祖沖之是如何學習數學的

A. 數學天才祖沖之講的是什麼故事

祖沖之出生在公元429年，正當南北朝劉宋王朝時代。祖沖之是個偉大的數學家、天文學家和物理學家，有許多卓越的成就，其中之一就是對圓周率的計算。

圓周率就是圓周的長度和直徑長度的比值。這是一個無限的不循環小數，也就是說它是個沒完沒了的小數，各位數字的變化又沒有規律。通常在計算的時候，我們把圓周率定為3.1416，這個數字實際上比圓周率稍微大一點。祖沖之在一千五百年以前就確定，圓周率在3.1415926和3.1415927之間，比3.1416精確得多。在他之後的一千年，阿拉伯有個數學家才打破了這個精確程度的紀錄。

計算圓周率是一件很不容易的事。我們知道，在一個圓里畫內接正多邊形，計算這個正多邊形的總的邊長，才可以得到圓周的近似值。正多邊形的邊數越多，總的邊長跟圓周就越是接近。祖沖之必須從圓的內接正六邊形開始，先算內接正12邊形的邊長，再算內接正二十四邊形的邊長，再算內接正四十八邊形的邊長……邊數一倍又一倍地增加，一共要翻十一番，直到算出了內接正一萬二千二百八十八邊形的邊長，才能得到這樣精密的圓周率。

內接正多邊形的邊數翻十一番，看起來好像還簡單，其實不然。邊數每翻一番，至少要進行七次運算，其中除了加和減，有兩次是乘方、兩次是開方。

祖沖之算出來的結果有六位小數，估計他在運算的過程中，小數至少要保留十二位。加和減還好辦，十二位小數的乘方。尤其是開方，運算起來極其麻煩。

祖沖之要是沒有熟練的技巧和堅強的毅力，是無法完成這上百次的繁難復雜的運算的。

在祖沖之以前，已經有人提出圓周率跟22／7相近似。祖沖之把22／7叫做「疏率」，提出了另一個圓周率的近似值335／113，作為「密率」，因為它更加精密，跟圓周率更相接近。過了一千年，德國人奧托和荷蘭人安托尼茲才先後提出335／113這個圓周率的近似值，歐洲人當時不知道祖沖之已經提出過「密率」，在他們寫的數學史上，把它叫做「安托尼茲率」。日本數學家主張把335／113稱為「祖率」，這是十分公允的。

祖沖之的祖父和父親對天文歷法很有研究。祖沖之從小愛好天文歷法，經常觀測太陽、月亮和星星在天空里運行的情況，作詳細的記錄。他發現當時採用的《元嘉歷》還有些錯誤，對日月的方位、行星的出沒和冬至、夏至的時間，推算得都不很准確，他編制了一部新的歷法，叫做《大明歷》，這時候，祖沖之才33歲。

《大明歷》的成就之一，是第一次照顧到了「歲差」。原來地球每繞太陽一周，冬至點要稍稍後退一點兒，也就是向西移一點兒，這就叫「歲差」。首先發現歲差的是晉朝的天文家虞喜。祖沖之經過仔細的觀察和鑽研，計算出歲差是每四十五年又十一個月後退一度（我國古代把周天分為三百六十五又四分之一度）。

現在知道，歲差是由地軸擺動產生的，每七十一年又八個月後退一度。祖沖之掌握的天文史料還不夠豐富，也不夠准確，誤差是難免的。他把歲差計算到歷法中去，是對歷法的一次革命。《元嘉歷》是每十七年有七個閏月。祖沖之編制的《大明歷》，改為三百九十一年有--百四十四個閏月，也比《元嘉歷》精確得多。

公元462年。祖沖之請求宋孝武帝劉駿頒行《大明歷》，劉駿有個寵臣叫戴法興的出來反對。祖沖之根據他的淵博的學識和實踐經驗，批駁了戴法興的種種刁難。戴法興最後蠻橫地說：「歷法是古代傳下來的，不能改動。改動了就是褻瀆上天，叛祖離道。」祖沖之毫不畏懼，義正詞嚴地說，「你如果有事實根據，盡管擺出來。空話是嚇不倒我的。」戴法興被駁得理屈詞窮。大臣們怕得罪戴法興，都附和他，只有巢尚之一個人站在祖沖之一邊。巢尚之核對了過去幾年發生的四次月食，證明用祖沖之的方法來計算，都是准確的，而用戴法興的辦法來計算，出入都很大。他堅決主張採用祖沖之的《大明歷》。爭論繼續了將近兩年，宋孝武帝才決定下一年頒行《大明歷》，不料他這一年就死了，事情就被擱置起來。

後來朝代也換了，祖沖之也死了。經他的兒子祖暅一再上書請求，直到公元510年，梁武帝肖衍才正式頒布採用《大明歷》。這時候，祖沖之已經死去10年了。

祖沖之在機械製造方面也很有成就。魏國的馬鈞製成的指南車，在晉朝的戰亂中喪失了。南北朝時期，北朝的統治者石虎和姚興都先後命令他們的臣子製造指南車，但是造出來的只能作為儀仗隊中的點綴品。

公元478年，祖沖之重新製造了一輛銅鑄的指南車，隨便車子怎麼拐彎，車上的銅人總是指著南方。

祖沖之看見農民舂米磨谷非常吃力，就在樂游苑中試制了一台水碓磨，利用水力轉動石磨來春米磨谷。這種水碓磨，在我國農村中現在還廣泛使用。

南方河道多，船是重要的交通工具。祖沖之製造過一種千里船，曾經在江上試航，一天就可以航行一百多里。

祖沖之的科學成就，在我國科學技術發展史上，將永遠放射光芒。他的刻苦學習、認真鑽研、勇於創造和堅持真理的精神，是值得我們學習的。

B. 祖沖之對數學科學有怎樣的貢獻

祖沖之，字文遠，生於宋文帝元嘉六年（429）祖籍范陽郡遒縣（今河北省淶源縣）。范陽祖氏是北方的著名士族之一。在西晉末至東晉初年北方居民大量南遷時，祖氏家族也遷居江南，到祖沖之時已歷數世。祖沖之出身於一個封建士大夫家庭，而且祖輩精於科學技術。他的曾祖父祖台之，在東晉官居侍中之職。祖父祖昌在劉宋官至大匠卿，掌管官室、宗廟、陵寢等大工程的設計與營造，具有很高的水平。祖沖之的父親祖朔之，官奉朝請。祖家歷代對天文歷法都很有研究。少年時期的祖沖之，對自然科學、文學和哲學的濃厚興趣，並特別偏愛天文與數學。他刻苦地學習古今各方面的知識。

