數學中實數是什麼意思

A. 什麼稱為實數

基本概念
實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類，或正數，負數和零三類。實數集合通常用字母 R 或 R^n 表示。而 R^n 表示 n 為實數空間。實數是不可數的。實數是實分析的核心研究對象。 實數可以用來測量連續的量。理論上，任何實數都可以用無限小數的方式表示，小數點的右邊是一個無窮的數列（可以是循環的，也可以是非循環的）。在實際運用中，實數經常被近似成一個有限小數（保留小數點後 n 位，n 為正整數）。在計算機領域，由於計算機只能存儲有限的小數位數，實數經常用浮點數來表示。 ①相反數（只有符號不同的兩個數，我們就說其中一個是另一個的相反數） 實數a的相反數是-a ②絕對值（在數軸上一個數所對應的點與原點0的距離） 實數a的絕對值是： |a|= ①a為正數時，|a|=a ②a為0時， |a|=0 ③a為負數時，|a|=-a (任何數的絕對值都大於或等於0。) ③倒數 （兩個實數的乘積是1，則這兩個數互為倒數） 實數a的倒數是：1/a （a≠0）
歷史來源
埃及人早在大約公元前1000年就開始運用分數了。在公元前500年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數學家們意識到了無理數存在的必要性。印度人於公元600年左右發明了負數，據說中國也曾發明負數，但稍晚於印度。 直到17世紀，實數才在歐洲被廣泛接受。18世紀，微積分學在實數的基礎上發展起來。直到1871年，德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。
相關定義
從有理數構造實數 實數可以用通過收斂於一個唯一實數的十進制或二進制展開如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定義的序列的方式而構造為有理數的補全。實數可以不同方式從有理數構造出來。這里給出其中一種，其他方法請詳見實數的構造。 公理的方法 設 R 是所有實數的集合，則： 集合 R 是一個域： 可以作加、減、乘、除運算，且有如交換律，結合律等常見性質。 域 R 是個有序域，即存在全序關系 ≥ ，對所有實數 x, y 和 z： 若 x ≥ y 則 x + z ≥ y + z； 若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 則 xy ≥ 0。 集合 R 滿足戴德金完備性，即任意 R 的非空子集 S (S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 內有上界，那麼 S 在 R 內有上確界。 最後一條是區分實數和有理數的關鍵。例如所有平方小於 2 的有理數的集合存在有理數上界，如 1.5；但是不存在有理數上確界（因為 √2 不是有理數）。 實數通過上述性質唯一確定。更准確的說，給定任意兩個戴德金完備的有序域 R1 和 R2，存在從 R1 到 R2 的唯一的域同構，即代數學上兩者可看作是相同的。
編輯本段相關性質
基本運算
實數可實現的基本運算有加、減、乘、除、乘方等，對非負數還可以進行開方運算。實數加、減、乘、除（除數不為零）、平方後結果還是實數。任何實數都可以開奇次方，結果仍是實數，只有非負實數，才能開偶次方其結果還是實數。
完備性
作為度量空間或一致空間，實數集合是個完備空間，它有以下性質： 所有實數的柯西序列都有一個實數極限。 有理數集合就不是完備空間。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數的柯西序列，但沒有有理數極限。實際上，它有個實數極限 √2。實數是有理數的完備化——這亦是構造實數集合的一種方法。 極限的存在是微積分的基礎。實數的完備性等價於歐幾里德幾何的直線沒有「空隙」。
「完備的有序域」
