❶ 到底什麼才是真正的數學探索活動
到底什麼才是真正的數學探索活動?
活動中該探索些什麼？
活動後又該反饋些什麼？
一個真正的數學探索活動首先不應該是膚淺的、僅僅停留在物體表面的，必須是有一定深度的、值得操作的探究活動，究竟該挖掘多深，要視具體情況而定。在這節課中，數學探索活動的真正價值應該體現在一個讓學生親身經歷的、有序的、有效的、深層的動手探究演算法多樣化的數學學習過程中。集結師、生的彼此智慧共同去揭開減法算式的第二種意義的奧秘，向學生滲透「轉化」、「一一對應」的數學思想，讓學生體會學具操作的巧妙之處。
什麼是探索？我認為探索就是讓學生通過自己動腦、動手用自己想到的策略（可藉助某些工具）去驗證自己的猜測和設想，通過生生互助、師生互助去克服困難，獲得真實的情感體驗，從而總結、歸納出具體的措施、方法、技巧。學生的獨立探索」不是「機械的去驗證老師強加的方法」。
什麼是反饋？我認為反饋就是在學生在小組內動手操作、合作交流、心存困惑或有收獲的基礎上展開的全班范圍內生生、師生之間的一種心靈對話，所呈現於眾的不僅僅應是結果、方法，我認為更重要的應是學生在探索的過程所經歷的挫折、困難、困惑、、已解決或未解決的問題，以及解決的方法、形成的技巧、失敗的因素、形成的情感、對今後的影響等，關鍵是老師怎樣引領學生在生生間，點撥學生在生生間、師生間互動、交流，在原有的基礎上，在探索的前提下有不同的發展，有更大的提高。
數學其實也很簡單，就是研究要做什麼，怎麼去做，為什麼這么做。另外要把學生當作學習的主體，抓住學生的興趣點去設計教學。
❷ 怎樣開展初中數學探究性學習
關於初中數學探究性學習的反思
[摘要] 探究性學習是近一兩年來教育理論與實踐領域提出的一個嶄新的研究課題。探究性學習增強了學生與社會發展的聯系,將從根本上改變學生的學習方式,並為學生的全面發展、為培養創造性人才提供了時空上的保證。隨著理論研究和教育政策的推進,探究性學習在教育實踐中日益受到關注和重視。由於探究性學習剛提出來不久,其理論研究與實踐探索還遠遠不夠,因而在具體操作中往往存在著許多困惑:探究性學習是什麼?要達到什麼目標?如何實施?本文就初中數學探究性學習中的一些問題作出反思和總結.
［關鍵詞］初中數學、 探究性學習、反思總結
[正文] 探究性學習是近幾年來教育理論與實踐領域提出的一個嶄新的研究課題。探究性學習增強了學生與社會發展的聯系,將從根本上改變學生的學習方式,並為學生的全面發展、為培養創造性人才提供了時空上的保證。探究性學習是指學生在教師指導下，從學習生活和社會生活中選擇和確定探究專題，主動地獲取知識、應用知識、解決問題的學習活動。探究性學習已作為必修課被列入《國家九年義務教育課程計劃》中,目的在於培養學生的科學素養,創新精神和和實踐能力. 本文就初中數學探究性學習中的一些問題作一些探討和反思.
1. 探究性學習的課程理念
初中數學探究性學習，主要是指初中數學課堂教學中，學生在教師指導下，用類似科學研究的方式去獲取知識、應用知識、解決問題的學習方式。這里，學生的探究學 習是在老師的指導下，班級集體教學的環境中進行的，它有別於個人在自學過程中自發的、個體的探究活動。而教師的主要角色則是數學學習的組織者、引導者與合作者。「用類似科學研究的方式」，即讓學生通過「進行觀察比較，發現、提出問題，作出解決問題的猜想，嘗試解答並進行驗證」的過程去揭示知識規律，求得問題的解決。其實質是讓學生學習科學研究的思維方式和研究方法，利用已有的數學知識、數學思想方法去解決問題，從而培養學生主動探究、獲取知識、解決問題的能力，培養學生的創新思維和實踐能力，培養學生思維的廣闊性。
1.1 重視學生的自主活動，實現學習方式的轉變
探究性學習適應初中學生渴望獨立，希望在自主的活動中體驗成功、獲得認可的需求，提供並創造了學生主動探究、獨立操作、自由表達的"土壤"以及良好的氛圍，學生在其中創新和實踐，建立一種主動發現、獨立思考並重視實際問題解決的積極的學習方式。學生在體驗與創造中學習，在潛移默化中實現認識、情感、態度與觀念的變化和發展。
1.2 從學生的興趣出發，進入對問題的探究過程
興趣是學生探究活動的起點，興趣的滿足需要在探究的過程中實現。關注學生的興趣，將興趣轉化為可探究的問題，能有效地引導學生主動投入到探究性學習活動中，滿足學生的發展需要，這樣的學習活動，點燃了學生思維火花，也有利於培養學生對問題的質疑態度和批判精神，獲得學習自由以及快樂的感悟和體驗，對自我價值的認識和承認。如,師生准備一日游, 請學生根據統計的數據設計一份較為合理的租車方案;足球運動員在何處射門最好(不考慮其它因素)等這類問題都能很好地激發學生的興趣.
