連續變換群的李氏概念，定義這個群的函數不假定是可微的 這個問題簡稱連續群的解析性，即：是否每一個局部歐氏群都有一定是李群？中間經馮·諾伊曼（1933，對緊群情形）、邦德里雅金（1939，對交換群情形）、謝瓦莢（1941，對可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥馬利、齊賓共同解決，得到了完全肯定的結果。

6.物理學的公理化 希爾伯特建議用數學的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力學。1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫實現了將概率論公理化。後來在量子力學、量子場論方面取得了很大成功。但是物理學是否能全盤公理化，很多人表示懷疑。

7.某些數的無理性與超越性 1934年，A.O.蓋爾方德和T.施奈德各自獨立地解決了問題的後半部分，即對於任意代數數α≠0 ，1，和任意代數無理數β證明了αβ 的超越性。

8.素數問題 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素數問題等。一般情況下的黎曼猜想仍待解決。哥德巴赫猜想的最佳結果屬於陳景潤（1966），但離最解決尚有距離。目前孿生素數問題的最佳結果也屬於陳景潤。

9．在任意數域中證明最一般的互反律 該問題已由日本數學家高木貞治（1921）和德國數學家E.阿廷（1927）解決。

10． 丟番圖方程的可解性 能求出一個整系數方程的整數根，稱為丟番圖方程可解。希爾伯特問，能否用一種由有限步構成的一般演算法判斷一個丟番圖方程的可解性？1970年，蘇聯的IO.B.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的演算法不存在。

11． 系數為任意代數數的二次型 H.哈塞（1929）和C.L.西格爾（1936，1951）在這個問題上獲得重要結果。

12． 將阿貝爾域上的克羅克定理推廣到任意的代數有理域上去 這一問題只有一些零星的結果，離徹底解決還相差很遠。

13． 不可能用只有兩個變數的函數解一般的七次方程 七次方程 的根依賴於3個參數a、b、c，即x=x （a，b，c）。這個函數能否用二元函數表示出來？蘇聯數學家阿諾爾德解決了連續函數的情形（1957），維士斯金又把它推廣到了連續可微函數的情形（1964）。但如果要求是解析函數，則問題尚未解決。

14． 證明某類完備函數系的有限性 這和代數不變數問題有關。1958年，日本數學家永田雅宜給出了反例。

15． 舒伯特計數演算的嚴格基礎 一個典型問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀解法。希爾伯特要求將問題一般化，並給以嚴格基礎。現在已有了一些可計算的方法，它和代數幾何學不密切聯系。但嚴格的基礎迄今仍未確立。

16． 代數曲線和代數曲線面的拓撲問題 這個問題分為兩部分。前半部分涉及代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。後半部分要求討論 的極限環的最大個數和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項式.蘇聯的彼得羅夫斯基曾宣稱證明了n=2時極限環的個數不超過3，但這一結論是錯誤的，已由中國數學家舉出反例（1979）。

17． 半正定形式的平方和表示 一個實系數n元多項式對一切數組(x1,x2,...,xn) 都恆大於或等於0，是否都能寫成平方和的形式？1927年阿廷證明這是對的。

18． 用全等多面體構造空間 由德國數學家比勃馬赫（1910）、莢因哈特（1928）作出部分解決。

19． 正則變分問題的解是否一定解析 對這一問題的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得羅夫斯基等得出了一些結果。

20． 一般邊值問題 這一問題進展十分迅速，已成為一個很大的數學分支。目前還在繼續研究。

21． 具有給定單值群的線性微分方程解的存在性證明 已由希爾伯特本人（1905）和H.羅爾（1957）的工作解決。

22． 由自守函數構成的解析函數的單值化 它涉及艱辛的黎曼曲面論，1907年P.克伯獲重要突破，其他方面尚未解決。

23． 變分法的進一步發展出 這並不是一個明確的數學問題，只是談了對變分法的一般看法。20世紀以來變分法有了很大的發展。

這23問題涉及現代數學大部分重要領域，推動了20世紀數學的發展。

㈢ 世界數學史分為哪四個時期

學術界通常將數學發展劃分為以下四個時期：數學形成時期、初等數學時期、變數數學時期、近現代數學時期。

一、數學形成時期；萌芽時期是最初的數學知識積累時期，是數學發展過程中的漸變階段。這一時期的數學知識是零散的、初步的、非系統的，但是這是數學發展史的源頭，為數學後續的發展奠定了基礎。

