A. 數學中「群」的概念和應用
在數學中，群是一種代數結構，由一個集合以及一個二元運算所組成。要具有成為群的資格，這個集合和運算必須滿足一些被稱為「群公理」的條件，也就是結合律、單位元和逆元。盡管這些對於很多數學結構比如數系統都是很熟悉的，例如整數配備上加法運算就形成一個群，但將群公理的公式從具體的群和其運算中抽象出來，就使得人們可以用靈活的方式來處理有著非常不同的數學起源的實體，而同時在抽象代數之上保留很多對象的本質結構體貌。群在數學內外各個領域中是無處不在的，使得它們成為當代數學的中心組織原理。[1][2]
群與對稱概念共有基礎根源。對稱群把幾何物體的對稱特徵定為：它由保持物體不變的變換的集合，和通過把兩個這種變換先後進行來組合它們的運算構成。這種對稱群，特別是連續李群，在很多學術學科中扮演重要角色。例如，矩陣群可以用來理解在狹義相對論底層的基本物理定律和在分子化學中的對稱現象。
群的概念引發自多項式方程的研究，由埃瓦里斯特•伽羅瓦在 1830 年代開創。在得到來自其他領域如數論和幾何的貢獻之後，群概念在 1870 年左右形成並牢固建立。現代群論是非常活躍的數學學科，它以自己的方式研究群。 為了探索群，數學家發明了各種概念來把群分解成更小的、更好理解的部分，比如子群、商群和單群。除了它們的抽象性質，群理論家還從理論和計算兩種角度來研究具體表示群的各種方式(群表示)。對有限群已經發展出了特別豐富的理論，這在1983年完成的有限簡單群分類中達到頂峰。
B. 什麼是數學上的群
這是抽象代數的內容:
集合是基本概念,相當於一類/一堆/全體/...你該理解，不說了。
群是特殊的集，在它上面可以定義一種運算（通常叫做「乘法」，但跟數的乘法無必然聯系），要封閉/可結合/有單位元（類似乘1/加0）/有逆元（類似乘倒數/加相反數）...
例如，正有理數是乘法群，非零有理數也是乘法群，整數集在加法下成群。
注意，群不要求交換律，如果滿足交換律，叫阿貝爾群（或加法群）。
環和域的要求就更高了，不必給你講抽象的，只在數的范圍內討論：
在加/減/乘下封閉的數集是數環，如果數環在除法下也封閉，就叫數域。
某數的倍數全體（包括負的）成一數環，有理數集是最小的數域，實數集/復數集也是數域。
更深的內容參見大學課本，抽象代數/近世代數之類......
C. 請問數學高手單群是什麼
1. 有限單群 我們知道，數學的發展中有一個基本觀念—群。群也是數學之中各方面的最基本的觀念。怎樣研究群的結構呢？最簡單的方法是討論它的子群，再由小的群的結構慢慢構造大一些的群。群中最重要的一種群是有限群，而有限群是一個難極了的題目，需要有特別的方法，特別的觀念去研究。 命G為群，g∈G為一子群，如對任何g∈G，gH-1g ∈H，則稱H為正規的(nomal)。正規子群存在，可使G的研究變為子群H及商群G/H的研究。這樣就有一個很自然的問題，有哪些有限的單群(simple group)。單群除了它自己和單位元(identity)之外，沒有其他的非平凡的正規子群(normal subgroup)。數學上稱其為簡單群，其實一點也不簡單。有限群論的一個深刻的定理是Fei-Thompson定理：非交換單群的階(數)(即群中元素的個數)是偶數。更不尋常的是除了某些大類(素數階循環群Zp,交錯群An(n>=5)，Lie型單群)外，後來發現了26個零零碎碎的有限單群(散在單群，離散單群)，現在知道，最大的散在單群的階是
41 20 9 6 2 3 54 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 41 47 59 71 =808,017..=1054
這是很大的單群，由B.Fisher和R.L.Griess兩位數學家所發現，數學家稱它為魔群(怪物，Monster)。單群的權威數學家D.Gorenstein相信有限單群都在這里了，這當然是數學上一個很好的結果。把單群都確定了，就像化學家把元素都確定了，物理學家把核子的結構都確定了一樣。可這里有個缺點，Gorenstein並未將證明寫出來。他講若將證明寫出來至少有1000頁，而1000頁的證明無論如何很容易有錯誤。可是Gorenstein又說，不要緊，若有錯誤，這個錯誤一定可以補救。你相信不相信？數學界有些人懷疑這樣的證明是否必要。現在計算機的出現，許多問題可以驗證到很大的數，是否還需要嚴格的證明，已變成數學上一個有爭論的問題。這個爭論看來一時無法解決。段學復先生是我的老朋友，是有限群論的專家，也許我們可以問一下他的意見。我個人覺得這個問題很難回答。不過數學家有個自由，當你不能做或不喜歡做一個問題時，你完全不必投入，你只需做一些你能做或喜歡做的問題。
D. 群應該滿足哪些定律（數學文化）
以加群G為例，應滿足：
1)任a,b∈G,則a+b∈G;
2)任a,b,c∈G,則(a+b)+c=a+(b+c);
3)存在0，對任a∈G,都有a+0=0+a=a;
4）對任a∈G,存在-a,使得a+(-a)=(-a)+a=0.
