數學的本質是什麼

1. 數學本質

現代數學在方法上最明顯的特色是它的演繹性，就是由基本定義與公理出發，經邏輯推論到所有定理的發展方式。採取這種方法並非偶然，而是有內在的需求。我們要把一套概念講清楚，必須用比較簡單的概念來解釋，但是這些概念又需要再加澄清，如此繼續下去，如果不曾周而復始得到一個什麼也說不清的惡性循環，便會無限延伸下去，達到一個不可知的前端。人類尋求知識的目的在組織自己對外在的認識，而去了解事物的表像與本質，因此在沒有墜入不可知的深淵前，必定會在某些我們直覺已認為意義相當清晰的概念處停住。我們把這些概念作為理論發展的基礎，不再去解釋它們的意義，也就是說暫時拋開它們的具體內容。這些概念我們稱為基礎概念。從此以後在我們理論發展的過程中，一切的概念都要由這些基礎概念定義出，否則便不能採用。基礎概念間如果彼此毫無關聯，顯然無法用來建立起一套有意義的理論，那麼在聯系起基礎概念的敘述中，我們又必須挑出一些在認識上感覺最明白的作為出發點，這些敘述我們稱為公理。自此我們便用邏輯的方法，由基礎概念與公理演繹出所有的定理，而一切不能由這個程序推得的敘述，我們便不認為它是這套理論里正確的命題。現代數學中各門理論，基本上都是由這個演繹方法組織起的。不過比較復雜的理論，除了自己的基礎概念及公理外，常常要引用別的理論的結果。所以嚴格說起來，那些理論的基礎概念及公理也必須包括進來。但是為表達的簡明，我們通常不這樣全套寫出。譬如大部分的理論都引用集合論的概念與定理，而一切數學理論系統必須立足於邏輯系統上，否則便無法作推論了。
現在我們來看一個極簡單的演繹系統。
倘若我們想了解線段全等的一般性質，我們可用兩個基礎概念：S（所有線段的集合）， =（全等關系）。我們有兩條公理：
公理一：
對於 S 中任何元素 x 而言，x=x 。
公理二：
對於 S 中任何元素 x,y,z 而言，若x=y且y=z，則x=z。
這套小理論當然已引用了邏輯與集合論中的概念，所以嚴格說起來已相當繁雜了。現在我們來證明一小定理：
定理：
對 S 中任何元素 x,y 而言，若x=y則y=x。
證明：若令公理二中的 z 為 y，便知x=y且y=y，則y=x。但是公理一告訴我們y=y，已有的假設告訴我們x=y，故可證得y=x。
由上面的簡單證明可看出，事質上 S 是不是所有線段的集合，「=」是不是線段全等的關系並不要緊。對於任意給的集合 S 及其上的二元關系「=」，只要它們滿足公理一、二，則定理自然成立。例如我們可令 S 為所有自然數的集合，「=」指同餘於某個模數的關系。
前面說過在演繹系統中，基礎概念原來的具體內容已拋棄，所以我們可用其它的具體事物來解釋它，任何這種解釋如果又滿足所有公理，則我們說這套解釋構成原來理論的一個模型。上面的觀察告訴我們一旦定理得證，則此定理在任何模型中也成立，我們就不需要在各個具體的系統中重復同樣的證明了。
總結來說，演繹方法是組織起數學知識的最好方法。因為他可以極大程度的消去我們認識上的不清與錯誤，如果有懷疑的餘地，也都回歸到對基礎概念及公理的懷疑。而且定理函蓋了種種的具體特例，精簡與組織了我們對外在世界的認識。