這是人類建立最基本的數學概念的時期。人類從數數開始逐漸建立了自然數的概念，簡單的計演算法，並認識了最基本最簡單的幾何形式，算術與幾何還沒有分開。

中國歷史悠久，發掘出來的大量石器、陶器、青銅器、龜甲以及獸骨上面的圖形和銘文表明: 幾何觀念遠在舊石器時代就已經在中國逐步形成。早在五六千年前，古中國就有了數學符號，到三千多年前的商朝，刻在甲骨或陶器上的數字已十分常見。

這時，自然數記數都採用了十進位制。甲骨文中就有從一到十再到百、千、萬的十三個記數單位。這說明古中國也形成了數學的基本概念。

二、初等數學時期（公元前600年至17世紀中葉）；初等數學時期從公元前五世紀到公元十七世紀，延續了兩千多年、由於高等數學的建立而結束。

這個時期最明顯的結果就是系統地創立了初等數學，也就是現在中小學課程中的算術、初等代數、初等幾何(平面幾何和立體幾何)和平面三角等內容。

初等數學時期可以根據內容的不同分成兩部分，幾何發展的時期(到公元二世紀)和代數優先發展時期(從二世紀到十七進紀)。又可以按照歷史條件的不同把它分成「希臘時期」、「東方時期」和「歐洲文藝復興時期」。

希臘時期正好和希臘文化普遍繁榮的時代一致。希臘是一個文明古國，但是，和四大文明古國巴比倫、埃及、印度、中國相比，在文明史上，希臘文明要晚一段時間。

三、變數數學時期（17世紀中葉至19世紀20年代）；變數數學產生於17世紀，經歷了兩個決定性的重大步驟：第一步是解析幾何的產生；第二步是微積分（Calculus），即高等數學中研究函數的微分。它是數學的一個基礎學科。

內容主要包括極限、微分學、積分學、方程及其應用。微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。

積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。

四、近現代數學時期（19世紀20年代）；現代數學。現代數學時期，大致從19世紀初開始。數學發展的現代階段的開端，以其所有的基礎。代數、幾何、分析中的深刻變化為特徵。近代數學是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科。

17世紀，數學的發展突飛猛進，實現了從常量數學到變數數學的轉折。中國近代數學的研究是從1919年五四運動以後才真正開始的。

(3)日本數學有哪些學派擴展閱讀：

歷史介紹：

數學史研究的任務在於，弄清數學發展過程中的基本史實，再現其本來面貌，同時透過這些歷史現象對數學成就、理論體系與發展模式作出科學、合理的解釋、說明與評價，進而探究數學科學發展的規律與文化本質。作為數學史研究的基本方法與手段，常有歷史考證、數理分析、比較研究等方法。

史學家的職責就是根據史料來敘述歷史，求實是史學的基本准則。從17世紀始，西方歷史學便形成了考據學，在中國出現更早，尤鼎盛於清代乾嘉時期，時至今日仍為歷史研究之主要方法，只不過隨著時代的進步，考據方法在不斷改進，應用范圍在不斷拓寬而已。

當然，應該認識到，史料存在真偽，考證過程中涉及到考證者的心理狀態，這就必然影響到考證材料的取捨與考證的結果。就是說，歷史考證結論的真實性是相對的。同時又應該認識到，考據也非史學研究的最終目的，數學史研究又不能為考證而考證。