1.3 提供開放的學習空間，發現和開發學生多方面的智慧潛能
每一個學生都具有多方面的智慧潛能，也存在著明顯的個別差異。探究性學習的開放性使得學生可以依據自己的興趣和愛好，在與他人合作學習、分享經驗的過程中，通過各類探究方式，認識社會生活，認識世界，發現自我，形成健全的人格和積極的人生態度，同時也為學生提供了在開放的情境中展示個性，開發自己多方面才智的機會。如教學1公頃、1平方千米時，讓學生測一測，親自體驗它們的大小。帶領學生走上操場，目測、步量一個邊長為100米的正方形，感受1公頃的大小；走上大街，步測1000米的長度，試估計以這一邊為正方形的其它兩個頂點分別在什麼位置，體驗1平方千米的大小。進而估計城區面積的大小，結合《社會》課學到的知識，讓學生算出城區人口的密度，為居民娛樂、健身場所等提出規劃建議。學生通過自主實踐，在最大空間內體驗到1公頃、1平方千米的大小，感受到數學與自己離得很近，就在自己的身邊。
1.4 師生共同探求新知，課程成為教與學交互推進的過程
探究性學習的實施，是一個教與學交互推進的過程，要在教師和學生之間建立一種新的關系，教師要實現從單純的知識傳授者向學生探究性學習的組織者、指導者、促進者和參與者轉變。在這種新的關系中，教師與學生共同探求新知，獲得思維、能力、情感、價值觀、行為等方面的發展。
2. 探究性學習的目標
探究性學習著眼於轉變學生的學習方式，培養創新精神和實踐能力，目標指向主要是學生學習興趣的滿足和能力品性的提高，強調學生對所學知識技能的實際運用、能力的形成和經驗的獲得，強調學生通過親身體驗加深對學習價值的認識，在思想意識、情感意志、精神境界等方面得到升華。具體來說，根據初中學生的年齡的特點，初中探究性學習的目標強調以下幾點：
2.1 獲得親身參與探究活動的體驗
探究性學習強調學生通過自主參與探究性學習活動，親歷問題探究的實踐過程，獲得科學探究的初步體驗，加深對於自然、社會和人生問題的思考與感悟，激發起探索、創新的興趣和慾望，並且逐步形成喜愛質疑、勤於思考、樂於在探究中獲取新知的心理素質。
2.2 提高發現問題和解決問題的能力
探究性學習特別重視提高學生從對生活的觀察與思考中發現問題並通過實踐積極探究的能力。包括：發現並且確定探究的題目（項目）；提出探究設想並且自主開展探究活動；獲得探究的結論，對事物（問題）的發展作出初步預測或提出適當的對策；展示或交流探究過程、成果、心得等。
2.3 培養收集、分析和利用信息的能力
探究性學習是一個開放的學習過程。通過探究性學習，學生要學會利用多學會整理與歸納，學會判斷和識別信息的價值，並恰當地利用信息；學會運用獲得的信息描述或說明事物（問題），並作出恰當的解釋。
2.4 學會合作與分享
探究性學習提供了一個有利於人際溝通與合作的良好空間。學生要在學習過程中學會合作，培養團隊精神。包括：在合作集體中既獨立思考、積極主動，又樂於與夥伴互相幫助、彼此協作：自覺遵守合作規范，正確對待個人與集體關系：在合作中能夠協調人際關系，主動與同伴交流、分享信息、創意和成果等。如「住校生月生活費與家庭收入關系問題」、「住校生住校周數與回家次數的問題」等等，每個問題的提出、分析、建模、解答、總結,無不應是同學們主動求知，團結合作的結晶。
3. 探究性學習的內容
根據學生認知形成和發展的規律，初中數學探究性活動可以分為：
3.1形成性探究是指針對教材內容，把一些知識形成過程的典型材料，設計為探究性問題：這些材料可以是數學概念、公式、定理、法則的提出過程；結論的推導分析和論證過程；知識的發生、發展和形成的過程；解題思路的探索過程；解題方法和規律的概括過程等。例如方程的概念教學，傳統的方法是給出方程的定義，然後給出若乾式子讓學生判別哪些是方程。探究性學習的做法是，先給出若乾式子，然後讓學生觀察，找出其中的一些共同特點，如一部分式子是等式，一部分式子是代數式，在等式中又有一部分是含有未知數的，這樣我們就把這一種含有未知數的等式叫做方程。