兼收並蓄少數民族的文化科學知識。他「博訪前墳，遠稽昔典，五帝躔次，三王交分，《春秋》朔氣，《紀年》薄蝕」；他攻讀「談、遷載述，彪、固列志，魏世注歷，晉代《起居》」（《南齊書·祖沖之傳》）。躔次，是指日、月及金、木、水、火、土五星在天體運行中的位置；交分，是日、月在天體運行中相交的分次；朔氣即節氣；薄蝕，即日、月食。祖沖之在讀古今典籍的時，學習的重點乃是有關天文歷算方面的知識。對古代科學家劉歆、張衡、闞澤、劉徽、虞喜、趙匪欠等人的著述和學說，他都刻苦鑽研，悉心領會。他經過認真的學習和深入的研究，對二千餘年的天文歷算知識，都熟練地掌握。他說：「加以親量圭尺（測量日影的圭表與量尺），躬察儀漏（測量天體運行的渾天儀和計算時間的刻漏），目盡毫釐，心窮籌莢（運用古代計算工具算籌來進行計算），考課推移（核算天象的運行），曲備其詳矣。」（《南齊書·祖沖之傳》）祖沖之親自對天象的觀測和對數據的計算，成為一個對天文歷算有淵博知識的科學家。

祖沖之的知識與能力，得到了宋孝武帝劉駿的賞識。劉駿讓他參加皇家學術研究機構的科學研究工作。並「賜宅宇車服」以表示對他的才學的獎勵。劉駿是個暴君，而且生性疑忌，由於他的殘暴和猜忌，諸王和鎮將們曾先後起兵作亂，使劉宋朝廷陷於骨肉相殘，君臣互疑的一片混亂之中。劉駿能重用祖沖之，實屬難能可貴。祖沖之隨皇族南徐州刺史劉子鸞來到南徐州（今江蘇省鎮江市），任南徐州從事。劉子鸞被擢任司徒時，祖沖之又官司徒府參軍。

宋文帝元嘉年間，使用的是何承天的《元嘉歷》。何承天是劉宋時著名的天文歷算家。祖沖之年輕的時候，曾拜何承天為師，學到了許多天文歷法的知識。祖沖之在學習《元嘉歷》的時候，發覺這種歷法不夠精密，認為「置法簡略，今已乖遠」。既沒有運用「歲差」，閏法也仍襲用19年7閏的傳統，於是就產生了進一步修改它的想法。當有人知道他這個想法以後，就勸阻他說：「何承天是你的恩師，他七十多歲才制定了《元嘉歷》，真是不容易呀，你現在只有三十多一點，就想爬到老師的頭上去嗎？我看你還是不要輕舉妄動，以免惹人笑話。」祖沖之聽了以後，嚴肅地說：「何承天老師能刻苦鑽研，又敢於創新，他的歷法比古代歷法精密，他的成就是不可磨滅的。我從小就尊敬他，現在仍然尊敬他。但是，今天我經過更精密的測算，發現他的歷法有些不妥當的地方。為什麼不能進一步創新？我不想爬到老師的頭上，但也不能死抱著《元嘉歷》不放，不再前進。」祖沖之終於在宋孝武帝大明六年（462年）創制出自己的新歷法——《大明歷》。於是他上表朝廷，奏明自己制定新歷法的過程，並請檢驗採用，孝武帝今朝中善歷法的大臣進行討論能否採用時，卻遭到權臣戴法興的百般阻撓。

戴法興原是孝武帝為藩王時的親信。根據《南史·恩幸·戴法興傳》記載，因為他密謀擁立孝武帝有功，而權重當時。當皇帝下令討論《大明歷》的時候，朝中官員並無異議，由於戴法興的反對，群官「畏其權」，「論者皆附之」。惟有權勢與戴法興不差上下的中書舍人巢尚之肯定了祖沖之的歷法，認為可以施用，孝武帝也「愛奇慕古，欲用沖之新法，時大明八年也。故須明年改元，因此改歷，未及施用，而宮車晏駕也」（《宋書·律歷志下》）。孝武帝准備在改用年號時再採用新歷法，可惜因為他的死，《大明歷》被擱置了起來。

祖沖之在創制新歷法的同時，在數學方面也有了高深的造詣。在他任南徐州從事的時候，已經把圓周率准確地推算到小數點以後7位數。又提出了數學研究方面的其他問題：「至若立圓舊誤，張衡述而不改；漢時斛銘，劉歆詭謬其數，此則算氏之劇疵也。」（《宋書·律歷志下》）「立圓」是關於求國體積的問題，祖沖之已經發現過去的「劇疵」，重新加以研究。宋孝武帝死後，祖沖之又任過婁縣（今江蘇省崑山縣東北）縣令，謁者台長官謁者僕射等職。

在宋順帝升明三年（479年），蕭道成滅宋建齊，自立為齊高帝。蕭道成稱帝後，為穩定社會秩序，鞏固自己的統治，改革了宋以來的暴政，提倡節儉，減輕剝削。朝政嚴明，十幾年沒有戰爭，社會較前安定。

祖沖之得到齊高帝的器重，曾成功地完成齊高帝交給他的改裝指南車的任務。齊武帝時，文惠太子蕭長懋在東宮讀了祖沖之的《大明歷》，很是贊賞，建議他父親採用它。可是由於文惠太子亡故，事情就又擱置起來。不久，祖沖之升任長水校尉仍兼本職。長水校尉是漢武帝時所置統領京師八校尉之一，秩二千石，東漢、魏晉南北朝時沿用。祖沖之任職期間，不曾醉心於官場利祿，而是仍舊孜孜不倦地研究學問，並十分關心國計民生。他曾寫出《安邊論》，主張在邊遠地區「開屯田，廣農殖」，以發展農業生產，解決糧餉問題。齊明帝建武年間（494～497年）朝廷打算派祖沖之到全國各地巡察，「興造大業，可以利百姓者。會連有軍事，事竟不行」（《南齊書·祖沖之傳》）。朝廷把這樣重大的任務委託給他，由於當時南北局勢緊張，戰事不斷，忙於整軍備戰，使祖沖之要做利國計民的計劃，未能實現。