2. 數學的本質是什麼抽象思維是什麼

什麼是抽象思維
抽象思維，簡單說就是建立在概念上 邏輯 推理 歸納 分析 一種思考方法。
概念是抽象思維的核心。抽象思維本身又是一種概念，可以理解為對思維方式的抽象。
關於抽象思維概念
廣義的抽象思維，泛指邏輯思維，尤其是形式邏輯思維。這里包括對思維形式(概念、判斷、推理)，思維基本規律(同一、矛盾、排中和充足理由律)和思維方法(分析、綜合、抽象、概括、比較、分類、歸納、演繹等等)的研究。
狹義的抽象思維，則是指從復雜事物中，抽取本質屬性，舍棄其他非本質屬性的思維過程。與概括相互聯系、密不可分。
以上內容處處存在概念，也就是處處存在抽象，我們每個人都能看懂，首先可以肯定我們都具備抽象思維。
來看下人類大腦隨著年齡發展的階段
0-2歲:感知運動
2-4歲:感知符號，形成具象思維
4-7歲:形成概念，開始由具象思維到抽象思維轉變
所以孩童時代所接受的教育，其實大多幫助我們完成這個過程，訓練我們的思維能力，我們能接受到這些教育，是因為我們有文字，語言，而文字，本身又是一種抽象。
人們為了描述這個世界，發明了語言。
你為了抽象出一個事物，也必須用特定語言去描述它。
文字的出現，使信息交流與傳播可不受時空限制，也有可能開成人類群體共同的知識庫。為人類抽象思維提供了物質基礎。
所以，有了文字才有抽象思維可能。人類擁有文字，具有抽象思維能力。抽象思維能力是人類與動物的根本區別。
抽象思維為我們帶來了什麼
來看現代社會的科技成果
笛卡爾的解析幾何，牛頓三大定理，幾何，分析，微積分，代數，電磁學，相對論，量子力學，天體物理，黑洞，宇宙大爆炸，DNA，生物進化等等。細胞，分子，原子，電子，質子，中子；成功登月，飛出太陽系，探索火星。發明了蒸汽機，汽車，飛機，火車，電燈，電話，電視，電冰箱,手機，半導體，晶體管，電子管，LCD，人造衛星，太空梭，計算機，處理器，軟體，互聯網；還發明了槍炮，炸葯，導彈，原子彈，氫彈。冰箱,空調,洗衣機,電視,電話,電腦,手機,塑料製品,供電,燃具，化學工業,冶金工業,做房子的鋼筋水泥,建築工業,機械製造,交通運輸,汽車,火車,飛機,通信業
令人驚訝的是,這些科技成果,都是在西方文藝復興,啟蒙運動之後發明的,基本上是近300年內發明的. 之前，是封建禁錮的社會。
思想解放之後，人類從具備抽象思維到擅長抽象思維，這是一個本質變化，才使得我們現代美好的生活成為可能。
舉個例子
22*28=616;
27*23=621;
33*37=1221;
……
請問：73*77=?
這是一種找規律的題目，答案能立刻回答:5621。
規律是十位數相同，個位數為相加為10的兩個數的乘積的快速演算法。
到了初中，引入了X 對數字進行抽象
(10x+a)*(10x+b)=100*x*x + 10x(a+b) + ab =100x(x+1)+ab 如果a+b=10的話。
所以，22*28=100*2*（2+1）+2*8 = 616
很多復雜的規律，因為一個x的代入和抽象，變的簡單。數學使上述成果變為可能。
同理，哲學，自然科學，社會科學等等都是抽象思維的結晶。
世界上的物質紛繁復雜，眼花繚亂。人最大的特點是容易被眼睛看到的物像所吸引，如果每個人都止步不前，不去深入思考內部深層次的原理，社會不會進步。
從地球是方的到地球是圓的，從托勒密的地心說再到哥白尼的日心說，從牛頓的萬有引力再到愛因斯坦的相對論。
由此可見，人類文明的進步，靠的是一群擅長抽象思維的群體。

3. ★數學的本質是什麼數學追求的終極目標是什麼★

數學是人類建立的一種數理的邏輯關系，也是幫助人類客觀的認識世界，改變生活方式及生活環境的一種重要的基本工具。它要配合物理，化學，生物，等多種重要的學科才能發展生產力豐富人類的物過程與方法
從物質以及精神方向看，數學追求的方法過程，以及宇宙本源。
相信一句話，數學關鍵時刻能救命
個人觀點僅貢參考

