什麼是數學歸納法

① 什麼是歸納法

歸納法一般指歸納推理，是一種由個別到一般的推理。由一定程度的關於個別事物的觀點過渡到范圍較大的觀點，由特殊具體的事例推導出一般原理、原則的解釋方法。

1、歸納推理的思維進程是從個別到一般，而演繹推理的思維進程不是從個別到一般，是一個必然地得出的思維進程。

2、歸納推理除了完全歸納推理前提與結論間的聯系是必然的外，前提和結論間的聯系都是或然的，也就是說，前提真實，推理形式也正確，但不能必然推出真實的結論。

(1)什麼是數學歸納法擴展閱讀：

1、歸納可分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法是前提包含該類對象的全體，從而對該類對象作出一般性結論的方法。

2、歸納和演繹反映了人們認識事物兩條方向相反的思維途徑，前者是從個別到一般的思維運動，後者是從一般到個別的思維運動。

3、歸納推理是從認識研究個別事物到總結、概括一般性規律的推斷過程。在進行歸納和概括的時候，解釋者不單純運用歸納推理，同時也運用演繹法。

4、科學歸納推理由於其主要特點是考察對象與屬性之間的因果聯系，因而有助於引導人們去探求事物的本質，發現事物的規律，從而比較可靠地把感性認識提升到理性認識。

② 什麼是數學歸納法

數學歸納法是一種數學證明方法，典型地用於確定一個表達式在所有自然數范圍內是成立的或者用於確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。有一種用於數理邏輯和計算機科學廣義的形式的觀點指出能被求出值的表達式是等價表達式；這就是著名的結構歸納法。

已知最早的使用數學歸納法的證明出現於 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri o (1575年)。Maurolico 證明了前 n 個奇數的總和是 n^2。

最簡單和常見的數學歸納法證明方法是證明當n屬於所有自然數時一個表達式成，這種方法是由下面兩步組成:

遞推的基礎: 證明當n = 1時表達式成立。

遞推的依據: 證明如果當n = m時成立，那麼當n = m + 1時同樣成立。(遞推的依據中的「如果」被定義為歸納假設。 不要把整個第二步稱為歸納假設。)

這個方法的原理在於第一步證明起始值在表達式中是成立的，然後證明一個值到下一個值的證明過程是有效的。如果這兩步都被證明了，那麼任何一個值的證明都可以被包含在重復不斷進行的過程中。或許想成多米諾效應更容易理解一些；如果你有一排很長的直立著的多米諾骨牌那麼如果你可以確定：

第一張骨牌將要倒下。

只要某一個骨牌倒了,與他相臨的下一個骨牌也要倒。

那麼你就可以推斷所有的的骨牌都將要倒。

數學歸納法的原理作為自然數公理，通常是被規定了的(參見皮亞諾公理第五條)。但是它可以用一些邏輯方法證明；比如，如果下面的公理：

自然數集是有序的

被使用。

注意到有些其他的公理確實的是數學歸納法原理中的二者擇一的公式化。更確切地說，兩個都是等價的。

用數學歸納法進行證明的步驟：
（1）（歸納奠基）證明當 取第一個值 時命題成立；證明了第一步，就獲得了遞推的基礎，但僅靠這一步還不能說明結論的普遍性.在第一步中，考察結論成立的最小正整數就足夠了，沒有必要再考察幾個正整數，即使命題對這幾個正整數都成立，也不能保證命題對其他正整數也成立；

（2）（歸納遞推）假設 時命題成立，證明當 時命題也成立；證明了第二步，就獲得了遞推的依據，但沒有第一步就失去了遞推的基礎.只有把第一步和第二步結合在一起，才能獲得普遍性的結論；

（3）下結論：命題對從 開始的所有正整數 都成立。

註：
（1）用數學歸納法進行證明時，「歸納奠基」和「歸納遞推」兩個步驟缺一不可；

（2）在第二步中，在遞推之前， 時結論是否成立是不確定的，因此用假設二字，這一步的實質是證明命題對 的正確性可以傳遞到 時的情況.有了這一步，聯系第一步的結論（命題對 成立），就可以知道命題對 也成立，進而再由第二步可知 即 也成立，…，這樣遞推下去就可以知道對於所有不小於 的正整數都成立.在這一步中， 時命題成立，可以作為條件加以運用，而 時的情況則有待利用歸納假設、已知的定義、公式、定理加以證明，不能直接將 代入命題.