實數集合通常被描述為「完備的有序域」，這可以幾種解釋。 首先，有序域可以是完備格。然而，很容易發現沒有有序域會是完備格。這是由於有序域沒有最大元素（對任意元素 z，z + 1 將更大）。所以，這里的「完備」不是完備格的意思。 另外，有序域滿足戴德金完備性，這在上述公理中已經定義。上述的唯一性也說明了這里的「完備」是指戴德金完備性的意思。這個完備性的意思非常接近採用戴德金分割來構造實數的方法，即從（有理數）有序域出發，通過標準的方法建立戴德金完備性。 這兩個完備性的概念都忽略了域的結構。然而，有序群（域是種特殊的群）可以定義一致空間，而一致空間又有完備空間的概念。上述完備性中所述的只是一個特例。（這里採用一致空間中的完備性概念，而不是相關的人們熟知的度量空間的完備性，這是由於度量空間的定義依賴於實數的性質。）當然，R 並不是唯一的一致完備的有序域，但它是唯一的一致完備的阿基米德域。實際上，「完備的阿基米德域」比「完備的有序域」更常見。可以證明，任意一致完備的阿基米德域必然是戴德金完備的（當然反之亦然）。這個完備性的意思非常接近採用柯西序列來構造實數的方法，即從（有理數）阿基米德域出發，通過標準的方法建立一致完備性。 「完備的阿基米德域」最早是由希爾伯特提出來的，他還想表達一些不同於上述的意思。他認為，實數構成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。這樣 R 是「完備的」是指，在其中加入任何元素都將使它不再是阿基米德域。這個完備性的意思非常接近用超實數來構造實數的方法，即從某個包含所有（超實數）有序域的純類出發，從其子域中找出最大的阿基米德域。
高級性質
實數集是不可數的，也就是說，實數的個數嚴格多於自然數的個數（盡管兩者都是無窮大）。這一點，可以通過康托爾對角線方法證明。實際上，實數集的勢為 2ω（請參見連續統的勢），即自然數集的冪集的勢。由於實數集中只有可數集個數的元素可能是代數數，絕大多數實數是超越數。實數集的子集中，不存在其勢嚴格大於自然數集的勢且嚴格小於實數集的勢的集合，這就是連續統假設。該假設不能被證明是否正確，這是因為它和集合論的公理不相關。 所有非負實數的平方根屬於 R，但這對負數不成立。這表明 R 上的序是由其代數結構確定的。而且，所有奇數次多項式至少有一個根屬於 R。這兩個性質使 R成為實封閉域的最主要的實例。證明這一點就是對代數基本定理的證明的前半部分。 實數集擁有一個規范的測度，即勒貝格測度。 實數集的上確界公理用到了實數集的子集，這是一種二階邏輯的陳述。不可能只採用一階邏輯來刻畫實數集：1. Löwenheim-Skolem定理說明，存在一個實數集的可數稠密子集，它在一階邏輯中正好滿足和實數集自身完全相同的命題；2. 超實數的集合遠遠大於 R，但也同樣滿足和 R 一樣的一階邏輯命題。滿足和 R 一樣的一階邏輯命題的有序域稱為 R 的非標准模型。這就是非標准分析的研究內容，在非標准模型中證明一階邏輯命題（可能比在 R 中證明要簡單一些），從而確定這些命題在 R 中也成立。
拓撲性質
實數集構成一個度量空間：x 和 y 間的距離定為絕對值 |x - y|。作為一個全序集，它也具有序拓撲。這里，從度量和序關系得到的拓撲相同。實數集又是 1 維的可縮空間（所以也是連通空間）、局部緊致空間、可分空間、貝利空間。但實數集不是緊致空間。這些可以通過特定的性質來確定，例如，無限連續可分的序拓撲必須和實數集同胚。以下是實數的拓撲性質總覽： 令 a 為一實數。a 的鄰域是實數集中一個包括一段含有 a 的線段的子集。 R 是可分空間。 Q 在 R 中處處稠密。 R的開集是開區間的聯集。 R的緊子集是有界閉集。特別是：所有含端點的有限線段都是緊子集。 每個R中的有界序列都有收斂子序列。 R是連通且單連通的。 R中的連通子集是線段、射線與R本身。由此性質可迅速導出中間值定理。
編輯本段擴展與一般化
實數集可以在幾種不同的方面進行擴展和一般化： 最自然的擴展可能就是復數了。復數集包含了所有多項式的根。但是，復數集不是一個有序域。 實數集擴展的有序域是超實數的集合，包含無窮小和無窮大。它不是一個阿基米德域。 有時候，形式元素 +∞ 和 -∞ 加入實數集，構成擴展的實數軸。它是一個緊致空間，而不是一個域，但它保留了許多實數的性質。 希爾伯特空間的自伴隨運算元在許多方面一般化實數集：它們可以是有序的（盡管不一定全序）、完備的；它們所有的特徵值都是實數；它們構成一個實結合代數。