E. 數學問題中群的概念
多項式的對稱假設 是未知數， 是 的二次方程， ,它的兩個根 有如下關系： ， 和 都有這樣的性質：把 和 對換，結果仍然不變，因為 ， 凡是有這樣性質的 和 的多項式叫做對稱多項式。例如， , 也是對稱多項式，但是 就不是對稱多項式。並且我們習慣上把 和 叫做初等對稱多項式。我們來看一般情況，設n∈Z+, a0，a1，……an∈C,a0≠0設現在有一元n次多項式方程： 著名的代數基本定理告訴我們，這樣的方程有n個根，假設為 ，那麼： 和二次的情形相仿，韋達定理給出： 像如上左邊各式： 等這樣的多項式，不論我們對 ，作怎樣的排列，都是不會變的。也就是說我們把 ， 是一個n排列,那麼以上的式子是不會變的。這樣的式子我們稱為 的對稱多項式，並且以上的幾個對稱多項式為初等對稱多項式。定義6：設 是C上的一個n元多項式，如果對這n個文字 的指數集{1，2，…n}施行任一個置換後， 都不改變，那麼就稱 是C上一個n元對稱多項式。例如: 是對稱多項式，而 就不是，如果把：1→2，2→3，3→1 那麼 初等對稱多項式的重要性在於定理（對稱多項式基本定理）：每一個n元對稱多項式都可以唯一地表示成初等對稱多項式的多項式。現在我們用群的語言去描述n元多項式的對稱性。令 ,Sn是M的變換群，即前面提到的n次對稱群。如果我們略去字母 而只記下標，這時Sn中的元素可以記為： 是一個n排列。令F 記數域F上n元多項式的全體。對 ,利用 可以定義F 到F 的一個映射， 那麼 是集合F 的一個一一變換。為什麼？ 令 Tn中 那麼（Tn，o）滿足 ，稱之為F 的置換群。如果把n元多項式和平面圖形類比，把F 和平面類比，則F 的置換群相當於平面的運動群，（平面的所有保距變換）。 即所有不變 的那些 ，那麼我們 滿足性質 ,稱之為n 元多項式 的對稱群。例1： ，那麼 ，即四次對稱群是 的對稱群。例2： 例3： ——Klein 4元群例4： 單位元群例5： 是3階循環解。定義 ： 的一個多項式 稱為對稱多項式，如果 。即對稱群是整個置換群。就這樣我們用群來刻劃了多項式的對稱。如何去構造對稱多項式，可見《近世代數》P55。四、數域的對稱數域的概念在大學一年級高等代數中就講過了。一個非空數集F，至少含有一個非零的數，如果F對＋，－，×，÷封閉，那麼F稱為一個數域。 Q，R，C都是數域，最小的數域是Q， 也是一個數域。平面圖形是一個幾何結構，即是把一個點集M（圖形由點組成）連同此點集M中任意兩點間的距離作為一個整體來考慮，而其對稱群就是M的保持其任兩點間的距離不變的變換的全體，這些保持M的幾何結構（即距離）的變換的全體，就刻畫了幾何結構的對稱。完全類似地，數域F是一個代數結構，也就是把一個數集F連同此數集F中加、減、乘、除的運算作為一個整體一起來考慮。所以數域F的對稱也同樣地可以用F的保持代數結構（即運算）的變換的全體來刻畫。定義7數域F的自同構 是指：（1） 是F的一個一一變換（2） 定理1若 是F的自同構，那麼 有以下系列的性質：（1） （2） ；（3） （4） . 和我們前面討論平面有限圖形K的對稱一樣兩個對稱變換的乘積仍是K的一個對稱變換，類似地我們有：性質1設 和 是數域F的兩個自同構，那麼 和 也是F的一個自同構. 性質2令Aut（F）表示F的所有自同構的全體，令o表示變換的乘法，則（Aut(F),o）滿足G1)—G4)。定義8 稱（Aut(F),o）為數域F的自同構群。我們可以這樣來類比：數域F的自同構群相當於圖形K的對稱群，後者刻畫了圖形K的對稱，前者則刻畫了數域的「對稱」，——它是圖形對稱在數域上的一個類比概念。定理2有理數域 的自同構群只有一個元素——恆等自同構I。由此可知，若任意數域F，F ，且 ，那麼 。即 ， 限制在 上是恆等變換。例1令 是一個數域，是把 添加到 做成的代數擴域。考察F的自同構群。