例子：
比如證明：1+2+3+4+……+n=n*(n+1)/2
先證明n=1時成立，n=1時，左式=1，右式=1*(1+1)/2=1,左右相等，證明，當n=1時，等式成立。
假設n=n時，等式成立，只要再證明n=n+1時，等式成立，則說明n=任何自然數時，等式都成立。（因為n=1成立，那麼如果n=1+1也成立，就說明n=2時也成立，如果n=2成立 ，那麼如果n=2+1也成立，就說明n=3時也成立，如果n=n時成立，那麼如果n=n+1時成立，那麼說明n+1時，等式也成立。）
當n=n時，1+2+3+…+n=n*(n+1)/2,(假設的)
當n=n+1時，左式=1+2+3+…+n+（n+1）=n*(n+1)/2+（n+1），
經過分解因式、合並同類項，得到（n+1）* （n+1+1）/2，是不是等於（n+1）*[（n+1）+1]這個公式呢？
於是推出，當n=n+1時，等式成立。
所以等式在任何自然數下都成立。
還不明白？因為n=1成立，n=2=1+1也能證明成立，……，n=n+1成立，所以么……

③ 數學歸納法是什麼

數學歸納法：

一般地，證明一個與自然數n有關的命題P(n)，有如下步驟：

（1）證明當n取第一個值n0時命題成立。n0對於一般數列取值為0或1，但也有特殊情況；

（2）假設當n=k（k≥n0，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題P(n)都成立。


你們目前學的就是這種第一歸納法

意思是
先驗證
第一個數值成立

然後假設第k項成立
驗證
k+1項成立

這樣的話說明
前一項成立
後一項就成立

所以任意一項要成立只需要
前一項成立。
一直向前推就是第一項要成立
因為已經驗證了第一項成立

所以任意一項都成立！

這就是數學歸納法的用意！

如有疑問請通知我！

④ 什麼是數學歸納法

數學歸納法（Mathematical
Inction,
MI）是一種數學證明方法，通常被用於證明某個給定命題在整個（或者局部）自然數范圍內成立。除了自然數以外，廣義上的數學歸納法也可以用於證明一般良基結構，例如：集合論中的樹。這種廣義的數學歸納法應用於數學邏輯和計算機科學領域，稱作結構歸納法。
在數論中，數學歸納法是以一種不同的方式來證明任意一個給定的情形都是正確的（第一個,第二個，第三個，一直下去概不例外）的數學定理。
雖然數學歸納法名字中有「歸納」，但是數學歸納法並非不嚴謹的歸納推理法，它屬於完全嚴謹的演繹推理法。事實上，所有數學證明都是演繹法。

⑤ 什麼是歸納法，舉例說明

歸納推理是一種由個別到一般的推理。由一定程度的關於個別事物的觀點過渡到范圍較大的觀點，由特殊具體的事例推導出一般原理、原則的解釋方法。

例如：「已知歐洲有礦藏，亞洲有礦藏，非洲有礦藏，北美洲有礦藏，南美洲有礦藏，大洋洲有礦藏，南極洲有礦藏，而歐洲，亞洲，非洲，北美洲，南美洲，大洋洲，南極洲是地球上的全部大洲，所以，地球上所有大洲都有礦藏。「其邏輯形式如下：