B. 實數包括什麼

實數包括有理數和無理數。

實數由一個五元組（R，+，0，×，1，≤）定義，其中，R是一個無限的集合；「+」和「×」是對R中元素的二元運算，「0」和「1」是R中特別重要的元素，「≤」是R中元素的二元關系。

多元組的元素必須滿足一組公理，稱作域公理。實數是域這種數學結構的一個典型例子。域作為一種基礎結構，在數學王國被廣泛使用。

需要了解代數，才能了解域這種結構的基礎。通常使用一個域公理集合來定義域。

(2)數學中實數是什麼意思擴展閱讀

實數（所有值域）有兩種主要的運算：加法和乘法。這兩種運算需要在某種方式下合作。

1、「+」和「×」滿足交換律：a+b=b+a，a×b=b×a。

2、「×」對於每個「+」滿足分配律。意思是（3+4）×5=3×5+4×5。

3、對於「+」運算，0是唯一的恆等值。對所有的a，a+0=a。

4、對於R裡面的每一個數x，有且只有一個數-x，稱作x的加法逆元，滿足x+（-x）=0，並且對於所有x≠0，x≠-x。

5、對於「×」運算，1是唯一的恆等值。對所有的a，a×1=a。

C. 什麼叫「實數」

包括有理數和無理數。其中無理數即無限不循環小數，有理數包括整數和分數。數學上實數直觀地定義為和數軸上的點一一對應的數。本來實數僅稱作數，後來引入了虛數概念，原本的數稱作「實數」——意義是「實在的數」。

D. 什麼叫自然數，什麼又叫實數

自然數，是數學當中對於一類數字定下的性質概念，自然數是包含數字0在內的正整數的集合，我們也可以單獨地將一個正整數稱為自然數，自然數可以用來計量生活當中示事物的次序，亦或是件數，自然數有著無數個。自然數是一切等價有限集合共同特徵的標記。注:自然數就是我們常說的正整數和0。整數包括自然數，所以自然數一定是整數，且一定是非負整數。但相減和 相除的結果未必都是自然數，所以減法和除法運算在自然數集中並不總是成立的。用以計量事物的件數或表示事物次序的數 。 即用數碼0，1，2，3，4，……所表示的數 。表示物體個數的數叫自然數，自然數由0開始(包括0)， 一個接一個，組成一個無窮集體。自然數集有加法和乘法運算，兩個自然數相加或相乘的結果仍為自然數，也可以作減法或除法，但相減和相除的結果未必都是自然數，所以減法和除法運算在自然數集中並不是總能成立的。
實數，是有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成復數。
實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類。實數集通常用黑正體字母 R 表示。R表示n維實數空間。實數是不可數的。實數是實數理論的核心研究對象。

E. 初中數學中的實數概念

初中數學中的實數概念
實數，是有理數和無理數的總稱。
數學上，實數定義為與數軸上點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。

F. 數學里復數，實數和有理數是什麼意思

1、復數

把形如z=a+bi（a,b均為實數）的數稱為復數，其中a稱為實部，b稱為虛部，i稱為虛數單位。當z的虛部等於零時，常稱z為實數；當z的虛部不等於零時，實部等於零時，常稱z為純虛數。

2、實數

實數，是有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上的實數，點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成復數。

3、有理數

有理數是整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱，是整數和分數的集合。

(6)數學中實數是什麼意思擴展閱讀：

有理數的認識：

有理數為整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱。正整數和正分數合稱為正有理數，負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。

由於任何一個整數或分數都可以化為十進制循環小數，反之，每一個十進制循環小數也能化為整數或分數，因此，有理數也可以定義為十進制循環小數。

有理數集是整數集的擴張。在有理數集內，加法、減法、乘法、除法（除數不為零）4種運算通行無阻。

有理數a,b的大小順序的規定：如果a-b是正有理數，則稱當a大於b或b小於a，記作a>b或b<a。任何兩個不相等的有理數都可以比較大小。

有理數集與整數集的一個重要區別是，有理數集是稠密的，而整數集是密集的。將有理數依大小順序排定後，任何兩個有理數之間必定還存在其他的有理數，這就是稠密性。整數集沒有這一特性，兩個相鄰的整數之間就沒有其他的整數了。

有理數是實數的緊密子集：每個實數都有任意接近的有理數。一個相關的性質是，僅有理數可化為有限連分數。依照它們的序列，有理數具有一個序拓撲。有理數是實數的（稠密）子集，因此它同時具有一個子空間拓撲。

G. 實數是指什麼

實數指有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成復數。

實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類。實數集通常用黑正體字母R表示。R表示n維實數空間。實數是不可數的。實數是實數理論的核心研究對象。

發展歷史：

在公元前500年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數學家們認識到有理數在幾何上不能滿足需要，但畢達哥拉斯本身並不承認無理數的存在。直到17世紀，實數才在歐洲被廣泛接受。18世紀，微積分學在實數的基礎上發展起來。1871年，德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。