祖沖之的主要成就不但是天文歷算，而且他對祖國的文化思想也很有研究。他曾經寫過關於研究《周易》、《老子》、《莊子》、《論語》和《孝經》的一些著述。還著有小說《述異記》10卷。可惜這些作品都已經失傳了。「沖之解鍾律，博塞當時獨絕，莫能對者。」祖沖之對於音律也很精通，他曾經製作一種能核正樂器的銅尺。「博塞」又稱「格五」、「簙?塞」、或「?塞」，是古代的一種棋類游戲。《漢書·吾丘壽王傳》注記載劉德曰：「格五，棋行。」《?塞法》曰：「?塞白乘五，至五格不得行，故雲格五。」（清）翟灝在《通俗編》中講到格五的具體走法是：雙方各執黑白色棋子五枚，共行中道，每次移一步，遇到對方則跳越，以先抵敵境為勝。祖沖之精於此棋藝，當時無人能夠勝過他。祖沖之不僅是一個博學多才的人，而且是一個生活豐富多彩，饒有情趣的人。

祖沖之生活在時而動盪的歲月里，然而他一生堅持學術研究數十年如一日，始終不輟，終於取得了輝煌的成果。他的一生是勤奮的一生，他的一生更是光輝的一生。他在天文歷法、數學、機械製造諸多領域中所取得的卓越成就，終於越出了國界，成為全世界各國人民所共同擁有的文化、科學財富，因而也贏得全世界各國人民的尊敬和頌揚，成為世界各國人民共同矚目的傑出的科學家。

祖沖之生活在南北朝時期，當時的社會經濟，還在迅速地發展。我國古代先進的科學技術，尤其是天文歷算等科學，由秦漢以前的萌芽、形成階段，進入了魏晉南北朝的發展繁榮時期。為祖沖之的科學研究，提供了必不可少的物質保證和必需的豐富營養及寶貴借鑒。和祖沖之從事的科學事業，卻未予干擾、扼殺，而是給予了一定的支持與肯定，確是難能可貴的。他的祖輩世掌天文歷算，自然為祖沖之提供了一個從小就能學到必要的基礎知識，能進行科學研究的優越環境，從而培養了熱愛科學，終生從事天文歷算的研究。祖沖之具有頑強刻苦的學習精神。他博覽群書，「探異古今，觀要華戎」，包括遠從上古的典墳，近至同時代前輩的著述，他廣讀文史、哲學，著重鑽研天文歷算，在全面、准確地掌握前人所留下的豐富知識的基礎上，他親自用天文儀器觀測天象，進行各種數據的運算，掌握了第一手的資料和准確的數據。他「專功耽思」。工作專心致志，勤於思考，以至達到「目盡毫釐，心窮籌策」，對自己所從事的課題「曲備其詳」，完備、詳盡地掌握各種情況。發現他們的局限與錯誤，從實踐中不斷發展提高。

祖沖之大膽創新以實事求是的態度，對前輩科學家在天文歷算諸方面的不足與錯誤，敢於提出糾正。他對自己的恩師何承天的態度就是如此。他既尊敬自己的老師，並向他學習科學知識，對老師在歷法中的錯誤與局限，也不囿於情面而不予以指出訂正，最後終於創制了新的歷法而取代老師的舊歷。

祖沖之自己創制的《大明歷》「是用深惜毫釐，以全求妙之准」，希望「以成永定之制」。即精細到不差毫釐的計算，以求得歷法的准確，而能永世所用。所以他請皇帝「頒宣群司，賜垂詳究」。讓有關的部門，對他的新歷法進行詳細、徹底的考察，對發現的錯誤，絕非不悟、不改。

祖沖之為捍衛科學敢於與權貴進行斗爭，敢為科學而獻身，戴法興是皇帝的寵臣，參與國家機要，能左右官員的生殺、禍福。當他對祖沖之創制的新歷法提出無理的責難時，祖沖之不畏權勢，據理一一反駁。祖沖之不僅在辯論上戰勝了戴法興，而且《大明歷》最終得以施用，祖沖之獲得了最後的勝利。

祖沖之他的《安邊論》「欲開屯田，廣農殖」，顯然是為發展農業生產，減輕農民的負擔而設想的。皇帝又派他「巡行四方，興造大業，可以利百姓者」，他無論是作為一個封建官員，還是一個科學家，他對人民的疾苦很關心。只因戰爭而未能實行。他創制的新歷法，以及千里船、水碓磨等機械的製造，直接與勞動人民的生產、生活相關聯，方便了勞動人民，減輕了勞動人民的負擔。

南北朝時期的大數學家和天文學家祖沖之從事的科學事業里所取得的輝煌成就，被人們永遠敬仰贊頌為「算聖」。給後人留下了寶貴的文化財富；他們所作出的貢獻，不僅在中國而且在世界的科技史上，都佔有著重要的地位，產生著巨大的影響。（翟如潛）

C. 祖沖之在數學上的傑出成就是什麼

祖沖之是南北朝時期人，傑出的數學家、科學家。其主要貢獻在數學、天文歷法和機械3方面。此外，對音樂也有研究。他是歷史上少有的博學多才的人物。

祖沖之在數學上的傑出成就，是關於圓周率的計算。他在前人成就的基礎上，經過反復演算，求出了圓周率更為精確的數值，被外國數學史家稱作「祖率」。

祖沖之的祖父祖昌，是個很有科學技術知識的人，曾在南朝宋的朝廷里擔任過大匠卿，負責主持建築工程。祖父經常給他講一些科學家的故事，其中東漢時期大科學家張衡發明地動儀的故事深深打動了祖沖之幼小的心靈。

祖沖之常隨祖父去建築工地，晚上，就同農村小孩們一起乘涼、玩耍。天上星星閃爍，農村孩子們卻能叫出星星的名稱，如牛郎星、織女星以及北斗星等，此時，祖沖之覺得自己實在知道得太少。