S1是P

S2是P

……

Sn是P

S1，S2，…，Sn是S類的全部對象

所以，所有S都是P。

(5)什麼是數學歸納法擴展閱讀

完全歸納推理的特點是：在前提中考察了一類事物的全部對象，結論沒有超出前提所斷定的知識范圍，因此，其前提和結論之間的聯系是必然的。

運用完全歸納推理要獲得正確的結論，必須滿足兩條要求：

1、在前提中考察了一類事物的全部對象。

2、前提中對該類事物每一對象所作的斷定都是真的。

⑥ 什麼叫數學歸納法

概述 數學上證明與自然數N有關的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與正整數有關的數學問題，在高中數學中常用來證明等式成立和數列通項公式成立。 編輯本段 基本步驟 （一）第一數學歸納法： 一般地，證明一個與自然數n有關的命題P(n），有如下步驟： （1）證明當n取第一個值n0時命題成立。n0對於一般數列取值為0或1，但也有特殊情況； （2）假設當n=k（k≥n0，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。 綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題P(n）都成立。 （二）第二數學歸納法： 對於某個與自然數有關的命題P(n）， （1）驗證n=n0時P(n）成立； （2）假設n0≤n<=k時P(n）成立，並在此基礎上，推出P(k+1）成立。 綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題P(n）都成立。 （三）倒推歸納法（反向歸納法）： （1）驗證對於無窮多個自然數n命題P(n）成立（無窮多個自然數可以是一個無窮數列中的數，如對於算術幾何不等式的證明，可以是2^k，k≥1）； （2）假設P(k+1）（k≥n0）成立，並在此基礎上，推出P(k）成立， 綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題P(n）都成立； （四）螺旋式歸納法 對兩個與自然數有關的命題P(n），Q(n）， （1）驗證n=n0時P(n）成立； （2）假設P(k）（k>n0）成立，能推出Q(k）成立，假設 Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立； 綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。 編輯本段 應用 （1）確定一個表達式在所有自然數范圍內是成立的或者用於確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。 （2）數理邏輯和計算機科學廣義的形式的觀點指出能被求出值的表達式是等價表達式。 （3）證明數列前n項和與通項公式的成立。 （4）證明和自然數有關的不等式。 編輯本段 變體及應用 在應用，數學歸納法常常需要採取一些變化來適應實際的需求。下面介紹一些常見的數學歸納法變體。 從0以外的數字開始 如果我們想證明的命題並不是針對全部自然數，而只是針對所有大於等於某個數字b的自然數，那麼證明的步驟需要做如下修改： 第一步，證明當n=b時命題成立。第二步，證明如果n=m(m≥b）成立，那麼可以推導出n=m+1也成立。 用這個方法可以證明諸如「當n≥3時，n2>2n」這一類命題。 針對偶數或奇數 如果我們想證明的命題並不是針對全部自然數，而只是針對所有奇數或偶數，那麼證明的步驟需要做如下修改： 奇數方面： 第一步，證明當n=1時命題成立。第二步，證明如果n=m成立，那麼可以推導出n=m+2也成立。 偶數方面： 第一步，證明當n=0或2時命題成立。第二步，證明如果n=m成立，那麼可以推導出n=m+2也成立。 遞降歸納法 數學歸納法並不是只能應用於形如「對任意的n」這樣的命題。對於形如「對任意的n=0,1,2,...,m」這樣的命題，如果對一般的n比較復雜，而n=m比較容易驗證，並且我們可以實現從k到k-1的遞推，k=1,...,m的話，我們就能應用歸納法得到對於任意的n=0,1,2,...,m，原命題均成立。如果命題P(n）在n=1,2,3,......,t時成立，並且對於任意自然數k，由P(k),P(k+1）,P(k+2）,......,P(k+t-1）成立，其中t是一個常量，那麼P(n）對於一切自然數都成立. 其它形式 如跳躍數學歸納法的定義 通常，跳躍數學歸納法的第二步總是由k推出,跨度為n 。但是並不是對於所有的問題都能解決. 編輯本段 合理性 數學歸納法的原理，通常被規定作為自然數公理（參見皮亞諾公理）。但是在另一些公理的基礎上，它可以用一些邏輯方法證明。比如，由下面的公理可以推出數學歸納法原理： 自然數集是良序的。 注意到有些其它的公理確實是數學歸納法原理的可選的公理化形式。更確切地說，兩者是等價的。 編輯本段 歷史 已知最早的使用數學歸納法的證明出現於Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri o（1575年）。Maurolico利用遞推關系巧妙的證明出證明了前n個奇數的總和是n^2，由此揭開了數學歸納法之謎。 最簡單和常見的數學歸納法證明方法是證明當n屬於所有正整數時一個表達式成立，這種方法是由下面兩步組成： 遞推的基礎：證明當n=1時表達式成立。 遞推的依據：證明如果當n=m時成立，那麼當n=m+1時同樣成立。 這種方法的原理在於第一步證明起始值在表達式中是成立的，然後證明一個值到下一個值的證明過程是有效的。如果這兩步都被證明了，那麼任何一個值的證明都可以被包含在重復不斷進行的過程中。 或許想成多米諾效應更容易理解一些，如果你有一排很長的直立著的多米諾骨牌那麼如果你可以確定： 第一張骨牌將要倒下，只要某一個骨牌倒了，與之相鄰的下一個骨牌也要倒，那麼你就可以推斷所有的的骨牌都將要倒。 這樣就確定出一種遞推關系，只要滿足兩個條件就會導致所有骨牌全都倒下： （1）第一塊骨牌倒下； （2）任意兩塊相鄰骨牌，只要前一塊倒下，後一塊必定倒下。 這樣，無論有多少骨牌，只要保證（1）（2）成立，就會全都倒下。 解題要點： 數學歸納法對解題的形式要求嚴格，數學歸納法解題過程中， 第一步為：驗證n取第一個自然數時成立 第二步：假設n=k時成立，然後以驗證的條件和假設的條件作為論證的依據進行推導，在接下來的推導過程中不能直接將n=k+1代入假設的原式中去。 最後一步總結表述