4. 大家對數學有什麼看法它的本質是什麼

數學是每個學生進入學堂時必選學習的課程，而且從小學到大學畢業都有可能要與數學這門課一起度過，可想而知學習數學對於我們來說很重要。有人認為學好數學就是解決一些數字問題的，有人則認為數學是幾何學和代數學的統一稱呼，那麼大家對數學有什麼看法？它的本質是什麼？其實大家對數學的看法很直白，就是在商城買東西的時候不會被別人騙取財務即可，但數學真正的本質是把“多變”化為“不變”，這就是數學的本質。

學了這么多年的數學，相信大家都知道數學的真正本質，其實數學的本質就是把“多變”通過一些步驟化為“不變”，就是在解題的過程中，把那些幾個變數、無知變數化為一個不變的常量，這樣就解決了該問題，同時也是數學本質所在。

5. 數學的本質是什麼

網上資料：
1．「數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學」
眾所周知，關於數學的這個定義是恩格斯提出來的。事實上，恩格斯的這個定義，很多年以來，就是國內和國際數學界與哲學界公認的最權威的定義，最新版(2005年版)的《現代漢語詞典》仍然是這樣來定義數學的——「研究現實世界的空間形式和數量關系的學科」。20世紀以來，新的數學分支不斷產生，純數學越來越抽象，它與現實世界之間的距離似乎越來越遠；同時，應用數學在現實世界中的涉及面空前廣泛且越來越廣泛，數學的研究對象似乎不僅僅是空間形式與數量關系；而且，有不少研究者從自己的認識出發，提出了關於數學的多種定義。於是乎，近些年有人就認為恩格斯給數學所下的定義過時了或「遠遠不夠了」。這樣的認識是片面的，因為事實並非如此。匡繼昌先生深刻分析了「數學是什麼」，認為「數學的定義應該反映數學研究的對象及其本質屬性」，「只有從唯物辯證法的哲學高度，才能認清現實世界的數量關系和空間形式不是固定不變的，而是其內涵不斷加深，外延不斷拓廣的」，所以，「恩格斯關於『數學是什麼』的論斷並未過時」。
2．數學是系統化了的常識
這是國際著名數學家和數學教育家弗賴登塔爾的觀點。他認為數學的根源是普通常識，作為常識的數學，隨著語言從說話到閱讀和寫作的不斷進步與發展，也不斷地進步與發展著。如數概念的獲得，主要是由口頭語言中相應的數詞來支持的(如從一個人、一支筆、……，得到「1」)，在這個過程中，首先是數學思想的語言表達。
普通常識是有等級的，普通常識由經驗上升成規律後，這些規律再次成為普通常識，即較高層次的常識。弗賴登塔爾曾經說過：「為了真正的數學及其進步，普通的常識必須要系統化和組織化。如同以前一樣，普通常識的經驗被結合成為規律(比如加法的交換律)，並且這些規律再次成為普通的常識，即較高層次的常識。作為更高層次數學的基礎——一個巨大的等級體系，是由於非凡的相互影響的力量來建立的。」
3．數學是人為規定的一套語言、符號系統
這是部分數學史家們的看法。持這種觀點的人雖然不多，但很有代表性，它給了我們認識「數學是什麼」的一個新角度。翻開一部數學史，除了早期的數學與生活有著非常高的關聯度，還需藉助現實的生活事實去解釋外，後來的數學就越來越關注自己的「語言、符號」了。這種現象最早可追溯到歐幾里得的《幾何原本》，到了現代，數學的這種特性表現得更加充分。
當然，數學作為人為規定的一套語言、符號系統，必須要有一定的條件。通俗點講，就是這套語言、符號系統必須能自圓其說，高雅點講，這套系統必須是完備的。舉例來說，如果你規定1+1=3，在此基礎上去構造一套語言、符號系統，並且能自圓其說，也許一個新的數學分支就誕生了。數學史上不乏這樣的先例。如伽羅瓦的群論，康托爾的集合論等等，當初他們出現在數學家們的眼前時，並不為大家所認可。但事實證明，這些是數學，而且是非常重要的數學。由於康托爾的集合論在自圓其說方面有一點小小的問題，從而導致了歷史上的一次嚴重的數學危機。隨著這一危機的解決，集合論變得更加完備，數學的基礎變得更加穩固。集合論的創立是數學史上的一個巨大成就，以至於今天的小學數學教學中，都必須滲透集合論的思想，從而提高學生的數學認知能力。
4．數學是確定無疑的絕對真理
這是一些數學家和數學哲學家們的觀點。對於他們而言，任何知識都可能出錯，唯獨只有數學是不會出錯的，是可*知識的唯一代表。在他們看來，演繹法為數學知識是絕對真理提供了保證。首先，數學證明中的基本陳述視其為真，數學公理假定為真，數學定義令其為真，邏輯公理認其為真。其次，邏輯推理規則保持真理性即只承認由真理推導出來真理。以上述兩個事實為基礎，可知演繹證明中的每個陳述包括它的結論都為真。於是，「由於數學定理都是由演繹證明所確定，因此它們都是可*真理。這就形成了許多哲學家所斷言的數學真理就是可*真理的基礎」。(歐內斯特語)
在這種觀點之下，如果數學出現了矛盾或問題，那不是數學本身的錯，而是人們的認識還未到達相應的境界，數學家和哲學家們會想辦法去解決這些矛盾和問題，解決矛盾和問題的過程本身又促進了數學的發展。如π的出現，對於古希臘的數學家們來說，猶如晴天劈靂，難以接受，故而將其稱為「無理數」。然而，正是為了使「無理」變得「有理」，數概念的范圍從有理數擴展到了實數，促進了數學的發展。後來為了解決函數論和集合論中的一些矛盾，數學哲學也得到了較大發展，形成了邏輯主義、形式主義和構造主義(包括直覺主義)三大學派。
5．數學是可誤的且可糾正的
這是部分數學哲學家們的觀點，他們反對數學是絕對真理的主要理由是絕對觀可歸結為「假設——演繹」方法，數學真理和證明依據演繹和邏輯，但邏輯本身缺乏可*基礎，它還要依據不可簡約的假設。「但任何沒有堅實基礎的假設，不管它是從直覺、約定、意義或以其他任何方式所導出的，都是可誤的。」(林夏水語)因此，他們認為數學是可糾正的且永遠要接受更正。