祖沖之不喜歡讀古書。5歲時，父親教他學《論語》，兩個月他也只能背誦10多句。父親很生氣。可是他喜歡數學和天文。

一天晚上，他躺在床上想白天老師說的「圓周是直徑的3倍」這話似乎不對。第二天早上，他就拿了一段媽媽做鞋子用的線繩，跑到村頭的路旁等待過往的車輛。

一會兒，來了一輛馬車，祖沖之叫住馬車，對駕車的老人說：「讓我用繩子量量您的車輪，行嗎？」

老人點點頭。

祖沖之用繩子把車輪量了一下，又把繩子折成同樣大小的3段，再去量車輪的直徑。量來量去，他總覺得車輪的直徑不是「圓周長的三分之一」。

祖沖之站在路旁，一連量了好幾輛馬車車輪的直徑和周長，得出的結論是一樣的。

這究竟是為什麼呢？這個問題一直在他的腦海里縈繞。他決心要解開這個謎。隨著年齡的增長，祖沖之的知識越來越豐富了。他開始研究劉徽的「割圓術」了。

祖沖之非常佩服劉徽的科學方法，但劉徽的圓周率只得到正九十六邊形的結果後就沒有再算下去，祖沖之決心按劉徽開創的路子繼續走下去，一步一步地計算出正一百九十二邊形、正三百八十四邊形等，以求得更精確的結果。

當時，數字運算還沒利用紙、筆和數碼進行演算，而是通過縱橫相間地羅列小木棍，然後按類似珠算的方法進行計算。

祖沖之在房間地板上畫了個直徑為一丈的大圓，又在里邊做了個正六邊形，然後擺開他自己做的許多小木棍開始計算起來。

此時，祖沖之的兒子祖暅已13歲了，他也幫著父親一起工作，兩人廢寢忘食地計算了10多天才算到正九十六邊形，結果比劉徽的少

0.000002丈。祖暅對父親說：「我們計算得很仔細，一定沒錯，可能是劉徽錯了。」祖沖之卻搖搖頭說：「要推翻他一定要有科學根據。」於是，父

子倆又花了十幾天的時間重新計算了一遍，證明劉徽是對的。祖沖之為避免再出誤差，以後每一步都至少重復計算兩遍，直至結果完全相同才罷休。

祖沖之從正一萬二千二百八十八邊形，算至正二萬四千五百七十六邊形，兩者相差僅0.0000001。祖沖之知道從理論上講，還可以繼續算下去，但實際上無法計算了，只好就此停止，從而得出圓周率必然大於3.1415926而小於3.1415927這一結果。這個成績，使他成為了當時世界上最早把圓周率數值推算到7位數字以上的科學家。直至1000多年後，德國數學家鄂圖才得出相同的結果。

祖沖之能取得這樣的成就，和當時的社會背景有關。他生活在南北朝時期的南朝宋。由於南朝時期社會比較安定，農業和手工業都有顯著的進步，經濟和文化得到了迅速發展，從而也推動了科學的前進。當時南朝時期出現了一些很有成就的科學家，祖沖之就是其中最傑出的人物之一。

祖沖之在數學方面的主要貢獻是推算出更准確的圓周率的數值。圓周率的應用很廣泛，尤其是在天文、歷法方面，凡牽涉圓的一切問題，都要使用圓周率來推算。因此，如何正確地推求圓周率的數值，是世界數學史上的一個重要課題。

我國古代勞動人民在生產實踐中求得的最早的圓周率值是「3」，這當然很不精密，但一直被沿用至西漢時期。後來，隨著天文、數學等科學的發展，研究圓周率的人越來越多了。

西漢末年的劉歆首先拋棄「3」這個不精確的圓周率值，他曾經採用過的圓周率是3.547。東漢時期的張衡也算出圓周率為3.1622。

這些數值比起「3」當然有了很大的進步，但是還遠遠不夠精密。至三國末期，數學家劉徽創造了用割圓術來求圓周率的方法，圓周率的研究才獲得了重大的進展。

不過從當時的數學水平來看，除劉徽的割圓術外，還沒有更好的方法。祖沖之把圓的內接正多邊形的邊數增多至二萬四千五百七十六邊形時，便恰好可以得出3.1415926＜π＜3.1415927的結果。

祖沖之還確定了圓周率的兩個分數形式約率和密率的近似值。約率前人已經用到過，密率是祖沖之發現的。

密率是分子分母都在1000以內的分數形式的圓周率最佳近似值。用這兩個近似值計算，可以滿足一定精度的要求，並且非常簡便。

祖沖之在圓周率方面的研究，有著積極的現實意義，適應了當時生產實踐的需要。他親自研究過度量衡，並用最新的圓周率成果修正古代的量器容積的計算。

古代有一種量器叫作「釜」，一般的是1尺深，外形呈圓柱狀，那這種量器的容積有多大呢？要想求出這個數值，就要用到圓周率。

祖沖之利用他的研究，求出了精確的數值。他還重新計算了漢朝劉歆所造的「律嘉量」。這是另一種量器。由於劉歆所用的計算方法和圓周率數值都不夠准確，所以他所得的容積值與實際數值有出入。

祖沖之找到他的錯誤所在，利用「祖率」校正了數值，為人們的日常生活提供了方便。以後，人們製造量器時就普遍採用了祖沖之的「祖率」數值。

祖沖之曾寫過《綴術》5卷，匯集了祖沖之父子的數學研究成果，是一部內容極為精彩的數學書，備受人們重視。後來唐代的官辦學校的算學科中規定：學員要學《綴術》4年；朝廷舉行數學考試時，多從《綴術》中出題。

祖沖之在天文歷法方面的成就，大都包含在他所編制的《大明歷》中。這個歷法代表了當時天文和歷算方面的最高成就。

比如：首次把歲差引進歷法，這是我國歷法史上的重大進步；定一個回歸年為365.24281481日；採用391年置144閏的新閏周，比以往歷法採用的19年置7閏的閏周更加精密；精確測得交點月日數為27.21223日，使得准確的日、月食預報成為可能等。

在機械製造方面，祖沖之設計製造過水碓磨、銅制機件傳動的指南車、千里船、定時器等。他不僅僅讓失傳已久的指南車原貌再現，

也發明了能夠日行千里的「千里船」，並製造出類似孔明的「木牛流馬」運輸工具。

祖沖之生平著作很多，內容也是多方面的。在數學方面著有《綴術》；天文歷法方面有《大明歷》及為此寫的「駁議」；古代典籍的注釋方面有《易義》、《老子義》、《莊子義》、《釋論語》、《釋孝經》等；文學作品方面有《述異記》，此書在《太平御覽》等書中可以看到這部著作的片斷。

