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數學如何書寫立體幾何射影的問題線面垂

發布時間:2022-04-07 01:04:49

① 數學高手來回答 (有關立體幾何問題)

立體幾何梳理(看完立幾無難題!!!)

基本概念
公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內,那麼這條直線上的所有的點都在這個平面內。
公理2:如果兩個平面有一個公共點,那麼它們有且只有一條通過這個點的公共直線。
公理3: 過不在同一條直線上的三個點,有且只有一個平面。
推論1: 經過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面。
推論2:經過兩條相交直線,有且只有一個平面。
推論3:經過兩條平行直線,有且只有一個平面。
公理4 :平行於同一條直線的兩條直線互相平行。
等角定理:如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行並且方向相同,那麼這兩個角相等。

空間兩直線的位置關系:空間兩條直線只有三種位置關系:平行、相交、異面
1、按是否共面可分為兩類:
(1)共面: 平行、 相交
(2)異面:
異面直線的定義:不同在任何一個平面內的兩條直線或既不平行也不相交。
異面直線判定定理:用平面內一點與平面外一點的直線,與平面內不經過該點的直線是異面直線。
兩異面直線所成的角:范圍為 ( 0°,90° ) esp.空間向量法
兩異面直線間距離: 公垂線段(有且只有一條) esp.空間向量法
2、若從有無公共點的角度看可分為兩類:
(1)有且僅有一個公共點——相交直線;(2)沒有公共點—— 平行或異面

直線和平面的位置關系: 直線和平面只有三種位置關系:在平面內、與平面相交、與平面平行
①直線在平面內——有無數個公共點
②直線和平面相交——有且只有一個公共點
直線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在這個平面內的射影所成的銳角。
esp.空間向量法(找平面的法向量)
規定:a、直線與平面垂直時,所成的角為直角,b、直線與平面平行或在平面內,所成的角為0°角
由此得直線和平面所成角的取值范圍為 [0°,90°]
最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內任一條直線所成角中的最小角
三垂線定理及逆定理: 如果平面內的一條直線,與這個平面的一條斜線的射影垂直,那麼它也與這條斜線垂直
esp.直線和平面垂直
直線和平面垂直的定義:如果一條直線a和一個平面 內的任意一條直線都垂直,我們就說直線a和平面 互相垂直.直線a叫做平面 的垂線,平面 叫做直線a的垂面。
直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直,那麼這條直線垂直於這個平面。
直線與平面垂直的性質定理:如果兩條直線同垂直於一個平面,那麼這兩條直線平行。

③直線和平面平行——沒有公共點
直線和平面平行的定義:如果一條直線和一個平面沒有公共點,那麼我們就說這條直線和這個平面平行。
直線和平面平行的判定定理:如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行,那麼這條直線和這個平面平行。
直線和平面平行的性質定理:如果一條直線和一個平面平行,經過這條直線的平面和這個平面相交,那麼這條直線和交線平行。

兩個平面的位置關系:
(1)兩個平面互相平行的定義:空間兩平面沒有公共點
(2)兩個平面的位置關系:
兩個平面平行-----沒有公共點; 兩個平面相交-----有一條公共直線。
a、平行
兩個平面平行的判定定理:如果一個平面內有兩條相交直線都平行於另一個平面,那麼這兩個平面平行。
兩個平面平行的性質定理:如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那麼交線平行。
b、相交
二面角
(1) 半平面:平面內的一條直線把這個平面分成兩個部分,其中每一個部分叫做半平面。
(2) 二面角:從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為 [0°,180°]
(3) 二面角的棱:這一條直線叫做二面角的棱。
(4) 二面角的面:這兩個半平面叫做二面角的面。
(5) 二面角的平面角:以二面角的棱上任意一點為端點,在兩個面內分別作垂直於棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。
(6) 直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。
esp. 兩平面垂直
兩平面垂直的定義:兩平面相交,如果所成的角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直。記為 ⊥
兩平面垂直的判定定理:如果一個平面經過另一個平面的一條垂線,那麼這兩個平面互相垂直
兩個平面垂直的性質定理:如果兩個平面互相垂直,那麼在一個平面內垂直於交線的直線垂直於另一個平面。
Attention:
二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法(注意求出的角與所需要求的角之間的等補關系)

多面體
稜柱
稜柱的定義:有兩個面互相平行,其餘各面都是四邊形,並且每兩個四邊形的公共邊都互相平行,這些面圍成的幾何體叫做稜柱。
稜柱的性質
(1)側棱都相等,側面是平行四邊形
(2)兩個底面與平行於底面的截面是全等的多邊形
(3)過不相鄰的兩條側棱的截面(對角面)是平行四邊形

棱錐
棱錐的定義:有一個面是多邊形,其餘各面都是有一個公共頂點的三角形,這些面圍成的幾何體叫做棱錐
棱錐的性質:
(1) 側棱交於一點。側面都是三角形
(2) 平行於底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等於截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方