㈣ 10大數學家的歷史

歐幾里德(eucild)生於雅典，接受了希臘古典數學及各種科學文化，30歲就成了有名的學者。應當時埃及國王的邀請，他客居亞歷山大城，一邊教學，一邊從事研究。

古希臘的數學研究有著十分悠久的歷史，曾經出過一些幾何學著作，但都是討論某一方面的問題，內容不夠系統。歐幾里德匯集了前人的成果，採用前所未有的獨特編寫方式，先提出定義、公理、公設，然後由簡到繁地證明了一系列定理，討論了平面圖形和立體圖形，還討論了整數、分數、比例等等，終於完成了《幾何原本》這部巨著。

《原本》問世後，它的手抄本流傳了1800多年。1482年印刷發行以後，重版了大約一千版次，還被譯為世界各主要語種。13世紀時曾傳入中國，不久就失傳了，1607年重新翻譯了前六卷，1857年又翻譯了後九卷。

歐幾里德善於用簡單的方法解決復雜的問題。他在人的身影與高正好相等的時刻，測量了金字塔影的長度，解決了當時無人能解的金字塔高度的大難題。他說：「此時塔影的長度就是金字塔的高度。」

歐幾里德是位溫良敦厚的教育家。歐幾里得也是一位治學嚴謹的學者，他反對在做學問時投機取巧和追求名利，反對投機取巧、急功近利的作風。盡管歐幾里德簡化了他的幾何學，國王（托勒密王）還是不理解，希望找一條學習幾何的捷徑。歐幾里德說：「在幾何學里，大家只能走一條路，沒有專為國王鋪設的大道。」這句話成為千古傳誦的學習箴言。一次，他的一個學生問他，學會幾何學有什麼好處?他幽默地對僕人說：「給他三個錢幣，因為他想從學習中獲取實利。」

歐氏還有《已知數》《圖形的分割》等著作。

華羅庚

華羅庚,數學家，中國科學院院士。 1910年11月12日生於江蘇金壇，1985年6月12日卒於日本東京。
1924年金壇中學初中畢業，後刻苦自學。1930年後在清華大學任教。1936年赴英國劍橋大學訪問、學習。1938年回國後任西南聯合大學教授。1946年赴美國，任普林斯頓數學研究所研究員、普林斯頓大學和伊利諾斯大學教授，1950年回國。歷任清華大學教授，中國科學院數學研究所、應用數學研究所所長、名譽所長，中國數學學會理事長、名譽理事長，全國數學競賽委員會主任，美國國家科學院國外院士，第三世界科學院院士，聯邦德國巴伐利亞科學院院士，中國科學院物理學數學化學部副主任、副院長、主席團成員，中國科學技術大學數學系主任、副校長，中國科協副主席，國務院學位委員會委員等職。曾任一至六屆全國人大常務委員，六屆全國政協副主席。曾被授予法國南錫大學、香港中文大學和美國伊利諾斯大學榮譽博士學位。主要從事解析數論、矩陣幾何學、典型群、自守函數論、多復變函數論、偏微分方程、高維數值積分等領域的研究與教授工作並取得突出成就。40年代，解決了高斯完整三角和的估計這一歷史難題，得到了最佳誤差階估計（此結果在數論中有著廣泛的應用）；對G.H.哈代與J.E.李特爾伍德關於華林問題及E.賴特關於塔里問題的結果作了重大的改進，至今仍是最佳紀錄。
在代數方面，證明了歷史長久遺留的一維射影幾何的基本定理；給出了體的正規子體一定包含在它的中心之中這個結果的一個簡單而直接的證明，被稱為嘉當-布饒爾-華定理。其專著 《堆壘素數論》系統地總結、發展與改進了哈代與李特爾伍德圓法、維諾格拉多夫三角和估計方法及他本人的方法，發表40餘年來其主要結果仍居世界領先地位，先後被譯為俄、匈、日、德、英文出版，成為20世紀經典數論著作之一。其專著《多個復變典型域上的調和分析》以精密的分析和矩陣技巧，結合群表示論，具體給出了典型域的完整正交系，從而給出了柯西與泊松核的表達式。這項工作在調和分析、復分析、微分方程等研究中有著廣泛深入的影響，曾獲中國自然科學獎一等獎。倡導應用數學與計算機的研製，曾出版《統籌方法平話》、《優選學》等多部著作並在中國推廣應用。與王元教授合作在近代數論方法應用研究方面獲重要成果，被稱為「華-王方法」。在發展數學教育和科學普及方面做出了重要貢獻。發表研究論文200多篇，並有專著和科普性著作數十種。