⑦ 什麼是數學歸納法,能舉例嗎

一樓完全將歸納法的思想方法搞錯了。

數學歸納法(Mathematical Inction)是：
先驗證，後假設，再歸納。

具體的方法就是
1、根據已知的表達式進行驗證，通常是驗證第一項；
2、假設到第n項也成立；
3、推廣到第(n+1)項。

舉例如下：
試用歸納法證明：
1²+2²+3²+4²+.......+n²=n(n+1)(2n+1)/6
證明：
當n=1時，1²=1
1×(1+1)(2+1)/6=1
∴n=1時，1²+2²+3²+4²+.......+n²=n(n+1)(2n+1)/6 成立

假設n=k時，1²+2²+3²+4²+.......+k²=k(k+1)(2k+1)/6 也成立

1²+2²+3²+4²+.......+k²+(k+1)²
=k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)²
=[(k+1)/6]×[k(2k+1)+6(k+1)]
=[(k+1)/6]×(2k²+7k+6)
=[(k+1)/6]×(k+2)(2k+3)
=[(k+1)/6]×[(k+1)+1]×[2(k+1)+1]
=(k+1)×[(k+1)+1]×[2(k+1)+1]/6
證明完畢！

說明：
第二步的假設是，級數的最後一項是k²,等式後面對應的是k;
第三步的級數最後一項是(k+1)²,等式右邊對應的是(k+1).
這說明，k=1成立，k+1變成了2，2也成立
k=2成立，2+1變成了3，3也成立。。。。。都成立。