根據日常經驗，有理數集在數軸上似乎是「稠密」的，於是古人一直認為用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為1厘米的正方形為例，其對角線有多長？在規定的精度下（比如誤差小於0.001厘米），總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果（比如1.414厘米）。

但是，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現，只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數學理念，他們原以為：任何兩條線段（的長度）的比，可以用自然數的比來表示。

正因如此，畢達哥拉斯本人甚至有「萬物皆數」的信念，而由自然數的比就得到所有正有理數，而有理數集存在「縫隙」這一事實，對當時很多數學家來說可謂極大的打擊（見第一次數學危機）。

從古希臘一直到17世紀，數學家們才慢慢接受無理數的存在，並把它和有理數平等地看作數；後來有虛數概念的引入，為加以區別而稱作「實數」，意即「實在的數」。

在當時，盡管虛數已經出現並廣為使用，實數的嚴格定義卻仍然是個難題，以至函數、極限和收斂性的概念都被定義清楚之後，才由十九世紀末的戴德金、康托等人對實數進行了嚴格處理。

以上內容參考網路—實數

H. 實數包括什麼小數算嗎

實數包括有理數和無理數。小數是實數。

實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類。實數集通常用黑正體字母 R 表示。R表示n維實數空間。實數是不可數的。實數是實數理論的核心研究對象。

實數可以用來測量連續的量。理論上，任何實數都可以用無限小數的方式表示，小數點的右邊是一個無窮的數列（可以是循環的，也可以是非循環的）。

在實際運用中，實數經常被近似成一個有限小數（保留小數點後 n 位，n為正整數）。在計算機領域，由於計算機只能存儲有限的小數位數，實數經常用浮點數來表示。

(8)數學中實數是什麼意思擴展閱讀

實數集合通常被描述為「完備的有序域」，這可以幾種解釋。

首先，有序域可以是完備格。然而，很容易發現沒有有序域會是完備格。這是由於有序域沒有最大元素。所以，這里的「完備」不是完備格的意思。

另外，有序域滿足戴德金完備性，這在上述公理中已經定義。上述的唯一性也說明了這里的「完備」是指戴德金完備性的意思。這個完備性的意思非常接近採用戴德金分割來構造實數的方法，即從（有理數）有序域出發，通過標準的方法建立戴德金完備性。

這兩個完備性的概念都忽略了域的結構。然而，有序群（域是種特殊的群）可以定義一致空間，而一致空間又有完備空間的概念。上述完備性中所述的只是一個特例。

（這里採用一致空間中的完備性概念，而不是相關的人們熟知的度量空間的完備性，這是由於度量空間的定義依賴於實數的性質。）當然，並不是唯一的一致完備的有序域，但它是唯一的一致完備的阿基米德域。

可以證明，任意一致完備的阿基米德域必然是戴德金完備的（當然反之亦然）。這個完備性的意思非常接近採用柯西序列來構造實數的方法，即從（有理數）阿基米德域出發，通過標準的方法建立一致完備性。

I. 實數是什麼

實數，是有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上的實數，點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成復數。

實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類。實數集通常用黑正體字母R表示。R表示n維實數空間。實數是不可數的。實數是實數理論的核心研究對象。

(9)數學中實數是什麼意思擴展閱讀：

一、發展歷史

在公元前500年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數學家們認識到有理數在幾何上不能滿足需要，但畢達哥拉斯本身並不承認無理數的存在。 直到17世紀，實數才在歐洲被廣泛接受。18世紀，微積分學在實數的基礎上發展起來。1871年，德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。

根據日常經驗，有理數集在數軸上似乎是「稠密」的，於是古人一直認為用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為1厘米的正方形為例，其對角線有多長？在規定的精度下（比如誤差小於0.001厘米），總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果（比如1.414厘米）。

但是，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現，只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數學理念，他們原以為：

任何兩條線段（的長度）的比，可以用自然數的比來表示。

二、相關性質

1、封閉性

實數集對加、減、乘、除（除數不為零）四則運算具有封閉性，即任意兩個實數的和、差、積、商（除數不為零）仍然是實數。

2、有序性

實數集是有序的，即任意兩個實數a、b必定滿足並且只滿足下列三個關系之一：a＜b，a＞b，a＝b。

3、傳遞性

實數大小具有傳遞性，即若a＞b，且b＞c，則有a＞b。

4、稠密性

R實數集具有稠密性，即兩個不相等的實數之間必有另一個實數，既有有理數，也有無理數。