3.2 建構性探究是指要立足於引導學生在理解數學知識的基礎上，建立知識系統和網路，形成良好的認知結構，這個過程應讓學生自主完成，它有利於加深學生對所學知識體系的認識，為培養創新思維打下良好的基礎。例如，在學習「三角形內角和」這個內容時，教學中最常見的學生動手操作方式就是學生在教師的提示或要求下，用量角器先量出三角形的每個內角，然後相加，從而得出「三角形內角和是180°」過樣的結論，用現代直觀性教學的認識觀，我們不禁要提出這樣的問題：學生除了獲得這個結論外，還獲得了什麼？如果讓學生認識其他諸如四邊形、五邊形……邊形的內角和，學生只能用動手量這一方法嗎？實際上，教師完全可以不作要求或提示，只提供材料（大小不等的三角形和不同種類的三角形），由學生主動去解決所面臨的問題。這樣，學生不但會用量角的方法（一種最簡單的一般性方法），可能也會用剪拼的方法（一種數學中特殊的化歸方法）。這樣，學生不僅僅獲得了所要的結論，也掌握了一種數學認識中最常用的思想方法----化歸法。以後學四邊形內角和知識，完全可以化歸為兩個三角形，五邊形內角和的認識，完全可以化歸為三個三角形……等等。
3.3 應用性研究的目的在於增強學生的應用意識，並在知識的發展中培養創新意識，提高研究能力；教師要積極引導學生接觸實際，了解社會，使他們在更加開放的環境中學習，切實提高分析和解決實際問題的能力。 如「中學生近視率的調查」、「上網吧費用問題」 等
開展探究性活動要從教材內容、教學設施；學生能力等實際情況出發，因材施教，因地制宜。探究性活動要由淺入深，結合學生心理特點和認知水平有計劃地進行；教師的指導也要由多到少，逐漸過渡到學生的自主探究。
4. 初中探究性學習的實施
4.1實施的組織形式
探究性學習有多種組織形式，包括小組合作探究、個人獨立探究以及在班級、年級或更大范圍中展開的合作探究。
在綜合實踐活動課進行的探究性學習，應該較多地採取組成課題組，以小組合作形式展開探究活動。課題組可以由同班同學自由組合而成，也可以由跨班級、跨年級的興趣相近的同學組合而成。課題組一般由3-6人組成，學生自己推選組長，聘請有一定專長的成人（如本校教師等）為導師。探究過程中，課題組成員有分有合，各展所長，協作互補。
個人獨立探究時，一般先由教師向全班學生提出一個綜合性的探究專題，然後由每個學生自定具體題目，並各自相對獨立地開展探究活動，用一段時間完成。
採用全班集體探究的形式，全班同學需要圍繞同一個探究課題，通過分工合作搜集資料、開展探究活動。通過幾次全班集體討論，分享信息和各人的創意，進行思維碰撞，由此推動同學們在原有基礎上深化探究。
採取小組合作探究和全班集體探究的形式，要以個人的獨立思考和認真鑽探為基礎，要強調集體中每個人的積極參與，避免出現一部分人忙、其他人閑，少數人做、多數人看的現象。採取個人獨立探究的形式，則要引導學生經常主動地與他人交流探討，學會信息和資源共享。
4.2實施的一般流程
初中探究性學習展開一般分為三個階段：進入問題情境階段、實踐體驗階段和總結表達交流階段。在學習進行的過程中這三個階段是相互交叉和交互推進的。
（1）進入問題情境階段