值得一提的是，祖沖之的兒子祖暅，也是一位數學家，他繼承他父親的研究，創立了球體體積的正確演算法。他們當時採用的一條原理是：位於兩平行平面之間的兩個立體，被任一平行於這兩平面的平面所截，如果兩個截面的面積恆相等，則這兩個立體的體積相等。

為了紀念祖氏父子發現這一原理的重大貢獻，數學上也稱這一原理為「祖暅原理」。祖暅原理也就是「等積原理」。

在天文方面，祖暅也能繼承父業。他曾著《天文錄》30卷，《天文錄經要訣》1卷，可惜這些書都失傳了。

祖沖之編制的《大明歷》，梁武帝天監初年，祖暅又重新加以修訂，才被正式採用。他還製造過記時用的漏壺記時很准確，並且寫過一部《漏刻經》。

祖沖之

D. 中國古代沒有阿拉伯數字，祖沖之到底是如何計算圓周率的

祖沖之是第一個將圓周率精準到小數點後7位的人！比西方早了大約將近1000年的時間！祖沖之應該是作用了割圓術的方法來計算圓周率的。就是對多邊型的極限研究思想，史記中記載了祖沖之用了12200邊型進行割圓，以圓徑1億為1丈，這的確有點誇張哈，但是祖沖之還真的做到了！並且還將圓周率直接界定為3.1415926到3.1415927之間的某個數！可謂是前無古人，後無來者啊！

問題來了，古代沒有阿拉伯數字，他是怎麼算得呢?首先古代數學是以竹片作為籌碼來計算的，據說祖沖之為了計算圓周率，在書房的地面上畫了一個直徑1丈的大圓，在大圓里做內接正多邊形。使用的方法與劉徽的"割圓術"一致，唯一不同的是，劉徽當時只做到了內接正96邊形，祖沖之做到了做到了驚人的正12288邊形。且不去探究這個故事真實與否，我們只需從中體會研究圓周率的困難和祖沖之付出的努力和汗水，這不僅需要細心的運算，更需要耐心和堅韌的意志。

其實，中國古代的數學一直存在而且並不落後，只是那時的數學主要來源於數學，以實用性為導向。而且數學研究以單打獨斗為主。對於數學理論缺乏系統的研究。這就是為什麼我們現代學習的數學很少能看到中國人的貢獻的原因。比如勾股定理，中國人應該是最早發展的勾三股四弦五的關系，但是古希臘的畢達哥拉斯學派系統的研究和發展了勾股定理，所以現在國際上公認的勾股定理稱為畢達哥拉斯定理。珠算是我國古代最偉大的發明，也是機器輔助運算鼻祖，只可惜隨著計算機的發展，算盤慢慢成為了歷史。同時中國古代對於開方運算的研究也很先進，我就見過我們村的會計在丈量土地的時候，飛快的筆算開方，真是嘆為觀止，記得我上學的時候書上還有筆算開方的課外讀物，不知現在有沒有。

中國古代沒有阿拉伯數字，所以就沒有現在的這種簡潔的數學計算公式。其次是中國古代表達一個數字，還要帶著單位，比如丈，尺，寸等等。不過，好在中國古代一開始就發明了十進制，這是最科學的計數方法。其他古代文明有二十進制，十二進制，甚至還有六十進制。其次，中國古代發明了算籌，實際上也大大簡化了計算過程。第三，中國古代還發明了乘法口訣表，這也更加簡化了計算過程。通過綜合運用，中國古代數學運算的方法，實際已經非常接近現在的數學計算方法了。由於古代文字普及都做不到，數學計算更是一般人接觸不到的，但是在很多特殊行業肯定需要計算的，比如掌管歷法，錢糧的官員，建築工匠等。

E. 數學家祖沖之的故事

小故事：祖父經常給祖沖之講一些科學家的故事，其中張衡發明地動儀的故事深深打動了祖沖之幼小的心靈。

祖沖之常隨祖父去建築工地，晚上，在那裡他常同農村小孩們一起乘涼、玩耍。

天上星星閃爍，在祖沖之看來，這些星星很雜亂地散布著，而農村孩子們卻能叫出星星的名稱，如牛郎、織女以及北斗星等，此時，祖沖之覺得自己實在知道得很少。

祖沖之不喜歡讀古書。5歲時，父親教他學枟論語枠，兩個月他也只能背誦十幾句。氣得父親又打又罵。可是他喜歡數學和天文。

一天晚上，祖沖之躺在床上想白天老師說的「圓周是直徑的3倍」這話似乎不對。

第二天早，他就拿了一段媽媽緔鞋子的繩子，跑到村頭的路旁，等待過往的車輛。

一會兒，來了一輛馬車，祖沖之叫住馬車，對駕車的老人說：

「讓我用繩子量量您的車輪，行嗎？」老人點點頭。

祖沖之用繩子把車輪量了一下，又把繩子折成同樣大小的3段，再去量車輪的直徑。量來量去，他總覺得車輪的直徑沒有1／3的圓周長。

祖沖之站在路旁，一連量了好幾輛馬車車輪的直徑和周長，得出的結論是一樣的。

這究竟是為什麼？這個問題一直在他的腦海里縈繞。他決心要解開這個謎。

經過多年的努力學習，祖沖之研究了劉徽的「割圓術」。所謂「割圓術」就是在圓內畫個正6邊形，其邊長正好等於半徑，再分12邊形，用勾股定理求出每邊的長，然後再分24、48邊形，一直分下去，所得多邊形各邊長之和就是圓的周長。

祖沖之非常佩服劉徽這個科學方法，但劉徽的圓周率只得到96邊，得出3 . 14的結果後就沒有再算下去，祖沖之決心按劉徽開創的路子繼續走下去，一步一步地計算出192邊形、384邊形 ⋯⋯ 以求得更精確的結果。

當時，數字運算還沒利用紙、筆和數碼進行演算，而是通過縱橫相間地羅列小竹棍，然後按類似珠算的方法進行計算。

祖沖之在房間地板上畫了個直徑為1丈的大圓，又在里邊做了個正6邊形，然後擺開他自己做的許多小木棍開始計算起來。

此時，祖沖之的兒子祖 􀀀 已13歲了，他也幫著父親一起工作，兩人廢寢忘食地計算了十幾天才算到96邊，結果比劉徽的少0 . 000002丈。

祖 􀀀 對父親說：「我們計算得很仔細，一定沒錯，可能是劉徽錯了。」祖沖之卻搖搖頭說：「要推翻他一定要有科學根據。」於是，父子倆又花了十幾天的時間重新計算了一遍，證明劉徽是對的。