正棱錐
正棱錐的定義:如果一個棱錐底面是正多邊形,並且頂點在底面內的射影是底面的中心,這樣的棱錐叫做正棱錐。
正棱錐的性質:
(1)各側棱交於一點且相等,各側面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等,它叫做正棱錐的斜高。
(3) 多個特殊的直角三角形
例如:
a、相鄰兩側棱互相垂直的正三棱錐,由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。
b、四面體中有三對異面直線,若有兩對互相垂直,則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。
注意:
1、 注意建立空間直角坐標系
2、 空間向量也可在無坐標系的情況下應用
多面體歐拉公式:V(角)+F(面)-E(棱)=2
正多面體只有五種:正四、六、八、十二、二十面體,球等。
注意:
1、 球與球面積的區別
2、 經度(面面角)與緯度(線面角)
3、 球的表面積及體積公式
4、 球內兩平行平面間距離的多解性

不知你想要高中的 還是大學的 研究生的 還是都說一下吧

《立體幾何》吳國建(高中)
《空間解析幾何》第四版(呂林根、許子道編,高等教育出版社出版)
《高等幾何》梅向明//劉增賢//王匯淳//王智秋
《微分幾何》 梅向明//黃敬之
《微分流形》宋衛東 安徽人民出版社

② 立體幾何求線面角有什麼方法技巧

求線面角方法如下:

(2)數學如何書寫立體幾何射影的問題線面垂擴展閱讀:

數學上,立體幾何(Solid geometry)是3維歐氏空間的幾何的傳統名稱—- 因為實際上這大致上就是我們生活的空間。一般作為平面幾何的後續課程。立體測繪(Stereometry)處理不同形體的體積的測量問題:圓柱,圓錐, 錐台,球,稜柱,楔,瓶蓋等等。

畢達哥拉斯學派就處理過球和正多面體,但是棱錐,稜柱,圓錐和圓柱在柏拉圖學派著手處理之前人們所知甚少。尤得塞斯(Eudoxus)建立了它們的測量法,證明錐是等底等高的柱體積的三分之一,可能也是第一個證明球體積和其半徑的立方成正比的。

(參考資料:網路:立體幾何)

③ 高中數學立體幾何證明線面垂直的判定

1.直線垂直於平面內兩條相交直線,則線與面垂直。
2.兩條平行線一條垂直於平面,則另一條也垂直於這個平面。
3.如果兩個面垂直,則其中一個面內垂直交線的線垂直另一個平面。
4.向量法。就是用向量乘積為零則兩向量垂直來證線線垂直,再用方法1來證。(向量法一般不用來證線面垂直,多用於求二面角,線面角等)

④ 數學立體幾何線麵包含應該怎麼寫

1.直線垂直於平面內兩條相交直線,則線與面垂直。2.兩條平行線一條垂直於平面,則另一條也垂直於這個平面。3.如果兩個面垂直,則其中一個面內垂直交線的線垂直另一個平面。4.向量法。就是用向量乘積為零則兩向量垂直來證線線垂直,再用方法1來證。(向量法一般不用來證線面垂直,多用於求二面角,線面角等)

⑤ 數學:求立體幾何里射影定理的證明

很簡單嘛,在正4面體中最好證明啊。過一頂點(設為0)向底面做垂線,設垂心H,過H任意連接底面的2頂點(設為A,B),過H做AB的垂線(垂足為C),連接OC。只需證明三角形S△OAB=S△HAB/cos∠OCH 即可,剩下的就簡單了啥。

我記得我們以前高考的時候都可以直接引用的啊,現在怎麼限制了啊?

⑥ 數學問題:什麼是射影

射影
從一點向一條直線或一個平面作垂線,所得的垂足就是這點在這條直線或著個平面上的射影;
射影是一個圖形,如幾何中,某點或某條線段在某個面上的射影,一般都指它的垂足或垂足之間的線段等,用作垂線找垂足的方法即可獲得。

⑦ 高中數學立體幾何如何證明線線垂直

面面垂直有一條交線,在其中的一個面有一條線垂直交線,那麼那條線就垂直另一個面,只要線垂面,那麼線便垂直面內的任意直線。例如:面A與面B垂直,交線為d,在面A上有一條直線l,如果l垂直d,那麼l就垂直面B,(線垂直面就會垂直於面內任意直線),所以l就會垂直面B上任意直線。你可以用筆和書本來理解。但你要注意,如果兩面相交但不垂直,那麼即使其中一個面內一條直線垂直交線,那這條直線也不垂直另一個面。要線垂直交線然後垂直於面的前提是面面垂直。你只要記住線垂直於面就會垂直於面內任意直線就差不多了。

⑧ 高中數學立體幾何如何證明線線垂直 怎麼從已知面面垂直或線面垂直得到線線垂直

三垂線定理
在平面內的一條直線,如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直,那麼它也和這條斜線垂直.
逆定理
三垂線定理的逆定理:如果平面內一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直,那麼這條直線也垂直於這條斜線在平面內的射影.

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