愛奧尼亞最繁盛的城市是米利都(Miletus,小亞細亞西南角海岸).地居東西方交通的要沖,也是古希臘第一個享譽世界聲譽的學者泰勒斯(Thales 約公元前640-546年)的故鄉.泰勒斯早年是一個商人,以後游歷了巴比倫,埃及等地,很快學會了天文和幾何知識.
自然科學發展的早期,還沒有從哲學分離出來.所以每一個數學家都是哲學家,就像我國每一個數學家都是歷法家一樣.要了解人與自然的關系,以及人在宇宙中所處的位置,首先要研究數學,因為數學可以幫助人們在混沌中找出秩序,按照邏輯推理求得規律.
泰勒斯是公認的希臘哲學家的鼻祖.他創立了愛奧尼亞哲學學派,擺脫了宗教,從自然現象中尋找真理,否認神是世界的主宰.他認為處處有生命和運動,並以水為萬物的根源.泰勒斯有崇高的聲望,被尊為希臘七賢之首.
泰勒斯在數學方面的劃時代的貢獻是開始了命題的證明.他所得到的命題是很簡單的.如圓被任一直徑平分;等腰三角形兩底角相等;兩條直線相交,對頂角相等;相似三角形對應邊成比例;半圓上的圓周角是直角;兩三角形兩角與一邊對應相等,則三角形全等.並且證明了這些命題.
泰勒斯游歷了許多地方,他在埃及的時候,應用相似三角形原理,測出了金字塔的高度,使埃及法老阿美西斯(Amasis 二十六王朝法老)大為驚訝.泰勒斯對於天文也很精通,據說在他的故鄉附近曾經存在過兩個國家:美地亞國(Media)和呂地亞國(Lydia).有一年發生了激烈的戰爭.連續五年未見勝負,橫屍遍野,哀聲載道.泰勒斯預先知道有日食要發生,便揚言上天反對戰爭,某月某日將大怒,太陽將被消逝.到了那一天,兩軍正在酣戰不停,突然太陽失去了光輝,百鳥歸巢,明星閃爍,白晝頓成黑夜.雙方士兵將領大為恐懼,於是停戰和好,後來兩國還互通婚姻.據考證,這次日食發生在公元前585年5月28日.這大概是應用了迦勒底人發現的沙羅周期,根據公元前603年5月18日的日食推得的.
泰勒斯被譽為古希臘數學,天文,哲學之父,是當之無愧的.

斐波那契（Leonardo Fibonacci，約1170-約1250）
義大利數學家，12、13世紀歐洲數學界的代表人物。生於比薩，早年跟隨經商的父親到北非的布日伊（今阿爾及利亞東部的小港口貝賈亞），在那裡受教育。以後到埃及、敘利亞、希臘、西西里、法國等地游歷，熟習了不同國度在商業上的算術體系。1200年左右回到比薩，潛心寫作。

他的書保存下來的共有5種。最重要的是《算盤書》（1202年完成，1228年修訂），算盤並不單指羅馬算盤或沙盤，實際是指一般的計算。

其中最耐人尋味的是，這本書出現了中國《孫子算經》中的不定方程解法。題目是一個不超過105的數分別被 3、5、7除，余數是2、3、4，求這個數。解法和《孫子算經》一樣。另一個「兔子問題」也引起了後人的極大興趣 。題目假定一對大兔子每一個月可以生一對小兔子，而小兔子出生後兩個月就有生殖能力，問從一對大兔子開始， 一年後能繁殖成多少對兔子？這導致「斐波那契數列」：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其規律是每一項（從第3項起）都是前兩項的和。這數列與後來的「優選法」有密切關系。