祖沖之為避免再出誤差，以後每一步都至少重復計算兩遍，直到結果完全相同才罷休。

祖沖之從12288邊形，算到24567邊形，兩者相差僅0 . 0000001。祖沖之知道從理論上講，還可以繼續算下去，但實際上無法計算了，只好就此停止，從而得出圓周率必然大於3 . 1415926，而小於3 . 1415927。

很多朋友知道了祖沖之計算的成績，紛紛登門向他求教。之後，祖沖之又進一步得出圓周率的密率是355／113，約率是22／7。直到1000多年後，德國數學家鄂圖才得出相同的結果。

F. 祖沖之與圓周率的故事是什麼

祖沖之自幼喜歡數學，在父親和祖父的指導下學習了很多數學方面的知識。一次，父親從書架上給他拿了一本《周髀算經》，這是一本西漢或更早的著名的數學書。書中講到圓的周長為直徑的3倍。於是，他就用繩子量車輪，進行驗證，結果卻發現車輪的周長比車輪直徑的3倍還多一點。他又去量盆子，結果還是一樣。他想圓周並不完全是直徑的3倍，那麼圓周究竟比3個直徑長多少呢？在漢以前，中國一般用三作為圓周率數值，即「周三徑一」。這在計算圓的周長和面積時，誤差很大。祖沖之在劉徽創造的用「割圓術」求圓周率的科學方法基礎上，運用開密法，經過反復演算，求出圓周率為：3.1415927>π>3.1415926。這是當時世界上最精確的數值，他也成為世界上第一個把圓周率的准確數值計算到小數點以後第7位數字的人。直到1000多年後，這個紀錄才被歐洲人打破。圓周率的計算，是祖沖之在數學上的一項傑出貢獻，有外國數學史家把π叫做「祖率」。

G. 祖沖之我國傑出的數學家，他生平事跡有哪些

祖沖之（429-500），字文遠， 祖籍范陽郡遒縣（今河北淶源縣），南北朝時期傑出的數學家、天文學家和機械製造家。

在天文學方面，祖沖之創制了中國歷法史上著名的新歷——《大明歷》。在《大明歷》中，他首次引用了歲差，是我國歷法史上的一次重大改革；他還採用了391年中設置144個閏月的新閏周，比古代發明的19年7閏的閏周更加精密。 祖沖之推算的回歸年和交點月天數都與觀測值非常接近。

在數學上， 祖沖之推算出圓周率的真值應該介於3.1415926和3.1415927之間，比歐洲要早一千多年。

在機械製造上，曾製造了銅鑄指南車、利用水力舂米磨面的水碓磨、能日行百里的「千里船」和計時儀器漏壺、欹器等。

為了紀念祖沖之的功績，人們將月球背面的一環形山命名為「祖沖之環形山」，將小行星1888命名為「祖沖之小行星」。

國家或者地區：中國

學科：數學家 天文學家

發明創造：圓周率之父

祖沖之（429年—500年），字文遠，南北朝時期著名數學家、天文學家。

祖沖之祖籍范陽郡遒縣（今河北淶水），為避戰亂，祖沖之的祖父祖昌由河北遷至江南。祖昌曾任劉宋的「大匠卿」，掌管土木工程；祖沖之的父親也在朝中做官，學識淵博，受人敬重。

祖沖之公元429年生於建康（今江蘇南京）。祖家歷代都對天文歷法素有研究，祖沖之從小就有機會接觸天文、數學知識。在青年時代祖沖之就博得了博學多才的名聲，宋孝武帝聽說後，派他到「華林學省」做研究工作。公元461年，他在南徐州(今江蘇鎮江)刺史府里從事，先後任南徐州從事史、公府參軍。公元464年他調至婁縣(今江蘇崑山東北)任縣令。在此期間他編制了《大明歷》，計算了圓周率。宋朝末年，祖沖之回到建康任謁者僕射，此後直到宋滅亡一段時間後，他花了較大精力來研究機械製造。公元494年到498年之間，他在南齊朝廷擔任長水校尉一職，受四品俸祿。鑒於當時戰火連綿，他寫有《安邊論》一文，建議朝廷開墾荒地，發展農業，安定民生，鞏固國防。公元500年祖沖之在他72歲時去世。

祖沖之的主要成就在數學、天文歷法和機械製造三個領域。此外祖沖之精通音律，擅長下棋，還寫有小說《述異記》。祖沖之著述很多，但大多都已失傳。祖沖之是一位少有的博學多才的人物。

祖沖之的兒子祖暅也是中國古代著名數學家。

為紀念這位偉大的古代科學家，人們將月球背面的一座環形山命名為「祖沖之環形山」，將小行星1888命名為「祖沖之小行星」。

祖沖之在天文歷法方面的貢獻

祖沖之在天文歷法方面的成就，大都包含在他所編制的《大明歷》及為《大明歷》所寫的《駁議》中。

在祖沖之之前，人們使用的歷法是天文學家何承天編制的《元嘉歷》。祖沖之經過多年的觀測和推算，發現《元嘉歷》存在很大的差誤。於是祖沖之著手制定新的歷法，宋孝武帝大明六年（公元462年）他編製成了《大明歷》。大明歷在祖沖之生前始終沒能採用，直到梁武帝天監九年（公元510年）才正式頒布施行。《大明歷》的主要成就如下：

區分了回歸年和恆星年，首次把歲差引進歷法，測得歲差為45年11月差一度（今測約為70.7年差一度）。歲差的引入是中國歷法史上的重大進步。

定一個回歸年為365.24281481日（今測為365.24219878日），直到南宋寧宗慶元五年（公元1199年）楊忠輔制統天歷以前，它一直是最精確的數據。

採用391年置144閏的新閏周，比以往歷法採用的19年置7閏的閏周更加精密。

定交點月日數為27.21223日（今測為27.21222日）。交點月日數的精確測得使得准確的日月食預報成為可能，祖沖之曾用大明歷推算了從元嘉十三年（公元436年）到大明三年（公元459年），23年間發生的4次月食時間，結果與實際完全符合。