本階段首先要採取多種形式，創設問題情境，明確探究任務。一般可以講故事、開設講座、組織參觀訪問等，目的在於做好背景知識的鋪墊，激活學生原有的知識儲備，提供探究范圍，誘發探究動機。與此同時，學生要在教師指導下，學習從多個角度去發現問題和分析思考問題，建立探究性學習小組，邀請校內外指導教師提供幫助並共同參與探究活動；要積極探索，搜尋相關的資料，進入探究問題的狀態，並歸納出准備探究的具體題目，形成最基本的目標和思路。
（2）實踐體驗、解決問題階段
在確定需要探究解決的問題以後，學生要進入具體的解決問題過程，通過實踐體驗，形成一定的觀念、態度，掌握一定的方法。
本階段中，學生實踐、體驗的內容包括：在開放情境中主動搜集和加工處理信息，小組合作與各種形式的人際交往、溝通，以科學態度解決實際問題，從一定角度認識環境、發現自我等。在解決實際問題的過程中，學生往往會碰到各種困難，初中生興趣激發快、變化也快的特點容易使他們的探究活動不能持久，需要得到教師的及時關心、指導和督促。
（3）總結、表達和交流階段
學生要有始有終地完成探究性學習項目的任務，爭取達到預期的目標。但是，經過努力仍不能獲得滿意的結果也是正常的，並不意味著學習的失敗。在這一階段，學生要將自己或小組經過實踐、體驗所取得的收獲進行整理、加工，形成書面材料和口頭報告材料。學生通過交流、探討與同學們分享成果，這是探究性學習不可缺少的一個環節，在交流、探討中，學生要學會理解和寬容，學會客觀地分析和辯證地思考，也要敢於和善於申辯。
4.3 實施中的教師指導
在探究性學習中，學生是積極主動的學習者，並不意味著可以忽視教師的作用。教師能否運用促進性的指導技能，對於探究性學習的展開並取得效果，具有決定性意義。
（1）針對初中生文化、科學知識基礎比較薄弱和解決實際問題的方法、經驗的實際狀況，在探究性學習開始階段，可以結合實例對學生進行一定的基礎訓練，幫助學生掌握利用工具書（如索引、文摘、網路全書等）、使用視聽媒體、做筆記、進行訪談，對資料做整理和分類等方面的技能，以便於學生比較順利地進入探究過程。（2）在探究性學習實施過程中，教師要及時了解學生開展探究活動的情況，有針對性地進行指導、點撥與督促：要組織靈活多樣的交流、探討活動，促進學生自我教育，幫助他們保持和進一步提高學習積極性：對有特殊困難的小組要進行個別輔導，或創設必要條件，或幫助調整探究計劃。教師要在探究性學習的實施過程中實現從知識傳授者到學生學習的組織、指導、參與者的角色轉換。（3）實施探究性學習時，教師要注意爭取家長和社會有關方面的關心、理解和參與，開發對實施探究性學習有價值的校內外教育資源，為學生開展探究性學習提供良好的條件。（4）在探究性學習實施過程中，要指導學生寫好探究日記，及時記載探究情況，真實記錄個人體驗，為以後進行總結和評價提供依據。
5. 探究性學習的設計舉例
數學中的每一個定理結論都是前人經過艱苦的探索發現的。即使是一個一般的命題，一個猜想，其提出的過程也凝聚了數學家的智慧。傳統的做法往往是給出現成的結論，然後照搬現成的證明。這樣做使學生始終處於一種被動接受的地位，學生總是心存疑慮：這個定理是怎麼來的？這個證法是如何想到的？初中數學探究性學習就是要改變這種學習的被動局面，消除學生心理上的疑慮，讓學生主動積極地去參與探究，嘗試發現，成為學習的主人。
如在初三數學興趣班中進行圓冪定理的教學：
問題：過一定點P任意作一直線與已知半徑為r的圓O交於兩點A、B，已知PO = d，那麼如何求PA·PB的值？
（1）按照要求畫出圖形（見圖1、圖2、圖3）（培養發散性思維）
（2）不妨先研究點P在圓外的情況，似乎不易著手，可從特例入手。（這一過程培養學生的探究能力）
先看點P在圓外，過點P的直線過圓心O，如圖4，已知PO = d，AO = BO = r，則可得PA·PB = (d- r)(d+ r) = d2- r2 .