設 ，由定理1知， ，故 ，變換的結果取決於 令 最多隻有2個數值 和 ，故F的自同構群只有 可以驗證I、 確為F上的自同構。 o I φ I I φ φ φ I 這是一個2元循環群， ，同構於 ，即 的對稱群。例2令 這也是一個數域。設 ，同上例， 的作用決定於 和 ，知 和 只有4種組合方式。故Aut(E)只有4個元素 o I φ1 φ2 φ12 I I φ1 φ2 φ12 φ1 φ1 I φ12 φ2 φ2 φ2 φ12 I φ1 φ12 φ12 φ2 φ1 I o (1) (12) (34) (12)(34) (1) (1) (12) (34) (12)(34) (12) (12) (1) (12)(34) (34) (34) (34) (12)(34) (1) (12) (12)(34) (12)(34) (34) (12) (1) Aut(E)與Klein 4元群同構 : ，即 的對稱群。我們把上面說的推廣到一般情況，定義9給定兩個數域F和E，如果F E，則稱F是E的子域，而稱E為F的擴域。令 即 是使得F中元素不動的E的自同構，Aut(E:F)就是由所有這樣的 組成。 F就相當於平面圖形的對稱中的對稱軸或是旋轉中心。命題（Aut(E:F)，o）滿足 ，稱為數域E在F上的對稱群。例3 和 都不能使到a+b 保持不變。設 ， 為n次多項式，n個根為 ， 在F上的分裂域為E， ，那麼稱（Aut(E:F)，o）為F上多項式 的根的對稱群，也稱為F上一元多項式 的Galois群。這個群在解決五次以上多項式方程不可能有根式解的問題上起了關鍵作用。五、關於「對稱與群」的教學（1） 認識運算的廣泛性，不只是數可以運算，其他的一些數學對象也可以運算，並且滿足一些數的運算所具有的性質。（2） 乘法不一定是可以交換的。（3） 代數結構的概念：一個集合，加上這個集合中的運算，構成一個代數系統，其結構體現在運算關繫上。（4） 群的概念：對稱群是一個具體的群。滿足G1)—G4)，就稱為群。（5） 數學語言是刻畫自然現象的一個極好工具，數學是模式的研究。數學來源於實際問題。參考資料：這是我們當時學的課件內容，希望對你有幫助
F. 關於群的定義和定義證明（數學問題）
群是一種特殊的代數系統，其二元運算可結合，有幺元，每個元素都有逆元，或者說，群上一個每個元素都有逆元的獨異點。掌握判斷一個代數系統是否為群的方法。領會群的幾種性質：幺元是唯一的，每個元素有逆元，每個元素都可逆，如果群中元素多於一個，則一定沒有零元，關於方程的可解性。熟記群的運算性質，領會群中元素負指數冪的概念，掌握指數冪的運演算法則。理解元素的階的概念，有限群中每個元素的階都是有限的且不會超過群的階。掌握利用群的運算表判斷群的幺元、每個元素的逆元的方法。
G. 數學專業請進：線性代數中群階的定義
群的定義: 有限或無限個元素（數學對象）或操作的集合{A, B, C, D …}，其中有一個與次序有關的運算方法（群乘），具備下 列條件, 則構成群（G）。集合中的元素（A, B, C, D …）稱為 群元 。
群階: 群元的數目（g） 離散的無限群 （可數的無窮多） 連續群 （不可數的無窮多） 無限群 ∞ 有限群 h（g 為有限）
H. 數學《群論》的群概念：誰能用通俗的語言解釋：1、什麼是群2、有何用
有可逆運算的元素集合，集合與運算一起稱為群。群論是數論的一種，衍生學科有拓撲學，可以用於分析抽象的圖形，數形結合，多維矩陣等問題。經典的案例就是伽羅瓦分析出五次及以上代數方程沒有公式解的故事。
I. 數學群的相關概念
取 b=e, 則 ax=e 有解 a_1, ya=e 有解 a_2
這樣 a_1 = e a_1 = (a_2 a) a_1 = a_2 (a a_1) = a_2 e = a_2
故對任意 a ∈ G, 有 a_1 滿足 aa_1=a_1a=e, 故 G 為群.