得出木星每84年超辰一次的結論，即定木星公轉周期為11.858年（今測為11.862年）。

給出了更精確的五星會合周期，其中水星和木星的會合周期也接近現代的數值。

提出了用圭表測量正午太陽影長以定冬至時刻的方法。

H. 祖沖之簡介

祖沖之（ 公元429年—公元500年）是我國傑出的數學家，科學家。南北朝時期人，漢族人，字文遠。生於宋文帝元嘉六年，卒於齊昏侯永元二年。祖籍范陽郡遒縣（今河北淶水縣）。為避戰亂，祖沖之的祖父祖昌由河北遷至江南。

祖昌曾任劉宋的「大匠卿」，掌管土木工程；祖沖之的父親也在朝中做官。祖沖之從小接受家傳的科學知識。青年時進入華林學省，從事學術活動。一生先後任過南徐州（今鎮江市）從事史、公府參軍、婁縣（今崑山市東北）令、謁者僕射、長水校尉等官職。其主要貢獻在數學、天文歷法和機械三方面。

在數學方面，他寫了《綴術》一書，被收入著名的《算經十書》中，作為唐代國子監算學課本，可惜後來失傳了。在天文歷法方面，祖沖之創制了《大明歷》。

(8)祖沖之是如何學習數學的擴展閱讀

人物生平

1、家世背景

祖沖之從小就受到很好的家庭教育。爺爺給他講「斗轉星移」，父親領他讀經書典籍，家庭的熏陶，耳濡目染，加之自己的勤奮，使他對自然科學和文學、哲學，特別是天文學產生了濃厚的興趣，在青年時代就有了博學的名聲。

2、早年經歷

祖沖之曾在著作中自述說，從很小的時候起便「專功數術，搜爍古今」。他把從上古時起直至他生活的時代止的各種文獻、記錄、資料，幾乎全都搜羅來進行考察。

同時，主張決不「虛推古人」，決不把自己束縛在古人陳腐的錯誤結論之中，並且親自進行精密的測量和仔細的推算。像他自己所說的那樣，每每「親量圭尺，躬察儀漏，目盡毫釐，心窮籌策」。

由於祖沖之博學多才的名聲，被南朝宋孝武帝派至當時朝廷的學術研究機關華林學省做研究工作，後來又到總明觀任職。當時的總明觀是全國最高的科研學術機構，相當於現在的中國科學院。

3、潛心科學

461年（南朝宋大明五年），祖沖之擔任南徐州（今江蘇鎮江）刺史府里的從事，先後任南徐州從事吏、公府參軍。祖沖之在這一段期間，雖然生活很不安定，但是仍然繼續堅持學術研究，並且取得了很大的成就。

462年（南朝宋大明六年），祖沖之把精心編成的《大明歷》送給宋孝武帝請求公布實行，宋孝武帝命令懂得歷法的官員對這部歷法的優劣進行討論，最終，宋孝武帝決定在大明九年（465年）改行新歷。

4、晚年生活

祖沖之的晚年，正值南齊後期，統治階級內部矛盾尖銳，政治黑暗，社會動盪不安。在這種情況下，祖沖之的研究方向有了很大的變化。他著重研究文學和社會科學，同時也比較關心政治。

500年（南朝齊永元二年），這位卓越的大科學家去世，享年七十二歲。他的天文歷法心血之作《大明歷》在510年（梁武帝天監九年）才以《甲子元歷》之名頒行。

I. 祖沖之與圓周率的故事

祖沖之是世界上第一個把圓周率的准確數值計算到小數點以後七位數字的人。直到一千年後，這個記錄才被阿拉伯數學家阿爾·卡西和法國數學家維葉特所打破。

祖沖之提出的它研究和計算的結果，證明圓周率應該在3.1415926和3.1415927之間，也是直到一千年以後，才由德國稱之為「安托尼茲率」，還有別有用心的人說祖沖之圓周率是在明朝末年西方數學傳入中國後偽造的，這是有意的捏造。

記載祖沖之對圓周率研究情況的古籍是成書於唐代的史書《隋書》，而現傳的《隋書》有元朝大德丙午年（公元1306年）的刊本，其中就有和其他現傳版本一樣的關於祖沖之圓周率的記載，事在明朝末年前三百餘年。而且還有不少明朝之前的數學家在自己的著作中引用過祖沖之的圓周率，這些事實都證明了祖沖之在圓周率研究方越的成就。

那麼，祖沖之是如何取得這樣重大的科學成就呢？可以肯定，他的成就是建立在前人研究的基礎之上的。從當時的數學水平來看，祖沖之很可能是繼承了劉徽所創立和面卓首先使用的割圓術，並且加以發展，因此獲得了超越前人的重大成就。

在前面，我們提到割圓術時已經知道了這樣的結論：圓內接正n邊形的邊數越多，各邊長的總和就越接近圓周的實際長度。但因為它是內接的，又不可能把邊數增加到無限多，所以邊長總和永遠小於圓周。

祖沖之按照劉徽的割圓術之法，設了一個直徑為一丈的圓，在圓內切割計算。當他切割到圓的內接一百九十二邊形時，得到了「徽率」的數值。但他沒有滿足，繼續切割，作了三百八十四邊形、七百六十八邊形……一直切割到二萬四千五百七十六邊形，依次求出每個內接正多邊形的邊長。最後求得直徑為一丈的圓，它的圓周長度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之間，上面的那些長度單位我們現在已不再通用，但換句話說：如果圓的直徑為1，那麼圓周小於3.1415927、大大不到千萬分之一，它們的提出，大大方便了計算和實際應用。

要作出這樣精密的計算，是一項極為細致而艱巨的腦力勞動。我們知道，在祖沖之那個時代，算盤還未出現，人們普遍使用的計算工具叫算籌，它是一根根幾寸長的方形或扁形的小棍子，有竹、木、鐵、玉等各種材料製成。

通過對算籌的不同擺法，來表示各種數目，叫做籌演算法。如果計算數字的位數越多，所需要擺放的面積就越大。用算籌來計算不象用筆，筆算可以留在紙上，而籌算每計算完一次就得重新擺動以進行新的計算；只能用筆記下計算結果，而無法得到較為直觀的圖形與算式。

因此只要一有差錯，比如算籌被碰偏了或者計算中出現了錯誤，就只能從頭開始。要求得祖沖之圓周率的數值，就需要對九位有的小數進行15927加、減、乘、除和開方運算等十多個步驟的計算，而每個步驟都要反復進行十幾次，開方運算有50次，最後計算出的數字達到小數點後十六、七位。