記住：歸納法的公式是用其他方法得出的，不是如樓上講的找出規律！
歸納法是先有了結論，這個結論甚至可能是猜出來的，都沒有關系。

平時的數學是演繹法(dece)，是可以遞推的。歸納法正好相反，不可以遞推，
所以稱為歸納，歸納到一個表達式中，歸納到一個方法中。

³

⑧ 什麼是歸納法

歸納法一般指歸納推理，歸納推理是一種由個別到一般的推理。由一定程度的關於個別事物的觀點過渡到范圍較大的觀點，由特殊具體的事例推導出一般原理、原則的解釋方法。

自然界和社會中的一般，都存在於個別、特殊之中，並通過個別而存在。一般都存在於具體的對象和現象之中，因此，只有通過認識個別，才能認識一般。

(8)什麼是數學歸納法擴展閱讀

現代歸納邏輯則主要研究概率推理和統計推理。歸納推理的前提是其結論的必要條件。

其次，歸納推理的前提是真實的，但結論卻未必真實，而可能為假。如根據某天有一隻兔子撞到樹上死了，推出每天都會有兔子撞到樹上死掉，

這一結論很可能為假，除非一些很特殊的情況發生，比如地理環境中發生了什麼異常使得兔子必以撞樹為快。

我們可以用歸納強度來說明歸納推理中前提對結論的支持度。支持度小於50%的，則稱該推理是歸納弱的；

支持度小於100%但大於50%的，稱該推理是歸納強的；歸納推理中只有完全歸納推理前提對結論的支持度達到100%，支持度達到100%的是必然性支持。

⑨ 什麼是數學歸納法

數學歸納法
數學歸納法是一種數學證明方法，典型地用於確定一個表達式在所有自然數范圍內是成立的或者用於確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。有一種用於數理邏輯和計算機科學廣義的形式的觀點指出能被求出值的表達式是等價表達式；這就是著名的結構歸納法。

已知最早的使用數學歸納法的證明出現於 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri o (1575年)。Maurolico 證明了前 n 個奇數的總和是 n^2。

最簡單和常見的數學歸納法證明方法是證明當n屬於所有自然數時一個表達式成，這種方法是由下面兩步組成:

遞推的基礎: 證明當n = 1時表達式成立。

遞推的依據: 證明如果當n = m時成立，那麼當n = m + 1時同樣成立。(遞推的依據中的「如果」被定義為歸納假設。 不要把整個第二步稱為歸納假設。)

這個方法的原理在於第一步證明起始值在表達式中是成立的，然後證明一個值到下一個值的證明過程是有效的。如果這兩步都被證明了，那麼任何一個值的證明都可以被包含在重復不斷進行的過程中。或許想成多米諾效應更容易理解一些；如果你有一排很長的直立著的多米諾骨牌那麼如果你可以確定：

第一張骨牌將要倒下。

只要某一個骨牌倒了,與他相臨的下一個骨牌也要倒。

那麼你就可以推斷所有的的骨牌都將要倒。

數學歸納法的原理作為自然數公理，通常是被規定了的(參見皮亞諾公理第五條)。但是它可以用一些邏輯方法證明；比如，如果下面的公理：

自然數集是有序的

被使用。

注意到有些其他的公理確實的是數學歸納法原理中的二者擇一的公式化。更確切地說，兩個都是等價的。

⑩ 數學歸納法的原理是什麼，怎麼理解啊

數學歸納法的過程分為兩部分：
（1）先證明n=1時命題成立，在實際操作中，把n=1代進去就行了，就像要你證明「當n+1時1+n=2成立」
（2）假設n=k時命題成立，證明n=k+1時命題成立

你可以這樣理解：第一部分證明n=1成立。絕大部分命題，n取任意非零自然數都成立，既然這樣，先證最基本的n=1吧。

第二部分，既然當n=k成立時，n=k+1成立，那麼，n=1已經證明成立了，n=1+1，也就是n=2時也會成立。n=2成立，按照慣例n=2+1，也就是n=3成立。按照慣例，n=3+1，n=4+1……都會成立，所以所有的自然數都能使命題成立。

你可以把第一部分當作一個堅實的基礎，既然n取任意自然數成立（大部分命題是如此），那麼n=1成立是理所當然的。第二部分是一個骨牌的過程，1證明2，2證明3，3證明4……證明所有非0自然數。