6. 數學本質是什麼終極目標

數學本質是尋找事物的本質——一種能夠讓世界展現在眼前的規律。這只是我的理解……
滿意請採納

7. 數學的本質是什麼，數學內容的精神

數學是人類大腦生理活動生成的信息演繹推理過程。數學作為對客觀事物的一種抽象認識過程，而過程並不是物質，能量的本身，只是在大腦的信息活動中，從感性認識生成的認知概念。也可以說，數學知識是人類通過實踐而獲得的信息，表現為一種經驗知識的積累，從而找出事物之間的及事物本身的內在活動規律。

參考資料：
生命真相 劉量衡著 湖南科技出版社 2012

8. 小學數學的本質是什麼

小學數學學科的本質是什麼？

——摘自《小學數學課堂的有效教學》

在共同的教學實踐診斷、交流、研討中，一線小學數學教師也真正意識到自身最欠缺的正是對數學書課本質的把握。那麼，數學學科本質是什麼呢？落實到小學階段有哪些呢？這是一個非常具有挑戰性的問題，要解決好這個問題不僅需要研究者能從高角度上對數學有所把握，還需要研究者對小學數學的教學內容、教學定位以及學生的認知水平、心理特徵等都有所了解。對這一問題我們有一個初步的思考（主要限於小學階段），還很不成熟，提出來與同行共同商榷。