今天，即使用算盤和紙筆來完成這些計算，也不是一件輕而易舉的事。讓我們想一想，在一千五百多年前的南朝時代，一位中年人在昏暗的油燈下，手中不停地算呀、記呀，還要經常地重新擺放數以萬計的算籌，這是一件多麼艱辛的事情，而且還需要日復一日地重復這種狀態，一個人要是沒有極大的毅力，是絕對完不成這項工作的。

這一光輝成就，也充分反映了我國古代數學高度發展的水平。祖沖之，不僅受到中國人民的敬仰，同時也受到世界各國科學界人士的推崇。1960年，蘇聯科學家們在研究了月球背面的照片以後，用世界上一些最有貢獻的科學家的名字，來命名那上面的山谷，其中有一座環形山被命名為「祖沖之環形山」。

祖沖之在圓周率方面的研究，有著積極的現實意義，適應了當時生產實踐的需要。他親自研究過，並用最新的圓周率成果修正古代的量器容積的計算。

古代有一種量器叫做「釜」，一般的是一尺深，外形呈圓柱狀，那這種量器的容積有多大呢？要想求出這個數值，就要用到圓周率。祖沖之利用他的研究，求出了精確的數值。

他還重新計算了漢朝劉歆所造的「律嘉量」（另一種量器，與上面提到的 都是類似於現在我們所用的「升」等量器，但它們都是圓柱體。），由於劉歆所用的計算方法和圓周率數值都不夠准確，所以他所得到的容積值與實際數值有出入。祖沖之找到他的錯誤所在，利用「祖率」校正了數值。為人們的日常生活提供了方便。

以後，人們製造量器時就採用了祖沖之的「祖率」數值。祖沖之在前人的基礎上，經過刻苦鑽研，反復演算，將圓周率推算至小數點後7位數，並得出了圓周率分數形式的近似值。

祖沖之究竟用什麼方法得出這一結果，現在無從查考；如果設想他按劉徽的「割圓術」方法去求的話，就要計算到圓內接16000多邊形，這需要花費多少時間和付出多麼巨大的勞動啊！

據《隋書·律歷志》記載，祖沖之以一忽（一丈的一億分之一）為單位，求直徑為一丈的圓的周長，求得盈數為3.1415927、肭數為3.1415926，圓周率的真值介於盈肭兩數之間。

《隋書度量衡》沒有具體說明祖沖之是用什麼方法計算出盈肭兩數的。一般認為，祖沖之採用的是劉徽的割圓術，但也有別的多種猜測。這兩個近似值准確到小數第7位，是當時世界上最先進的成就。

直到一千多年以後，15世紀阿拉伯數學家卡西和16世紀法國數學家F.韋達才得到更精確的結果。祖沖之確定了π的兩個漸近分數，約率22/7和密率355/113。

其中密率355/113（≈3.1415929）西方直到16世紀才由德國人V.奧托發現。它是三個成對奇數113355再折兩段組成，優美、規整、易記。為了紀念祖沖之的傑出貢獻，有些外國數學史家把圓周率π的密率叫做「祖率」。

祖沖之在數學領域的成就，只是中國古代數學成就的一個方面。實際上，14世紀以前中國一直是世界上數學最為發達的國家之一。比如幾何中的勾股定理，在中國早期的數學專著《周髀算經》（大約於公元前2世紀成書）中即有論述；成書於公元1世紀的另一本重要的數學專著《九章算術》，在世界數學史上最早提出負數概念及正負數加減法法則；13世紀時，中國就已經有了十次方程的解法，而直到16世紀，歐洲才提出三次方程的解法。

J. 祖沖之數學故事

沖之(429-500)的祖父名叫祖昌，在宋朝做了一個管理朝廷建築的長官。祖沖之長在這樣的家庭里，從小就讀了不少書，人家都稱贊他是個博學的青年。他特別愛好研究數學，也喜歡研究天文歷法，經常觀測太陽和星球運行的情況，並且做了詳細記錄。宋孝武帝聽到他的名氣，派他到一個專門研究學術的官署「華林學省」工作。他對做官並沒有興趣，但是在那裡，可以更加專心研究數學、天文了。我國歷代都有研究天文的官，並且根據研究天文的結果來制定歷法。到了宋朝的時候，歷法已經有很大進步，但是祖沖之認為還不夠精確。他根據他長期觀察的結果，創制出一部新的歷法，叫做「大明歷」（「大明」是宋孝武帝的年號）。這種歷法測定的每一回歸年（也就是兩年冬至點之間的時間）的天數，跟現代科學測定的相差只有五十秒；測定月亮環行一周的天數，跟現代科學測定的相差不到一秒，可見它的精確程度了。公元462年，祖沖之請求宋孝武帝頒布新歷，孝武帝召集大臣商議。那時候，有一個皇帝寵幸的大臣戴法興出來反對，認為祖沖之擅自改變古歷，是離經叛道的行為。祖沖之當場用他研究的數據回駁了戴法興。戴法興依仗皇帝寵幸他，蠻橫地說：「歷法是古人制定的，後代的人不應該改動。」祖沖之一點也不害怕。他嚴肅地說：「你如果有事實根據，就只管拿出來辯論。不要拿空話嚇唬人嘛。」宋孝武帝想幫助戴法興，找了一些懂得歷法的人跟祖沖之辯論，也一個個被祖沖之駁倒了。但是宋孝武帝還是不肯頒布新歷。直到祖沖之死了十年之後，他創制的大明歷才得到推行。盡管當時社會十分動亂不安，但是祖沖之還是孜孜不倦地研究科學。他更大的成就是在數學方面。他曾經對古代數學著作《九章算術》作了注釋，又編寫一本《綴術》。他的最傑出貢獻是求得相當精確的圓周率。經過長期的艱苦研究，他計算出圓周率在3．1415926和3．1415927之間，成為世界上最早把圓周率數值推算到七位數字以上的科學家。祖沖之在科學發明上是個多面手，他造過一種指南車，隨便車子怎樣轉彎，車上的銅人總是指著南方；他又造過「千里船」，在新亭江（在今南京市西南）上試航過，一天可以航行一百多里。他還利用水力轉動石磨，舂米碾穀子，叫做「水碓磨」。祖沖之晚年的時候，掌握宋朝禁衛軍的蕭道成滅了宋朝。