再看過點P的直線與圓O相切於點A，如圖5，這時A、B兩點重合，PA·PB = PA2，由勾股定理得PA·PB = PA2 = d2- r2 .
現在你能猜出PA·PB的值嗎？試證明你的猜想。
如圖7，作OM⊥AB垂足為M，根據垂徑定理得點M是AB的中點，
不妨設AM = BM = x，則PA·PB =（PM- x）(PM+ x) = PM2- x2，
顯然AM2+ OM2 = r2，PM2+ OM2 = PO2，從而有x2 = r2- OM2.
所以，PA·PB = PM2- (r2- OM2) = PM2 + OM2- r2 = d2- r2.證實
自己的猜想正確。
對點P在圓內的情況可以類似解決；至於點P在圓上此時，PO = r = d，易知結論仍然正確。
（3）學生歸納得到圓冪定理（培養歸納思維能力）
（4）你們還能有其它方法證明圓冪定理嗎？（培養學生創新能力和靈活運用數學思想方法的能力）
經過小組討論，有同學提出可用三角方法來證明。
先研究點P在圓外的情況，如圖8，
設∠APO =α，PA = x1,PB = x2.
在△PAO中，有x12+ d2- 2dx1cosα= r2,即x12 - 2dx1cosα+ d2-r2 = 0.
在△PBO中，有x22+ d2- 2dx2cosα= r2,即x22 - 2dx2cosα+ d2-r2 = 0.
所以，x1、x2是方程x2 - 2dxcosα+ d2-r2 = 0的兩個根。由韋達定理得，x1x2 = d2- r2.即PA·PB = d2- r2（定值）.
點P在圓內的情況，如圖9，設∠BPO =α，PA = x1,PB = x2.
在△PAO中，有x12+ d2- 2dx1cos（л-α）= r2,即x12 - 2dx1cosα+ d2-r2 = 0；
在△PBO中，有x22+ d2- 2dx2cosα= r2,即x22 - 2dx2cosα+ d2-r2 = 0。
所以，- x1、x2是方程x2 - 2dxcosα+ d2-r2 = 0的兩個根。由韋達定理得，（- x1）x2=d2- r2.即PA·PB = r2 - d2（定值）.
若點P在圓上，此時，PO = r = d，仍有PA·PB = d2- r2 = 0(定值)
所以，無論點P的位置如何，都有PA·PB = |d2- r2|（定值）。
（5）你能推廣這個命題嗎？（培養創新能力）
經過學生小組探索，可得：相交弦定理、割線定理、切割線定理。至此，學生的創造性得到了充分的發揮。
（6）歸納小結，由各組自己歸納出應該注意的問題或數學思想方法等，找一個代表發言。教師予以鼓勵或加以完善。
整個過程以小組活動為主，教師適當指導，在關鍵之處給予點撥,使學生切身體驗了科學探究探索的全過程。在最終得到圓滿結論獲得成就感的同時極大地調動起自主學習探究的積極性。我們有理由相信這一體驗千倍於解答若干習題的功效.
6.為「探究性學習」把脈
6.1明顯的優點
（1）學校的顯性課程變成了隱性課程，課堂由室內延伸到了校外。嶄新的學習方式將使越來越多的學生越來越主動地學習，為他們的健康成長，創造一個良好的人文環境。（2）教育結果的評估將遠離循規蹈矩式的紙上談兵，不再以分數論「英雄」，不追求學生一定要在探究中有新發展，只希望他們每一步都有追求、有思考，在參與、發現、體驗中學習、成長。（3）「探究性學習」將全面培養學生開拓性思維、體驗式自信，充分挖掘學生可持續發展的潛力。
6.2潛在的危機
（1）將「探究性學習」課程定格為非應試教育的范疇，終身享受「副科」級待遇，從而使其因束之高閣而蒙塵。（2）過分依賴「探究性學習」，將它視為培養學生的靈丹妙葯，忽視「基礎知識、基本技能」的有素訓練，否定「接受性學習」的作用，淡化對學生的個性、意志、品質等心理塑造。
總之，如何開展「探究性學習」的問題是擺在我們每個教育工作者面前的實踐任務，我們要不斷地通過嘗試、交流、探討、總結，使之逐漸完善，從而為教育事業的發展做出我們應有的貢獻。
參考文獻
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