數學學科本質1：對基本數學概念的理解

小學階段所涉及的數學概念都是非常基本、非常重要的，「越是簡單的往往越是本質的」，因此對小學階段的基本數學概念內涵的理解是如何學習數學、掌握數學思想方法、形成恰當的數學觀、真正使「情感、態度、價值觀」目標得以實施的載體。基本概念教學非常重要，學生經歷不同的「學習過程」將導致學生對概念教學非常重要，學生經歷不同的「學習過程」將導致學生對概念的理解達到不同水平，對此請見《小學教學（數學版）》2007年第2期上《讓學生獲得什麼樣的基礎知識》一問。

所謂「對基本數學概念的理解」是指了解為什麼要學習這一概念，這一概念的現實原型是什麼，這一概念特有的數學內涵、數學符號是什麼以這一概念為核心是否能構建一「概念網路圖」。

小學數學的基本數學概念主要有：十進位值制、單位（份）、用字母表示數、四則運算；位置、變換、平面圖形；統計觀念。

數學學科本質2：對數學思想方法的把握

基本數學概念背後往往蘊涵重要的數學思想方法。數學的思想方法極為豐富，小學階段主要設計哪些數學的思想方法呢？這些思想方法如何在教學中落實呢？我們的基本觀點是：在學習數學概念和解決問題中落實。

小學階段的重要思想方法有：分類思想、轉化思想（叫「化歸思想」可能更合適）、數形結合思想、一一對應思想、函數思想、方程思想、集合思想、符號化思想、類比法、不完全歸納法等。

數學學科本質。

3：對數學特有思維方式的感悟

每一學科都有其獨特的思維方式和認識世界的角度，數學也不例外，尤其數學又享有「鍛煉思維的體操、啟迪智慧的鑰匙」的美譽。

小學階段的主要思維方式有：比較、類比、抽象、概括、猜想、驗證，其中「概括」是數學思維方式的核心。

數學學科本質4：對數學美的鑒賞

能否領悟和欣賞數學是一個人數學素養的基本成分，能夠領悟和欣賞數學美也是進行數學研究和數學學習的重要動力和方法。能夠把握數學美的本質有助於培養學生對待數學以及數學學習的態度，進而影響數學學習的進程和學習成績。

數學的基本原則：求真、求簡、求美。

數學美的核心是：簡潔、對稱、奇異，其中「對稱」是數學美的核心。

數學學科本質。

5：對數學精神（理性精神與探究精神）的追求

可以說，數學的理性精神（對「公理化思想」的信奉）與數學的探究精神（好奇心為基礎，對理性的不懈追求）是支持著數學家研究數學進而研究世界的動力，也是學生學習數學研究世界的最原始、最永恆、最有效的動力。例如，自從古希臘時期，人們對歐式幾何的鍾愛，使得古希臘人只關注數學的嚴禁結構及其理性之美，而不關注現實的應用。正是在這種理性精神的支撐下，古希臘人能夠探究人眼所不能看見的世界，研究遙遠的太空；也是在這一精神的支撐下，在文藝復興時期提出了「驚世駭俗」的轉變；從「地心說」轉變為「日心說」；還是在這一精神的支撐下，在19世紀上半葉提出了「非歐幾何」；羅巴切夫斯基幾何（簡稱「羅氏幾何」）以及後續的黎曼幾何（簡稱「黎式幾何」）。

9. 數學的本質及其意義

數學其實是給你的思維打開方向，讓你有很敏捷的思考，可以學習更多層面的知識，數學好像基本一樣，也可以說成根基。

10. 舉例說明如何把握數學本質

如何把握數學本質進行教學? 課堂教學是教師開展教學活動的主陣地，是學生獲取知識的主渠道，提高課堂教學效率是每個教師孜孜不倦、不懈追求的目的。 今天，朴新小編給大家帶來數學教學方法。