拉格朗日〔Lagrange, Joseph Louis，1736-1813〕

法國數學家。
涉獵力學，著有分析力學。
百年以來數學界仍受其理論影響。

法國數學家、力學家及天文學家拉格朗日於1736年1月25日在義大利西北部的都靈出生。少年時讀了哈雷介紹牛頓有關微積分之短文，因而對分析學產生興趣。他亦常與歐拉有書信往來，於探討數學難題「等周問題」的過程中，當時只有18歲的他就以純分析的方法發展了歐拉所開創的變分法， 奠定變分法之理論基礎。後入都靈大學。 1755年，19歲的他就已當上都靈皇家炮兵學校的數學教授。不久便成為柏林科學院通訊院院士。兩年後，他參與創立都靈科學協會的工作，並於協會出版的科技會刊上發表大量有關變分法、概率論 、微分方程、弦振動及最小作用原理等論文。這些著作使他成為當時歐洲公認的第一流數學家。
到了1764年，他憑萬有引力解釋月球天平動問題獲得法國巴黎科學院獎金。1766年，又因成功地以微分方程理論和近似解法研究科學院所提出的一個復雜的六體問題〔木星的四個衛星的運動問題〕而再度獲獎。 同年，德國普魯士王腓特烈邀請他到柏林科學院工作時說：「歐洲最大的王」的宮廷內應有「歐洲最大的數學家」，於是他應邀到柏林科學院工作，並在那裡居住達20年。其間他寫了繼牛頓後又一重要經典力學著作《分析力學》〔1788〕。書內以變分原理及分析的方法，把完整和諧的力學體系建立起來，使力學分析化。他於序言中更宣稱：力學已成分析的一個分支。
1786年普魯士王腓特烈逝世後，他應法王路易十六之邀，於1787年定居巴黎。其間出任法國米制委員會主任，並先後於巴黎高等師范學院及巴黎綜合工科學校任數學教授。最後於1813年4月10日在當地逝世。
拉格朗日不但於方程論方面貢獻重大，而且還推動了代數學的發展。他在生前提交給柏林科學院的兩篇著名論文：《關於解數值方程》〔1767〕及《關於方程的代數解法的研究》〔1771〕中，考察了 二、三及四次方程的一種普遍性解法，即把方程化作低一次的方程〔輔助方程或預解式〕以求解。 但這並不適用於五次方程。在他有關方程求解條件的研究中早已蘊含了群論思想的萌芽，這使他成為伽羅瓦建立群論之先導。
另外，他在數論方面亦是表現超卓。費馬所提出的許多問題都被他一一解答，如：一正整數是不多於四個平方數之和的問題；求方程x2 - A y 2 = 1〔A為一非平方數〕的全部整數解的問題等。他還證明了π的無理性。這些研究成果都豐富了數論之內容。
此外，他還寫了兩部分析巨著《解析函數論》〔1797〕及《函數計算講義》〔1801〕，總結了那一時期自己一系列的研究工作。 於《解析函數論》及他收入此書的一篇論文〔1772〕中企圖把微分運算歸結為代數運算，從而拼棄自牛頓以來一直令人困惑的無窮小量，為微積分奠定理論基礎方面作出獨特之嘗試。他又把函數f(x) 的導數定義成f(x + h)的泰勒展開式中的h項的系數，並由此為出發點建立全部分析學。可是他並未考慮到無窮級數的收斂性問題，他自以為擺脫了極限概念，實只迴避了極限概念，因此並未達到使微積分代數化、嚴密化的想法。不過，他採用新的微分符號，以冪級數表示函數的處理手法對分析學的發展產生了影響，成為實變函數論的起點。 而且，他還在微分方程理論中作出奇解為積分曲線族的包絡的幾何解釋，提出線性變換的特徵值概念等。
數學界近百多年來的許多成就都可直接或簡接地追溯於拉格朗日的工作。為此他於數學史上被認為是對分析數學的發展產生全面影響的數學家之一。