小學數學課堂教學一

一、概念的教學要基於學生已有的認知基礎

皮亞傑的建構主義理論認為，學生要在已有的知識經驗基礎上建構新知識。而數學概念的抽象性更要求基於學生已有的認知基礎上進行教學，關注學生的學習過程，所以教師要善於引導學生從原有經驗、原有的認識中逐步抽象概括出數學的形式化定義。如教學「倍的認識」一課，揭示「倍」概念的方式很多，但新知識與學生認知的最近發展區越接近，學生就會越容易理解。因此，這節課教師可以採用同化的方式引導學生獲取「倍」的概念，即利用學生已有認知結構中對「幾個幾」的理解來同化「幾的幾倍」。教師應鼓勵學生用自己的眼睛去觀察，用自己的語言去表達，用自己的思考去解讀「倍」的相關量的共性，使他們真正領悟每份數、份數與「幾的幾倍」的關系，這樣學生對「倍」的概念會建立得更好，理解會更深刻。

另外，教師在引導學生理解和掌握數學概念的過程中，還可以藉助豐富的數學史資料，展示概念的形成過程，讓學生體驗數學家們對數學知識、數學原理不畏艱難的探索過程。例如，自然數概念形成的漫長過程、不同民族對自然數和表示方法的創造、祖沖之對圓周率的探索過程等。

如何把握數學本質進行教學

二、在數學活動中引導學生深刻理解概念的本質

所謂對數學概念的理解是指了解為什麼要學習這一概念，這一概念的現實原型是什麼，這一概念特有的數學內涵、數學符號是什麼，這些需要教師循序漸進地引導學生理解。如對一年級學生教學自然數的概念時要通過「數數」活動，而有些教師認為學生在幼兒園已有「數數」的經驗了，忽視對「數數」的教學。其實，學前兒童的「數數」還大多停留在念歌謠的層面上，對數缺乏深刻的認識。沒有「數」的過程，學生對數的理解是不深刻的。因此，教師要先設計「數數」這一數學活動，充分挖掘「數數」的教育價值，讓學生多形式地數數。如通過一個一個地數，讓學生知道某個集合的數量;通過2個2個或5個5個地數，豐富學生對數的認識;通過數列的變化規律，讓學生進一步認識數的特徵，發現自然數列的內在規律。

數學學科最基本的概念具有本質性、概括性，是學生學習數學知識的導航器，而循序漸進的引導是開啟學生思維活動的金鑰匙。如吳正憲老師執教「10的認識」一課的教學片斷。

小學數學課堂教學二

(1)突出現實背景，為自主建構運算定律提供支點。

學生對計算方法的選定，更多的是依賴於生活實踐中積累的真實想法與最自然化的理解。如：「天氣變冷了，李阿姨到批發市場去批發衣服。看中一件上衣56元，一條褲子44元，如果她想批8套這樣的衣服，一共要多少元?你可以用哪些方法解答?」面對這樣的問題，學生出現56×8+44×8和(56+44)×8兩種解決方法，然後教師組織學生對這兩種方法進行分析比較。學生除了得出兩種演算法有相同的結果外，更重要的是還驚喜地發現當上衣、褲子的單價正好可以湊成整十、整百時，把它們先合起來再乘會更簡便，從而得到了一種優化的解題方案。因此，教學中，教師需要創設一些情境來幫助學生真正從模仿走向理解。

(2)注重意義感悟，為自主建構運算定律打下基礎。 如上述案例中，在學生得出56×8+44×8=(56+44)×8後，教師可趁熱打鐵地追問學生：「如果不計算，你能用以前學過的知識來解釋這兩種解法為什麼相等嗎?」接著以數形結合的思想，引導學生根據乘法意義來理解兩種解法相等的算理。如：「學校擴建草坪(如右圖)，求擴建後的草坪面積。」在數形圖的幫助下，學生明白8個56加8個44等於8個100(即56+44)的道理。在後繼的練習中，教師有必要反復多樣地呈現這樣的情境，然後引導學生看著算式去思考，不斷思考算式的本意。