拉格朗日〔Lagrange, Joseph Louis，1736-1813〕

法國數學家。
涉獵力學，著有分析力學。
百年以來數學界仍受其理論影響。

法國數學家、力學家及天文學家拉格朗日於1736年1月25日在義大利西北部的都靈出生。少年時讀了哈雷介紹牛頓有關微積分之短文，因而對分析學產生興趣。他亦常與歐拉有書信往來，於探討數學難題「等周問題」的過程中，當時只有18歲的他就以純分析的方法發展了歐拉所開創的變分法， 奠定變分法之理論基礎。後入都靈大學。 1755年，19歲的他就已當上都靈皇家炮兵學校的數學教授。不久便成為柏林科學院通訊院院士。兩年後，他參與創立都靈科學協會的工作，並於協會出版的科技會刊上發表大量有關變分法、概率論 、微分方程、弦振動及最小作用原理等論文。這些著作使他成為當時歐洲公認的第一流數學家。
到了1764年，他憑萬有引力解釋月球天平動問題獲得法國巴黎科學院獎金。1766年，又因成功地以微分方程理論和近似解法研究科學院所提出的一個復雜的六體問題〔木星的四個衛星的運動問題〕而再度獲獎。 同年，德國普魯士王腓特烈邀請他到柏林科學院工作時說：「歐洲最大的王」的宮廷內應有「歐洲最大的數學家」，於是他應邀到柏林科學院工作，並在那裡居住達20年。其間他寫了繼牛頓後又一重要經典力學著作《分析力學》〔1788〕。書內以變分原理及分析的方法，把完整和諧的力學體系建立起來，使力學分析化。他於序言中更宣稱：力學已成分析的一個分支。
1786年普魯士王腓特烈逝世後，他應法王路易十六之邀，於1787年定居巴黎。其間出任法國米制委員會主任，並先後於巴黎高等師范學院及巴黎綜合工科學校任數學教授。最後於1813年4月10日在當地逝世。
拉格朗日不但於方程論方面貢獻重大，而且還推動了代數學的發展。他在生前提交給柏林科學院的兩篇著名論文：《關於解數值方程》〔1767〕及《關於方程的代數解法的研究》〔1771〕中，考察了 二、三及四次方程的一種普遍性解法，即把方程化作低一次的方程〔輔助方程或預解式〕以求解。 但這並不適用於五次方程。在他有關方程求解條件的研究中早已蘊含了群論思想的萌芽，這使他成為伽羅瓦建立群論之先導。
另外，他在數論方面亦是表現超卓。費馬所提出的許多問題都被他一一解答，如：一正整數是不多於四個平方數之和的問題；求方程x2 - A y 2 = 1〔A為一非平方數〕的全部整數解的問題等。他還證明了π的無理性。這些研究成果都豐富了數論之內容。
此外，他還寫了兩部分析巨著《解析函數論》〔1797〕及《函數計算講義》〔1801〕，總結了那一時期自己一系列的研究工作。 於《解析函數論》及他收入此書的一篇論文〔1772〕中企圖把微分運算歸結為代數運算，從而拼棄自牛頓以來一直令人困惑的無窮小量，為微積分奠定理論基礎方面作出獨特之嘗試。他又把函數f(x) 的導數定義成f(x + h)的泰勒展開式中的h項的系數，並由此為出發點建立全部分析學。可是他並未考慮到無窮級數的收斂性問題，他自以為擺脫了極限概念，實只迴避了極限概念，因此並未達到使微積分代數化、嚴密化的想法。不過，他採用新的微分符號，以冪級數表示函數的處理手法對分析學的發展產生了影響，成為實變函數論的起點。 而且，他還在微分方程理論中作出奇解為積分曲線族的包絡的幾何解釋，提出線性變換的特徵值概念等。
數學界近百多年來的許多成就都可直接或簡接地追溯於拉格朗日的工作。為此他於數學史上被認為是對分析數學的發展產生全面影響的數學家之一。